河北省专接本数学-----考点知识大全

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河北省专接本数学

考点知识大全

第一部分

一、初等代数

1. 一元二次方程2

0ax bx c ++=（0a ≠），

⑴ 根的判别式2

4b ac ?=-

当0?>时，方程有两个相异实根；

当0?=时，方程有两个相等实根； 当0?<时，方程有共轭复根。

⑵ 求根公式为

1,22b x a

-=⑶ 韦达定理 12b x x a +=-

；12c x x a

?=.

2

2. 对数运算性质（0a >，1a ≠）

⑴ 若y

a x =，则log a y x =； ⑵ log 1a a =，log 10a =，ln 1e =，ln10=； ⑶ log ()log log a a a x y x y ?=+； ⑷ log log log a

a a x

x y y

=-；⑸ log log b a a x b x =； ⑹ log a x

a

x =，ln x e x = ⑺ log log log b a b x

x a

=

. 3. 指数运算性质 ⑴m

n

m n

a a a

+?=， ⑵m m n n a a a

-= ⑶()n m n m

a a ?=；

⑷()n

n

n

a b a b ?=?； ⑸n

n n a a b b ??= ???

；

⑹m

n a =

⑺01a =； ⑻1m

m

a

a -=

. 4.常用不等式及其运算性质 ⑴若a b >，则

①a c b c ±>±， c a c b -<-；

3

②ac bc >（0c >）， ac bc <（0c <）； ③

a b c c >（0c >）， a b

c c

<（0c <）； ④n

n

a b >（0n >，0a b >>），n

n

a b <（0n <，0a b >>）；

>n 为正整数，0a b >>）. ⑵绝对值不等式

设a ，b 为任意实数，则 ①||||||||||a b a b a b -≤±≤+；

②||a b ≤（0b >）等价于b a b -≤≤，特别||||a a a -≤≤； ③||a b ≥（0b >）等价于a b ≥或a b ≤-； ⑶某些重要不等式

①设a ，b 为任意实数，则

222a b ab +≥；

②设1a ，2a ，…，n a 均为正数，n 为正整数，则

12n

a a a n

++

+

≥5.常用二项式展开及因式分解公式

4

⑴ ()2

22

2a b a ab b +=++； ⑵ ()222

2a b a ab b -=-+；

⑶ ()33223

33a b a a b ab b +=+++； ⑷ ()33223

33a b a a b ab b -=-+-；

⑸ ()()22a b a b a b -=+-； ⑹ ()3322()a b a b a ab b -=-++；

⑺ ()3322()a b a b a ab b +=+-+； ⑻ ()123221()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++；

5. 牛顿二项式展开公式（n 为正整数）

011

22211())n n n n k n k k n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=+++++++.

其中组合系数(1)(2)(1)!

k

n n n n n k C k ---+=，01n C =，1n

n C =.

6. 常用数列公式

⑴等差数列：1a ，1a d +，1a 2d +，…，1a (1)n d +-.

5

首项为1a ，第n 项为1(1)n a a n d =+-，公差为d ，前n 项的和为

1111()(2)[(1)]n s a a d a d a n d =+++++

++-

1()(1)22

n a a n

n n na +?-=+

=. ⑵等比数列：1a ，1a q ，21a q ，…，11n a q -.

首项为1a ，公比为q ，前n 项的和为

2

1

11111(1)

1n n n a q s a a q a q a q

q

--=+++

+=

-. 7. 一些常见数列的前n 项和

⑴(1)

1232

n n n ++++

+=

； ⑵2135(21)n n +++

+-=； ⑶2

2

2

2(1)(21)

1232

n n n n +++++

+=

；

⑷2

333

3(1)1232n n n +??+++

+=????

；

6

⑸

11111

1122334

(1)1

n n n ++++

=-???++.

8.阶乘!(1)(2)21n n n n =--?.

二、平面三角

1.基本关系

⑴2

2

sin cos 1x x +=； ⑵2

2

1tan sec x x +=； ⑶2

2

1cot csc x x +=； ⑷sin tan cos x x x =

； cos cot sin x x x =； 1sec cos x x =；1

csc sin x x

=. 2.倍角公式

⑴sin 22sin cos x x x =；

⑵2222

cos 2cos sin 12sin 2cos 1x x x x x =-=-=-； ⑶22tan tan 21tan x

x x

=-.

3.半角公式

⑴2

1cos sin

22

x x -=；

7

⑵2

1cos cos

22x x +=； ⑶1cos tan 2sin x x x

-=.

4.和角公式

⑴sin()sin cos cos sin x y x y x y +=+； ⑵sin()sin cos cos sin x y x y x y -=-； ⑶cos()cos cos sin sin x y x y x y +=-； ⑷cos()cos cos sin sin x y x y x y -=-；

⑸tan tan tan()1tan tan x y

x y x y

++=-.

5.和差化积公式

⑴sin sin 2sin

cos 22x y x y

x y +-+=； ⑵sin sin 2cos sin 22x y x y

x y +--=； ⑶cos cos 2cos cos 22x y x y

x y +-+=； ⑷cos cos 2sin sin 22

x y x y

x y +--=-.

6.积化和差公式

⑴

1

sin cos[sin()sin()]

2

x y x y x y

=++-；

⑵

1

cos sin[sin()sin()]

2

x y x y x y

=+--；

⑶

1

cos cos[cos()cos()]

2

x y x y x y

=++-；

⑷

1

sin sin[cos()cos()]

2

x y x y x y

=-+--.

7.特殊三角函数值

8

9

三、初等几何

下面初等几何公式中，字母r 表示圆半径，h 表示高，l 表示斜高，θ表示角度。

1.三角形面积1

2bh =

（b 为底边长） 1

sin 2bh θ=

2.梯形面积1

()2

a b h =+（a ，b 为梯形两底边长）

3.圆周长2r π=；圆面积2

r π 4.圆扇形周长r θ=；圆扇形面积

2

12

r θ 5.正圆柱体体积2

r h π=；正圆柱体侧面积2rh π 6.正圆锥体体积2

13

r h π=

；正圆锥体侧面积rl π=

10

7.球体体积3

43

r π=；球体表面积24r π=

四、平面解析几何

1.基本公式

⑴给定点111(,)M x y ，222(,)M x y ，则1M 与2M 间的距离

d =

⑵设有两直线，其斜率分别为1k ，2k ，则 两直线平行的充要条件为1k ＝2k 两直线垂直的充要条件为1k ?2k ＝－1 2.平面直线的各种方程

⑴点斜式：直线过点00(,)x y ，其斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-

⑵斜截式：直线斜率为k ，在y 轴上截距为b ，则直线方程为 y kx b =+

11

⑶两点式：直线过点111(,)M x y 与222(,)M x y ，则直线方程为

11

2121

y y x x y y x x --=

-- ⑷截距式：设直线在x 轴与y 轴上的截距分别为a ，b ，则直线方程为 1x y

a b

+= 3.曲线方程

⑴圆周方程：圆心在点00(,)x y ，半径为r 的圆周方程为 22200()()x x y y r -+-= ⑵抛物线方程：

顶点在圆点，焦点在(

,0)2p

的方程为 22y px = 顶点在圆点，焦点在(0,)2

p 的方程为 2

2x py =

顶点在(,)a b ，对称轴为y b =的方程为 2

()2()y b p x a -=-

顶点在(,)a b ，对称轴为x a =的方程为 2

()2()x a p y b -=- ⑶椭圆方程：中心在原点，a 为长半轴，b 为短半轴，焦点在x 轴

12

上的椭圆方程为

22

1x y a b

+= ⑷双曲线方程：中心在原点，a 为实半轴，b 为虚半轴，焦点在x 轴上的双曲线方程为

22

1x y a b

-= ⑸等边双曲线方程：中心在原点，以坐标轴为渐近线的双曲线方程为

xy a =（a 为常数）

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第二部分 专接本数学知识考点大全

一、基本初等函数

1、常函数 ()y c c =为常数，其定义域（-,∞+∞）

2、幂函数 y x α

=（α为常数），性质随α改变，x 在(0,)+∞总

有定义且0α>时，函数在定义域内单调增加；当0α<时，y x α=

在(0,)+∞单调减少。图像必过点（1,1），

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举例如图1

3、指数函数 x

y a =(0,1)a a >≠，定义域(-,)∞+∞，值域

(0,)+∞

。当1a >时，单调增加，当01a <<时，单调减少， 常用函数x

y e =

4、对数函数 log a y x =(0,1)a a >≠，是指数函数的反函数， 定义域(0,)+∞，值域(-,)∞+∞，当1a >时，单调增加， 当01a <<时，单调减少

5、三角函数

有六个：

15

sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x y x y x y x y x ======

6、反三角函数

有四个：sin ,cos ,tan ,cot y arc x y arc x y arc x y arc x ====

二、函数极限

1、 极限收敛及其性质：lim n x a A →∞

=或()n a A n →→∞

性质有：唯一性、有界性、奇偶子列均收敛、保序性 2、 数列四则运算法则：lim ,lim n n x x a A b B →∞

→∞

==，则

（1）lim()lim lim n n n n x x x a b a b A B →∞

→∞

→∞

±=+=±

lim()lim lim n n n n x x x a b a b AB →∞

→∞

→∞

==

（2）当0n b ≠及0B ≠时，数列n n a b ??

?

???

的极限也存在， 且有lim lim lim n n x x n n

x a a A b b B →∞

→∞→∞

== 3、函数极限两边夹定理：如果函数(),(),()f x g x h x 满足：

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(1)()()(f x g x h x ≤≤（在0x 的某空心邻域内成立即可）；

（2）0

lim ()lim ()x x x x f x h x A →→==，则0

lim ()x x g x A →=

4、重要极限 （1）0sin lim 1x x

x

→=

（2）1

lim(1)x x e x

→∞+=

5、无穷大（小）量

当0()()()0x x f x g x f x →≠时，与都是无穷小量，且。 则：（1）0

()lim

0()

x x g x f x →=时，称0()

lim 0()x x g x c f x →=≠

或()f x 是()g x 的低阶无穷小。记()=(())g x o f x （0x x →） （2）0

()

lim

0()

x x g x c f x →=≠时，称()()f x g x 与是等价无穷小量， 当=1c 时，称两者为等价无穷小。 记：()()g x f x ~ （0x x →）

6、连续：0

0lim ()=()x x f x f x →，连续必须左右极限均存在,

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0x 为一个间断点间断点的分类： 第一类：左右极限均存在，又分为：

（1） 可去间断点：+

00

-lim ()=lim ()x x x x

f x

g x →→，即l i m ()x x

f x →存在，但0lim ()=()x x

f x f x →或0()f x 没意义；

（2） 跳跃间断点0

-lim ()lim ()x x x x f x g x +

→→≠ 第二类间断点：不属于第一类间断点的都是第二类。

l i m ()x x f x +

→=∞或 lim ()x x f x →-

=∞称为无穷型间断点。 7、零点定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，且()f a 与()f b 异号，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ=

三、导数

1、定义; 0000

()()

'()lim

h f x h f x f x h

→+-=

0'()f x 存在''00(),()f x f x -+?都存在且相等

几个求导公式： 1

()'u

u x ux

-=，cos 'sin x x =-，

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()'l n x

x

a a

a =，()'x x e e =

00000'()()(())y y f x x x y f x -=- = 00001

()('()0)'()

y y x x f x f x -=-

- ≠ 2(tan )'sec ((21)

,)2

x x x k k z π

= ≠+∈，

2(cot )'csc (,)x x x k k z π=- ≠∈，

(sec )'sec .tan ((21)

,)

2

(csc )'csc .cot (,)

x x x x k k z x x x x k k z π

π= ≠+∈=- ≠∈

2、中值定理

⑴、罗尔定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间

(,)a b 可导，且在区间端点的函数值相等，即()()f a f b =，则至少

存在一点(,)a b ξ∈，使'()0f ξ=

⑵、拉格朗日中值定理：若函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，

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在开区间(,)a b 可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，

使()()'()()f b f a f b a -=ξ-（该式又称拉格朗日中值公式） 3、洛必达法则对于未定型函数极值00∞∞

或， 0

0()'()

lim

=lim F()F'()

x x x x f x f x A x x →→= 4、函数极值问题

⑴、费马定理：设函数()f x 在点0x 处可导，且在0x 处取得极值

则'()0f x =，导数值为0点即驻点。（注可导函数极值点必是驻 点，反之不一定成立）

⑵、两个充分条件; 第一条件：0x 两端导数异号，左增右减为 极大值点，反之，极小值点； 第二条件：函数在0x 处二阶可导，且'()0f x =，''()0f x ≠，则当''()0f x >时，()f x 在0x 处取得极小值；当''()0f x <时，()f x 在0x 处取得极大值。（0''()0f x =时条件失效）

（3）应用题中极值题解题步骤：

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①设变量②函数表达式③化简④值域开区间 ⑤ 求导⑥找驻点⑦求最值 5、函数凹凸性及拐点

（1）、凹凸性判定：],[b a 内)(''x f ＞0，函数图形凹； 反之＜0为凸函数。 （2）、拐点判定：① 求 )(''x f ；

② ''()0f x = ，求根即 )(''x f 不存在的点；

000''()0'()(f x f x x x f x =在两侧临近异号时，点（，)）是函数拐点；

同号时不是。 （3）、渐近线 ①若lim x f A

→∞=，则直线 y A =是曲线()y f x =的水平渐近线； ②lim ()x a

f x →=∞

，则直线x a =是()y f x =的一条垂直渐近线 。

数②掌握（4）应用公式：总成本：()C Q ； 边际成本'()C Q ； 总收益：().()R Q Q P Q =； 边际收益:'()().'()R Q P Q Q P Q =+； 总利润：()()()L Q R Q C Q =-；