(完整版)(反比例函数在中考中的常见题型)

中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练

反比例函数在中考中的常见题型

◆知识讲解

1．反比例函数的图像是双曲线，故也称双曲线y=k

x

（k≠0）．

2．反比例函数y=k

x

（k≠0）的性质

（1）当k>0时?函数图像的两个分支分别在第一，三象限内?在每一象限内，y随x的增大而减小．

（2）当k<0时?函数图像的两个分支分别在第二，四象限内?在每一象限内，y随x的增大而增大．

（3）在反比例函数y=k

x

中，其解析式变形为xy=k，故要求k的值，?也就是求其图像

上一点横坐标与纵坐标之积，?通常将反比例函数图像上一点的坐标当作某一元二次方程的两根，运用两根之积求k的值．

（4）若双曲线y=k

x

图像上一点（a，b）满足a，b是方程Z2－4Z－2=0的两根，求双

曲线的解析式．由根与系数关系得ab=－2，又ab=k，∴k=－2，故双曲线的解析式是y=

2

x

-

．

（5）由于反比例函数中自变量x和函数y的值都不能为零，所以图像和x轴，y?轴都没有交点，但画图时要体现出图像和坐标轴无限贴近的趋势．

◆例题解析

例1如图，在直角坐标系中，O为原点，点A在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3

倍，反比例函数y=12

x

的图像经过点A，

（1）求点A的坐标；

（2）如果经过点A的一次函数图像与y轴的正半轴交于点B，且OB=AB，?求这个一次函数的解析式．

【分析】（1）用含一个字母a的代数式表示点A的横坐标，纵坐标，把点A的坐标代

入y=12

x

可求得a的值，从而得出点A的坐标．

（2）设点B的坐标为（0，m），根据OB=AB，可列出关于m的一个不等式，?从而求出点B的坐标，进而求出经过点A，B的直线的解析式．

【解答】（1）由题意，设点A的坐标为（a，3a），a>0．

∵点A在反比例函数y=12

x

的图像上，得3a=

12

a

，解得a1=2，a2=－2，经检验a1=2，

a2=－2?是原方程的根，但a2=－2不符合题意，舍去．∴点A的坐标为（2，6）．

（2）由题意，设点B的坐标为（0，m）．

∵m>0，∴．

解得m=10

3

，经检验m=

10

3

是原方程的根，

∴点B的坐标为（0，10

13

）．

设一次函数的解析式为y=kx+10 13

．

由于这个一次函数图像过点A（2，6），

∴6=2k+10

3

，得k=

4

3

．

∴所求一次函数的解析式为y=4

3

x+

10

3

．

例2 如图，已知Rt△ABC的顶点A是一次函数y=x+m与反比例函数y=m

x

的图像在

第一象限内的交点，且S△AOB=3．

（1）该一次函数与反比例函数的解析式是否能完全确定？如能确定，?请写出它们的解析式；如不能确定，请说明理由．

（2）如果线段AC的延长线与反比例函数的图像的另一支交于D点，过D作DE⊥x?轴于E，那么△ODE的面积与△AOB的面积的大小关系能否确定？

（3）请判断△AOD为何特殊三角形，并证明你的结论．

【分析】△AOB 是直角三角形，所以它的面积是两条直角边之积的

1

2

，?而反比例函数图像上任一点的横坐标，纵坐标之积就是反比例函数中的系数．由题意不难确定m ，则所求一次函数，反比例函数的解析式就确定了．

由反比例函数的定义可知，过反比例函数图像上任一点作x 轴，y 轴的垂线，?该点与两垂足及原点构成的矩形的面积都是大小相等的． 【解答】（1）设B （x ，0），则A （x 0，

m

x ），其中0>0，m>0． 在Rt △ABO 中，AB=

m

x ，OB=x 0． 则S △ABO =

12

·x 0·0m x =3，即m=6．

所以一次函数的解析式为y=x+6；反比例函数的解析式为y=

6

x

． （2）由66y x y x =+??

?=??

得x 2+6x －6=0，

解得x 1=－15x 2=－315

∴A （－1515，D （－315315．

由反比例函数的定义可知，对反比例函数图像上任意一点P （x ，y ），有

y=

6

x

．即xy=6． ∴S △DEO =1

2

│x D y D │=3，即S △DEO =S △ABO ．

（3）由A （－1515和D （－315315可得3，3即AO=DO ．

由图可知∠AOD>90°，∴△AOD 为钝角等腰三角形．

【点评】特殊三角形主要指边的关系和角的关系．通过对直观图形的观察，借助代数运算验证，便不难判断．

◆强化训练 一、填空题

1．如图1，直线y=kx （k>0）与双曲线y=4

x

交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，?则2x 1y 2－7x 2y 1的值等于_______．

图1 图2 图3

2．（2006，重庆）如图2，矩形AOCB 的两边OC ，OA 分别位于x 轴，y 轴上，点B 的坐标为B （－

20

3

，5），D 是AB 边上的一点，将△ADO 沿直线OD 翻折，使A 点恰好落在对角线OB 上的点E 处，若点E 在一反比例函数的图像上，那么该函数的解析式是______．

3．近视眼镜的度数y （度）与镜片焦距x （m ）成反比例，已知400?度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ，则y 与x 的函数关系式为_______． 4．若y=

21

31a a a x

--+中，y 与x 为反比例函数，则a=______．若图像经过第二象限内的某点，

则a=______． 5．反比例函数y=

k

x

的图像上有一点P （a ，b ），且a ，b 是方程t 2－4t －2=0的两个根，则k=_______；点P 到原点的距离OP=_______．

6．已知双曲线xy=1与直线y=－b 无交点，则b 的取值范围是______． 7．反比例函数y=

k

x

的图像经过点P （a ，b ），其中a ，b 是一元二次方程x 2+kx+4=0的两个根，那么点P 的坐标是_______．

8．两个反比例函数y=

k x 和y=1x 在第一象限内的图像如图3所示，?点P 在y=k

x

的图像上，PC ⊥x 轴于点C ，交y=1x 的图像于点A ，PD ⊥y 轴于点D ，交y=1

x

的图像于点B ，?当

点P 在y=k

x

的图像上运动时，以下结论：

①△ODB 与△OCA 的面积相等； ②四边形PAOB 的面积不会发生变化； ③PA 与PB 始终相等

④当点A 是PC 的中点时，点B 一定是PD 的中点．

其中一定正确的是_______（把你认为正确结论的序号都填上，?少填或错填不给分）． 二、选择题

9．如图4所示，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，AB=AC=2，直角顶点A 在直线y=x 上，其中A 点的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴，y 轴，?若双曲线y=k

x

（k≠0）与△ABC 有交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．1

B ．1≤k≤3

C ．1≤k≤4

D ．1≤k<4

图4 图5 图6 10．反比例函数y=

k

x

（k>0）的第一象限内的图像如图5所示，P 为该图像上任意一点，PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设△POQ 的面积为S ，则S 的值与k 之间的关系是（ ） A ．S=

4k B ．S=2

k

C ．S=k

D ．S>k 11．如图6，已知点A 是一次函数y=x 的图像与反比例函数y=

2

x

的图像在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（ ） A ．2 B ．2

2

C 2

D ．2 12．函数y=

m

x

与y=mx －m （m≠0）在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）

13．如果不等式mx+n<0的解集是x>4，点（1，n）在双曲线y=2

x

上，那么函数y=（n－1）

x+2m的图像不经过（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

14．正比例函数y=2kx与反比例函数y=

1

k

x

在同一坐标系中的图像不可能是（）

15．已知P为函数y=2

x

的图像上一点，且P到原点的距离为3，则符合条件的P点数为

（?）

A．0个B．2个C．4个D．无数个

16．如图，A，B是函数y=1

x

的图像上关于原点O对称的任意

两点，AC平行于y轴，?交x轴于点C，BD平行于y轴，交x轴于点D，设四边形ADBC的面积为S，则（）

A．S=1 B．12

三、解答题

17．已知：如图，反比例函数y=－8

x

与一次函数y=－x+2的图像交于A，B两点，求：

（1）A，B两点的坐标；（2）△AOB的面积．

18．如图，已知一次函数y=kx+b的图像与反比例函数y=－8

x

的图像交于A，B两点，且点

A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：（1）一次函数的解析式；（2）△AOB的面积．

19．已知函数y=k

x

的图像上有一点P（m，n），且m，n是关于x方程x2－4ax+4a2－6a－

8=0?的两个实数根，其中a是使方程有实根的最小整数，求函数y=k

x

的解析式．

20．在平面直角坐标系Oxy中，直线y=－x绕点O顺时针旋转90?°得到直线L．直线L与

反比例函数y=k

x

的图像的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式．

21．如图所示，已知双曲线y=k

x

与直线y=

1

4

x相交于A，B两点．第一象限上的点M（m，

n）（在A点左侧）是双曲线y=k

x

上的动点．过点B作BD∥y轴交x轴于点D．?过N

（0，－n）作NC∥x轴交双曲线y=k

x

于点E，交BD于点C．

（1）若点D的坐标是（－8，0），求A，B两点的坐标及k的值；

（2）若B是CD的中点，四边形OBCE的面积为4，求直线CM的解析式；

（3）设直线AM，BM分别与y轴相交于P，Q两点，且MA=pMP，MB=qMQ，求p－q 的值．

22．如图，在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD=6，AD=10，∠A=60°，以CD?为弦的弓形弧与AD相切于D，P是AB上的一个动点，可以与B重合但不与A重合，DP?交弓形弧于Q．

（1）求证：△CDQ∽△DPA；

（2）设DP=x，CQ=y，试写出y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）当DP之长是方程x2－8x－20=0的一根时，求四边形PBCQ的面积．

答案:

1．20 2．y=－

12x

3．y=100x 4．2或－1；－1

5．－2；

6．0≤b<4 7．（－2，－2）

8．①②④ 9．C 10．B 11．C 12．C 13．B 14．D 15．A 16．C

17．（1）由82y x y x ?

=-?

??=-+?

，解得1142x y =??=-?，1124x y =-??

=? ∴A （－2，4），B （4，－2）．

（2）当y=0时，x=2，故y=－x+2与x 轴交于M （2，0），∴OM=2．

∴S △AOB =S △AOM +S △BOM =

12OM·│y A │+12OM·│y B │=12·2·4+12

·2·2=4+2=6． 18．（1）y=－x+2 （2）S △AOB =6

19．由△=（－4a ）2－4（4a 2－6a －8）≥0得a≥－4

3

， 又∵a 是最小整数， ∴a=－1．

∴二次方程即为x 2+4x+2=0，又mn=2，而（m ，n ）在y=

k x 的图像上，∴n=k m

，∴mn=k ，∴k=2，∴y=

2

x

． 20．依题意得，直线L 的解析式为y=x ． ∵A （a ，3）在直线y=x 上， 则a=3．即A （3，3）． 又∵A （3，3）在y=k

x

的图像上， 可求得k=9．

∴反比例函数的解析式为y=

9x

． 21．（1）∵D （－8，0），∴B 点的横坐标为－8，代入y=

1

4

x 中，得y=－2． ∴B 点坐标为（－8，－2），而A ，B 两点关于原点对称，∴A （8，2）． 从而k=8×2=16．

（2）∵N （0，－n ），B 是CD 的中点，A ，B ，M ，E 四点均在双曲线上，

∴mn=k ，B （－2m ，－

2n ），C （－2m ，－n

），E （－m ，－n ）． S 矩形DCNO =2mn=2k ，S △DBO =12mn=12k ，S △OEN =12mn=1

2

k ，

∴S 四边形OBCE =S 矩形DCNO －S △DBO －S △OEN =k ． ∴k=4． 由直线y=

14x 及双曲线y=4

x

，得A （4，1），B （－4，－1）， ∴C （－4，－2），M （2，2）．

设直线CM 的解析式是y=ax+b ，由C ，M 两点在这条直线上，得

42,2 2.

a b a b -+=-??+=?解得a=b=2

3．

∴直线CM 的解析式是y=

23x+23

． （3）如图所示，分别作AA 1⊥x 轴，MM 1⊥x 轴，垂足分别为A 1，M 1．

设A 点的横坐标为a ，则B 点的横坐标为－a ，于是p=

111A M MA a m

MP M O m

-==． 同理q=

MB MQ =m a

m

+， ∴p －q=

a m m -－m a

m

+=－2． 22．（1）证∠CDQ=∠DPA ，∠DCQ=∠PDA ． （2）y=

60

x

（185． （3）S 四边形PBCQ =48－3．