高等数学第一章笔记

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记?
第一章 1、设 x, y 为两个变量， D
为数集，若对 ? x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则 称对应关系 f 是定义在 D 上的函数， 习惯上也称 y 是 x 的函数， 记作 y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称 （ 为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值． 2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则 3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是 指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域． 4、函数的表示法： （1）图形法（2）表格法（3）解析法 5、函数的几种特性：函数的单调性 、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性 6、 设函数 f ( x ) 的定义域为 D ， 区间 I ? D． 如果对于 I 上任意两点
x1
及
x2
， x1 < x2 时， 当 恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 )
成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有
f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少． 单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．?
从图象上看, 增函数的图象自左向右逐渐上升; 减函数的图象自左向右逐渐下降． 7、对于给定的数列{ },如果当 n 无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数 a ，则称 a 为数列的极限，或称数 列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞)
n →∞
9、 如果数列没有极限，就说数列是发散的。 9、 收敛数列的性质： （1）唯一性：若 lim xn = a ，且 lim xn = b ，则 a = b
x →∞ x →∞
（2） 有界性：若 lim xn 存在，则 xn 有界?
x →∞
（3） 保号性：若 lim xn = a (a > 0或a < 0), 则?N , 当n > N 时， n > 0(或 < 0)
n →∞
x
反之，若xn ≥ 0(≤ 0), 则 lim xn ≥ 0(≤ 0)
n →∞
10、函数的极限的加减乘除等于函数的加减乘除的极限 11、数列极限存在准则： （1）单调有界数列必有极限（2）夹逼准则 12 、 如 果 在 x → x0 的 过 程 中 ， 对 应 的 函 数 值 无 限 接 近 于 确 定 的 数 值 A ， 则 称 A 是 函 数 f(x) 当 时的极限，记作 lim f ( x ) = A
x → x0
精确的有： lim f ( x ) = A ? ?ε > 0 ?δ > 0 ? 当0 < x ? x0 < δ 时， ( x ) ? A < ε 成立 f
x → x0
13、函数极限的性质：唯一性、局部有界性、局部保号性 14、如果数列 {x n } 、 {y n }、 {z n }满足 对任意的 n ，有 y n ≤ x n ≤ z n 且 lim yn = lim zn = a ，则 lim x n = a ．?
n →∞ n →∞
n →∞
15、 对于函数 f ( x ) ， 如果存在函数 g ( x ) 和 h( x ) ， （1） x ∈ U ( x 0 , δ ) （或 | x |> M ） 有 g ( x ) ≤ f ( x ) ≤ h( x ) 使 当 时， （2） lim g ( x ) = lim h ( x ) = Α 则 lim f ( x ) = Α （这里 " lim" 下面没有标明自变量的变化过程，实际是指在自变量的同一变化过程，如 x → x0 或 x → ∞ 等） 16、重要极限 lim
1 1 sin x = 1 lim(1 + ?) ? = e, 或 lim(1 + ) Θ = e ?→ 0 Θ→∞ x →0 Θ x
°
17、单调有界数列必有极限． 若函数 f ( x) 在点 x0 处的某一侧邻域内单调有界，则当 x → x0 时，函数 f ( x) 的相应单侧极限必存在． 18、 y = f [g ( x )] 是由函数 y = f (u ) 和 u = g ( x) 复合而成， 设 且它在
u →u0
x 0 的某去心邻域内有定义． 若 lim g ( x ) = u ， 0
x → x0
lim f (u ) = Α ，则 lim f [g ( x )] = lim f (u ) = Α ．?
x → x0 u →u 0
19、如果函数 f (x ) 当 x → x0 (或x → ∞) 时的极限为零，则称函数 f (x ) 为当 x → x0 (或x → ∞) 时的无穷小，记 作 lim f ( x) = 0 （或 lim f ( x) = 0 ） ． 20、对于函数 f (x ) ， lim f ( x ) = A （ A 为常数）的充要条件是 f ( x ) = A + α ，其中 α 是无穷小量． 21、有限个无穷小量的代数和仍是无穷小 有限个无穷小的乘积也是无穷小 有界函数与无穷小的乘积也是无穷小 常数与无穷小的乘积仍是无穷小 22、 设函数 f (x ) ， 对于给定任意大的正数 M ， 都存在 δ（或 N） 当 0 <| x ? x 0 |< δ 时 ， （或|x|>N） 恒有 | f ( x ) |> M ， ，
1?
x → x0
x →∞

则称函数 f (x ) 当 x → x0 （或 x → ∞ ）时为无穷大，记作 lim f ( x) = ∞ （或 lim f ( x) = ∞ ） ．?
x → x0
x →∞
高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记?
，则函数 f (x ) 为正无穷大（或函数 f (x ) 为 如果将上述定义中的 | f ( x ) |> M 改为 f ( x ) > M （或 f ( x ) < ? M ） 负无穷大） ，分别记为 lim f (x) = +∞（或 lim f ( x) = ?∞ ） 23、 无穷小 1）无穷小与自变量的变化过程相联系 无穷小与无穷大 2）无穷小不是很小的数，它是函数，是变量 3）0 是特殊的无穷小，但它不是数 0 的注意 24、在自变量的同一变化过程中，若函数 f (x ) 为无穷大，则函数 且 f ( x ) ≠ 0 ，则函数 无穷大 1）无穷大量与函数无界 2）无穷大不是很大的数 3）无穷大与自变量的变化过程有关 4）无穷大量其实函数没有极限?
1 为无穷小；反之，若函数 f (x ) 为无穷小， f ( x)
1 为无穷大． f ( x) 25、无穷小的比较： 设 α 和 β 都是自变量某一变化过程中的无穷小?
显然等价无穷小是同阶无穷小的特殊情形，即 C = 1 的情形． 26、利用等价无穷小求极限：若 α ～ α ′ ， β ～ β ′ ，且 lim
1
β α β 如果 lim α β 如果 lim α β 如果 lim α
如果 lim
= 0 ，则称 β 是比 α 高阶的无穷小，记作 β = (α ) ；?
= ∞ ，则称 β 是比 α 低阶的无穷小； = C ≠ 0 （ C 为常数） ，则称 β 与 α 是同阶无穷小； = 1 ，则称 β 与 α 是等价无穷小，记作 α ～ β ．?
β′ β β′ 存在，则 lim = lim ． α′ α α′
1 ； ； x （ x → 0 ） （2） sin x ～ x （ x → 0 ） n ； ； （3） tan x ～ x （ x → 0 ） （4） ln(1 + x ) ～ x （ x → 0 ） x （5） e ? 1 ～ x （ x → 0 ） （6） arcsin x ～ x （ x → 0 ） ； ； 1 （7） arctan x ~ x ( x → 0) ； （8） 1? cos x ～ x 2 （ x → 0 ） ． 2 28、设函数 f ( x ) 在点 x 0 及其邻域内有定义．如果 lim f ( x ) = f ( x0 ) ，则称函数 f (x ) 在点 x0 处连续．?
27、常用的等价无穷小： （1） (1 + x) n ? 1 ～
x → x0
29、设函数 y = f (x ) 在点 x0 的某一邻域内有定义，如果自变量的增量 Δx 趋于零时，相应的函数的增量 Δy 也趋于 零，即 lim Δ y = lim [ f ( x 0 + Δ x ) ? f ( x 0 )] = 0，则称函数 f ( x ) 在点 x 0处连续。?
Δx → 0 Δx → 0
30、 如果函数 y = f (x ) 在点 x0 及左侧邻域有定义， 而且 lim? f ( x) = f ( x0 ) ， 则称函数 y = f (x ) 在点 x0 处左连续．
x → x0
如果函数 y = f (x ) 在点 x0 及右侧邻域有定义，而且 lim+ f ( x) = f ( x0 ) ，则称函数 y = f (x ) 在点 x0 处右连续．
x → x0
显然，如果函数 y = f (x ) 在点 x0 处连续，则函数 y = f (x ) 在点 x0 处既左连续又右连续；反之，如果函数
y = f (x) 在点 x0 处既左连续又右连续，则函数 y = f (x) 在点 x0 处必连续． 31、如果函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内每一点处都连续，则称函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续，或者称 f (x ) 是开区 间 ( a, b) 内的连续函数． 如果函数 f (x ) 在开区间 ( a, b) 内连续，在左端点 x = a 处右连续，在右端点 x = b 处左连续，则称函数 f (x ) 在
闭区间 [a, b] 上连续，或者说 f (x ) 是闭区间 [a, b] 上的连续函数． 连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线． 32、一切基本初等函数在其定义域内都是连续的 33、由函数在某点连续的定义和极限四则运算法则，可以得出结论，连续函数的和、差、积、商（存在的话）仍然 是连续函数．?
2?

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记?
另外，设 y = f (u ), u = g ( x ) ，若 u = g (x ) 在 x = x0 处连续， y = f (u ) 在 u = u 0 处连续（ u 0 = g ( x0 ) ） ，则
y = f [ g ( x )] 在 x = x0 处连续．即连续函数的复合函数仍为连续函数．?
据此可以证明，一切初等函数在其定义区间内都是连续的．所谓定义区间就是包含在定义域内的区间． 34、由函数连续性的定义可知，函数 f (x ) 在点 x 0 处连续必须同时满足下列三条件：?
lim （1）函数 f ( x) 在点 x0 的某一邻域内有定义； （2） lim f ( x) 存在； （3） x → x0 f ( x ) = f ( x 0 ) ；?
x→ x0
如果函数 f (x ) 在点 x0 处不满足上述三个条件中任何一个，则函数 f (x ) 在点 x0 处不连续，也称函数 f (x ) 在点
x 0 处间断．称点 x 0 为函数 f (x ) 的不连续点或间断点． 函数的间断点可分为两类： 设点 x 0 是函数 f (x ) 的间断点， 如果该函数在点 x0 处的左、 右极限都存在， 则称点 x0
为第一类间断点；把不是第一类间断点的任何间断点都叫做第二类间断点．第一类间断点包括可去间断点和跳 跃间断点，可去间断点是指极限存在的间断点，跳跃间断点为左、右极限存在但是不相等的间断点，而无穷间 断点和振荡间断点属于第二类间断点． 35、闭区间上连续函数的性质：最值存在定理、有界性定理、零点存在定理、介值定理 36、设函数 f ( x) 的定义域为 I ，如果对于任意的 x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ f ( x0 )(或者f ( x) ≥ f ( x0 )) ，则称 f ( x0 ) 是 函数 f ( x) 在区间 I 上的最大值（或最小值） 37、闭区间上连续函数一定在该区间有最大值和最小值 38、有界性定理:闭区间上的连续函数在该区间有界。 39、如果函数在开区间内连续，或者函数在闭区间上有间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。?
?? x + 1, 0 ≤ x < 1 ? 例如：y=x 在开区间(a,b)内是连续的，但在(a,b)内无最大值和最小值。又如函数 y = f ( x ) ?1, x =1 ?? x + 3.1 < x ≤ 2 ?
在闭区间[0,2]上有间断点 x=1，f(x)在此区间上无最大最小值 40、若 x0 使得 f ( x0 ) = 0 ，则称 x0 为函数 f ( x) 的零点。 41、设函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续，且 f (a ) 与 f (b) 异号，那么在开区间 (a, b) 内至少存在函数 f ( x) 的一个 零点。 42、函数在闭区间上连续，且在区间端点取值不同， f (a ) = A ， f (b) = B ， ( A ≠ B ) 那么对于 A 与 B 之间的任意 一个常数在开区间（a，b）内至少有一点 ξ ，使得 f (ξ ) = C 推论：闭区间上的连续函数可以取得介于最 大值与最小值之间的任何值?
3?