上海交通大学试卷

（2019至2020学年第1学期）

班级号学号姓名

考试时间2019/12/3113：10–15：10地点东上院507/508

课程名称初等数论成绩

第1题：选择题[共21分]

1.1[3分]15125与25256能否表示成两个整数的平方和？（）

(A)都不能(B)仅15125能

(C)仅25256能(D)都能

1.2[3分]令k为三维实空间中一条直线上的全体整点的集合的势。k的可能取值有多少种？（）

(A)2种(B)3种

(C)可数无穷种(D)不可数多种

1.3[3分]下面各数中哪一个没有原根？（）

(A)4(B)8

1.4[3分]最小的可以被所有判别式为?100的整正定二元二次型表出的(正)整数为哪一个？（）

(A)5(B)25

1.5[3分]令A为一个正整数集合，令αn表示A中不超过n的元素的个数，并且令α˙=lim sup n→∞αn

n >0。

∑

a∈A 1

等于多少？（）

(A)π2+π4+π6

1?α(B)1

1?α2

(C)∞(D)具体取值不能仅由α决定

1.6[3分]225+1含有下述哪一个素因子？（）

(A)2(B)11

1.7[3分]实数轴上是否存在一族开区间，使得每个有理数都只被其中有限个区间覆盖，每个无理数都被其中无限个区间盖住？（）(A)存在(B)不存在

(C)存在性与选择公理等价(D)由Godel不完全性定理可知这无法

判定

我承诺，我将严题号123456合计

格遵守考试纪律。得分

承诺人：批阅

人

第2题：填空题[共30分]

2.1[5分]11x+8y=600的正整数解(x,y)的个数为。

2.2[5分]72020在十进制展开中最后两位是。

2.3[5分]称2的幂次或者2的幂次的3倍为一个好数。把100颗一模一样的珠子分成大小不一的若干堆，使得每一堆里头的珠子个数都是好数。这种分法的个数为。

2.4[5分]模257的原根共有个。

2.5[5分](

)

=（填一个整数）。

2.6[5分]13x=71(mod380)的解为。第3题：计算题[10分]

试确定y2+x?x3=0的所有整数解(x,y)。

第4题：证明题[10分]

试说明存在一个常数b,使得序列?2b?,?22b?,?222b?,...中的所有项都是素数。（提示：可以利用贝特朗假设，即对于任意实数x≥1,区间[x,2x]中至少包含一个素数）

第5题：证明题[10分]

已知一个整数n可以写成两个有理数的平方和。试说明n可以表为两个整数的平方和。

第6题：证明题[共19分]

6.1[5分]对任意正整数m，说明x2+11y2=3(mod2m)有解。

6.2[5分]对任意正整数m，说明x2+11y2=3(mod11m)有解。

6.3[5分]对任意素数p=2,11以及任意正整数m，说明x2+11y2=3(mod p m)有解。

6.4[4分]对任意整数n，说明x2+11y2=3(mod n)有解。

附录

Hensel引理：设p为素数，f为Z(p)上多项式。若存在a∈Z(p)使得f(a)=0(mod p2c+1),c=ord p(f′(a))，则对于任意非负整数n都可以找到a n∈Z(p)使得f(a n)=0(mod p2c+2n)。

300以内素数表:

2357111317192329

31374143475359616771

7379838997101103107109113

127131137139149151157163167173

179181191193197199211223227229

233239241251257263269271277281

283293

上海交通大学试卷( A 卷)

上海交通大学试卷（ A 卷）课程线性代数（B 类）学期 2011－2012第1学期班级号学号姓名一．单项选择题（每题3分，共18分） 1．设A ，B 为n 阶方阵，且A A =2 ，B B =2 。则（）（A ）)()(B r A r =时，A ，B 不相似；（B ）)()(B r A r ≠时，A ，B 相似；（C ）)()(B r A r =时，A ，B 相似；（D ）以上都有可能。 2．设A 为n 阶反对称矩阵，则（）（A ）0)(=+E A r ；（B ）n E A r =+)(；（C ）n E A r <+<)(0；（D ）以上都有可能。 3．设B A ,为n 阶方阵，??? ? ??=B A C 00。则伴随矩阵* C 为（）（A ）???? ??** B A A B ||0 0||；（B ）??? ? ??**B B A A ||00||；（C ）???? ? ?** A A B B ||0 0||；（D ）??? ? ? ?**A B B A ||00||。 4．设A 为n m ?的实矩阵，矩阵)(A A T 正定的充分必要条件为（）（A ）m A r =)(；（B ）m A r <)(；（C ）m A r <)(；（D ）n A r =)(。 5．设α是单位向量，矩阵ααT k E A +=，其中1-≠k 。则（）我承诺，我将严格遵守考试纪律。

（A ）A 为正交矩阵；（B ）A 为正定矩阵；（C ）A 为可逆矩阵；（D ）A 为反对称矩阵。 6．设向量组321,,ααα线性无关，向量321,,βββ线性相关但相互不成比例，且， 321332123211,,αααβαααβαααβk k k ++=++=++=。则（）（A ）2-=k 或 1=k ；（B ）1=k ；（C ）2-≠k 且 1≠k ；（D ）2-=k 。二．填空题（每题3分，共18分） 7．设行列式 4 111311 12=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则 ∑∑==313 1 i j j i A ＝。 8．已知4阶行列式4||j i a 的展开式中某项为42143123)1(a a a a k -。则=k 。 9. 设33)(?=ij a A ,j i A 是||A 中j i a 的代数余子式，j i j i A a =，13 121132a a a ==。已知011