中考数学易错题精选-圆的综合练习题及答案
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线;
(2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积.
【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】
试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A ,
∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB ,
∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中,
OE OD EOC DOC OC OC =??
∠=∠??=?
∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线;
(2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形,
∵S △CDO =
1
2
CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=1
2
×6×4=12,
∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24.
2.如图,在平面直角坐标系xoy中,E(8,0),F(0 , 6).
(1)当G(4,8)时,则∠FGE= °
(2)在图中的网格区域内找一点P,使∠FPE=90°且四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形.
要求:写出点P点坐标,画出过P点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法).
【答案】(1)90;(2)作图见解析,P(7,7),PH是分割线.
【解析】
试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG是直角三角形,且∠FGE="90" °.
(2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P在以EF为直径的圆上;另一方面,由于四边形OEPF被过P点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形,从而OP是正方形的对角线,即点P在∠FOE的角平分线上,因此可得P(7,7),PH是分割线.
试题解析:(1)连接FE,
∵E(8,0),F(0 , 6),G(4,8),
∴根据勾股定理,得FG=,EG=,FE=10.
∵,即.
∴△FEG是直角三角形,且∠FGE=90 °.
(2)作图如下:
P(7,7),PH是分割线.
考点:1.网格问题;2.勾股定理和逆定理;3.作图(设计);4.圆周角定理.
3.如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC为⊙O的直径,过点C作AC的垂线交AD 的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB, DF.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若DB平分∠ADC,AB=52AD
,∶DE=4∶1,求DE的长.
【答案】(1)见解析5
【解析】
分析:(1)直接利用直角三角形的性质得出DF=CF=EF,再求出∠FDO=∠FCO=90°,得出答案即可;
(2)首先得出AB=BC即可得出它们的长,再利用△ADC~△ACE,得出AC2=AD?AE,进而得出答案.
详解:(1)连接OD.
∵OD=CD,∴∠ODC=∠OCD.
∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠EDC=90°.
∵点F为CE的中点,∴DF=CF=EF,∴∠FDC=∠FCD,∴∠FDO=∠FCO.
又∵AC⊥CE,∴∠FDO=∠FCO=90°,∴DF是⊙O的切线.
(2)∵AC为⊙O的直径,∴∠ADC=∠ABC=90°.
∵DB平分∠ADC,∴∠ADB=∠CDB,∴AB=BC,∴BC=AB=52.在Rt△ABC中,AC2=AB2+BC2=100.
又∵AC⊥CE,∴∠ACE=90°,
∴△ADC~△ACE,∴AC
AD =
AE
AC
,∴AC2=AD?AE.
设DE为x,由AD:DE=4:1,∴AD=4x,AE=5x,
∴100=4x?5x,∴x=5,∴DE=5.
点睛:本题主要考查了切线的判定以及相似三角形的判定与性质,正确得出AC2=AD?AE是解题的关键.
4.已知:AB是⊙0直径,C是⊙0外一点,连接BC交⊙0于点D,BD=CD,连接AD、AC.
(1)如图1,求证:∠BAD=∠CAD
(2)如图2,过点C作CF⊥AB于点F,交⊙0于点E,延长CF交⊙0于点G.过点作EH⊥AG于点H,交AB于点K,求证AK=2OF;
(3)如图3,在(2)的条件下,EH交AD于点L,若0K=1,AC=CG,求线段AL的长.
图1 图2 图3
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)12
10 5
【解析】
试题分析:(1)由直径所对的圆周角等于90°,得到∠ADB=90°,再证明△ABD≌△ACD即可得到结论;
(2)连接BE.由同弧所对的圆周角相等,得到∠GAB=∠BEG.再证△KFE≌△BFE,得到BF=KF=BK.由OF=OB-BF,AK=AB-BK,即可得到结论.
(3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.先证CM 垂直平分AG ,得到AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°.再证∠GAF =∠GCM =α.通过证明△AGB ≌△CMG ,得到BG =GM =
1
2
AG .再证明∠BGC =∠MCG =α.设BF =KF =a , 可得GF =2a ,AF =4a . 由OK =1,得到OF =a +1,AK =2(a +1),AF = 3a +2,得到3a +2=4a ,解出a 的值,得到AF ,AB ,GF ,FC 的值.由tanα=tan ∠HAK =
1
2
HK AH =, AK =6,可以求出 AH 的长.再由1tan tan 3BAD BCF ∠=∠=
,利用公式tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD
∠+∠-∠?∠,得到∠GAD =45°,则AL =2AH ,即可得到结论.
试题解析:解:(1)∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ADB =90°,∴∠ADC =90°. ∵BD =CD ,∠BDA =∠CDA ,AD =AD ,∴△ABD ≌△ACD ,∴∠BAD =∠CAD . (2)连接BE .∵BG =BG ,∴∠GAB =∠BEG . ∵CF ⊥AB ,∴∠KFE =90°.
∵EH ⊥AG ,∴∠AHE =∠KFE =90°,∠AKH =∠EKF ,∴∠HAK =∠KEF =∠BEF . ∵FE =FE ,∠KFE =∠BFE =90°,∴△KFE ≌△BFE ,∴BF =KF =BK .
∵ OF =OB -BF ,AK =AB -BK ,∴AK =2OF .
(3)连接CO 并延长交AG 于点M ,连接BG .设∠GAB =α.
∵AC =CG , ∴点C 在AG 的垂直平分线上.∵ OA =OG ,∴点O 在AG 的垂直平分线上, ∴CM 垂直平分AG ,∴AM =GM ,∠AGC +∠GCM =90°. ∵AF ⊥CG ,∴∠AGC +∠GAF =90°,∴∠GAF =∠GCM =α. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠AGB = 90°,∴∠AGB =∠CMG =90°. ∵AB =AC =CG ,∴△AGB ≌△CMG ,∴BG =GM =
1
2
AG .
在Rt △AGB 中, 1
tan tan 2
GB GAB AG α∠==
= . ∵∠AMC =∠AGB = 90°
,∴BG ∥CM , ∴∠BGC =∠MCG =α. 设BF =KF =a , 1tan tan 2BF BGF GF α∠===,∴GF =2a ,1
tan tan 2
GF GAF AF α∠=== ,AF =4a .
∵OK =1,∴OF =a +1,AK =2OF =2(a +1),∴AF =AK +KF =a +2(a +1)=3a +2,∴3a +2=4a ,∴a =2, AK =6,∴AF =4a =8,AB =AC =CG =10,GF =2a =4,FC =CG -GF =6. ∵tanα=tan ∠HAK =1
2
HK AH =,设KH =m ,则AH =2m ,∴AK =22(2)m m +=6,解得:m =
655,∴AH =2m =125
5
.在Rt △BFC 中,1
tan 3
BF BCF FC ∠=
= .∵∠BAD +∠ABD =90°, ∠FBC +∠BCF =90°,∴∠BCF =∠BAD ,1tan tan 3BAD BCF ∠=∠= ,∴tan ∠GAD =tan tan 1tan tan GAF BAD GAF BAD ∠+∠-∠?∠=1123111
123
+
=-?,∴∠GAD =45°,∴HL=AH ,AL =2AH =
1210
.
5.如图,已知BC 是⊙O 的弦,A 是⊙O 外一点,△ABC 为正三角形,D 为BC 的中点,M 为⊙O 上一点,并且∠BMC=60°.
(1)求证:AB是⊙O的切线;
(2)若E,F分别是边AB,AC上的两个动点,且∠EDF=120°,⊙O的半径为2,试问
BE+CF的值是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.
【答案】(1)证明见试题解析;(2)BE+CF的值是定值,为等边△ABC边长的一半.【解析】
试题分析:(1)连结OB、OD,如图1,由于D为BC的中点,由垂径定理的推理得
OD⊥BC,∠BOD=∠COD,即可得到∠BOD=∠M=60°,则∠OBD=30°,所以∠ABO=90°,于是得到AB是⊙O的切线;
(2)作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,由△ABC为正三角形,D为BC 的中点,得到AD平分∠BAC,∠BAC=60°,利用角平分线性质得DM=DN,得
∠MDN=120°,由∠EDF=120°,得到∠MDE=∠NDF,于是有△DME≌△DNF,得到ME=NF,
得到BE+CF=BM+CN,由BM=1
2
BD,CN=
1
2
OC,得到BE+CF=
1
2
BC,即可判断BE+CF的值是
定值,为等边△ABC边长的一半.
试题解析:(1)连结OB、OD,如图1,∵D为BC的中点,∴OD⊥BC,∠BOD=∠COD,
∴∠ODB=90°,∵∠BMC=1
2
∠BOC,∴∠BOD=∠M=60°,∴∠OBD=30°,∵△ABC为正三
角形,∴∠ABC=60°,∴∠ABO=60°+30°=90°,∴AB⊥OB,∴AB是⊙O的切线;
(2)BE+CF的值是为定值.
作DM⊥AB于M,DN⊥AC于N,连结AD,如图2,∵△ABC为正三角形,D为BC的中点,∴AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴DM=DN,∠MDN=120°,∵∠EDF=120°,
∴∠MDE=∠NDF,在△DME和△DNF中,∵∠DME=∠DNF.DM=DN,∠MDE=∠NDF,∴△DME≌△DNF,∴ME=NF,∴BE+CF=BM﹣EM+CN+NF=BM+CN,在Rt△DMB中,
∵∠DBM=60°,∴BM=1
2
BD,同理可得CN=
1
2
OC,∴BE+CF=
1
2
OB+
1
2
OC=
1
2
BC,∴BE+CF
的值是定值,为等边△ABC边长的一半.
考点:1.切线的判定;2.等边三角形的性质;3.定值问题;4.探究型;5.综合题;6.压轴题.
6.如图,△ABC是⊙O的内接三角形,点D,E在⊙O上,连接AE,DE,CD,BE,CE,∠EAC+∠BAE=180°,AB CD
=.
(1)判断BE与CE之间的数量关系,并说明理由;
(2)求证:△ABE≌△DCE;
(3)若∠EAC=60°,BC=8,求⊙O的半径.
【答案】(1)BE=CE,理由见解析;(2)证明见解析;(383
.
【解析】
分析:(1)由A、B、C、E四点共圆的性质得:∠BCE+∠BAE=180°,则∠BCE=∠EAC,所以BE CE,则弦相等;(2)根据SSS证明△ABE≌△DCE;
(3)作BC和BE两弦的弦心距,证明Rt△GBO≌Rt△HBO(HL),则∠OBH=30°,设OH=x,则OB=2x,根据勾股定理列方程求出x的值,可得半径的长.
本题解析:
(1)解:BE=CE,
理由:∵∠EAC+∠BAE=180°,∠BCE+∠BAE=180°,
∴∠BCE=∠EAC,
∴BE CE,
∴BE=CE;
(2)证明:∵AB CD
=,∴AB=CD,
∵BE CE,AE ED
=,∴AE=ED,
由(1)得:BE=CE,
在△ABE和△DCE中,
∵
AE DE AB CD BE CE
=
?
?
=
?
?=
?
,
∴△ABE≌△DCE(SSS);
(3)解:如图,∵过O作OG⊥BE于G,OH⊥BC于H,
∴BH=1
2BC=
1
2
×8=4,BG=
1
2
BE,
∵BE=CE,∠EBC=∠EAC=60°,
∴△BEC是等边三角形,∴BE=BC,∴BH=BG,
∵OB=OB,∴Rt△GBO≌Rt△HBO(HL),
∴∠OBH=∠GBO=
1
2
∠EBC=30°,
设OH=x,则OB=2x,
由勾股定理得:(2x)2=x2+42,x=
43
,
∴OB=2x=83,∴⊙O的半径为83.
点睛:本题是圆的综合题,考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质,难度适中,第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论;第三问作辅助线,利用勾股定理列方程是关键.
7.在平面直角坐标系中,已知点A(2,0),点B(0,),点O(0,0).△AOB绕着O顺时针旋转,得△A'OB',点A、B旋转后的对应点为A',B',记旋转角为α.
(Ⅰ)如图1,A'B'恰好经过点A时,求此时旋转角α的度数,并求出点B'的坐标;(Ⅱ)如图2,若0°<α<90°,设直线AA'和直线BB'交于点P,求证:AA'⊥BB';
(Ⅲ)若0°<α<360°,求(Ⅱ)中的点P纵坐标的最小值(直接写出结果即可).
【答案】(Ⅰ)α=60°,B'(3,);(Ⅱ)见解析;(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为
﹣2.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)作辅助线,先根据点A(2,0),点B(0,),确定∠ABO=30°,证明△AOA'是等边三角形,得旋转角α=60°,证明△COB'是30°的直角三角形,可得B'的坐标;
(Ⅱ)依据旋转的性质可得∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',即可得出∠OBB'=∠OA'A =(180°﹣α),再根据∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,即可得到∠BPA'=90°,即AA'⊥BB';
(Ⅲ)作AB的中点M(1,),连接MP,依据点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,即可得到当PM∥y轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
【详解】
解:(Ⅰ)如图1,过B'作B'C⊥x轴于C,
∵OA=2,OB=2,∠AOB=90°,
∴∠ABO=30°,∠BAO=60°,
由旋转得:OA=OA',∠A'=∠BAO=60°,
∴△OAA'是等边三角形,
∴α=∠AOA'=60°,
∵OB=OB'=2,∠COB'=90°﹣60°=30°,
∴B'C=OB’=,
∴OC=3,
∴B'(3,),
(Ⅱ)证明:如图2,∵∠BOB'=∠AOA'=α,OB=OB',OA=OA',
∴∠OBB'=∠OA'A=(180°﹣α),
∵∠BOA'=90°+α,四边形OBPA'的内角和为360°,
∴∠BPA'=360°﹣(180°﹣α)﹣(90°+α)=90°,
即AA'⊥BB';
(Ⅲ)点P纵坐标的最小值为-2.理由是:
如图,作AB的中点M(1,),连接MP,
∵∠APB=90°,
∴点P的轨迹为以点M为圆心,以MP=AB=2为半径的圆,除去点(2,2),
∴当PM⊥x轴时,点P纵坐标的最小值为﹣2.
【点睛】
本题属于几何变换综合题,主要考查了旋转的性质,含30°角的直角三角形的性质,四边形内角和以及圆周角定理的综合运用,解决问题的关键是判断点P的轨迹为以点M为圆心,以MP 为半径的圆.
8.如图①,抛物线y=ax2+bx+c经过点A(﹣2,0)、B(4,0)、C(0,3)三点.
(1)试求抛物线的解析式;
(2)点P 是y 轴上的一个动点,连接PA ,试求5PA+4PC 的最小值;
(3)如图②,若直线l 经过点T (﹣4,0),Q 为直线l 上的动点,当以A 、B 、Q 为顶点所作的直角三角形有且仅有三个时,试求直线l 的解析式. 【答案】(1)233
384
y x x =-++;(2)5PA+4PC 的最小值为18;(3)直线l 的解析式为3
34
y x =
+或3
34
y x =--.
【解析】 【分析】
(1)设出交点式,代入C 点计算即可 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ,易证△CDP ∽△COB ,得到比例式PC PD BC OB =,得到PD=4
5
PC ,所以5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ),当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小,利用等面积法求出AE=
18
5
,即最小值为18 (3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆, 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,所以只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90°,即∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q ,∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个;此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ,利用cos ∠QFT 求出QG ,分出情况Q 在x 轴上方和x 轴下方时,分别代入直接l 得到解析式即可 【详解】
解:(1)∵抛物线与x 轴交点为A (﹣2,0)、B (4,0) ∴y =a (x+2)(x ﹣4) 把点C (0,3)代入得:﹣8a =3 ∴a =﹣
38
∴抛物线解析式为y =﹣
38(x+2)(x ﹣4)=﹣38x 2+34
x+3 (2)连接AC 、BC ,过点A 作AE ⊥BC 于点E ,过点P 作PD ⊥BC 于点D ∴∠CDP =∠COB =90°
∵∠DCP =∠OCB ∴△CDP ∽△COB ∴
PC PD
BC OB
= ∵B (4,0),C (0,3)
∴OB
=4,OC =3,BC ∴PD =
45
PC ∴5PA+4PC =5(PA+
4
5
PC )=5(PA+PD ) ∴当点A 、P 、D 在同一直线上时,5PA+4PC =5(PA+PD )=5AE 最小 ∵A (﹣2,0),OC ⊥AB ,AE ⊥BC ∴S △ABC =12AB?OC =1
2
BC?AE ∴AE =
6318
55
AB OC BC ?== ∴5AE =18
∴5PA+4PC 的最小值为18.
(3)取AB 中点F ,以F 为圆心、FA 的长为半径画圆 当∠BAQ =90°或∠ABQ =90°时,即AQ 或BQ 垂直x 轴,
∴只要直线l 不垂直x 轴则一定找到两个满足的点Q 使∠BAQ =90°或∠ABQ =90° ∴∠AQB =90°时,只有一个满足条件的点Q
∵当Q 在⊙F 上运动时(不与A 、B 重合),∠AQB =90° ∴直线l 与⊙F 相切于点Q 时,满足∠AQB =90°的点Q 只有一个 此时,连接FQ ,过点Q 作QG ⊥x 轴于点G ∴∠FQT =90°
∵F 为A (﹣2,0)、B (4,0)的中点 ∴F (1,0),FQ =FA =3 ∵T (﹣4,0) ∴TF =5,cos ∠QFT =
3
5
FQ TF = ∵Rt △FGQ 中,cos ∠QFT =
3
5
FG FQ = ∴FG =
35FQ =95
∴x Q =1﹣9455=-,QG 125==
①若点Q 在x 轴上方,则Q (412
55
-,)
设直线l解析式为:y=kx+b
∴
40 412 55 k b
k b
-+
=
?
?
?
-+=
??
解得:
3
4
3
k
b
?
=
?
?
?=
?
∴直线l:33
4
y x
=+
②若点Q在x轴下方,则Q(
412
55
--,)
∴直线l:33
4
y x
=--
综上所述,直线l的解析式为
3
3
4
y x
=+或
3
3
4
y x
=--
【点睛】
本题是二次函数与圆的综合题,同时涉及到三角函数、勾股定理等知识点,综合度比较高,需要很强的综合能力,第三问能够找到满足条件的Q点是关键,同时不要忘记需要分情况讨论
9.如图,已知,,
BAC AB AC O
?=为ABC
?外心,D为O上一点,BD与AC的交点为E,且2·
BC AC CE
=.
①求证:CD CB
=;
②若0
30
A
∠=,且O的半径为33I为BCD
?内心,求OI的长.
【答案】①证明见解析;②3【解析】
【分析】
①先求出BC CE
AC BC
=,然后求出△BCE和△ACB相似,根据相似三角形对应角相等可得
∠A=∠CBE,再根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角相等可得∠A=∠D,然后求出
∠D=∠CBE,然后根据等角对等边即可得证;
②连接OB、OC,根据在同圆或等圆中,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍求出
∠BOC=60°,然后判定△OBC是等边三角形,再根据等腰三角形三线合一的性质以及三角形的内心的性质可得OC经过点I,设OC与BD相交于点F,然后求出CF,再根据I是三角形的内心,利用三角形的面积求出IF,然后求出CI,最后根据OI=OC﹣CI计算即可得解.【详解】
①∵BC2=AC?CE,∴BC CE AC BC
=.
∵∠BCE=∠ECB,∴△BCE∽△ACB,∴∠CBE=∠A.
∵∠A=∠D,∴∠D=∠CBE,∴CD=CB;
②连接OB、OC.
∵∠A=30°,∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°.
∵OB=OC,∴△OBC是等边三角形.
∵CD=CB,I是△BCD的内心,∴OC经过点I,设OC与BD相交于点F,则
CF=BC×sin30°
1
2
=BC,BF=BC?cos30°3
=,所以,BD=2BF=2
3
BC3
=,设△BCD
内切圆的半径为r,则S△BCD
1
2
=BD?CF
1
2
=(BD+CD+BC)?r,即
1
2
3?
1
2
BC
1
2
=
3+BC+BC)?r,解得:r
3
223
=
+
()
233
-
=,即IF
233
-
=,所以,
CI=CF﹣IF
1
2
=BC233
-
BC=(23
-BC,OI=OC﹣CI=BC﹣(23
-BC=31)
BC.
∵⊙O的半径为33∴BC=33∴OI=31)(33
+33﹣
3323-=.
【点睛】
本题是圆的综合题,主要考查了相似三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质,圆周角定理,等边三角形的判定与性质,三角形的内心的性质,(2)作辅助线构造出等边三角形并证明得到OC 经过△BCD 的内心I 是解题的关键.
10.在△ABC 中,0090,60ACB BAC ∠=∠=,AC=2,P 为△ABC 所在平面内一点,分别连PA,PB ,PC .
(1)如图1,已知,APB BPC APC ∠=∠=∠,以A 为旋转中心,将APB ?顺时针旋转60度,得到AMN ?.
①请画出图形,并求证:C 、P 、M 、N 四点在同一条直线上; ②求PA+PB+PC 的值.
(2)如图2,如果点P 满足090BPC ∠=,设Q 为AB 边中点,求PQ 的取值范围.
【答案】(1)①详见解析;②7;(231312PQ PQ ≤≤≠且; 【解析】
【分析】
(1)①欲证明C、P、M、N四点在同一条直线上,只要证明∠APC+∠APM=180°,
∠AMN+∠AMP=180°即可;
②只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN,在Rt△CBN中,利用勾股定理求出NC即可;(2)如图2中,由∠BPC=90°,推出点P在以BC为直径的圆上(P不与B、C重合),设BC的中点为O,作直线OQ交⊙O与P和P′,可得PQ的最小值为3-1,PQ的最大值为3+1,PQ≠2,由此即可解决问题;
【详解】
(1)①证明:如图,
∵△APB≌△AMN,△APM是等边三角形,
∴∠APM=∠APM=60°,
∵∠APB=∠BPC=∠APC=120°,
∴∠APB=∠BPC=∠APC=∠AMN=120°,
∴∠APC+∠APM=180°,∠AMN+∠AMP=180°,
∴C、P、M、N四点在同一条直线上;
②解:连接BN,易得ΔABN是等边三角形
∴∠ABN=60°,∵∠ABC=30°,
∴∠NBC=90°,
∵AC=2,
∴AB=BN=4,3
∵PA=PM,PB=MN,
∴PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN,
在Rt△CBN中,22
+=
BC BN27
∴7
(2) 如图2中,
∵∠BPC=90°,
∴点P在以BC为直径的圆上(P不与B、C重合),
设BC的中点为O,作直线OQ交⊙O与P和P′,
可得PQ3-1,PQ3+1,PQ≠2,
∴33+1且PQ≠2.
∴≤≤≠
PQ31PQ31PQ2
的取值范围是且
【点睛】
本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识,解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线,构造全等三角形解决问题,学会利用辅助圆解决问题,属于中考压轴题.
中考数学易错题专题训练-二次函数练习题及答案
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
中考数学易错题题目(经典)
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
历年中考数学易错题汇编-旋转练习题及答案
一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.(1)发现:如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空: 当点A位于时,线段AC的长取得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示) (2)应用:点A为线段BC外一动点,且BC=4,AB=1,如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接CD,BE. ①请找出图中与BE相等的线段,并说明理由;②直接写出线段BE长的最大值. (3)拓展:如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(6,0),点P 为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标. 【答案】(1)CB的延长线上, a+b;(2)①CD=BE,理由见解析;②BE长的最大值为5;(3)满足条件的点P坐标(222)或(222),AM的最大值为2+4. 【解析】 【分析】 (1)根据点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,即可得到结论;(2) ①根据已知条件易证△CAD≌△EAB,根据全等三角形的性质即可得CD=BE;②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值,根据(1)中的结论即可得到结果;(3)连接BM,将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN,连接AN,得到△APN是等腰直角三角形,根据全等三角形的性质得到PN=PA=2,BN=AM,根据当N在线段BA的延长线时,线段BN取得最大值,即可得到最大值为2+4;如图2,过P作PE⊥x轴于E,根据等腰直角三角形的性质即可求得点P的坐标.如图3中,根据对称性可知当点P在第四象限时也满足条件,由此求得符合条件的点P另一个的坐标. 【详解】 (1)∵点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b, ∴当点A位于CB的延长线上时,线段AC的长取得最大值,且最大值为BC+AB=a+b, 故答案为CB的延长线上,a+b; (2)①CD=BE, 理由:∵△ABD与△ACE是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB,
中考数学易错题精选-锐角三角函数练习题及答案解析
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 一、初一数学代数式解答题压轴题精选(难) 1.任何一个整数N,可以用一个的多项式来表示: N= . 例如:325=3×102+2×10+5. 一个正两位数的个位数字是x,十位数字y. (1)列式表示这个两位数; (2)把这个两位数的十位上的数字与个位上的数字交换位置得到一个新的两位数,试说明新数与原数的和能被11整除. (3)已知是一个正三位数.小明猜想:“ 与的差一定是9的倍数。”请你帮助小明说明理由. (4)在一次游戏中,小明算出、、、与等5个数和是3470,请你求出这个正三位数. 【答案】(1)解:10y+x (2)解:根据题意得:10y+x+10x+y=11(x+y),则所得的数与原数的和能被11整除(3)解:∵ - =100a+10b+c-(100b+10c+a)=99a-90b-9c =9(11a-10b-c),∴ 与的差一定是9的倍数 (4)解:∵ + + + + + =3470+ ∴222(a+b+c)=222×15+140+ ∵100<<1000,∴3570<222(a+b+c)<4470,∴16<a+b+c≤20.尝试发现只有a+b+c=19,此时 =748成立,这个三位数为748. 【解析】【分析】(1)由已知一个正两位数的个位数字是x,十位数字y ,因此这个两位数是:十位上的数字×10+个位数的数字。 (2)根据题意将新的两位数和原两位数相加,再化简,即可得出结果。 (3)分别表示出两个三位数,再求出它们的差,就可得出它们的差是否为9的倍数。(4)根据题意求出a+b+c的取值范围,再代入数据进行验证即可。 2.|a|的几何意义是数轴上表示数a的点与原点O的距离,例如:|3|=|3﹣0|,即|3﹣0|表示3、0在数轴上对应两点之间的距离.一般地,点A、B在数轴上分别表示数a、b,那么A、B之间的距离可表示为|a﹣b|,解决下面问题: (1)数轴上表示﹣1和2的两点之间的距离是________;数轴上P、Q两点的距离为6,点P表示的数是2,则点Q表示的数是________; (2)点A在数轴上表示数为x,点B、C在数轴上表示的数分别为多项式2m2n+mn﹣2的常数项和次数.________ ①若B、C两点分别以3个单位长度/秒和2个单位长度/秒的速度同时向右运动t秒.当OC =2OB时,求t的值;________ ②用含x的绝对值的式子表示点A到点B、点A到点C的距离之和为________,直接写出 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,已知抛物线y=﹣x2+9的顶点为A,曲线DE是双曲线y= (3≤x≤12)的一部分,记作G1,且D(3,m)、E(12,m﹣3),将抛物线y=﹣x2+9水平向右移动a个单位,得到抛物线G2. (1)求双曲线的解析式; (2)设抛物线y=﹣x2+9与x轴的交点为B、C,且B在C的左侧,则线段BD的长为________; (3)点(6,n)为G1与G2的交点坐标,求a的值. (4)解:在移动过程中,若G1与G2有两个交点,设G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点,若MN<,直接写出a的取值范围. 【答案】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得,解得, 所以双曲线的解析式为y= ; (2)2 (3)解:把(6,n)代入y= 得6n=12,解得n=2,即交点坐标为(6,2), 抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把(6,2)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(6﹣a)2+9=2,解得a=6± , 即a的值为6± ; (4)抛物线G2的解析式为y=﹣(x﹣a)2+9, 把D(3,4)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(3﹣a)2+9=4,解得a=3﹣或a=3+ ; 把E(12,1)代入y=﹣(x﹣a)2+9得﹣(12﹣a)2+9=1,解得a=12﹣2 或a=12+2 ; ∵G1与G2有两个交点, ∴3+ ≤a≤12﹣2 , 设直线DE的解析式为y=px+q, 把D(3,4),E(12,1)代入得,解得, ∴直线DE的解析式为y=﹣ x+5, ∵G2的对称轴分别交线段DE和G1于M、N两点, ∴M(a,﹣ a+5),N(a,), ∵MN<, ∴﹣ a+5﹣<, 整理得a2﹣13a+36>0,即(a﹣4)(a﹣9)>0, ∴a<4或a>9, ∴a的取值范围为9<a≤12﹣2 . 【解析】【解答】解:(2)当y=0时,﹣x2+9=0,解得x1=﹣3,x2=3,则B(﹣3,0),而D(3,4), 所以BE= =2 . 故答案为2 ; 【分析】(1)把D(3,m)、E(12,m﹣3)代入y= 得关于k、m的方程组,然后解方程组求出m、k,即可得到反比例函数解析式和D、E点坐标;(2)先解方程﹣x2+9=0得到B(﹣3,0),而D(3,4),然后利用两点间的距离公式计算DE的长;(3)先利用反比例函数图象上点的坐标特征确定交点坐标为(6,2),然后把(6,2)代入y=﹣(x ﹣a)2+9得a的值;(4)分别把D点和E点坐标代入y=﹣(x﹣a)2+9得a的值,则利用图象和G1与G2有两个交点可得到3+ ≤a≤12﹣2 ,再利用待定系数法求出直线DE的 解析式为y=﹣ x+5,则M(a,﹣ a+5),N(a,),于是利用MN<得到﹣ a+5﹣<,然后解此不等式得到a<4或a>9,最后确定满足条件的a的取值范围. 2.如图直角坐标系中,矩形ABCD的边BC在x轴上,点B,D的坐标分别为B(1,0),D(3,3). 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b七年级数学代数式易错题(Word版 含答案)
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