【三维设计】2014届高考数学一轮复习 (基础知识+高频考点+解题训练)变化率与导数、导数的计算教学案

第十一节变化率与导数、导数的计算

[知识能否忆起]

一、导数的概念

1．函数y＝f(x)在x＝x0处的导数

(1)定义：

称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率

lim Δx→0f x0＋Δx－f x0

Δx

＝lim

Δx→0

Δy

Δx

为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)

或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim

Δx→0Δy

Δx

＝lim

Δx→0

f x0＋Δx－f x0

Δx

(2)几何意义：

函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．

2．函数f(x)的导函数

称函数f′(x)＝lim

Δx→0f x＋Δx－f x

Δx

为f(x)的导函数．

二、基本初等函数的导数公式

三、导数的运算法则

1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.??

??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2

(g (x )≠0)．

(理)4.复合函数的导数

复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝

y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x

，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2e

D ．e 2

解析：选C ∵f ′(x )＝e x

＋x e x

，∴f ′(1)＝2e.

2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.1

D ．－12

解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1

×2＝－1，a

＝2.

3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2

)，则当t ＝2 s

时，它的加速度是( )

A ．14 m/s 2

B ．4 m/s 2

C ．10 m/s 2

D ．－4 m/s 2

解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2

－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝

v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．

4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3

－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________．解析：∵y ′＝3x 2

－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12

－1＝2.

∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0

5．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x

＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则

对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导

法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．

2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别

与联系

(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的

切线，是唯一的一条切线．

(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

典题导入

[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2

； (2)y ＝4x

[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝

f x ＋Δx －f x Δx

＝x ＋Δx 2

－x 2

Δx

＝

x 2＋2x ·Δx ＋Δx 2

－x

Δx

＝2x ＋Δx ，

所以y ′＝lim

Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝

x ＋Δx 2

－4x 2＝－4Δx 2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2

， Δy Δx ＝－4·2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2，

所以lim Δx →0 Δy

Δx ＝lim Δx →0 ?

???

??－4·2x ＋Δx x 2x ＋Δx 2

＝－8x 3.

由题悟法

根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx

＝

f x 0＋Δx －f x 0Δx

；

(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0 Δy

Δx

以题试法

1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2

(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；

(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2

，

∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2

－(8－3×12

)＝－6Δt －3(Δt )2

，

v ＝

Δs

Δt

＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度

v ＝li m Δt →0

Δs

Δt

＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度

v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t .

当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.

典题导入

[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2

sin x ；(2)y ＝e x

＋1

e x －1

；

[自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2

cos x . (2)y ′＝e x

＋1′e x －1－e x

＋1e x

－1′

e x －12

＝e x

e x

－1－e x

＋1e x

e x －12

＝－2e

e x －12

则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝2

2x －5

，

即y ′＝2

2x －5

由题悟法

求导时应注意：

(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．

(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．

以题试法

2．求下列函数的导数．

(1)y ＝e x

·ln x ；(2)y ＝x ?

??x 2＋1x ＋1x 3；

解：(1)y ′＝(e x

·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x

·1x

＝e x ? ??

??ln x ＋1x .

(2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2

－2x

典题导入

[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3

＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )

A ．－9

B ．－3

C ．9

D ．15

(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2

，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )

A ．－14

B ．2

C ．4

D ．－12

[自主解答] (1)y ′＝3x 2

，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.

(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，

∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C

若例3(1)变为：曲线y ＝x 3

＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3

＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 2

又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0

＝3x 2

∴x 3

0＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.

∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.

由题悟法

导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；

(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝

f x 1－f x 0x 1－x 0

＝f ′(x 0)求解．

以题试法

3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－1

2x ＋ln x 相切，则b 的值

为( )

A ．－2

B ．－1

C ．－1

D ．1

解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为

y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.

(2)设切点的坐标为? ????a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点? ????1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b

＝－1.

答案：(1)y ＝4x －3 (2)B

1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2

的导数为( ) A ．2(x 2

－a 2

) B ．2(x 2

＋a 2

) C ．3(x 2

－a 2

)

D ．3(x 2＋a 2

)

解析：选C f ′(x )＝(x －a )2

＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2

－a 2

)．

2．已知物体的运动方程为s ＝t 2

＋3t

(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速

度为( )

A.19

4 B.174 C.15

D.134

解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝13

3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )

A ．y ＝－3x

B ．y ＝－2x

C ．y ＝3x

D ．y ＝2x

解析：选B ∵f (x )＝x 3

＋ax 2

＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2

＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.

∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .

4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点? ????π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于

( )

A ．－1 B.1

2 C ．－2

D ．2

解析：选A ∵y ′＝－sin 2

x －1＋cos x cos x sin 2

x ＝－1－cos x sin 2

x ，∴y ′|x ＝π

＝－1.由条件知1

＝－1，∴a ＝－1.

5．若点P 是曲线y ＝x 2

－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.2

D. 3

解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1

x 0

＝1.

得x 0＝1或x 0＝－1

2(舍)．

∴P 点坐标(1,1)．

∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|

1＋1

＝ 2.

6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )

A ．f (x )＝g (x )

B ．f (x )＝g (x )＝0

C ．f (x )－g (x )为常数函数

D ．f (x )＋g (x )为常数函数

解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．

7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2

＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1

－2f ′(－1)x ＋3，

f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，

∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：8

8．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2

＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．

解析：易知抛物线y ＝12x 2

上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程

为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.

答案：－4

9．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －3

cos x 的图象在点A (x 0，

y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.

解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋3

4sin x ，

则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋3

4sin x 0＝1，

即

32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ?

????x 0－π6＝1.

所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π

3，k ∈Z.

故tan x 0＝tan ? ????2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3.

答案：－ 3

10．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；

(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；

解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′

＝tan x ＋x ·? ??

??sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2

x cos 2

＝tan x ＋x

cos 2x

(2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2

＋12x ＋11.

11．已知函数f (x )＝x －2

，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )

在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．

解：根据题意有

曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a . 所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.

曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．

12．设函数f (x )＝x 3

＋ax 2

－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．

解：f ′(x )＝3x 2

＋2ax －9＝3? ??

??x ＋a 32

－9－a 2

3，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值

－9－a 2

，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行，

即该切线的斜率为－12，所以－9－a 2

3＝－12，

即a 2

＝9，即a ＝±3.

1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，

f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )

A ．0

B ．26

C ．29

D ．212

解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，

∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4

＝(2×4)4

＝(23)4

＝212

2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n

∈N *

，n ≥2)，则f 1? ????π2＋f 2? ????π2＋…＋f 2 012? ??

??π2＝________.

解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，

f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，

以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，

∴f 1? ????π2＋f 2? ????π2＋…＋f 2 012? ????π2＝503f 1? ????π2＋f 2? ????π2＋f 3? ????π2＋f 4? ??

??π2＝0.

答案：0

3．已知函数f (x )＝x 3

－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．

(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .

解：(1)由f (x )＝x 3

－3x 得f ′(x )＝3x 2

－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，

故所求的直线方程为y ＝－2.

(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 2

0－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，

故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2

x 0－1，

所以x 30－3x 0＋2x 0－1

＝3x 2

0－3，

即x 3

0－3x 0＋2＝3(x 2

0－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－1

，

故所求直线的斜率为k ＝3? ????14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－9

4(x －1)，

即9x ＋4y －1＝0.

设函数f (x )＝ax －b

，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；

(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋b

2，

则?????

2a －b 2＝12

，

a ＋

b 4＝7

4，

解得???

a ＝1，

b ＝3.

故f (x )＝x －3

(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3

2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线

方程为y －y 0＝? ??

??1＋3x 20·(x －x 0)，即y －? ????x 0－3x 0＝? ??

??1＋3x 20(x －x 0)．

令x ＝0得y ＝－6x 0

，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为? ??

??0，－6x 0.

令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．

所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12??????

－6x 0|2x 0|＝6.

故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.

高考数学一轮复习重点攻略

2019高考数学一轮复习重点攻略一、高三数学复习，大体可分四个阶段，每一个阶段的复习方法与侧重点都各不相同，要求也层层加深，因此，同学们在每一个阶段都应该有不同的复习方案，采用不同的方法和策略。 1.第一阶段，即第一轮复习，也称知识篇，大致就是高三第一学期。在这一阶段，老师将带领同学们重温高一、高二所学课程，但这绝不只是以前所学知识的简单重复，而是站在更高的角度，对旧知识产生全新认识的重要过程。因为在高一、高二时，老师是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，你学的往往时零碎的、散乱的知识点，而在第一轮复习时，老师的主线索是知识的纵向联系与横向联系，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，侧重点在于各个知识点之间的融会贯通。所以大家在复习过程中应做到：①立足课本，迅速激活已学过的各个知识点。(建议大家在高三前的一个暑假里通读高一、高二教材)②注意所做题目使用知识点覆盖范围的变化，有意识地思考、研究这些知识点在课本中所处的地位和相互之间的联系。注意到老师选题的综合性在不断地加强。③明了课本从前到后的知识结构，将整个知识体系框架化、网络化。能提炼解题所用知识点，并说出其出处。④经常将使用最多的知识点总结起来，研究重点知识所在章节，并了解各章节在课本中的地位和作用。 2.第二轮复习，通常称为方法篇。大约从第二学期开学到四月中旬结束。在这一阶段，老师将以方法、技巧为主线，主要研究数学思想方

法。老师的复习，不再重视知识结构的先后次序，而是以提高同学们解决问题、分析问题的能力为目的，提出、分析、解决问题的思路用配方法、待定系数法、换元法、数形结合、分类讨论等方法解决一类问题、一系列问题。同学们应做到：①主动将有关知识进行必要的拆分、加工重组。找出某个知识点会在一系列题目中出现，某种方法可以解决一类问题。②分析题目时，由原来的注重知识点，渐渐地向探寻解题的思路、方法转变。③从现在开始，解题一定要非常规范，俗语说：不怕难题不得分，就怕每题都扣分，所以大家务必将解题过程写得层次分明，结构完整。④适当选做各地模拟试卷和以往高考题，逐渐弄清高考考查的范围和重点。 3.第三轮复习，大约一个月的时间，也称为策略篇。老师主要讲述选择题的解发、填空题的解法、应用题的解法、探究性命题的解法、综合题的解法、创新性题的解法，教给同学们一些解题的特殊方法，特殊技巧，以提高同学们的解题速度和应对策略为目的。同学们应做到：①解题时，会从多种方法中选择最省时、最省事的方法，力求多方位，多角度的思考问题，逐渐适应高考对减缩思维的要求。②注意自己的解题速度，审题要慢，思维要全，下笔要准，答题要快。③养成在解题过程中分析命题者的意图的习惯，思考命题者是怎样将考查的知识点有机的结合起来的，有那些思想方法被复合在其中，对命题者想要考我什么，我应该会什么，做到心知肚明。 4.最后，就是冲刺阶段，也称为备考篇。在这一阶段，老师会将复习的主动权交给你自己。以前，学习的重点、难点、方法、思路都是以

2020高考数学专题复习----立体几何专题

空间图形的计算与证明一、近几年高考试卷部分立几试题 1、（全国 8）正六棱柱 ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1 底面边长为 1，侧棱长为 2 ，则这个棱柱的侧面对角线 E 1D 与 BC 1 所成的角是（） A 、90° B 、60° C 、45° D 、30° [评注]主要考查正六棱柱的性质，以及异面直线所成角的求法。 2、（全国 18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是 1，而且平面 ABCD 、ABEF 互相垂直，点 M 在 AC 上移动，点 N 在 BF C 上移动，若 CM=NB=a(0

的底面是边长为a的正方形，PB⊥面ABCD。（1）若面PAD与面ABCD所成的二面角为60°，求这个四棱锥的体积；（2）证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD与面 PCD所成的二面角恒大于90°。 [评注]考查线面关系和二面角概念，以及空间想象力和逻辑推理能力。 4、（02全国文22）（一）给出两块面积相同的正三角形纸片，要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型，使它们的全面积都与原三角形面积相等，请设计一种剪拼法，分别用虚线标示在图（1）（2）中，并作简要说明。 (3) (1)(2) （二）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小。（三）如果给出的是一块任意三角形的纸片，如图（3）要求剪拼成一个直三棱柱模型，使它的全面积与给出的三角形面积相等，请设计一种剪拼方法，用虚线标出在图3中，并作简要说明。

2014年上海市高考数学试卷(理科)

上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为_________．二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分

2020高考数学第一轮复习全套讲义

第一章集合与简易逻辑第1课时集合的概念及运算【考点导读】 1. 了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能选择自然语言，图形语言，集合语言描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用． 2. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；了解全集与空集的含义． 3. 理解两个集合的交集与并集的含义，会求两个集合的交集与并集；理解在给定集合中一个子集补集的含义，会求给定子集的补集；能使用文氏图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用． 4. 集合问题常与函数，方程，不等式有关，其中字母系数的函数，方程，不等式要复杂一些，综合性较强，往往渗透数形思想和分类讨论思想．【基础练习】 1. 集合 {(, )0 2,02,,} x y x y x y Z ≤≤≤<∈用列举法表示{ ( , ) , ( 0,． 2.设集合{21,}A x x k k Z ==-∈，{2,}B x x k k Z ==∈，则A B ?=?． 3.已知集合{0,1,2}M =，{2,}N x x a a M ==∈，则集合M N ?=_______． 4.设全集{1,3,5,7,9}I =，集合{1,5,9}A a =-，{5,7}I C A =，则实数a 的值为____8 或2___．【范例解析】例.已知R 为实数集，集合2{320}A x x x =-+≤.若R B C A R ?=， {01R B C A x x ?=<<或23}x <<，求集合B . 分析：先化简集合A ，由R B C A R ?=可以得出A 与B 的关系；最后，由数形结合，利用数轴直观地解决问题. 解：（1） {12}A x x =≤≤，{1R C A x x ∴=<或2}x >.又R B C A R ?=， R A C A R ?=，可得A B ?. {0,2}

高考数学基础知识梳理

高考数学基础知识、常见结论详解一、集合与简易逻辑一、理解集合中的有关概念（1）集合中元素的特征：确定性，互异性，无序性。集合元素的互异性：如：)}lg(,,{xy xy x A =，}|,|,0{y x B ，求A ；（2）集合与元素的关系用符号∈，?表示。（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集。（4）集合的表示法：列举法，描述法，韦恩图。注意：区分集合中元素的形式：如： } 12|{2++==x x y x A ；}12|{2++==x x y y B ；}12|),{(2++==x x y y x C ； }12|{2++==x x x x D ；},,12|),{(2Z y Z x x x y y x E ∈∈++==； }12|)',{(2++==x x y y x F ；},12|{2x y z x x y z G =++== （5）空集是指不含任何元素的集合。（}0{、φ和}{φ的区别；0与三者间的关系）空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。注意：条件为B A ?，在讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。如：}012|{2 =--=x ax x A ，如果φ=+ R A I ，求a 的取值。二、集合间的关系及其运算（1）符号“?∈,”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现点与直线（面）的关系；符号“??,”是表示集合与集合之间关系的，立体几何中的体现面与直线(面)的关系。（2）_}__________{_________ =B A I ；____}__________{_________=B A Y ； _}__________{_________=A C U （3）对于任意集合B A ,，则： ①A B B A Y Y ___；A B B A I I ___；B A B A Y I ___；

高考数学大题练习

高考数学大题 1．（12分）已知向量a =（sin θ，cos θ-2sin θ），b =（1，2）（1）若a ⊥b ，求tan θ的值；（2）若a ∥b ，且θ为第Ⅲ象限角，求sin θ和cos θ的值。 2．(12分)在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，且AC=BC=BD=2AE ，M 是AB 的中点. (I)求证：CM ⊥EM： (Ⅱ)求DE 与平面EMC 所成角的正切值. 3．（13分）某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训.已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响. (Ⅰ)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率； (Ⅱ)任选3名下岗人员，求这3人中至少有2人参加过培训的概率. 4．（12分）在△ABC 中，∠A ．∠B ．∠C 所对的边分别为a ．b ．c 。若B A cos cos =a b 且sinC=cosA （1）求角A ．B ．C 的大小；（2）设函数f(x)=sin （2x+A ）+cos （2x- 2C ）,求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离。 5．（13分）已知函数f(x)=x+x a 的定义域为（0，+∞）且f(2)=2+22，设点P 是函数图象上的任意一点，过点P 分别作直线y=x 和y 轴的垂线，垂足分别为M ，N. （1）求a 的值；（2）问：|PM|·|PN|是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由：（3）设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值。 6．（13分）设函数f(x)=p(x-x 1)-2lnx,g(x)=x e 2(p 是实数，e 为自然对数的底数) （1）若f(x)在其定义域内为单调函数，求p 的取值范围；（2）若直线l 与函数f(x),g(x)的图象都相切，且与函数f(x)的图象相切于点（1，0），求p 的值；（3）若在[1，e]上至少存在一点x 0，使得f(x 0)＞g(x 0)成立，求p 的取值范围.

2014年高考数学试题(江苏卷)及参考答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学Ⅰ 参考公式：圆柱的侧面积公式：cl S =圆柱侧，其中c 是圆柱底面的周长，l 为母线长. 圆柱的体积公式：Sh V =圆柱, 其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 已知集合A ={4,3,1,2--}，}3,2,1{-=B ，则=B A ▲ . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 ▲ . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 ▲ . 4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2 个数的乘积为6的概率是 ▲ . 5. 已知函数x y cos =与)2sin(?+=x y (0≤π?<),它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 ▲ . 6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 ▲ 株树木的底部周长小于100cm. 开始 0←n 1+←n n 202>n 输出n 结束（第3题） N Y 组距频率 100 80 90 110 120 130 0.010 0.015 0.020 0.025 0.030 底部周长/cm （第6题）注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）。本卷满分为160分。考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置。 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。

高考数学常用基础知识点

高考数学常用知识点一．集合函数 1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==. 2. U U A B A A B B A B C B C A =?=????U A C B ?=Φ U C A B R ?=. 3.若集合A 中有n )(N n ∈个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为n 2，所有非空真子集的个数是22-n 。 4. 二次函数c bx ax y ++=2 的图象的对称轴方程是a b x 2- =，顶点坐标是??? ? ??--a b ac a b 4422，。二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2 ()(0)f x ax bx c a =++≠; ② 顶点式 2()()(0) f x a x h k a =-+≠;③两点式 12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么 []1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()() 0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数； []1212()()()0x x f x f x --'x f ，则)(x f 为增函数；如果 0)(<'x f ，则)(x f 为减函数. 6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=.②若函数()y f p =的图象与函数 ()z f q =对称则其对称轴为x=2 p q + 7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b x m +=对称.③函数)(x f y =和)(1 x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m n a =（0,,a m n N * >∈，且1n >）. 1m n m n a a -=（0,,a m n N * >∈，且1n >）. 9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =?=>≠>.