2020学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期期中考试数学(理)试题(Word版)

2020学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期期中考试

数 学

一．选择题。(每题5分)

1．点P(a ，b ，c)到坐标平面xOy 的距离是( ) A.

a 2＋

b 2

B ．|a|

C ．|b|

D ．|c|

2．过两点)3,2(),,4(-B y A 的直线的倾斜角为 45，则=y （ ） A ．2

3

-

B ．

2

3

C ．1-

D ． 1

3.直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b=（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C.-2或-12 D.2或12

4.已知m ，n 为两条不同的直线， α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是( ) A. βαββαα////,//,,???n m n m B. n m n m //,,//???βαβα C. αα//,n n m m ?⊥⊥ D. αα⊥?⊥m n m n ,//

5.等差数列{}n a 中，14739a a a ++=，36927a a a ++=，则数列{}n a 的前9项的和S 9等于（ ） A ．99

B ． 66

C ．144

D ．297

6.直线(a ＋2)x ＋(1－a)y －3＝0与(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直，则a 等于( ) A ．－1 B ．1 C ．±1 D ．－3

2

7.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形区域内随机爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1的地方的概率为（ ） A ．

B ．1﹣

C ．1﹣

D ．1﹣

8、一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示， 则该几何体的体积为（ ）

A ． 9

B ． 10

C ． 11

D ． 12 9.已知，，，则的取值范围是( ) A ． B ． C ． D ．

10.在正四面体ABCD 中，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF 与AC 所成角为( ) A.90° B.60° C.45° D.30°

11．已知Q P ,分别是直线02:=--y x l 和圆1:22=+y x C 上的动点，圆C 与x 轴正半轴交于

点)0,1(A ，则PQ PA +的最小值为（ ） A ．15- B ． 2 C ．

2 D ．

12

10

2-+ 12. 设点M(x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是( )

A. [－1，1]

B. ???????

?－12，12 C. [－

2，

2] D. ?

??????

?－22，22 二．解答题。（每空5分）

13.若,x y 满足约束条件0200x y x y y -≥??

+-≤??≥?

，则34z x y =-的最小值为__________.

14.若曲线21x y -=与直线b x y +=始终有两个交点，则b 的取值范围是________． 15.三棱锥P ABC -中， 2,22,23PA AB BC PB AC PC ======则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为__________.

16.如图，正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F 分别为棱1DD ，AB 上的点.已知下列判断：

①1

AC 平面1B EF ；

②1B EF 在侧面11BCC B 上的正投影是面积为定值的三角形； ③在平面1111A B C D 内总存在与平面1B EF 平行的直线； ④平面1B EF 与平面ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点E 的位置有关，与点F 的位置无关。其中正确判断的有 . 三．解答题。

17.（10分）已知圆22x y +=9内有一点P(-1,2),AB 为过点P 的弦且倾斜角为θ. (1)若135θ=?，求弦AB 的长;

(2)当弦AB 被点P 平分时,求出直线AB 的方程.

18.（12分）在等差数列{}n a 中，31=a ，其前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的各项均为正数，11=b ，公比为q ，且1222=+S b ，2

2

b S q =． （1）求n a 与n b ； （2）设数列{}n

c 满足n

n S c 1

=，求{}n c 的前n 项和n T ．

19.（12分）已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

23

a ，如图．

(1)求证：MN ∥面BB 1C 1C ； (2)求MN 的长．

20.（12分）在△ABC 中，D 为BC 上一点，AD=CD ，BA=7，BC=8。 (1)若B=60°，求△ABC 外接圆的半径R ； (2)设，若14

13

cos =

θ，求△ADC 面积。

21.（12分）如图，在三棱锥中，

，

，为

的中点，且

为正三角形.

（I ）求证：平面

；

（II ）若，求二面角

的余弦值.

22. （12分）已知直线l ：，半径为2的圆C 与

l

相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的上方

求圆C 的方程； 过点

的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在x 轴正半轴上是否存在点N ，使得x 轴平分

？

若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

高二理数答案

一、选择题

1-5 DCDDA 6-10 CDCDC 11-12 AA 二、填空题

13.-1 14.[)

21， 15. π12 16.

三．解答题

17.(1)解: 设A(x1,y1),B(x2,y2), 依题意:直线AB 的斜率为-1

所以直线AB 的方程为x+y-1=0,联立直线方程与圆的方程得: x 2-x-4=0,则

x1+x2= - 1 , x1x2= - 4由弦长公式得AB=

(2)设直线AB 的斜率为k. 则直线AB 的方程为y-2=k(x+1) ; 因为P 为AB 的中点,则OP 丄AB

由斜率公式易求得直线OP 斜率为-2，则-2k=-1，k= 所以，直线AB 的方程为：x-2y+5=0 18.解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，

因为??

???==+,

,122222b S q S b 所以????

?+==++．，q d q d q 6126解得 3=q 或

4

-=q （舍），3=d ．

故33(1)3n a n n =+-= ，13-=n n b ．

(Ⅱ）因为2)

33(n n S n +=

，所以n c =)111(32)33(21+-=+=n n n n S n

． 故=n

T 211111212(1)()()(1)32231313(1)n n n n n ??-+-++-=-=??+++?

?

19.解 (1)证明：作NP ⊥AB 于P ，连接MP .NP ∥BC ，

∴AP AB ＝AN AC ＝A 1M A 1B

， ∴MP ∥AA 1∥BB 1， ∴面MPN ∥面BB 1C 1C. MN ?面MPN ， ∴MN ∥面BB 1C 1C.

(2)NP BC ＝AN AC ＝2

3a

2a ＝13，NP ＝1

3a ， 同理MP ＝2

3a.

又MP ∥BB 1，

∴MP ⊥面ABCD ，MP ⊥PN. 在Rt △MPN 中MN ＝

49a 2＋

19a 2＝

53a.

20.(1) 在△ABC 中，由余弦定理得，

所以

，

由正弦定理得

，

所以．

故△ABC 外接圆的半径R 为

．

(2)由AD=CD ，得∠DCA=∠DAC ，

所以． 所以

． 设BD=，则DC=8，DA=8

.

在△ABD 中，， 由余弦定理得，

得

．

所以BD=3，DA=5，

由正弦定理得，即，

所以．

所以4

3

25sin 21=??=?B AB DC S ADC 故． 21.（1）∵为正三角形， ∴，，

又点是的中点， ∴， ∴，

∴，

∴在

中，

， ∴， 又，,

∴平面， ∵

平面,

∴， 又，,

∴

平面

. （2）∵平面

，平面, 平面，

∴

，

∴即为二面角的平面角．

设，则，

在中，，

在中，， 在

，

，

所以13

13

cos ==∠PC AC PCA 22. 解：设圆心，

直线l ：，半径为2的圆C 与l 相切， ，即，

解得：

或

舍去，

则圆C 方程为

；

（2）当直线轴，则x 轴平分，

当AB 的斜率为k 时，则AB 的方程为y=k(x-1) 设A ()11,y x ，B ()22,y x

又()???=+-=4

12

2y x x k y 得()04212

222=-+-+k x k x k 222112k k x x +=+，2

22114

k k x x +-= 若x 轴平分，则

，即，

，

整理得：，即

，

解得：， 当点，能使得

总成立．