六年级上册数学培优试题

一、培优题易错题

1．如图，一只甲虫在5×5的方格（每小格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右走均为正，向下向左走均为负．如果从A到B记为：A→B（+1，+4），从B到A记为：B→A（﹣1，﹣4），其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．

（1）图中A→C（________，________），B→C（________，________），C→________（+1，﹣2）；

（2）若这只甲虫从A处去甲虫P处的行走路线依次为（+2，+2），（+2，﹣1），（﹣2，+3），（﹣1，﹣2），请在图中标出P的位置；

（3）若这只甲虫的行走路线为A→B→C→D，请计算该甲虫走过的路程．

（4）若图中另有两个格点M、N，且M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），则N→A应记为什么？

【答案】（1）+3；+4；+2；0；D

（2）解：P点位置如图1所示；

（3）解：如图2，根据已知条件可知：

A→B表示为：（1，4），B→C记为（2，0）C→D记为（1，﹣2）；

则该甲虫走过的路线长为：1+4+2+1+2=10

（4）解：由M→A（3﹣a，b﹣4），M→N（5﹣a，b﹣2），

所以，5﹣a﹣（3﹣a）=2，b﹣2﹣（b﹣4）=2，

所以，点A向右走2个格点，向上走2个格点到点N，

所以，N→A应记为（﹣2，﹣2）

【解析】【解答】解：（1）图中A→C（+3，+4），B→C（+2，0），C→D（+1，﹣2）；故答案为：（+3，+4），（+2，0），D；

【分析】（1）根据向上向右走均为正，向下向左走均为负确定数据即可；

（2）根据所给的路线确定点的位置即可；

（3）根据表示的路线确定长度相加可得结果；

（4）观察点的变化情况，根据（1）即可确定点走了格数，从而确定结论.

2．用“⊕”定义一种新运算：对于有理数a和b，规定a⊕b=2a+b，如1⊕3=2×1+3=5 （1）求2⊕（﹣2）的值；

（2）若[（）⊕（﹣3）]⊕ =a+4，求a的值．

【答案】（1）解：原式=2×2+（﹣2）=2

（2）解：根据题意可知：

2[（a+1）+（﹣3）]+ =a+4，

2（a﹣2）+ =a+4，

4（a﹣2）+1=2（a+4），

4a﹣8+1=2a+8，

2a=15，

a= .

【解析】【分析】（1）根据定义的新运算，进行计算。（2）根据题目中定义的新运算，写出算式，计算出a的值

3．规定一种新的运算：a★b=a×b-a-b2+1，例如3★（-4）=3×（-4）-3-（-4）2+1．请计算下列各式的值。

（1）2★5；

（2）（-2）★（-5）．

【答案】（1）解：2★5=2×5-2-52+1=-16

（2）解：（-2）★（-5）=（-2）×（-5）-（-2）-（-5）2+1=-12

【解析】【分析】根据新运算定义得到算式，再根据有理数的运算法则计算即可，先算乘方，再算乘除，再算加减，如果有括号先算括号里面的.

4．某检修小组乘一辆汽车沿东西走向的公路检修线路，约定向东走为正，某天从A地出

发到收工时，行走记录如下（单位：km）：+15，﹣2，+5，﹣1，+10，﹣3，﹣2，+12，+4，﹣5，+6

（1）收工时，检修小组在A地的哪一边，距A地多远？

（2）若汽车每千米耗油3升，已知汽车出发时油箱里有180升汽油，问收工前是否需要中途加油？若加，应加多少升？若不加，还剩多少升汽油？

【答案】（1）解：+15+（-2）+5+（-1）+（-10）+（-3）+（-2）+12+4+（-5）+6 =19(km)，答：检修小组在A地东边，距A地19千米

（2）解：（+15+|-2|+5+|-1|+|-10|+|-3|+|-2|+12+4+|-5|+6）×3

=65×3=195(升)，∵195＞180，

∴收工前需要中途加油，

195-180=15(升)，

答：应加15升．

【解析】【分析】（1）先求出这组数的和，如为正则在A的东边，为负则在A的西边，为0则在A处；

（2）先求出这组数的绝对值的和与3的乘积，再与180比较，若大于180就需要中途加油，否则不用.

5．在浓度为的盐水中加入一定量的水，则变为浓度的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐，溶液浓度变为 .求 .

【答案】解：设原来的盐水为100克，加入的水（或盐）重a克。

x=10+0.1a

因为：

x+a=30+0.6a

则：10+0.1a+a=30+0.6a

1.1a-0.6a=30-10

0.5a=20

a=40

所以x=30+0.6×40-40=14

答：x的值是14。

【解析】【分析】设原来的盐水为100克，加入的水或（盐）重a克，根据混合后的浓度是10%列出一个方程，化简这个方程得到x与a的关系。然后根据加入盐后的浓度是30%列出另一个方程，把这个方程中x的值代换成a，解方程求出a的值，进而求出x的值。

6．有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？

【答案】解：假设把水都蒸发掉，则甲溶液盐占盐和酒精的：10%÷（15%+10%）=40%，乙溶液中盐占盐和酒精的：5%÷（45%+5%）=10%；

需要配的溶液盐占盐和酒精的：1÷（1+3）=25%；

则：（0.25-0.1）：（0.4-0.25）=0.15：0.15=1：1，

1千克甲溶液中盐和酒精：1×（15%+10%）=0.25（千克），1千克乙溶液中盐和酒精：1×（5+45%）=0.5（千克）。

答：需要0.5千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍。

【解析】【分析】可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中。（事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设）。这样就能分别求出甲、乙溶液中盐占盐和酒精的百分之几。根据配制成溶液中酒精是盐的3倍先计算出配制后盐占盐和酒精的百分之几。分别求出1千克甲、乙溶液中盐和酒精的质量，然后确定需要加入的乙溶液的重量即可。

7．蓄水池有一条进水管和一条排水管．要灌满一池水，单开进水管需小时；排光一池水，单开排水管需小时．现在池内有半池水，如果按进水，排水，进水，排水……的顺序轮流各开小时．问：多长时间后水池的水刚好排完？（精确到分钟）

【答案】解：小时排水比1小时进水多，

各开3小时后还有的水量：，

再开1小时进水管后的水量：，

拍完这些水需要：（小时）=54（分），

共需要：3×2+1+=（小时）=7小时54分。

答：7小时54分后水池的水刚好排完。

【解析】【分析】进水管每小时进水量为，排水管每小时排水量为，这样就可以计算出1小时排水比进水多的分率。假设两个水管各开了3小时（实际共6小时），用1小时排水比进水多的分率乘3求出排水量，用原有水量减去排水量即可求出剩下的水量。此时

该开进水管了，每小时进水后实际还有剩下的水量加上。然后开排水管，用此时的水量除以每小时的排水量即可求出剩下的水需要的时间。然后把总时间相加即可求出刚好排完的时间。

8．甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多．甲、

乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天?

【答案】解：总工作量：，

三队合做完成总工作量的时间：（天），

乙完成的工作量：，

B工程中丙完成的时间：（天）。

答：丙队与乙队合作了15天。

【解析】【分析】三队是同时开工，同时完成工程，实际就是三队合做完成了两项工程。

设A项工程的工程总量为“1”，那么B工程的工作量为（1+）。用两项工程的工作总量除以三队的工作效率和即可求出三队合作完成的时间。用乙队的工作效率乘合作完成的时间即可求出B工程中乙队做的工作量，剩下的工作量就是由丙来做的，这样用剩下的工作量除以丙的工作效率即可求出丙在B工程工作的时间，也就是丙和乙合作的时间。

9．甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？

【答案】解：三队合作完成两项工程所用的天数为：

（天），

18天里，乙队一直在完成工作，因此乙的工作量为：，

剩下的工作量应该是由丙完成，因此丙在工程上用了：（天）。

答：丙队与乙队合做了15天。

【解析】【分析】这个问题当中有两个不同的工程，三个不同的人，因此显得很难解决，数学中化归的思想很重要，即以一个为基准，把其他的量转化为这个量，然后进行计算，

我们不妨设工程的工作总量为单位“1”，那么工程的工作量就是“”。用两项工程总工作量除以三队的工作效率和即可求出共同完成的时间。用乙的工作效率乘共同完成的时间即可求出乙完成的工作量，那么B工程剩下的工作量就由丙来做，这样用丙帮助乙完成的工作量除以丙的工作效率即可求出丙队帮助乙的时间，也就是丙与乙合做的天数。

10．一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的

倍．上午去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有多少人？

【答案】解：设这批工人有12x人。

上午去甲工地的人数：12x÷（3+1）×3=9x（人），去乙工地的人数：12x-9x=3x（人）；

下午去甲工地的人数：12x×=7x（人），去乙工地的人数：12x-7x=5x（人）；

甲工地：（9x+7x）÷2=8x（人），乙工地：（3x+5x）÷2=4x（人）；

假设甲工地的工作量是3份，那么乙工地的工作量是2份，

8x人一整天完成3份，4x人一整天完成份，

乙工地还剩下：（份），

（人），即8x=24，x=3，

12×3=36（人）。

答：这批工人有36人。

【解析】【分析】“ 下午这批工人中有的人去甲工地”，所以这批工人的人数一定是12的倍数，所以设这批工人有12x人。根据人员分配确定上午去两个工地的人数和下午去两个工地的人数，这样就可以求出甲工地相当于8x人做一整天，乙工地相当于4x人做一整天；根据甲乙两个工地工作量的倍数关系假设甲工地有3份，乙工地的工作量是2份。然后求出乙工地还剩下的工作量，求出甲工地做一整天需要的人数，然后求出x的值，就可以求出工人的总人数。