实变函数期末考试题A
上单调函数的不连续点所成之集的测度等于
+=_________.
)
k
7．设f是[a上的单调函数，则
8．设f是可测集
_________.
[,]
()()()
()a b F b F a L F x dx '-=?
的充要条件是： F (x )是[a ,b ]上的 函数。
二、选择题（本题共8小题，每小题2分，满分16分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号（答题框）内）
1．设{k A } 是一集合列，则下述等式中正确的是 ( )
A.1lim k j k k j k
A A ∞
∞
→∞
===
； B. 1lim k j k k j k
A A ∞
∞
→∞
===
C.1lim k j k k j k
A A ∞
∞
→∞
===
； D. 1lim k j k k j k
A A ∞
∞
→∞
===
。
2．设f (x )是E 上的可测函数，则对任意实数a ，有 ( )
A. E [x ; f (x ) >a ]是开集；
B. E [x ; f (x ) ≥ a ]是闭集；
C. E [x ; f (x ) >a ]是可测集；
D. E [x ; f (x ) = a ]是零测集。
3．下列断言中错误的是 ( )
A. 有理点集为零测集；
B. Cantor 集为零测集；
C. 零测集的子集是零测集；
D. 无穷个零测集的并是零测集。 4．设f (x )为可测集E 上的可测函数，若
()E
f x dx <+∞?
，则下列断言错误的是 ( )
A. f (x )在E 上L-积分存在；
B. f (x )在E 上L-可积；
C. f (x )在E 上未必L-可积；
D. f (x )在E 上.有限。 5．设{}k f 是n
E ?
上的可测函数列，lim ()k k f x →∞
存在，则lim ()k k f x →∞
是 （ ）
A.简单函数；
B.连续函数；
C.可测函数；
D.单调函数。
6．设f 是[,]a b 上有界变差函数，则有 ( )
A. ()f x 连续；
B. ()f x '存在；C ．()f x '.存在； D. ()f x ''存在。 7．设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E
A 是 （ ）
.A 可测集且测度为零； .B 可测集但测度未必为零；
.C 不可测集； .D 以上都不对。
8．设()f x 是E 上的可测函数，则 （ ）
.A ()f x 是E 上的连续函数； .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数； .C ()f x 是E 上的简单函数； .D ()f x 可表示为一列简单函数的极限。
把本题的各答案填写在下表中
三、判断题(本题共10小题，每小题2分，共20分。判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×” )
1．设A
B 为不可数集，则A ，B 中至少有一个为不可数集。 ( )
2. 若A 为可测集，且0=mA ，A 一定是可数集或有限集。 ( )
3．设{}k f 是E 上的可测函数列，则1
sup ()k k f x ≥在E 上可测。 ( )
4．函数f (x )在E 上可测的充要条件是，对于每个实数a ，集合E { f =a }可测。 ( ) 5．任意多个零测集的并集仍是零测度集。 ( ) 6．设f (x )为[a , b ]上的绝对连续，则f (x )在[a , b ]上一致连续。 ( ) 7．零测度集上的任意函数均为可测函数。 ( ) 8．设E 为
的可测子集，0>mE ，则E 一定含有一个区间。 ( )
9．闭集减去闭集仍然是闭集 （ ） 10．若()||x f 可测，则()x f 也可测。 ( )
把本题的各答案填写在下表中
四、证明题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1. 证明：数集(0,1)与实数集对等.
2. 设E 是区间[0,1]内的全体有理点所成的集合，证明*()0m E =。
3. 设f 在E 上可测，g 是E 上的广义实值函数，并且0)(=≠g f mE ，证明g 也是E 上的可测函数。
五、简答题（本题共3小题，每小题4分，满分12分。简答只须答出要点即可） 1．可测集与Borel 集之间的关系是什么
2．几乎处处收敛、基本一致收敛以及依测度收敛的关系如何（可用图示箭头表示）
3．简述Lebesgue单调函数微分定理的内容。
六、计算题（本题共2小题，每小题10分，满分20分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
1. 求
1
22
lim()sin
1
k
kx
R kxdx
k x
→∞+
?。
2. 计算函数
??
?
??=<<-==1,510,10,0)(x x x x x f
在区间]1,0[上的全变差1
0()V f 的值。