2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷(二)数学(解析版)
2021届山东省新高考高考模拟冲关押题卷（二）数学（解析版）
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2－3x ≤0}，则A ∪B ＝( ) A ．[－2,3] B ．[－2,0] C ．[0,3] D ．[－3,3]
2．已知复数z 满足i·z ＝3＋2i(i 是虚数单位)，则z ＝( )
A ．2＋3i
B ．2－3i
C ．－2＋3i
D ．－2－3i
3．已知函数f (x )＝?
???
?
2x ＋12(x ≤0)，x 2－3x －3(x >0)，则f (f (1))＝( )
A ．－5
B ．0
C ．1
D ．2
4．已知函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)?
???ω>0，|φ|<π
2的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递减区间为( )
A.????7π12＋2k π，19π
12＋2k π(k ∈Z ) B.????7π12＋k π，13π
12＋k π(k ∈Z ) C.????π12＋2k π，7π
12＋2k π(k ∈Z ) D.????π12＋k π，7π
12＋k π(k ∈Z ) 5．一组数a 1，a 2，a 3，…，a n 的平均数是x ，方差是s 2，则另一组数2a 1－1，2a 2－1，2a 3－1，…，
2a n －1的平均数和方差分别是( ) A. 2 x ，s 2 B. 2 x －1,2s 2
C. 2 x －1，s 2
D. 2 x －1,2s 2＋22s ＋1
6．2020年春节联欢晚会以“共圆小康梦、欢乐过大年”为主题，突出时代性、人民性、创新性，节
目内容丰富多彩，呈现形式新颖多样．某小区的5个家庭买了8张连号的门票，其中甲家庭需要3张连号的门票，乙家庭需要2张连号的门票，剩余的3张随机分到剩余的3个家庭即可，则这8张门票不同的分配方法的种数为( )
A ．48
B ．72
C ．120
D ．240
7．已知可导函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的x ∈R ，都有f (x )>f ′(x )＋1，且f (0)＝2 020，则不等式f (x )－2 019e x <1的解集为( )
A ．(－∞，0)
B ．(0，＋∞)
C.????－∞，1e
D.???
?1
e ，＋∞ 8．已知双曲线x 2a 2－y
2b
2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 1且垂直于x 轴的直线与该双
曲线的左支交于A ，B 两点，若△ABF 2的周长为24，则当ab 2取得最大值时，该双曲线的焦点到渐近线的距离为( )
A ．1 B. 2 C ．2 D ．2 2
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．
9．已知实数m ，n 满足2m >2n ，则下列不等式恒成立的是( ) A ．cos m B ．若m >0，n >0，则13 log m <13 log n C ．e 3m ＋2>e 3n ＋2 D ．若m >0，n >0，则m >n 10．设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1，a 2 019a 2 020>1， a 2 019－1 a 2 020－1 <0，下列结论正确的是( ) A ．S 2 019 B ．a 2 019a 2 021－1<0 C ．T 2 020是数列{T n }中的最大值 D ．数列{T n }无最大值 11．已知函数f (x )＝2 cos 2x －cos (2x －θ)????0<θ<π2的图象经过点??? ?0，3 2，则( ) A ．点????π12，1是函数f (x )的图象的一个对称中心 B ．函数f (x )的最小正周期是2π C ．函数f (x )的最大值为2 D ．直线x ＝π 3 是y ＝f (x )图象的一条对称轴 12．关于函数f (x )＝2 x ＋ln x ，下列判断正确的是( ) A ．x ＝2是f (x )的极大值点 B ．函数y ＝f (x )－x 有且只有1个零点 C ．存在正实数k ，使得f (x )>kx 成立 D ．对任意两个正实数x 1，x 2，且x 1>x 2，若f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2>4 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．已知向量a ＝(1,22)，|b |＝4，且(a ＋b )·a ＝15，则向量a 与b 的夹角为________． 14．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC ＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为________． 15．2020年，新型冠状病毒引发的疫情牵动着亿万人的心．八方驰援战疫情，众志成城克时难，社会各界支援湖北，共抗新型冠状病毒肺炎．山东某医院的甲、乙、丙、丁、戊5名医生到湖北的A ，B ，C 三个城市支援，若要求每个城市至少安排1名医生，则A 城市恰好只有医生甲去支援的概率为________． 16．已知M (a,4)是抛物线C ：x 2＝2py (p >0)上一点，且位于第一象限，点M 到抛物线C 的焦点F 的距离为6，则a ＝________；若过点P (35，4)向抛物线C 作两条切线，切点分别为A ，B ，则|AF |·|BF |＝________.(本题第一空2分，第二空3分)． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且4S n ＝(a n ＋1)2. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)在①b n ＝1a n a n ＋1；②b n ＝3n · a n ；③b n ＝1 4S n －1 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解．若 ________，求{b n }的前n 项和T n . 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 18．(12分)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .△ABC 的面积为S ，已知4cS ＝(2a －c )(a 2 ＋c 2－b 2)tan C . (1)求角B ； (2)若a ＋c ＝3，a 3 ，求cos 2A . 19．(12分)如图1，在梯形ABCD 中，BC ∥AD ，AD ＝4，BC ＝1，∠ADC ＝45°，梯形的高为1，M 为AD 的中点，以BM 为折痕将△ABM 折起，使点A 到达点N 的位置，且平面NBM ⊥平面BCDM ，连接NC ，ND ，如图2. (1)证明：平面NMC ⊥平面NCD ； (2)求图2中平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值． 20．(12分)到2020年全面建成小康社会，是我们党向人民、向历史作出的庄严承诺．农村贫困人口脱贫是全面建成小康社会最艰巨的任务．习近平总书记提出的“精准扶贫”理论体系，为欠发达地区推进扶贫攻坚、实现与全国同步全面建成小康社会提供了重要的理论依据．各地区政府采用多种渠道进行扶贫投 资开发，其中一项就是引入风险投资基金．甲、乙两家风险投资公司看中一个扶贫项目，要对其进行投资， 甲、乙公司经理决定用掷硬币的方式决定投资金额，已知每次投掷中，硬币出现正面或反面的概率都是1 2 . 由于两家公司规模不同，每次掷硬币中，若出现正面，则甲公司增加投资2万元，乙公司不增加投资；若出现反面，则乙公司增加投资1万元，甲公司不增加投资． (1)求掷硬币3次后，投资资金总和X 的分布列与数学期望； (2)求投资资金总和恰好为100万元的概率． 21．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上一点到两焦点的距离之和为22，且其离心率为2 2 . (1)求椭圆C 的标准方程； (2)如图，已知A ，B 是椭圆C 上的两点，且满足|OA |2＋|OB |2＝3，求△AOB 面积的最大值． 22．(12分)设函数f (x )＝x e x ，g (x )＝a e x －a －1. (1)若函数f (x )图象的一条切线与直线y ＝2e x －1平行，求该切线的方程； (2)若函数f (x )与g (x )的图象在y 轴右边有唯一公共点，证明：2 2. 二 1．答案：A 解析：由题意知，B ＝{x |x 2－3x ≤0}＝{x |0≤x ≤3}，又A ＝{x |－2≤x ≤3}，∴A ∪B ＝{x |－2≤x ≤3}＝[－2,3]．故选A. 2．答案：A 解析：由i·z ＝3＋2i ，得z ＝3＋2i i ＝(3＋2i )(－i )－i 2＝2－3i ，所以z ＝2＋3i.故选A. 3．答案：D 解析：f (1)＝12－3×1－3＝－5，f (－5)＝2×(－5)＋12＝2，故选D. 4．答案：D 解析：通解 由题图知，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π，所以ω＝2.将点????π12，1代入f (x )＝cos (2x ＋φ)，得1＝cos ????2×π12＋φ，得π6＋φ＝2k π，k ∈Z ，则φ＝2k π－π6，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝－π 6，所以f (x )＝cos ????2x －π6.令2k π≤2x －π 6≤2k π＋π，k ∈Z ，得函数f (x )的单调递减区间为????π12＋k π，7π12＋k π(k ∈Z )． 优解 由题图知，函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π，故排除A ，C.又函数f (x )在???? π12，7π12上单调递减，所以函数f (x )＝cos (ωx ＋φ)的单调递减区间为??? ?π12＋k π，7π 12＋k π(k ∈Z )．故选D. 5．答案：B 解析：通解 ∵x ＝1n (a 1＋a 2＋…＋a n )，s 2＝1n [(a 1－x )2＋(a 2－x )2＋…＋(a n －x )2]，∴1 n [(2a 1－1) ＋(2a 2－1)＋…＋(2a n －1)]＝2·1n (a 1＋a 2＋…＋a n )－1＝ 2 x －1，1 n {[(2a 1－1)－( 2 x －1)]2＋[(2 a 2－1)－( 2 x －1)]2＋…＋[(2a n －1)－( 2 x －1)]2}＝2·1 n [(a 1－x )2＋(a 2－x )2＋…＋(a n －x )2]＝2s 2. 优解 由题意知，E (a n )＝x ，D (a n )＝s 2，n ∈N *.根据数学期望与方差公式，得E (2a n －1)＝2E (a n )－1＝2x － －1，D (2a n －1)＝(2)2D (a n )＝2s 2.故选B. 6．答案：C 解析：若甲、乙2个家庭的5张票连号，则有C 12A 4 4＝48种不同的分配方法．若甲、乙2个家庭的5张票不连号，则有A 33A 2 4＝72种不同的分配方法． 综上，这8张门票共有48＋72＝120种不同的分配方法．故选C. 7．答案：B 解析：构造函数g (x )＝f (x )－1e x ，则g ′(x )＝f ′(x )－f (x )＋1e x <0，所以函数g (x )＝f (x )－1 e x 在R 上单调递减．因 为f (0)＝2 020，所以g (0)＝ f (0)－1e 0＝2 019.由f (x )－2 019e x <1，得f (x )－1<2 019e x ，即f (x )－1 e x <2 019，所以得g (x ) 8．答案：D 解析：由题意得，|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝2b 2 a ①，由双曲线的定义，得|AF 2|－|AF 1|＝2a ②，|BF 2|－|BF 1| ＝2a ③，由①②③，得|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋2b 2a .因为△ABF 2的周长为24，即4a ＋4b 2 a ＝24，得 b 2＝6a －a 2， 得ab 2＝6a 2－a 3.令f (a )＝6a 2－a 3(00；当a ∈(4,6)时，f ′(a )<0.所以f (a )在(0,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，所以当a ＝4时，f (a )取得最大值，此时b 2＝6×4－42＝8，得b ＝2 2.取该双曲线的焦点F 2(c,0)，渐近线l ：bx －ay ＝0，则该双曲线的焦点到渐近线的距离d ＝|bc | b 2＋(－a ) 2＝b ＝2 2.故选D. 9．答案：BCD 解析：因为y ＝2x 为R 上的增函数，所以m >n .因为函数y ＝cos x 在R 上有增有减，所以A 中的不等 式不恒成立，A 错误；因为函数y ＝13 log x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当m >0，n >0，m >n 时， 13 log m <13 log n ，故B 正确；因为y ＝e x 在R 上单调递增，所以当m >n 时，e 3m ＋2>e 3n ＋2，故C 正确；因为函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当m >0，n >0，m >n 时，m >n ，故D 正确．故选BCD. 10．答案：AB 解析：0 解析：因为函数f (x )＝2cos 2x －cos (2x －θ)0<θ<π2的图象经过点????0，32，所以3 2 ＝2－cos(－θ)，得cos θ＝12，因为0<θ<π2，所以θ＝π3，所以f (x )＝2cos 2x －cos ????2x －π3＝1＋cos 2x －12cos 2x －32sin 2x ＝12cos 2x －32 sin 2x ＋1＝cos ????2x ＋π3＋1.因为y ＝cos x 图象的对称中心是点? ???k π＋π 2，0(k ∈Z )，所以令????? 2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，y －1＝0，得????? x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，y ＝1， 当k ＝0时，x ＝π12，所以点????π12，1是函数f (x )图象的一个对称中心，所以A 正确；因为函数f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π，所以B 错误；因为－1≤cos ????2x ＋π3≤1，所以f (x )的最大值为2，所以C 正确；因为y ＝cos x 图象的对称轴方程是x ＝k π，k ∈Z ，所以令2x ＋π 3 ＝k π， k ∈Z ，得x ＝k π2－π6，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝π3，所以直线x ＝π 3是函数f (x )图象的一条对称轴，所以D 正确．故 选ACD. 12．答案：BD 解析：A 中，函数的定义域为(0，＋∞)，函数的导数f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2 x 2， ∴(0,2)上，f ′(x )<0，函数单调递减，(2，＋∞)上，f ′(x )>0，函数单调递增， ∴x ＝2是f (x )的极小值点，即A 错误； B 中，y ＝f (x )－x ＝2 x ＋ln x －x ， ∴y ′＝－2x 2＋1 x －1＝－x 2＋x －2x 2<0， 函数在(0，＋∞)上单调递减， 且f (1)－1＝2＋ln 1－1＝1>0，f (2)－2＝1＋ln 2－2＝ln 2－1<0， ∴函数y ＝f (x )－x 有且只有1个零点，即B 正确； C 中，若f (x )>kx ，可得k <2x 2＋ln x x ， 令g (x )＝2x 2＋ln x x ，则g ′(x )＝－4＋x －x ln x x 3， 令h (x )＝－4＋x －x ln x ，则h ′(x )＝－ln x ， ∴在x ∈(0,1)上函数h (x )单调递增， x ∈(1，＋∞)上函数h (x )单调递减， ∴h (x )·h (1)<0，∴g ′(x )<0， ∴g (x )＝2x 2＋ln x x 在(0，＋∞)上函数单调递减，函数无最小值， ∴不存在正实数k ，使得f (x )>kx 恒成立，即C 不正确； D 中，令t ∈(0,2)，则2－t ∈(0,2)，2＋t >2， 令g (t )＝f (2＋t )－f (2－t ) ＝22＋t ＋ln(2＋t )－22－t －ln(2－t ) ＝4t t 2－4＋ln 2＋t 2－t ， 即g ′(t )＝4(t 2－4)－8t 2(t 2－4)2＋2－t 2＋t ·2－t ＋2＋t (2－t )2 ＝－4t 2－16(t 2－4)2＋4 4－t 2＝－8t 2(t 2－4)2<0， ∴g (t )在(0,2)上单调递减， 则g (t ) 13．答案：π 3 解析：∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝15，|a |＝ 1＋(22)2＝3， ∴a ·b ＝6，又|b |＝4， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝1 2 ，又〈a ，b 〉∈[0，π]， 故向量a 与b 的夹角为π 3 . 14．答案：6 4 解析：以点B 为坐标原点，BC ，BB 1所在的直线分别为x 轴、z 轴，以过点B 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系B - xyz ，易得B (0,0,0)，C (2,0,0)，C 1(2,0,2)，A (－1，3，0)，则BC 1→＝(2,0,2)，AC → ＝(3，－3，0)，cos 〈BC 1→，AC → 〉＝BC 1→·AC →|BC 1→|·|AC →| ＝622＋22×32＋(－3)2＝64，所以直线BC 1与直线AC 所成角的余弦值为6 4. 15．答案：7 75 解析：分两步，第一步，把5名医生分成三组，有1,1,3和1,2,2两种分法，当分成1,1,3时，有C 35 ＝10种情况，当分成1,2,2时，有12C 15C 24 ＝15种情况；第二步，把这三组分到三个城市．则共有25A 33＝150种情况．A 城市恰好只有医生甲去支援的情况共有????C 34＋12C 24A 22＝14(种)，因此所求概率P ＝14150＝775 . 16．答案：42 49 解析：由抛物线的定义得4＋p 2 ＝6，解得p ＝4，所以抛物线C 的方程为x 2＝8y ，将(a,4)代入，可得a ＝4 2.易知点P 不在抛物线上，设点A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．又y ′＝1 4 x ，所以抛物线C 在 点A 处的切线方程为y －y 1＝x 1 4 (x －x 1)，将(35，4)代入并结合x 21＝8y 1，得35x 1－4y 1－16＝0，同理得抛物线C 在点B 处的切线方程为35x 2－4y 2－16＝0，于是直线AB 的方程为35x －4y －16＝0.将35x －4y －16＝0代入x 2＝8y ，整理得2y 2－29y ＋32＝0，所以y 1＋y 2＝29 2，y 1y 2＝16，故|AF |·|BF |＝(y 1＋2)·(y 2＋2) ＝y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋4＝49. 17．解析：(1)因为4S n ＝(a n ＋1)2， 所以当n ＝1时，4a 1＝4S 1＝(a 1＋1)2，解得a 1＝1. 当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2， 又4S n ＝(a n ＋1)2， 所以两式相减得4a n ＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2， 可得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0， 因为a n >0，所以a n －a n －1＝2， 所以数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝2n －1， 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)若选条件①， b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1) ＝12? ?? ??12n －1－12n ＋1， 则T n ＝12? ????1－13＋13－15＋15－17＋…＋12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 若选条件②， b n ＝3n ·a n ＝3n ·(2n －1)， 则T n ＝1×3＋3×32＋5×33＋…＋(2n －1)×3n ， 上式两边同时乘3， 可得3T n ＝1×32＋3×33＋5×34＋…＋(2n －1)×3n ＋1， 两式相减得－2T n ＝3＋2×(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)×3n ＋1＝－6＋(2－2n )·3n ＋1， 可得T n ＝(n －1)·3n ＋1＋3. 若选条件③， 由a n ＝2n －1可得S n ＝(1＋2n －1)×n 2 ＝n 2， 所以b n ＝14n 2－1＝1 (2n －1)(2n ＋1) ＝12? ????12n －1－12n ＋1， 故T n ＝12? ? 1－13＋13－15＋15－17 ＋…＋12n －1－ ? ?? 12n ＋1 ＝12? ????1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 18．解析：(1)由4cS ＝(2a －c )(a 2＋c 2－b 2)tan C 可得 4c ×12ab sin C ＝(2a －c )(a 2＋c 2－b 2)sin C cos C ， 易知sin C ≠0，所以b cos C ＝(2a －c )(a 2＋c 2－b 2)2ac ， 由余弦定理可得，b cos C ＝(2a －c )cos B ， 由正弦定理可得，sin B cos C ＝(2sin A －sin C )cos B ， 得sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin A cos B ， sin(B ＋C )＝2sin A cos B . 因为sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ，sin A ≠0， 所以cos B ＝1 2 . 因为0 3 . (2)因为△ABC 外接圆的半径为233，B ＝π 3 ， 所以b ＝2×233×3 2 ＝2. 由正弦定理得a ＝433sin A ，c ＝43 3sin C ， 所以由a ＋c ＝3，得433????sin A ＋sin ????2π3－A ＝3， 整理可得sin ????A ＋π6＝34 . 又a 2， 所以cos ????A ＋π6＝1－????342＝74 ， 所以sin A ＝sin ????A ＋π6－π6 ＝sin ????A ＋π6cos π6－cos ????A ＋π6sin π6 ＝34×32－74×12＝33－78， 故 cos 2A ＝1－2sin 2A ＝ 321－1 16 . 19．解析： (1)如图，在梯形ABCD 中， 过点C 作CH ⊥DM 于点H ，连接CM ， 由题意知，CH ＝1，AM ＝DM ＝1 2AD ＝2. 由∠ADC ＝45°，可得DH ＝1 tan 45°＝1， 则HM ＝DM －DH ＝1， ∴CM ⊥CD ，BC 綉MH . 又BC ＝CH ，CH ⊥MH ， ∴四边形BCHM 为正方形，∴BM ⊥AD . 在四棱锥N - BCDM 中， ∵平面NBM ⊥平面BCDM ， 平面NBM ∩平面BCDM ＝BM ，MN ⊥BM ， ∴NM ⊥平面BCDM . ∵CD ?平面BCDM ， ∴NM ⊥CD . ∵NM ∩CM ＝M ，且NM ，CM ?平面NMC ， ∴CD ⊥平面NMC . 又CD ?平面NCD ， ∴平面NMC ⊥平面NCD . (2)在四棱锥N - BCDM 中，以M 为原点，MB ，MD ，MN 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系M - xyz ， 可得M (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,2,0)，N (0,0,2)． ∵平面NBM ⊥平面BCDM ， 平面NBM ∩平面BCDM ＝BM ，BM ⊥MD ， ∴MD ⊥平面NBM ， ∴MD → ＝(0,2,0)是平面NBM 的一个法向量． 设平面NCD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )， ∵NC →＝(1,1，－2)，ND → ＝(0,2，－2)， ∴????? m ·NC →＝0，m · ND →＝0，即????? x ＋y －2z ＝0，2y －2z ＝0， 取y ＝1，则z ＝1，x ＝1，∴m ＝(1,1,1)． ∴cos 〈MD → ，m 〉＝MD →·m |MD → |·|m | ＝33， ∴平面NBM 与平面NCD 所成锐二面角的余弦值为 3 3 . 20．解析：(1)由题意可知，随机变量X 的所有可能取值为3,4,5,6， 则P (X ＝3)＝????123＝1 8， P (X ＝4)＝C 13×????123＝38， P (X ＝5)＝C 23 ×????123＝38， P (X ＝6)＝????123＝1 8. ∴随机变量X 的分布列为 ∴随机变量X 的数学期望 E (X )＝3×18＋4×38＋5×38＋6×18＝9 2. (2)设投资资金总和恰好为n 万元的概率为P n . 则投资资金总和恰好为(n ＋1)万元的概率为 P n ＋1＝12P n ＋1 2 P n －1. ∴P n ＋1－P n ＝－12P n ＋1 2 P n －1 ＝－1 2 (P n －P n －1)(n ≥1)． ∵P 0＝1，P 1＝12，∴P 2＝12P 1＋12P 0＝3 4 . ∴数列{P n ＋1－P n }是首项为P 2－P 1＝14，公比为－1 2 的等比数列． ∴P n ＋1－P n ＝14·????－12n －1＝????－12n ＋1 . ∴P 100＝P 1＋(P 2－P 1)＋(P 3－P 2)＋…＋(P 99－P 98)＋(P 100－P 99) ＝1 2＋????－122＋????－123＋…＋????－12100 ＝12＋14????1－????－12991－??? ?－12＝13????2＋12100， ∴投资资金总和恰好为100万元的概率是1 3????2＋12100. 21．解析：(1)由椭圆的定义得2a ＝22，所以a ＝2， 又离心率e ＝c a ＝2 2 ，所以c ＝1， 所以b ＝a 2－c 2＝1， 所以椭圆C 的标准方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ， 代入椭圆方程得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1x 2＝2m 2－21＋2k 2 ， 由|OA |2＋|OB |2＝3，得x 21＋y 21＋x 22＋y 2 2＝3， 得x 21＋x 22＝2， 所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝16k 2m 2－2(2m 2－2)(1＋2k 2)(1＋2k 2)2＝2， 即4k 2m 2－4k 4－2m 2＋1＝0， 即(2k 2－1)(2m 2－2k 2－1)＝0， 所以2k 2－1＝0或2m 2－(2k 2＋1)＝0. 原点O 到直线AB 的距离为|m | 1＋k 2， 当2k 2－1＝0时，x 1x 2＝m 2－1， 此时S △AOB ＝12·|m | 1＋k 2 ·|AB | ＝12 ·|m |1＋k 2·1＋k 2|x 1－x 2| ＝|m |2 4－2m 2＝ 22 m 2(2－m 2) ≤22·m 2＋(2－m 2)2＝22 ， 当且仅当m 2＝2－m 2，即m 2＝1时等号成立． 当2m 2－(2k 2＋1)＝0时，x 1x 2＝1－1 m 2， 此时S △AOB ＝|m |2 2m 2 ＝2 2. 当直线AB 的斜率不存在时， 设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)， 由|OA |2＋|OB |2＝3，得x 20＋y 20 ＝32 ， 又x 202＋y 20＝1，所以y 20＝12，x 2 0＝1. 不妨取x 0＝1，y 0＝22，则S △AOB ＝2 2 . 综上可知，△AOB 面积的最大值是2 2. 22．解析：(1)设切点坐标为(t ，t e t )， ∵f ′(x )＝(x ＋1)e x ， ∴切线斜率k (t )＝(t ＋1)e t ， 由平行得k (t )＝(t ＋1)e t ＝2e. ∵k ′(t )＝(t ＋2)e t ， ∴当t ≥－2时，k ′(t )≥0，k (t )单调递增； 当t <－2时，k ′(t )<0，k (t )单调递减． 又当t <－2时，k (t )＝(t ＋1)e t <0， ∴当k (t )＝2e 时，t ＝1， ∴切点的坐标为(1，e)， ∴该切线的方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝2e x －e. (2)由已知可得x e x ＝a e x －a －1在x ∈(0，＋∞)上有唯一解， 即a ＝x ＋x ＋1 e x －1在x ∈(0，＋∞)上有唯一解． 令φ(x )＝x ＋x ＋1 e x －1(x ∈(0，＋∞))， 则φ′(x )＝e x (e x －x －2) (e x －1)2 ， 令h (x )＝e x －x －2，则h ′(x )＝e x －1， 当x ∈(0，＋∞)时，h ′(x )>0， ∴函数h (x )单调递增， 又h (1)＝e －3<0， h ????32＝e 3－32－2>32e －72＝3e －72 >0， ∴h (x )在(0，＋∞)上存在唯一零点x 0，且x 0∈????1，3 2，e x 0＝x 0＋2. 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )<0， 当x ∈(x 0，＋∞)时，φ′(x )>0， ∴φ(x )min ＝φ(x 0)＝x 0＋ x 0＋1 e x 0－1 ＝x 0＋x 0＋1(x 0＋2)－1 ＝x 0＋1∈????2，5 2. 又a ＝x ＋x ＋1 e x －1在x ∈(0，＋∞)上有唯一解， 当x →0＋时，φ(x )→＋∞， 当x →＋∞时，φ(x )→＋∞，∴a ＝φ(x )min ， ∴2 2. 1,0S 2 019，A 正确；a 2 019a 2 021－1＝a 22 020－1<0，故B 正确；T 2 019是数列{T n }中的最大值，C 、D 错误，故选AB. 11．答案：ACD