2011、2012北京中考各区模拟试卷几何综合汇编

几何综合

1.已知：如图，点P是线段AB上的动点，分别以AP、BP为边向线段AB的同侧作正△APC

和正△BPD，AD和BC交于点M.

（1）当△APC和△BPD面积之和最小时，直接写出AP : PB的值和∠AMC的度数；（2）将点P在线段AB上随意固定，再把△BPD按顺时针方向绕点P旋转一个角度α，当α<60°时，旋转过程中，∠AMC的度数是否发生变化？证明你的结论.

（3）在第（2）小题给出的旋转过程中，若限定60°<α<120°，∠AMC的大小是否会发生变化？若变化，请写出∠AMC的度数变化范围；若不变化，请写出∠AMC的度

数.

23.如图1，已知：已知：等边△ABC ，点D 是边BC 上一点（点D 不与点B 、点C 重合），

求证：BD+DC > AD

下面的证法供你参考：

把ACD ?绕点A 瞬时间针旋转

60得到ABE ?，连接ED ， 则有ABE ACD ???,DC=EB ∵AD=AE,

60=∠DAE

∴ADE ?是等边三角形

∴AD=DE

在DBE ?中，BD+EB > DE 即：BD+DC >AD

实践探索：

（1）请你仿照上面的思路，探索解决下面的问题：

如图2，点D 是等腰直角三角形△ABC 边上的点（点D 不与B 、C 重合），

求证：BD+DC>2AD

（2）如果点D 运动到等腰直角三角形△ABC 外或内时，BD 、DC 和AD 之间又存在怎样的

数量关系？ 直接写出结论.

创新应用：

（3）已知：如图3，等腰△ABC 中， AB=AC ，且∠BAC=α（α为钝角）， D 是等腰△

ABC 外一点，且∠BDC+∠BAC =180o， BD 、DC 与AD 之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明.

C

B D 图2 C

B

图1 C

3、已知四边形ABCD，点E是射线BC上的一个动点（点E不与B、C

两点重合），线段BE的垂直平分线交射线AC于点P，联结DP，PE.（1）若四边形ABCD是正方形，猜想PD与PE的关系，

并证明你的结论.

（2）若四边形ABCD是矩形，（1）中的PD与PE的关系还成立吗？

（填：成立或不成立）.

（3）若四边形ABCD是矩形，AB=6，cos∠ACD=3

5

，

设AP=x，△PCE的面积为y,当AP>1

2

AC时，求y与x之间的函数关系式.

图1

C 图2

A

C 4、．如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =5，以点B 为圆心，以2为

半径作圆.

⑴设点P 为☉B 上的一个动点，线段CP 绕着点C 顺时针旋转90°，得到线段CD ，联结DA ，DB ，PB ，如图2．求证：AD =BP ；

⑵在⑴的条件下，若∠CPB =135°，则BD =___________； ⑶在⑴的条件下，当∠PBC =_______° 时，BD 有最大值，且最大值为__________；

当∠PBC =_________° 时，BD 有最小值，且最小值为__________．

5. 在矩形ABCD 中，点P 在AD 上，AB =2，AP =1，将三角板的直角顶点放在点P 处，三角

板的两直角边分别能与AB 、BC 边相交于点E 、F ，连接EF ．

（1）如图，当点E 与点B 重合时，点F 恰好与点C 重合，求此时PC 的长；

（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P 顺时针旋转，当点E 与点A 重合时停止，

在这个过程中，请你观察、探究并解答：

① ∠PEF 的大小是否发生变化？请说明理由；

② 直接写出从开始到停止，线段EF 的中点所经过的路线长．

备用图

、

6（06中考）、我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

7、已知∠ABC=90°，点P为射线BC上任意一点（点P与点B不重合），分别以AB、AP

为边在∠ABC的内部作等边△ABE和△APQ,连结QE并延长交BP于点F.

2，点A、E、P恰好在一条直线上时，求此时EF的长（直接写（1）如图1，若AB=3

出结果）；

（2）如图2，当点P为射线BC上任意一点时，猜想EF与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；

2，设BP=x，以QF为边的等边三角形的面积y，求y关于x的函数关（3）若AB=3

系式．

8、已知：△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA =BC ，DA =DE ，

联结EC ，取EC 的中点M ，联结BM 和DM ．

（1）如图1，如果点D 、E 分别在边AC 、AB 上，那么BM 、DM 的数量关系与位置关

系是 ；

（2）将图1中的△ADE 绕点A 旋转到图2的位置时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．

D

C

B A

E

M

M

E

A

B

C

D

9、（07年）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形.

（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；

（2）如图，在ABC ?中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若

60A ∠=?，1

2

DCB EBC A ∠=∠=∠，请你写出图中一个与A ∠相等的角，并猜想图

中哪个四边形是等对边四边形；

（3）在ABC ?中，如果A ∠是不等于60o的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且

1

2

DCB EBC A ∠=∠=∠，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并证

明你的结论.

10、（08年）

问题：如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DE的中点，连接

PG，PC．若∠ABC=∠BEF=60°，探究PG与PC的位置关系及的值．

小聪同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：

（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及的值；

（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；

（3）若图1中∠ABC=∠BEF=2α（0°＜α＜90°），将菱形BEFG绕点B顺时针旋转任意角度，原问题中

的其他条件不变，请你直接写出的值（用含α的式子表示）．

11、（09年）、在平行四边形ABCD中，过点C作CE⊥CD交AD于点E，将线段EC绕点E逆时针旋转90°得到线段EF（如图1）

（1）在图1中画图探究：

①当P为射线CD上任意一点（P1不与C重合）时，连接EP1；绕点E逆时针旋转90°得到线段EG1．判断直线FG1与直线CD的位置关系，并加以证明；

②当P2为线段DC的延长线上任意一点时，连接EP2，将线段EP2绕点E逆时针旋转90°得到线段EC2．判断直线C1C2与直线CD的位置关系，画出图形并直接写出你的结论．

（2）若AD=6，tanB= ，AE=1，在①的条件下，设CP1=x，S△P1FC1=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

12、（10年）已知ABC △中，2BAC ACB ∠=∠，点D 是ABC △内的一点，且AD CD =，

BD BA =．探究DBC ∠与ABC ∠度数的比值．

请你完成下列探究过程： 先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当90BAC ∠=?时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB 与AC 得数量关系为________；

当退出15DAC ∠=?时，可进一步推出DBC ∠的度数为_______；

可得到DBC ∠与ABC ∠度数的比值为_________．

（2）当90BAC ∠≠?时，请你画出图形，研究DBC ∠与ABC ∠度数的比值是否与（1）

中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．

C B A

13、（11年）在?ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC于点F．

（1 ）在图1中证明CE=CF；

（2 ）若∠ABC=90°，G 是EF 的中点（如图2 ），直接写出∠BDG 的度数；

（3 ）若∠ABC=120°，FG ∥CE，FG=CE，分别连接DB、DG（如图3），求∠BDG 的度数．

14、已知：AOB △中，2AB OB ==，COD △中，3CD OC ==,ABO DCO =∠∠. 连接AD 、BC ，点M 、N 、P 分别为OA 、OD 、BC 的中点.

图1 图2

(1) 如图1，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且60ABO =

∠，则PMN △的形

状是________________，此时AD

BC =________； (2) 如图2，若A 、O 、C 三点在同一直线上，且2ABO α=∠，证明P MN B A O △∽△，并计算AD

BC 的值（用含α的式子表示）； (3) 在图2中，固定AOB △，将COD △绕点O 旋转，直接写出PM 的最大值.