高等数学试卷及答案
《高等数学》试卷
一、
选择题:(每小题3分,共36分)
1.函数y=3
1x
1
ln -的定义域是( ) A .),0()0,(+∞?-∞ B .),1()0,(+∞?-∞ C .(0,1]
D .(0,1)
2.方程2x+3y=1在空间表示的图形是 ( ) A.平行于xoy面的平面 B.平行于oz轴的平面 C.过oz轴的平面 D.直线
3.函数f(x)在点x=x 0处连续是f(x)在x=x 0处可导的( ) A .必要条件
B .充分条件
C .充分必要条件
D .既非充分条件又非必要条件
4.设3
3
2
(,)x
f x y x y x ytg
y
=++,则f(tx,ty)= ( ) A.tf(x,y) B.t2f(x,y) C.t3f(x,y) D.
21
t
f(x,y) 5.设an ≥0,且1
lim
n n a p a
→∞+=,则级数1n n a ∞=∑ ( ) A.在p〉1时收敛,p〈1时发散 B.在p≥1时收敛,p〈1时发散 C.在p≤1时收敛,p〉1时发散 D.在p〈1时收敛,p〉1时发散 6.方程y '+3xy=6x2
y 是 ( )
A.一阶线性非齐次微分方程
B.齐次微分方程
C.可分离变量的微分方程
D.二阶微分方程 7.当0x →时,与2
3
32x x +等价的无穷小量是 ( ) A.3
2x B.2
3x C.2
x D.3
x 8.2x
e dx -?
等于 ( )
A.22x
e
C -+ B.212x e C -+ C.22x e C --+ D.21
2
x e C --+
9.22
00
lim sin
x y xy
xy x y
→→+ = ( ) A. 0 B. 1 C. ∞ D. sin1
10.对微分方程 y"=f(y,y '),降阶的方法是 ( ) A. 设y '=p,则 y"=p ' B.设y '=p,则 y"=
dp dy
C. 设y '=p,则 y"=p
dp dy D. 设y '=p,则 y"=1dp p dy
11.设幂级数0
n n n a x ∞
=∑在xo (xo ≠0)
收敛, 则0
n n n a x ∞
=∑ 在│x│〈│xo │ ( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.收敛性与an 有关 12.设D域由y=x,y=x2
所围成,则
sin D
x
d x σ??= ( ) A.1
1
00sin x
dx dy x ??
B.10sin y x dy dx x ?
C.10x x dx dy x ?
D.10x x dy dx x
?
二、填空题:(每小题4分,共16分)
13.41x
x -?dx=_____________。
14.1
lim sin x x x
→∞=___________。
15
.累次积分
220
()R
dx f x y dy +?
化为极坐标下的累次积分为_______。
16.设级数
1
n
n a
∞
=∑发散,则级数
1000
n n a ∞
=∑
_______________。
三、解答题:(总分48分) 17.计算
2(1)x dx
e +?.(8分)
18.求过点A(2,1,-1),B(1,1,2)的直线方程。(10)分
19.设
sin
x x
u e
=,求du。(10分)
20.将
3
()
(1)(2)
f x
x x
=
-+
展成的幂级数。(10分)
21.借助于函数的单调性证明:当x〉1时,1
3x
>-。(10分)
21
.证:令1
()3f x x
=+
-则f(x)在区间[1,+∞]连续 (10分)
而且当x〉1时,2
1
()0f x x '=
-
> 因此f(x)在[1,+∞]单调递增 从而当x〉1时,f(x)〉f(1)=0
即当x〉1时,13x
>-
高等数学(90学时A 卷)参考解答与评分标准
一.填空题(每小题3分,本大题满分15分)
1.设函数??
?>≤=1
||01
||1)(x x x f ,则 )]([x f f = 1 ),(+∞-∞∈x 。
2.设函数?????≥+<=020
2sin )(x a x x x x x f ,当常数=a _2___时,)(x f 在0x =处连续.
3.曲线x
e y 2=上点(0,1)处的切线方程为 12+=x y
4.曲线5352
3
++-=x x x y 的凹区间为 ),3
5(+∞ . 5.若x
e -是)(x
f 的原函数,则dx x f x )(ln 2?
= C x +-
2
2
1.
二.选择题(每小题3分,本大题满分15分)
1. 当1x →时,无穷小量x -
1是x -1的( D ).
A. 高阶无穷小;
B. 低阶无穷小;
C. 等价无穷小;
D. 同阶但不等价无穷小.
2.若∞=→)(lim x f a
x ,∞=→)(lim x g a
x 则必有( D )
A. ∞=+→)]()([lim x g x f a
x ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f a
x ;
C. 0)
()(1
lim =+→x g x f a
x ; D. ∞=→)(lim x kf a x ,(0≠k 为常数)