北理工数值计算方法试题及答案
数值计算方法试题一
一、 填空题(每空1分,共17分)
1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。
2、迭代格式)2(2
1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。
3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211
0)(2
33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,
则
a =( ),
b =( ),
c =( )。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则
∑==
n
k k
x l
0)(( ),
∑==
n
k k j
k x l
x 0
)(( ),当2≥n 时
=
++∑=)()3(20
4x l x x
k k n k k
( )。
5、设1326)(2
47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07
f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、
{}∞
=0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?=1
04)(dx x x ? 。
8、给定方程组??
?=+-=-2211
21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题
00
(,)()y f x y y x y '=??
=?的改进欧拉法
???
??++=+=++++)],(),([2),(]
0[111]
0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是
阶方法。
10、设
??
???
?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,
其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。 二、 二、选择题(每题2分)
1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x
k k +=+)()
1(收敛的充要条件是( )。
(1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ
2、在牛顿-柯特斯求积公式:
?∑=-≈b
a
n
i i n i x f C a b dx x f 0
)()
()()(中,当系数
)
(n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )
时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。
(1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n ,
(1)二次; (2)三次; (3)四次; (4)五次 4、若用二阶中点公式
)),(4,2(1n n n n n n y x f h
y h x hf y y ++
+=+求解初值问题
1)0(,2=-='y y y ,试问为保证该公式绝对稳定,步长h 的取值范围为( )。
(1)20≤ 三、1、(8分)用最小二乘法求形如2 bx a y +=的经验公式拟合以下数据: 2、(15分)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算dx e x ?-1 时, (1) (1) 试用余项估计其误差。 (2)用8=n 的复化梯形公式(或复化 Simpson 公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程013=--x x 在5.1=x 附近有根,把方程写成三种 不同的等价形式(1)31+=x x 对应迭代格式311+=+n n x x ;(2) x x 1 1+ = 对应迭代格式 n n x x 1 11+ =+;(3)13-=x x 对应迭代格式131-=+n n x x 。判 断迭代格式在5.10=x 的收敛性,选一种收敛格式计算5.1=x 附近的根, 精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen 迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组f AX =,其中 ??????????--=4114334A ,?? ??? ?????-=243024f (1) (1) 列出Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。 (2) (2) 求出Jacobi 迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长1.0=h ,求解初值问题? ????=+-=1)0(1y y dx dy 用改进的欧拉法求)1.0(y 的值;用经典的四阶龙格—库塔法求)1.0(y 的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式)(x p 使它满足 )()(00x f x p =,)()(11x f x p =,)()(00x f x p '=',)()(11x f x p '=',)()(22x f x p = 六、(下列2题任选一题,4分) 1、 1、 数值积分公式形如 ?'+'++=≈1 )1()0()1()0()()(f D f C Bf Af x S dx x xf (1) (1) 试确定参数D C B A ,,,使公式代数精度尽量高;(2)设]1,0[)(4 C x f ∈,推导余项公式 ?-=1 ) ()()(x S dx x xf x R ,并估计 误差。 2、 2、 用二步法 )],()1(),([111101---+-+++=n n n n n n n y x f y x f h y y y θθαα 求解常微分方程的初值问题?? ?=='00)(),(y x y y x f y 时,如何选择参数θαα,,10使方 法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若A 是n n ?阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ,使LU A =唯一成立。 ( ) 2、当8≥n 时,Newton -cotes 型求积公式会产生数值不稳定性。 ( ) 3、形如) ()(1i n i i b a x f A dx x f ∑?=≈的高斯(Gauss )型求积公式具有最高代 数精确度的次数为12+n 。 ( ) 4、矩阵?? ??? ??=210111012A 的2-范数2A =9。( ) 5、设?? ??? ??=a a a a A 000002,则对任意实数0≠a ,方程组b Ax =都是病态的。 (用∞?) ( ) 6、设n n R A ?∈,n n R Q ?∈,且有I Q Q T =(单位阵),则有22QA A =。 ( ) 7、区间[]b a ,上关于权函数)(x W 的直交多项式是存在的,且唯一。 ( ) 8、对矩阵A 作如下的Doolittle 分解: ?? ??? ??????? ??-=????? ??-=6001032211012001542774322b a A ,则b a ,的值分别为=a 2,=b 2。 ( ) 二、填空题:(共20分,每小题2分) 1、设102139)(2 48+++=x x x x f ,则均差 =]2,,2,2[810 f __________,=]3,,3,3[9 10 f __________。 2、设函数)(x f 于区间[]b a ,上有足够阶连续导数,[]b a p ,∈为)(x f 的 一个m 重零点,Newton 迭代公式 )() ('1k k k k x f x f m x x -=+的收敛阶至少是 __________阶。 3、区间[]b a ,上的三次样条插值函数)(x S 在[]b a ,上具有直到 __________阶的连续导数。 4、向量T X )2,1(-=,矩阵 ???? ??--=1327A ,则 =1AX __________,=∞)(A cond __________。 5、为使两点的数值求积公式:?-+≈1 1 10) ()()(x f x f dx x f 具有最高的代 数精确度,则其求积基点应为=1x __________,=2x __________。 6、设n n R A ?∈,A A T =,则)(A ρ(谱半径)__________2A 。(此处填小于、大于、等于) 7、设 ????? ?????=214102 1A ,则=∞→k k A lim __________。 三、简答题:(9分) 1、 1、 方程x x 24-=在区间[]2,1内有唯一根*x ,若用迭代公式: 2ln /)4ln(1k k x x -=+ ),2,1,0( =k ,则其产生的序列{}k x 是否收敛于 *x ?说明理由。 2、 2、 使用高斯消去法解线性代数方程组,一般为什么要用选主 元的技术? 3、 3、 设001.0=x ,试选择较好的算法计算函数值2 cos 1)(x x x f -= 。 四、(10分)已知数值积分公式为: )]()0([)]()0([2)(''20 h f f h h f f h dx x f h -++≈ ? λ,试确定积分公式中的参 数λ,使其代数精确度尽量高,并指出其代数精确度的次数。 五、(8分)已知求)0(>a a 的迭代公式为: 2,1,00)(2101=>+= +k x x a x x k k k 证明:对一切a x k k ≥=,,2,1 ,且序列{}k x 是单调递减的, 从而迭代过程收敛。 六、(9分)数值求积公式?+≈3 )] 2()1([23 )(f f dx x f 是否为插值型求积公 式?为什么?其代数精度是多少? 七、(9分)设线性代数方程组b AX =中系数矩阵A 非奇异,X 为精确解,0≠b ,若向量~X 是b AX =的一个近似解,残向量~ X A b r -=, 证明估计式: b r A cond X X X ) (~ ≤-(假定所用矩阵范数与向量范数 相容)。 八、(10分)设函数)(x f 在区间[]3,0上具有四阶连续导数,试求满足 下列插值条件的一个次数不超过3的插值多项式)(x H ,并导出其余项。 九、(9分)设)(x n ?是区间],[b a 上关于权函数)(x w 的直交多项式序列,)1,,,2,1(+=n n i x i 为{})(1x n +?的零点, )1,,,2,1)((+=n n i x l i 是以{}i x 为基点的拉格朗日(Lagrange)插值基 函数, ∑?+=≈1 1 ) ()()(n k k k b a x f A dx x w x f 为高斯型求积公式,证明: (1) (1)当j k n j k ≠≤≤,,0时,0 )()(1 1=∑+=i j i k n i i x x A ?? (2)?≠=b a j k j k dx x w x l x l ) (0 )()()( (3)∑??+==1 12 )()()(n k b a b a k dx x w dx x w x l 十、(选做题8分) 若)())(()()(101n n x x x x x x x x f ---==+ ω, ),,1,0(n i x i =互异,求],,,[10p x x x f 的值,其中1+≤n p 。 数值计算方法试题三 一、(24分)填空题 (1) (1) (2分)改变函数f x x x ()=+-1 (x >>1)的形式,使计 算结果较精确 。 (2) (2) (2分)若用二分法求方程()0=x f 在区间[1,2]内的根,要 求精确到第3位小数,则需要对分 次。 (3) (3) (2分)设 ()? ??? ??+=212 221x x x x x f ,则()=x f ' (4) (4) (3分)设 ()???≤≤+++≤≤=21,10,22 3 3x c bx ax x x x x S 是3次样条函数,则 a= , b= , c= 。 (5) (5) (3分)若用复化梯形公式计算?1 dx e x ,要求误差不超过 610-,利用余项公式估计,至少用 个求积节点。 (6) (6) (6分)写出求解方程组?? ?=+-=+24.01 6.12121x x x x 的Gauss-Seidel 迭 代公式 ,迭代矩阵 为 , 此迭代法是否收敛 。 (7) (7) (4 分)设 A =?? ??? 5443,则=∞A ,()Cond ∞=A 。 (8) (8) (2分)若用Euler 法求解初值问题()10,10'=-=y y y ,为 保证算法的绝对稳定,则步长h 的取值范围为 二. (64分) (1) (1) (6分)写出求方程()1cos 4+=x x 在区间[0,1]的根的收敛的迭 代公式,并证明其收敛性。 (2) (2) (12分)以100,121,144为插值节点,用插值法计算115的 近似值,并利用余项估计误差。 (3) (3) (10分)求()x e x f =在区间[0,1]上的1次最佳平方逼近多项 式。 (4) (4) (10分)用复化Simpson 公式计算积分 ()? =1 0sin dx x x I 的近 似值,要求误差限为5105.0-?。 (5) (5) (10分)用Gauss 列主元消去法解方程组: ??? ??=++=++=++27 6234532424321321321x x x x x x x x x (6) (6) (8分)求方程组 ? ???? ??=???? ??????? ? ?12511213121x x 的最小二乘解。 (7) (7) (8分)已知常微分方程的初值问题: ?? ?=≤≤=2)1(2 .11,y x y x dx dy 用改进的Euler 方法计算y (.)12 的近似值,取步长2.0=h 。 三.(12分,在下列5个题中至多选做3个题) (1) (1) (6分)求一次数不超过4次的多项式p(x)满足: ()151=p ,()201'=p ,()301''=p ,()572=p ,()722'=p (2) (2) (6分)构造代数精度最高的如下形式的求积公式,并求 出其代数精度: ()()121101 f A f A dx x xf +??? ??≈? (3) (3) (6分)用幂法求矩阵 ? ??? ??=11110A 的模最大的特征值及其相应的单位特征向量,迭代至特征值的相邻两次的近似值的距 离小于0.05,取特征向量的初始近似值为()T 0,1。 (4) (4) (6分)推导求解常微分方程初值问题 ()()()()0,,,'y a y b x a x y x f x y =≤≤= 的形式为 ()1101-+++=i i i i f f h y y ββ,i=1,2,…,N 的公式,使其精度尽量高,其中()i i i y x f f ,=, ih a x i +=, i=0,1,…,N, ()N a b h -= (5) (5) (6分)求出用差分方法求解常微分方程的边值问题 ()()()()()?? ?==≤≤=+++0,0',0'''b y a y b x a x r y x q y x p y 所得到的三对角线性方程 组。 数值计算方法试题一答案 一、 一、填空题(每空1分,共17分) 1、( 10 ) 2、()0,22(- )22,0() 3、a =( 3 ),b =( 3 ),c = ( 1 ) 4、( 1 )、 ( j x )、( 324++x x ) 5、 6 、25.2364945 26!77==? 6、 9 7、 0 8、1 22 , 22- )、 ( 0>ii l ) 二、 二、选择题(每题2分) 1、((2)) 2、((1)) 3、((1)) 4、((3)) 三、1、(8分)解:},1{2x span =Φ ??? ???=22 22 38312519 1111 T A []3.730.493.320.19=T y 解方程组 y A AC A T T = 其中 ??????=3529603339133914A A T ??????=7.1799806.173y A T 解得:? ?????=0501025.09255577.0C 所以 9255577.0=a , 0501025.0=b 2、(15分)解: 001302.07681 81121)(12][022==??≤''-- =e f h a b f R T η ] )()(2)([2)8(7 1∑=++=k k b f x f a f h T ]36787947.0)41686207.047236655.05352614.060653066.07788008.08824969.0(21[16 1 ++++++?+= 6329434.0= 四、1、(15分)解:(1)3 2 1(31 )(-+=')x x ?,118.05.1<=')(?,故收敛; (2) x x x 1 121)(2+ - ='?,117.05.1<=')( ?,故收敛; (3)23)(x x ='?, 15.135.12>?=')(?,故发散。 选择(1):5.10=x ,3572.11=x ,3309.12=x ,3259.13=x ,3249.14=x , 32476.15=x ,32472.16=x Steffensen 迭代: k k k k k k k x x x x x x x +--- =+)(2))(())((2 1 ???? 11211)1(333 2 3++-++-+- =k k k k k x x x x x 计算结果:5.10=x ,324899.11=x ,324718.12=x 有加速效果。 2、(8分)解:Jacobi 迭代法:?? ???????=+-=+-=-=+++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) (2)1(3)(3)(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k Gauss-Seidel 迭代法:?? ???????=+-=+-=-=+++++ ,3,2,1,0)24(41)330(41)324(41) 1(2)1(3)(3)1(1)1(2) (2)1(1k x x x x x x x k k k k k k k ?????? ????? ?--=+-=-0430430 430430)(1 U L D B J , 790569.0)410(85)(==或J B ρ SOR 迭代法:?? ???????=+-+-=+-+-=-+-=+++++ ,3,2,1,0)24(4)1()330(4)1()324(4)1() 1(2)(3)1(3)(3)1(1)(2)1(2) (2)(1)1(1k x x x x x x x x x x k k k k k k k k k k ωωωωωω 五、1、(15分)解:改进的欧拉法: ??? ??+=++=+=+=++++095.0905.0)],(),([21.09.0),() 0(111) 0(1n n n n n n n n n n n n y y x f y x f h y y y y x hf y y 所以1)1.0(1==y y ; 经典的四阶龙格—库塔法: ?? ????? ??? ? ++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),(]22[6 342312143211 hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n n 04321====k k k k ,所以1)1.0(1==y y 。 2、(8分)解:设)(3x H 为满足条件?? ? ='='=1,0)()()()(3 3i x f x H x f x H i i i i 的Hermite 插值多项式, 则 2 1203)()()()(x x x x k x H x p --+= 代入条件)()(22x f x p =得: 212202232)()()()(x x x x x H x f k ---= 六、(下列2题任选一题,4分) 1、解:将3 2,,,1)(x x x x f =分布代入公式得: 201,301,207,203-==== D B B A 构造Hermite 插值多项式)(3x H 满足?? ? ='='=1,0)()()()(33i x f x H x f x H i i i i 其中1,010==x x 则有:?=1 03) ()(x S dx x xH , 2 2)4(3)1(!4)()()(-=-x x f x H x f ξ dx x x f dx x S x f x x R 21 03 )4(1 0)1(!4)(])()([)(-=-=??ξ 1440)(60!4)()1(!4)()4()4(1023)4(ηηηf f dx x x f = ?=-=? 2、解: ] )(!3)(!2)()()(1()([) )(! 3)(!2)()(()()(!3)(!2)()()() 4(323 2103 211, +-'''+''-'-+'-+'''-''+'---+'''+''+'+=-=++n n n n n n n n n n n n n n n n h n x y h x y h x y h x y x y h x y h x y h x y h x y x y x y h x y h x y h x y y x y R θθαα ) ()()21661()()1221() ()11()()1(41312110h O x y h x y h x y h x y n n n n +'''--++''-+-+'+-+--=θαθαααα 所以?????? ?=-+-==--012210011110θαααα ??? ? ???===?230110θαα 主项:)(1253 n x y h ''' 该方法是二阶的。 数值计算方法试题二答案 一、 一、判断题:(共10分,每小题2分) 1、( Ⅹ ) 2、( ∨ ) 3、( Ⅹ ) 4、( ∨ ) 5、( Ⅹ ) 6、( ∨ )7、( Ⅹ ) 8、( Ⅹ ) 二、 二、填空题:(共10分,每小题2分) 1、!89?、0 2、__二___ 3、__二___4、_16 、90__5、31 ,3 1 -6、 = 7、0 三、 三、简答题:(15分) 1、 1、 解:迭代函数为2ln /)4ln()(x x -=? 12ln 1 2412ln 141)('---= x x ? 2、 2、 答:Gauss 消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素) (k kk a 全不为0,如果在消元过程中发现某个主元素为0,即使0)det(≠A ,则消元过程将无法进行;其次,即使主元素不为0,但若主元素) (k kk a 的绝对值很小,用它作除数,将使该步消元的乘数绝对值很大,势必造成舍入误差的严重扩散,以致于方程组解的精确程度受到严重影响,采用选主元的技术,可避免 主元素) (k kk a =0或) (k kk a 很小的情况发生,从而不会使计算中断或 因误差扩大太大而使计算不稳定。 3、 3、 解: +-+-+-=)!2()1(!4!21cos 242n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!2cos 12142n x x x x n n +-++-=--)!2()1(!4!21)(2 212n x x x f n n 四、 四、解:1)(=x f 显然精确成立; x x f =)(时,] 11[]0[22220 -++==?h h h h xdx h λ; 2 )(x x f =时,12122]20[]0[2332 2302 =?-=-++==?λλλh h h h h h h dx x h ; 3)(x x f =时,] 30[121 ]0[2422340 3 h h h h h dx x h -++==?; 4)(x x f =时,6]40[121]0[2553 2450 4 h h h h h h dx x h = -++≠=?; 所以,其代数精确度为3。 五、 五、证明: 2,1,0221)(211==???≥+= +k a x a x x a x x k k k k k 故对一切a x k k ≥=,,2,1 。 又1 )11(21 )1(2121=+≤+=+k k k x a x x 所以k k x x ≤+1,即序列{}k x 是单调递减有 下界, 从而迭代过程收敛。 六、 六、解:是。因为)(x f 在基点1、2处的插值多项式为 )2(121 )1(212)(f x f x x p ?--+?--= ?+=30)] 2()1([23)(f f dx x p 。其代数精度为1。 七、 七、证明:由题意知:r b X A b AX -==~ , r A X X r A X X r X X A 1~ 1 ~ ~ )(--≤-?=-?=- 又 b A X X A AX b b AX ≤ ?≤=?=1 所以 b A A cond b r A A X X X ) (1~ =≤ --。 八、解:设)2)(1()()(2--+=x x ax x N x H ) 1)(0(21 21)1)(0](2,1,0[)0](1,0[)0()(2----=--+-+=x x x x x f x f f x N 所以) 2)(1()1(21 21)(--+---=x x ax x x x x H 由3)0(' =H 得: 41= a 所以 134541)(2 3-+-= x x x x H 令)()()(x H x f x R -=,作辅助函数)2)(1()()()()(2 ----=t t t x k t H t f t g 则)(t g 在]3,0[上也具有4阶连续导数且至少有4个零点:21,0,,x t = 反复利用罗尔定理可得: !4)()() 4(ξf x k = ,)0)(() 4(=ξg 所以 ) 2)(1(!4)()2)(1()()()()(2 )4(2 --=--=-=x x x f x x x x k x H x f x R ξ 九、 九、证明:形如 ) ()()(1 1k b a n k k x f A dx x w x f ?∑+=≈的高斯(Gauss )型求 积公式具有 最高代数精度2n+1次,它对)(x f 取所有次数不超过2n+1 次的多项式均精确成立 1)0 )()()()()(1 1 ?∑==+=b a j k i j i k n i i dx x w x x x x A ???? 2)因为)(x l i 是n 次多项式,且有 ?? ?=≠=j i j i x l j i 10)( 所以 )()()()()(1 1 ==?∑+=i j i k b a n i i j k x l x l A dx x w x l x l (j k ≠) 3)取 )()(2x l x f i =,代入求积公式:因为)(2x l i 是 2n 次多项式, 所以 i j i b a n j j i A x l A dx x w x l ==? ∑+=21 1)]([)()( ∑? ?∑+=+===1 111 2 )()()(n k b a b a n k k k dx x w A dx x w x l 故结论成立。 十、 十、解: n p x x x f x x x f p i p i j j j i i p ≤=-=∑ ∏=≠=0) () (],,,[0 010 1 )!1() (],,,[)1(110=+=++n f x x x f n n ξ 数值计算方法试题三答案 一.(24分) (1) (2分) ()x x x f ++= 11 (2) (2分) 10 (3) (2分) ???? ??12 21 22x x x x (4) (3分) 3 -3 1 (5) (3分) 477 (6) (6分) ()() ()() ,1,0,4.026.1111 12211=???+=-=+++k x x x x k k k k ? ??? ??--64.006.10 收敛 (7) (4分) 9 91 (8) (2分) h<0.2 二. (64分) (1) (6分) ()()[]n n n x x x cos 141 1+= =+φ,n=0,1,2,… ()()141 sin 41'<≤= x x φ ∴ 对任意的初值]1,0[0∈x ,迭代公式都收敛。 (2) (12分) 用Newton 插值方法:差分表: ≈11510+0.0476190(115-100)-0.0000941136(115-100)(115-121) =10.7227555 ()2 5 83'''- =x x f ()()()()00163.029******* 3 61144115121115100115! 3'''25 ≈???≤---= -ξf R (3) (10分)设()()()x c c x c x c x 212211+=+=φφφ ()()()()()()???? ??=???? ?????? ??2121221 22111,,,,,,φφφφφφφφφφf f c c ,()1,1011==?dx φφ,()21,10 21==?xdx φφ, ()31 ,1 0222==?dx x φφ, ()1)exp(,101-==?e dx x f φ,()1)exp(,1 02==?dx x x f φ ???? ??-=???? ?????? ??1112121121e c c , ???? ? ?=???? ??690.18731.021c c ,()x x 690.18731.0+=φ ()()x e e x 618104-+-=φ=0.873127+1.69031x (4) (10分) ()()0.9461458812140611=???? ??+??? ??+=f f f S ()()0.94608693143421241401212=???? ??+??? ??+??? ??+??? ??+= f f f f f S 5-12210933.0151 ?=-≈ -S S S I 94608693.02=≈S I 或利用余项:()() -+-+-==!9!7!5!31sin 8 642x x x x x x x f () -?+?-=!49!27514 2) 4(x x x f ()51 ) 4(≤x f ()()5 4)4(4 5 10 5.05288012880-?≤?≤ -= n f n a b R η,2≥n , =≈2S I (5) (10分) 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 3.6667 0.3333 12.6667 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 3.0000 1.0000 5.0000 3 4.0000 0.0000 5.3333 -2.3333 4.3333 0.0000 0.0000 1.9375 9.6875 ()T x 0000.5,0000.3,0000.2= (6) (8分) ()b A x A A T T =,???? ??=???? ?????? ? ?2081466321x x , ???? ??-=0000.23333.1x 若用Householder 变换,则: ()?? ? ?? ??------→52073.236603.1052073.136603.0061880.446410.373205.1,b A ????? ??---→81650.00082843.241421.1061880.446410.373205.1 最小二乘解: (-1.33333,2.00000)T . (7) (8分) ()5.0,001==y x f k ,())0.52380955.02.021.1,1012=?+=+=hk y x f k ()()1071429.25238095.05.01.0222101=+?+=++ =k k h y y 三. (12分) (1) 差分表: ()()()()()() 4323 3 2 2345211711512015x x x x x x x x x x p ++++=--+-+-+-+= 其他方法:设()()()()()b ax x x x x p +-+-+-+=3 2111512015 令()572=p ,()722'=p ,求出a 和b (2) 取f(x)=1,x ,令公式准确成立,得: 2110= +A A ,312110=+A A 310=A ,61 1= A f(x)=x 2时,公式左右=1/4; f(x)=x 3时,公式左=1/5, 公式右=5/24 ∴ 公式的代数精度=2 (3) ①???? ??==11001Av u , ()00.10,01)1(1==v u λ, ???? ??==09950.09950.02111u u v ②???? ??==095.105.1012Av u , ()108.10,1 2)2(1==v u λ, ???? ??==1083.09941.02222u u v , 05 .011.0) 2(1)1(1>=-λλ ③???? ??==102.105.1023Av u , ()110.10,23)3(1==v u λ, ???? ??==1090.09940.02333u u v , 05 .0002.0)3(1)2(1<=-λλ ∴11.101≈λ, ???? ??≈1090.09940.01x (4) 局部截断误差=()11++-i i y t y ()()()() ()()()()()[ ] ()()()() 3 2 1103 21103 2 ''21'1''''''2 'h O x y h x hy h O x y h x hy x hy x y h O x y h x hy x y i i i i i i i i i +?? ? ??++--=+-++-+++=ββββββ 令0110=--ββ,0211=+β得 230=β,211 -=β, 计算公式为 ()1132-+-+ =i i i i f f h y y ,i=0,1,2,… ( 局部截断误差=()() 4 3 '''125h O x y h i + ) (5) 记N a b h )(-=,ih a x i +=,()i i x p p =,()i i x q q =,()i i x r r =, ()i i x y y =,i=0..N ()()i i i i i i i i i r y q y y h p y y y h -=+-++--++-111122121, i=1..N-1 即() i i i i i i i r h y p h y q h y p h 2 12121221-=??? ??+++-+??? ??-+-, i=1..N-1 (1) 043210=-+-y y y ,与(1)取i=1的方程联立消去y 2得 ()()121112012222r h y hp q h y p -=+++-- (2) 0=N y ,与(1)取i=N-1的方程联立消去y N 得 () 12 11222221------=+-+??? ??-N N N N N r h y q h y p h (3) 所求三对角方程组:方程(2),方程组(1)(i=1..N-2),方程(3) 【 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(211 0)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数, 则 a =( ), b =( ), c =( )。 4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当2≥n 时 = ++∑=)()3(20 4x l x x k k n k k ( )。 ; 5、设1326)(2 47+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=?07 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0)(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0=x ?,则?= 1 4)(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2211 21b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ??? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考北师大网络教育——数值分析——期末考试卷与答案 一.填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 1.设有节点012,,x x x ,其对应的函数()y f x =的值分别为012,,y y y ,则二次拉格朗日插值基函数0()l x 为 。 2.设()2f x x =,则()f x 关于节点0120,1,3x x x ===的二阶向前差分为 。 3.设110111011A -????=--????-??,233x ?? ??=?? ???? ,则1A = ,1x = 。 4. 1n +个节点的高斯求积公式的代数精确度为 。 二.简答题(本大题共3小题,每小题8分,共24分) 1. 哪种线性方程组可用平方根法求解?为什么说平方根法计算稳定? 2. 什么是不动点迭代法?()x ?满足什么条件才能保证不动点存在和不动点迭代序列收敛于()x ?的不动点? 3. 设n 阶矩阵A 具有n 个特征值且满足123n λλλλ>≥≥≥ ,请简单说明求解矩阵A 的主特征值和特征向量的算法及流程。 三.求一个次数不高于3的多项式()3P x ,满足下列插值条件: i x 1 2 3 i y 2 4 12 i y ' 3 并估计误差。(10分) 四.试用1,2,4n =的牛顿-科特斯求积公式计算定积分1 01 1I dx x =+? 。(10分) 五.用Newton 法求()cos 0f x x x =-=的近似解。(10分) 六.试用Doolittle 分解法求解方程组: 注:1、教师命题时题目之间不留空白; 2、考生不得在试题纸上答题,教师只批阅答题册正面部分,若考 12325610413191963630 x x x -?????? ??????-=?????? ??????----?????? (10分) 七.请写出雅可比迭代法求解线性方程组1231231 23202324 812231530 x x x x x x x x x ++=?? ++=??-+=? 的迭代格式,并 判断其是否收敛?(10分) 八.就初值问题0(0)y y y y λ'=??=?考察欧拉显式格式的收敛性。(10分) 《数值计算方法》复习试题 一、填空题: 1、????? ?????----=410141014A ,则A 的LU 分解为 A ??? ?????????=? ?????????? ?。 答案: ?? ????????--??????????--=1556141501 4115401411A 2、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:, 3、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 , 拉格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 4、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 5、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); ( 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 6、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 7、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 8、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 9、求解一阶常微分方程初值问题y '= f (x ,y ),y (x 0)=y 0的改进的欧拉公式为 ( )] ,(),([2111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y ); 10、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精 度为( 5 ); 12、 解线性方程组A x =b 的高斯顺序消元法满足的充要条件为(A 的各阶顺序主子式均 不为零)。 13、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表 达式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式 19992001-改写为 199920012 + 。 14、 用二分法求方程01)(3 =-+=x x x f 在区间[0,1]内的根,进行一步后根的所在区间 为 ,1 ,进行两步后根的所在区间为 , 。 15、 、 16、 计算积分?1 5 .0d x x ,取4位有效数字。用梯形公式计算求得的近似值为 ,用辛卜 生公式计算求得的近似值为 ,梯形公式的代数精度为 1 ,辛卜生公式的代数精度为 3 。 17、 求解方程组?? ?=+=+042.01532121x x x x 的高斯—塞德尔迭代格式为 ?????-=-=+++20/3/)51()1(1)1(2)(2)1(1 k k k k x x x x ,该迭 代格式的迭代矩阵的谱半径)(M ρ= 121 。 18、 设46)2(,16)1(,0)0(===f f f ,则=)(1x l )2()(1--=x x x l ,)(x f 的二次牛顿 插值多项式为 )1(716)(2-+=x x x x N 。 19、 求积公式 ?∑=≈b a k n k k x f A x x f )(d )(0 的代数精度以( 高斯型 )求积公式为最高,具 有( 12+n )次代数精度。 数值计算方法试题一 一、填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程在区间内的根精确到三位小数,需对分()次。 2、迭代格式局部收敛的充分条件是取值在()。 3、已知是三次样条函数,则 =( ),=(),=()。 4、是以整数点为节点的Lagrange插值基函数,则 ( ),( ),当时( )。 5、设和节点则 和。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为,5个节点的求积公式最高代数精度为。 7、是区间上权函数的最高项系数为1的正交多项式族,其中,则。 8、给定方程组,为实数,当满足,且时,SOR迭代法收敛。 9、解初值问题的改进欧拉法是 阶方法。 10、设,当()时,必有分解式,其中为下三角阵,当其对角线元素满足()条件时,这种分解是唯一的。 二、二、选择题(每题2分) 1、解方程组的简单迭代格式收敛的充要条件是()。(1), (2) , (3) , (4) 2、在牛顿-柯特斯求积公式:中,当系数是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当()时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1),(2),(3),(4), (1)二次;(2)三次;(3)四次;(4)五次 4、若用二阶中点公式求解初值问题,试问为保证该公式绝对稳定,步长的取值范围为()。 (1), (2), (3), (4) 三、1、 2、(15 (1)(1) 试用余项估计其误差。 (2)用的复化梯形公式(或复化 Simpson公式)计算出该积分的近似值。 四、1、(15分)方程在附近有根,把方程写成三种不同的等价形式(1)对应迭代格式;(2)对应迭代格式;(3)对应迭代格式。判断迭代格式在的收敛性,选一种收敛格式计算附近的根,精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法,并进行计算与前一种结果比较,说明是否有加速效果。 2、(8分)已知方程组,其中 , (1)(1)列出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的分量形式。 (2)(2)求出Jacobi迭代矩阵的谱半径,写出SOR 迭代法。 五、1、(15分)取步长,求解初值问题用改进的欧拉法求的值;用经典的四阶龙格—库塔法求的值。 2、(8分)求一次数不高于4次的多项式使它满足 ,,,, 六、(下列2题任选一题,4分) 1、1、数值积分公式形如 (1)(1)试确定参数使公式代数精度尽量高;(2)设,推导余项公式,并估计误差。 2、2、用二步法 求解常微分方程的初值问题时,如何选择参数使方法阶数尽可能高,并求局部截断误差主项,此时该方法是几阶的。 数值计算方法试题二 一、判断题:(共16分,每小题2分) 1、若是阶非奇异阵,则必存在单位下三角阵和上三角阵,使唯一成立。() 期末考试试卷(A 卷) 2007学年第二学期 考试科目: 数值分析 考试时间:120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、判断题(每小题2分,共10分) 1. 用计算机求 1000 1000 1 1 n n =∑时,应按照n 从小到大的顺序相加。 ( ) 2. 为了减少误差,进行计算。 ( ) 3. 用数值微分公式中求导数值时,步长越小计算就越精确。 ( ) 4. 采用龙格-库塔法求解常微分方程的初值问题时,公式阶数越高,数值解越精确。( ) 5. 用迭代法解线性方程组时,迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有 关,与常数项无关。 ( ) 二、填空题(每空2分,共36分) 1. 已知数a 的有效数为0.01,则它的绝对误差限为________,相对误差限为_________. 2. 设1010021,5,1301A x -????????=-=-????????-???? 则1A =_____,2x =______,Ax ∞ =_____. 3. 已知5 3 ()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= . 4. 为使求积公式 1 1231 ()()(0)33 f x dx A f A f A f -≈- ++? 的代数精度尽量高,应使1A = ,2A = ,3A = ,此时公式具有 次的代数精度。 5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 . 6. 用迭代法解线性方程组AX B =时,使迭代公式(1) ()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产 生的向量序列{ }() k X 收敛的充分必要条件是 . 7. 使用消元法解线性方程组AX B =时,系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩 数值分析期末考试复习题及其答案 1. 已知325413.0,325413* 2* 1==X X 都有6位有效数字,求绝对误差限。(4分) 解: 由已知可知,n=6 5.01021 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620* 21021,6,0,10325413.0-?=-=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?????=001A 220 - ???? ?440求21,,A A A ∞ (6分) 解: {},88,4,1max 1==A 1分 {},66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=001A A T 420 ?? ?? ? -420?????001 220 - ?????440=?????001 080 ???? ?3200 2分 {}3232,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设3 2 )()(a x x f -= (6分) ① 写出f(x)=0解的Newton 迭代格式 ② 当a 为何值时,)(1k k x x ?=+ (k=0,1……)产生的序列{}k x 收敛于2 解: ①Newton 迭代格式为: x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-=a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组Ax=b ,其中:? ??=1 3A ??? 22,??????-=13b 用迭代公式)()()()1(k k k Ax b x x -+=+α(k=0,1……)求解Ax=b ,问取什么实数α,可使迭代收 敛 (8分) 解: 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --? ??--=-=ααααα21231A I B 2分 其特征方程为 0) 21(2)31(=----= -αλα ααλλB I 2分 即,解得αλαλ41,121-=-= 2分 要使其满足题意,须使1)( 第一章绪论 习题一 1.设x>0,x*的相对误差为δ,求f(x)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限,由公式(1. 2.4)有 已知x*的相对误差满足,而 ,故 即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字,并给出其误差限与相对误差限。 解:直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得 有5位有效数字,其误差限,相对误差限 有2位有效数字, 有5位有效数字, 3.下列公式如何才比较准确? (1) (2) 解:要使计算较准确,主要是避免两相近数相减,故应变换所给公式。 (1) (2) 4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用:式计算误差最小。 四个选项: 第二、三章插值与函数逼近 习题二、三 1. 给定的数值表 用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解:仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计(5.8)。线性插值时,用0.5及0.6两点,用Newton插值 误差限,因 ,故 二次插值时,用0.5,0.6,0.7三点,作二次Newton插值 误差限 ,故 2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表,若用二次插值法求的近似值,要使误差不超过,函数表的步长h 应取多少? 解:用误差估计式(5.8), 令 因 得 3. 若,求和. 解:由均差与导数关系 于是 4. 若互异,求 的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性 可知当有 而当P=n+1时 于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 6. 已知的函数表 数值计算方法试题 重庆邮电大学数理学院 一、填空题(每空2分,共20分) 1、用列主元消去法解线性方程组 1、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法具有 ,,,,,,,收 敛 2、迭代过程(k=1,2,…)收敛的充要条件是 2、已知y=f(x)的数据如下 ,,, x 0 2 3 3、已知数 e=2.718281828...,取近似值 x=2.7182,那麽x具有的有 f(x) 1 3 2 效数字是,,, 4、高斯--塞尔德迭代法解线性方程组求二次插值多项式及f(2.5) 3、用牛顿法导出计算的公式,并计算,要求迭代误差不超过 。 4、欧拉预报--校正公式求解初值问题的迭代格式中求 ,,,,,,,,,,,,, , 5、通过四个互异节点的插值多项式p(x),只要满足,,,,,,取步长k=0.1,计算 y(0.1),y(0.2)的近似值,小数点后保留5位. ,,则p(x)是不超过二次的多项式 三、证明题 (20分每题 10分 ) 6、对于n+1个节点的插值求积公式 1、明定 积分近似计算的抛物线公式 具有三次代数精度至少具有,,,次代 数精度. 7、插值型求积公式的求积 2、若,证明用梯形公式计算积分所 系数之和,,, 得结果比准确值大,并说明这个结论的几何意义。 参考答案: T8、 ,为使A可分解为A=LL, 其中L一、填空题 1、局部平方收敛 2、< 1 3、 4 为对角线元素为正的下三角形,a的取值范围, 4、 5、三阶均差为0 6、n 7、b-a 9、若则矩阵A的谱半径(A)= ,,, 8、 9、 1 10、二阶方法 10、解常微分方程初值问题的梯形二、计算题 格式 1、是,,,阶方法 二、计算题(每小题15分,共60分) 修德博学求实创新 李华荣 1 重庆邮电大学数理学院 2、 右边: 3、 ?1.25992 (精确到 ,即保留小数点后5位) 故具有三次代数精度 4、y(0.2)?0.01903 A卷三、证明题 《计算方法》期中复习试题 一、填空题: 1、已知3.1)3(,2.1)2(,0.1)1(===f f f ,则用辛普生(辛卜生)公式计算求得 ?≈3 1 _________ )(dx x f ,用三点式求得≈')1(f 。 答案:2.367,0.25 2、1)3(,2)2(,1)1(==-=f f f ,则过这三点的二次插值多项式中2 x 的系数为 ,拉 格朗日插值多项式为 。 答案:-1, )2)(1(21 )3)(1(2)3)(2(21)(2--------= x x x x x x x L 3、近似值*0.231x =关于真值229.0=x 有( 2 )位有效数字; 4、设)(x f 可微,求方程)(x f x =的牛顿迭代格式是( ); 答案 )(1)(1n n n n n x f x f x x x '--- =+ 5、对1)(3 ++=x x x f ,差商=]3,2,1,0[f ( 1 ),=]4,3,2,1,0[f ( 0 ); 6、计算方法主要研究( 截断 )误差和( 舍入 )误差; 7、用二分法求非线性方程 f (x )=0在区间(a ,b )内的根时,二分n 次后的误差限为 ( 1 2+-n a b ); 8、已知f (1)=2,f (2)=3,f (4)=5.9,则二次Newton 插值多项式中x 2系数为( 0.15 ); 11、 两点式高斯型求积公式?1 d )(x x f ≈( ?++-≈1 )] 321 3()3213([21d )(f f x x f ),代数精度 为( 5 ); 12、 为了使计算 32)1(6 )1(41310-- -+-+ =x x x y 的乘除法次数尽量地少,应将该表达 式改写为 11 ,))64(3(10-= -++=x t t t t y ,为了减少舍入误差,应将表达式1999 2001- 数值计算方法试题一 数值计算方法试题一 一、 填空题(每空1分,共17分) 1、如果用二分法求方程043 =-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数,需对分( )次。 2、迭代格式)2(2 1 -+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在( )。 3、已知?????≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2 110)(2 33x c x b x a x x x x S 是三次样条函数,则 a =( ),b =( ),c =( )。 4、)(,),(),(1 x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数,则 ∑== n k k x l 0)(( ), ∑== n k k j k x l x 0 )(( ),当 2 ≥n 时 = ++∑=)()3(20 4 x l x x k k n k k ( )。 5、设1326)(2 4 7 +++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[1 n x x x f 和=?0 7 f 。 6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ,5个节点的求积公式最高代数精度为 。 7、{}∞ =0 )(k k x ?是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族,其中1)(0 =x ?,则 ?= 1 4 )(dx x x ? 。 8、给定方程组?? ?=+-=-2 21121b x ax b ax x ,a 为实数,当a 满足 ,且20<<ω时,SOR 迭代法收敛。 9、解初值问题 00 (,)()y f x y y x y '=?? =?的改进欧拉法 ?? ? ??++=+=++++)],(),([2),(] 0[111] 0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是 阶方法。 10、设?? ?? ? ?????=11001a a a a A ,当∈a ( )时,必有分解式T LL A =,其中L 为下三角阵,当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足( )条件时,这种分解是唯一的。 二、 选择题(每题2分) 1、解方程组b Ax =的简单迭代格式g Bx x k k +=+) () 1(收敛的充要条件是( )。 (1)1)(A ρ, (4) 1)(>B ρ 2、在牛顿-柯特斯求积公式: ?∑=-≈b a n i i n i x f C a b dx x f 0 )() ()()(中,当系数) (n i C 是负值时,公式的稳定性不能保证,所以实际应用中,当( )时的牛顿-柯特斯求积公式不使用。 (1)8≥n , (2)7≥n , (3)10≥n , (4)6≥n , x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1,-1,2时,f(x)=0,-3,4,求f(x)的二次插值多项式。 (1)用单项式基底。 (2)用Lagrange插值基底。 (3)用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解:(1)用单项式基底 设多项式为: , 所以: 所以f(x)的二次插值多项式为: (2)用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: (3) 用Newton基底: 均差表如下: xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为: 所以f(x)的二次插值多项式为: 由以上计算可知,三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求ex的近似值,要使截断误差不超过10-6,问使用函数表的步长h应取多少? 解:以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差,则有 式中 令得 插值点个数 是奇数,故实际可采用的函数值表步长 8、,求及。 解:由均差的性质可知,均差与导数有如下关系: 所以有: 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明:利用[xk,xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可; 当时,,构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理,存在及使得 在,,上对使用Rolle定理,存在,和使得 再依次对和使用Rolle定理,知至少存在使得 而,将代入,得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有: 确定误差限: 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk,xk+1]上有 而最值 进而得误差估计: 16、求一个次数不高于4次的多项式,使它满足,,。 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ,则=( ) A . B . C . D . 3. 通过点 的拉格朗日插值基函数满足( ) A . =0, B . =0, C .=1, D . =1, 4. 设求方程 的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组 作第一次消元后得到的第3个方程( ). A . B . C . D . π()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? A 1613122 3()()0011,,,x y x y ()()01,l x l x ()00l x ()110l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =() 00l x ()111 l x =()0 f x =12312312 20 223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=?232 x x -+=232 1.5 3.5 x x -+=2323 x x -+= 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设, 则 , . 2. 一阶均差 3. 已知时,科茨系数 ,那么 4. 因为方程 在区间 上满 足 ,所以 在区间内有根。 5. 取步长,用欧拉法解初值问题 的计算公 式 . 填空题答案 230.5 1.5 x x -=-T X )4,3,2(-==1||||X 2||||X =()01,f x x = 3n =()()() 33301213,88C C C === () 3 3C =()420 x f x x =-+=[]1,2()0 f x =0.1h =()211y y y x y ?'=+?? ?=? 1.已知 ln(2.0)=0.6931;ln(2.2)=0.7885,ln(2.3)=0 .8329,试用线性插值和抛物插值计算.ln2.1的值并估计误差 2.已知x=0,2,3,5对应的函数值分别为y=1,3,2,5.试求三次多项式的插值 3. 分别求满足习题1和习题2 中插值条件的Newton插值 (1) (2) 3()1(2)(2)(3) 310 N x x x x x x x =+--+--4. 给出函数f(x)的数表如下,求四次Newton 插值多项式,并由此计算f(0.596)的值 解: 5.已知函数y=sinx的数表如下,分别用前插和后插公式计算sin0.57891的值 6.求最小二乘拟合一次、二次和三次多项式,拟合如下数据并画出数据点以及拟合函数的图形。 (a) (b) 7.试分别确定用复化梯形、辛浦生和中矩形 求积公式计算积分2 14dx x +?所需的步长h ,使得精度达到5 10 -。 8.求A 、B 使求积公式 ?-+-++-≈1 1)] 21()21([)]1()1([)(f f B f f A dx x f 的 代数精度尽量高,并求其代数精度;利用 此公式求? =2 1 1dx x I (保留四位小数)。 9.已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求 ) (x f 的三次插值多项式)(3 x P ,并求)2(f 的近 似值(保留四位小数)。 10.已知 求)(x f 的二次拟合曲线)(2 x p ,并求)0(f 的近似值。 11.已知x sin 区间[0.4,0.8]的函数表 证明:如果求积公式()对函数f (x )和g (x )都准确成立,则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此,求积公式()具有m 次代数精度的充分必要条件是:它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立,但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立,次多,即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立,则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立,对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知:对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明: 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 直接验证中矩形公式具有一次代数精度,而Simpson 公式则具有3次代数精度。 数值计算方法考试试题 一、选择题(每小题4分,共20分) 1. 误差根据来源可以分为四类,分别是( A ) A. 模型误差、观测误差、方法误差、舍入误差; B. 模型误差、测量误差、方法误差、截断误差; C. 模型误差、实验误差、方法误差、截断误差; D. 模型误差、建模误差、截断误差、舍入误差。 2. 若132)(3 56++-=x x x x f ,则其六阶差商 =]3,,3,3,3[6210 f ( C ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 3. 数值求积公式中的Simpson 公式的代数精度为 ( D ) A. 0; B. 1; C. 2; D. 3 。 4. 若线性方程组Ax = b 的系数矩阵A 为严格对角占优矩阵,则解方程组的Jacobi 迭代法和Gauss-Seidel 迭代法 ( B ) A. 都发散; B. 都收敛 C. Jacobi 迭代法收敛,Gauss-Seidel 迭代法发散; D. Jacobi 迭代法发散,Gauss-Seidel 迭代法收敛。 5. 对于试验方程y y λ=',Euler 方法的绝对稳定区间为( C ) A. 02≤≤-h ; B. 0785.2≤≤-h ; C. 02≤≤-h λ; D. 0785.2≤≤-h λ ; 二、填空题(每空3分,共18分) 1. 已知 ? ??? ??--='-=4321,)2,1(A x ,则 =2 x 5,= 1Ax 16 ,=2A 22115+ 2. 已知 3)9(,2)4(==f f ,则 f (x )的线性插值多项式为)6(2.0)(1+=x x L ,且用线性插值可得f (7)= 2.6 。 3. 要使 20的近似值的相对误差界小于0.1%,应至少取 4 位有效数字。 三、利用下面数据表, 1. 用复化梯形公式计算积分 dx x f I )(6 .28 .1? =的近似值; 解:1.用复化梯形公式计算 取 2.048 .16.2,4=-= =h n 1分 分 分分7058337 .55))6.2()2.08.1(2)8.1((22.04)) ()(2)((231 1 1 4=+++=++=∑∑=-=f k f f b f x f a f h T k n k k 10.46675 8.03014 6.04241 4.42569 3.12014 f (x ) 2.6 2.4 2.2 2.0 1.8 x 一、 名词解释 1.误差:设*x 为准确值x 的一个近似值,称**()e x x x =-为近似值*x 的绝对误差, 简称误差。 2.有效数字:有效数字是近似值的一种表示方法,它既能表示近似值的大小,又能 表示其精确程度。如果近似值*x 的误差限是1 102 n -?,则称*x 准确到 小数点后n 位,并从第一个不是零的数字到这一位的所有数字均称为有效数字。 3. 算法:是指解题方案的准确而完整的描述,是一系列解决问题的清晰指令,算法代表着用系统的方法描述解决问题的策略机制。计算一个数学问题,需要预先设计好由已知数据计算问题结果的运算顺序,这就是算法。 4. 向量范数:设对任意向量n x R ∈,按一定的规则有一实数与之对应,记为||||x ,若||||x 满足 (1)||||0x ≥,且||||0x =当且仅当0x =; (2)对任意实数α,都有||||||x αα=||||x ; (3)对任意,n x y R ∈,都有||||||||||||x y x y +≤+ 则称||||x 为向量x 的范数。 5. 插值法:给出函数()f x 的一些样点值,选定一个便于计算的函数形式,如多项式、 分段线性函数及三角多项式等,要求它通过已知样点,由此确定函数 ()x ?作为()f x 的近似的方法。 6相对误差:设*x 为准确值x 的一个近似值,称绝对误差与准确值之比为近似值* x 的 相对误差,记为* ()r e x ,即** () ()r e x e x x = 7. 矩阵范数:对任意n 阶方阵A ,按一定的规则有一实数与之对应,记为||||A 。若||||A 满足 (1)||||0A ≥,且||||0A =当且仅当0A =; (2)对任意实数α,都有||||||A αα=||||A ; (3)对任意两个n 阶方阵A,B,都有||||||||||||A B A B +≤+; (4)||||||||AB A =||||B 数值分析试题 一、 填空题(2 0×2′) 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值,则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7-x 3+1,则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 , f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设,‖A ‖∞=___5 ____,‖X ‖∞=__ 3_____, ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ,则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时,若所求节点靠近首节点,应该选用等距节点下牛顿差 商公式的 前插公式 ,若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ;如果要估计结果的舍入误差,应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是:=∑=n i i x a 0)( 1 ;所以 当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ,计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%,至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ,线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 第三章 函数逼近与曲线拟合 1. ()sin 2 f x x π =,给出[0,1]上的伯恩斯坦多项式1(,)B f x 及3(,)B f x 。 解: ()sin ,2 f x π = [0,1]x ∈ 伯恩斯坦多项式为 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 其中()(1)k n k k n P x x x k -??=- ??? 当1n =时, 01()(1)0P x x ?? =- ??? 1101()(,)(0)()(1)()1(1)sin(0)sin 022P x x B f x f P x f P x x x x ππ=∴=+??=-?+ ??? = 当3n =时, 3 022 122233 31()(1)01()(1)3(1) 03()(1)3(1) 13()3P x x P x x x x x P x x x x x P x x x ?? =- ?????=-=- ????? =-=- ????? == ??? 3 3022322 33223 (,)()() 03(1)sin 3(1)sin sin 6 3 2 3(1)(1)25632221.50.4020.098k k k B f x f P x n x x x x x x x x x x x x x x x π π π =∴==+-+-+= --+-=++≈--∑ 2. 当()f x x =时,求证(,)n B f x x = 证明: 若()f x x =,则 (,)()()n n k k k B f x f P x n ==∑ 001 11(1)(1) 11(1)(1)(1)(1)!(1)[(1)(1)1](1)(1)!1(1) 11(1)1[(1)]n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n k n k k n n k x x k n k n n n k x x n k n n k x x k n x x k n x x x k x x x x -=-=-=-=----=-?? =- ???--+=-----+=---??=- ?-??-??=- ?-?? =+-=∑∑∑∑∑ 3.证明函数1,,,n x x 线性无关 证明: 若20120,n n a a x a x a x x R ++++=?∈ 分别取(0,1,2,,)k x k n = ,对上式两端在[0,1]上作带权()1x ρ≡的内积,得 一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有( )和( )位有效数字. A .4和3 B .3和2 C .3和4 D .4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ,则A =( ) A . 16 B .13 C .12 D .2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足( ) A . ()00l x =0, ()110l x = B . () 00l x =0, ()111 l x = C .() 00l x =1,()111 l x = D . () 00l x =1, ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛,则它具有( )敛速。 A .超线性 B .平方 C .线性 D .三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方 程( ). A . 232 x x -+= B . 232 1.5 3.5 x x -+= C . 2323 x x -+= D . 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 二、填空题(每小题3分,共15分) 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时,科茨系数 ()()() 33301213,88C C C ===,那么() 33C = 4. 因为方程()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满足 ,所以()0f x =在区 间有根。 5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公式 . 填空题答案 0,1,2数值计算方法试题及答案
北师大网络教育 数值分析 期末试卷含答案
《数值计算方法》试题集及答案
数值计算方法试题及答案
数值分析学期期末考试试题与答案(A)
数值分析期末考试复习题及其答案.doc
数值分析习题与答案
数值计算方法试题
数值计算方法》试题集及答案
数值计算方法试题一
数值分析作业答案
数值计算方法期末考试题
吉林大学 研究生 数值计算方法期末考试 样卷
数值计算第三章答案
《数值计算方法》试题及答案
数值计算方法期末复习答案终结版
数值分析试题及答案
数值分析参考答案(第三章)
数值计算方法期末考试题