高中数学必修1-5常用公式(精华版)

高中数学必修1-5常用公式（定理）

1．集合的交集、并集、补集．

A B （取A B 、的公共元素）

；A B （取A B 、的所有元素但不重复）

； U A e全集U 中除了A 中元素之外的元素

2．子集与真子集：若集合A 中有n 个元素，则集合A 有2n 个子集，21n -个真子集．?是任何集合的子集．

3．二次函数2

y ax bx c =++(0)a ≠． 可化为2

24()24b ac b y a x a a -=++(0)a ≠

它的图象是抛物线，对称轴为2b

x a

=-，顶点坐标为24(,)24b ac b a a --； 二次函数的3种解析式：

（1）一般式：2

()f x ax bx c =++(0)a ≠； （2）顶点式：2

()()f x a x h k =-+(0)a ≠； （3）零点式：12()()()f x a x x x x =--(0)a ≠． 4．函数的单调性．

（1）设[]12,x x a b ?∈，12x x ≠，则

[]1212()()()0x x f x f x -->?

[]1212()()

0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；

[]1212()()()0x x f x f x --

[]1212

()()

0(),f x f x f x a b x x -

（2）函数)(x f y =在某个区间内可导，若0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；若0)(<'x f ，则)(x f 为减函数． 5．函数()y f x =的图象的奇偶性．

（1）函数的定义域必须关于原点对称；

（2）若)(x f 是奇函数，那么()()f x f x -=-，若)(x f 是偶函数，那么()()()f x f x f x -== （3）定义域含零的奇函数必过原点，即(0)0f =.

（4）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称． 6．函数()y f x =的图象的对称性．

函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()(2)()f a x f a x f a x f x ?+=-?-=． 7．两个函数图象的对称性．

（1）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =（即y 轴）对称； （2）函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =（即x 轴）对称； （3）函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于原点对称；

*（4）函数)(x f y =和)(1

x f

y -=的图象关于直线y x =对称（1()f x -是()f x 的反函数）．

8．函数()y f x =的周期性：若()()f x T f x +=，0T ≠，则()f x 是以T 为周期的函数．

9

．分数指数幂：m n

a =0,,a m n N *

>∈，且1n >）.1m n

m n

a

a

-=

　（0,,a m n N *

>∈，且1n >）．

10．指数的运算公式：m

n

m n

a a a

+=； m m n n a a a

-=； ()m n mn a a =； ()m m m

ab a b =

11．对数的运算公式：log b a N b a N =?=(01,0)a a N >≠>且． l o g a N a N =(01,0)a a N >≠>且．

log ()log log a a a MN M N =+； l o g ()l o g l o g a a a

M

M N N

=-． log log m N N =l o g l o g n

n b b =

12．零点：函数()y f x =的图象与x 轴交点的横坐标（当0y =时，x 的值）．

零点存在定理：若函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续的，且有()()0f a f b ?<，则()f x 在(,)a b 内至少有一个零点．

13．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和体积：

2S rl π=圆柱侧； S r l π=圆锥侧； 12)S r r l π=+圆台侧（； S c h =直棱柱侧； '

12

S c h =

正棱锥侧； ''1)2S c c h =+正棱台侧（； V S h =柱体； 13V Sh =锥体；

1

3

V S S h =+下台体上（．

14．球的表面积和体积：设球的半径是R ，则其表面积24S R π=，体积3

43

V R π=．

15．线面平行判定定理：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．

线面平行性质定理：若一条直线与一个平面平行，过该直线的平面和此平面相交，则该直线和交线平行． 16．面面平行判定定理：若一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．

面面平行性质定理：若两个平行平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行．

17．线面垂直判定定理：若平面外的一条直线垂直于平面内的两条相交直线，则该直线垂直于这个平面．

线面垂直性质定理：若一条直线垂直于一个平面，则该直线垂直于此平面内的任意一条直线．

垂直于同一个平面的两条直线平行；垂直于同一条直线的两个平面平行．

18．面面垂直判定定理：若一个平面过另一平面的垂线，则这两个平面相互垂直．

面面垂直性质定理：若两个平面互相垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 19．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直．

20．斜率公式：21

21

tan y y k x x α-==- （90α≠，12x x ≠）．

21．直线的方程：

（1）点斜式：00()y y k x x -=-；

（2）斜截式：y kx b =+（b 为直线l 在y 轴上的截距）；

（3）截距式：

1x y

a b +=（注意：① 截距不是距离；② 过原点的直线也具有横、纵截距相等的特征）

； （4）两点式：11

2121

y y x x y y x x --=--（12x x ≠，12y y ≠）；

（5）一般式：0Ax By C ++=（其中A 、B 不同时为0）．

22．两条直线的平行与垂直．

（1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+，① 121212//,l l k k b b ?=≠；② 12121l l k k ⊥?=-． （2）若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=，且1A 、2A 、1B 、2B 都不为零，

① 111

12222

//A B C l l A B C ?

=≠

； ② 1212120l l A A B B ⊥?+=． 23．平面两点间的距离公式：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y

，则AB =

24．空间两点间的距离公式：若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z

，则AB =

25．点到直线的距离：

d =（点00(,)P x y ，直线l ：0Ax By C ++=）；

平行线间的距离：

d =

（直线1l ：10Ax By C ++=，直线2l ：20Ax By C ++=）．

26．圆的方程：（1）圆的标准方程：2

2

2

()()x a y b r -+-=，圆心为(,)a b ，半径为r ；

（2）圆的一般方程：2

2

0x y Dx Ey F ++++=（22

40D E F +->）．

27．直线0Ax By C ++=与圆222

()()x a y b r -+-=的位置关系的判定方法：

（1）d r >?相离0??<； （2）d r =?相切=0??； （3）d r ． 28．两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为1O ，2O ，半径分别为：1r ，2r ，12OO d =． （1）12d r r >+?外离； （2）12=d r r +?外切； （3）1212r r d r r -<<+?相交； （4）12=d r r -?内切； （5）120d r r <<-?内含．

29．直线与圆锥曲线相交的弦长公式：12AB x x ==-．

30．方差：2222

121[()()()]n S x x x x x x n =-+-+???+-；标准差：S =

31．古典概型的概率()m

P A n

=（m 表示随机事件A 包含的基本事件数，n 表示试验的所有基本事件数）. 32．几何概型的概率()A

P A μμ

=

（A μ表示事件A 发生区域的几何度量，μ表示试验中总区域的几何度量，如长度、面积、体积等）.

33．任意角（逆时针旋转→正角，顺时针旋转→负角）：与α终边相同的角的集合：{|2,}k k Z ββαπ=+∈． 34．弧度制：（1）α=

l r ，l =r α?；（2）180=π rad ；1rad 57.3≈；（3）扇形面积S =211

22

lr r α=． 35．任意角的三角函数：一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(,)x y ，它与原点的距离为r (0)r >，

则sin α=

y r c o s

α=x r tan α=y

x

(0)x ≠． 36．同角三角函数的基本关系式：2

2

sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin ，tan cot 1θθ?=． 37．诱导公式（口诀：纵变横不变，符号看象限）：如sin()πα+=sin α-，sin()2π

α+=cos α等．

38．两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角、降幂公式：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 22t a n

t a n 21t a n αα

α=- 21+cos2cos 2αα=，2

1cos2sin 2αα-=

*（2

2tan sin 21tan ααα=+； 221tan cos 21tan ααα-=+）．

39．辅助角公式（合一思想）：sin cos a b αα+)α?+（其中tan b

a

?=）．

40．正余弦“三兄妹”sin cos x x ±、sin cos x x 的内在联系：2

(sin cos )12sin cos 1sin 2x x x x x ±=±=±．

41．正弦定理：

2sin sin sin a b c

R A B C ===（R 为外接圆的半径）

． 42．余弦定理：222

2cos a b c bc A =+-； 222c o s 2b c a A bc

+-=．

43．三角形的面积公式：111sin ()222

a S a

b C ah r a b

c ===++（其中r 为三角形内切圆半径）．

44．中点的坐标公式与△ABC 的重心坐标公式：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，C 33(,)x y ，

则AB 的中点为P 1212

(

,)22x x y y ++，△ABC 的重心坐标为G 123123(,)33

x x x y y y ++++． 45．已知两点求向量坐标：若A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，则2121(,)AB x x y y =--．

46．向量的模公式：已知a 11(,)x y =

，

=a

=2

2=a a ．

47．向量的数量积与夹角公式：已知a 11(,)x y =，b 22(,)x y =，

cos θ?=?a b a b 1212x x y y =+； c o s ,<>a b

c o s θ=?=?a b a

b =

48．向量的平行与垂直：（1）平行：a ∥b ?b λ=a 12210x y x y ?-=（0≠a ）；

（2）垂直：a ⊥b ?a ·0=b 12120x x y y ?+=．

49．已知前n 项和n S 求通项公式：11,

1,2n n

n S n a S S n -=?=?-≥?．

50．等差数列的通项公式：1(1)n a a n d =+-； m n p q a a a a +=+（其中m n p q +=+）．

等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+21()22d d

n a n =+-． 51．等比数列的通项公式：1

1n n a a q -=； m n p q a a a a ?=?（其中m n p q +=+）．

等比数列的前n 项和公式：111

(1),111,1n n n a a q

a q q S q q

na q ?--=≠?

=--??=?． 52．等差中项与等比中项：若,,a b c 成等差数列，则2b a c =+；若,,a b c 成等比数列，则2

b a

c =． 53．解一元二次不等式2

0ax bx c ++>(0)<或，其中0a >，2

40b ac ?=->．

若12x x <，则121()()0a x x x x x x -->?<或2x x >；1212()()0a x x x x x x x --，则22x a x a a x a

22x a x a >?>?x a <-或x a >．

55．基本不等式（均值不等式）．

（1）,a b R ∈?2

2

2a b ab +≥（当且仅当a b =时等号成立），变形：22

2

a b ab +≤；

（2）,a b R +

∈

?2a b +≥a b =时等号成立），变形：2()2

a b ab +≤；

*（3）333

3a b c abc ++≥(0,0,0)a b c >>>； *（4）a b a b a b -≤±≤+．

56．几种常见函数的导数．（1）0='C （C 为常数）； （2）'1

()n n x nx -=()n Q ∈； （3）x x cos )(sin ='；

（4）x x sin )(cos -='； （5）x x 1)(ln =

'；1(log )ln a x x a

'=； （6）x x e e =')(；a a a x

x ln )(='． ?

??别忘了A B C π++=