2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析(官方）

一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.

2. C.

3.

D.4.

2.设函数??

?>≤=,

0,ln ,

0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的

A.可导点，极值点.

B.不可导点，极值点.

C.可导点，非极值点.

D.不可导点，非极值点.

3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是

A..1∑∞

=n n n

u B.

n

n n

u 1)

1(1∑∞

=-. C.∑∞

=+???

? ??-111n n n u u . D.

()

∑∞

=+-1

22

1n n n u u

.

4.设函数2

),(y x

y x Q =

，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+C

dy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为

A.32

y

x y -.

B.321y

x y -. C.

y x 11-. D.y

x 1-

. 5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22

=+，且4=A ，则二次型

Ax x T 的规范形为

A.232221y y y ++.

B.232221y y y -+.

C.232221y y y --.

D.2

32221y y y ---.

6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程

)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i

组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则

A..3)(,2)(==A r A r

B..2)(,2)(==A r A r

C..2)(,1)(==A r A r

D..1)(,1)(==A r A r

7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P +=Y B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =

8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2

σμN ，则{}

1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2

,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.

二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 9. 设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则

y

z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22

=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .

11. 幂级数n

n n x n ∑∞

=-0)!

2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .

12. 设∑为曲面)0(442

22≥=++z z y x 的上侧，则

dxdy z x z

??

--2244= .

13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若

21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线

性方程组0=x A 的通解为 .

14. 设随机变量X 的概率密度为?????<<=，其他，

02

0,2)(x x

x f ）

（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）

（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（本题满分10分）

设函数)(x y 是微分方程2

'2x e xy y -

=+满足条件0)0(=y 的特解.

（1）求)(x y ；

（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.

16.（本题满分10分）

设b a ,为实数，函数2

2

2by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.

（1）求b a ,；

（2）求曲面22

2by ax z ++=（0≥z ）的面积.

17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x

与x 轴之间图形的面积.

18.设dx x x a n n ?-=1

02

1，n =（0，1，2…）

（1）证明数列{}n a 单调减少，且22

1

-+-=n n a n n a （n =2，3…） （2）求1

lim

-∞→n n

n a a .

19.设Ω是锥面())10()1(22

2

2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心

坐标.

20.设向量组

T

T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3

R 的一个基，T

)1,1,1(=β在

这个基下的坐标为T

c b )1,,(.

（1）求c b a ,,.

（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.

21.已知矩阵??????????----=20022

122x A 与???

???????-=y B 00010012相似

（1）求y x ,.

（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-

22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为

{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =

（1）求z 的概率密度.

（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?

23.（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为

??

?

??<≥--=,

0,2)(),(2

2

2μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，

，21来自总体X 的简单随机样本.

（1）求A ；

（2）求2

σ的最大似然估计量

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

1.C

2.B

3.D

4.D

5.C

6.A

7.C

8.A

9.

y

x x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos 12.

3

32 13. ，T

)1,2,1(-k k 为任意常数. 14.

3

2

15. 解：（1）)()()(2

2

22c x e

c dx e e

e x y x xdx

x xdx

+=+??=-

-

-?，又0)0(=y ，

故0=c ，因此.)(22

1x xe

x y -=

（2）2222

12

212

2

1)1(x x x e

x e

x e

y ----=-='，

22222

12

2

13

2

12

2

1)3()3()1(2x x x x e

x x e

x x xe x xe

y -----=-=---=''，

令0=''y 得3,0±=x

所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(2

3

---e

，)3,3(2

3-

e .

16. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()

4,3(b a z =grad ，

由题设可得，

4

836-=

-b

a ，即

b a =，又()()10862

2=+=b a z grad ，

所以，.1-==b a

（2）dxdy y z x z S y x ??

≤+??+??+=

2

2

222)()(

1=dxdy y x y x ??≤+-+-+2

2222)2()2(1 =

dxdy y x y x ??≤+++2

2

2

22441 =ρρρθπ

d d ??

+202

2

41=20

2

3

2)

41(12

12ρπ+?=

.3

13π 17.

18.

19.由对称性，2,0==y x ，

??????????????--===Ω

Ω

1

02

1

02

10

1

)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z z

z

D D ππ=.4

13

1121)1()1(1

2

1

2

==--??dz z dz z z

20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????， 解得322a b c =??

=??=-?

.

（2）()23111111=331011231001ααβ????????→-????????????

，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.

()()12323=P αααααβ，，，，

则()()1

231231101=0121002P ααβααα-??

??????=-????????

，，，，.

21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+??-=-?，解得3

2

x y =??=-?

（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=20α?? ?- ? ???；2=1λ-，22=10α-?? ? ? ???；3=2λ-，31=24α-??

? ? ???

.

所以存在()1123=P ααα,,，使得1

11212P AP -????=Λ=-??

??-??

. B 的特征值与对应的特征向量分别为

1=2λ，11=00ξ?? ? ?

?

??；2=1λ-，21=30ξ?? ?- ? ???；3=2λ-，30=01ξ??

? ? ???.

所以存在()2123=P ξξξ,,，使得1

22212P AP -??

??=Λ=-??

??-??

. 所以112211=P AP P AP --=Λ，即11

12112

B P P APP P AP ---== 其中1

12111212004P PP --??

??==--??

????

. 22.解：（I ）Z 的分布函数

(){}{}{}{}(){}

,1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤

从而当0z ≤时，()z

F z pe =；当0z >时，()()()

()1111z z F z p p e p e --=+--=--

则Z 的概率密度为()(

),01,0z

z

pe

z f z p e z -???. （II ）由条件可

得()()()()()()()()()

22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，

又

()()1,12D X E Y p ==-，从而当1

2

p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.

（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当1

2

p =时，

121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -???

?????≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤????????

???

??????

???==- ?

?????

而12112P X e -??≤=-????，1

21111112222222P Z P X P X e -????????

≤=≤+≥-=-?????? ?????????

，显

然1111,2222P X Z P X P Z ???

???≤

≤≠≤≤?????????

???，即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解：（I ）由()2

2

21x A

e

dx μσμ

σ

--

+∞

=?

t =

201t e dt +∞-==?，

从而A =

（II ）构造似然函数()()221

12212,,1,2,,,,,,0

,n

i i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--?∑???≥= ?=????

?L L 其他，当时，取对数得()

2

2

2

1

1ln ln ln 22n

i

i n L n A x σμσ==--

-∑，求导并令其

为零，可得

()

2

2241

ln 1

022n

i i d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为

()2

1

1n i i x n μ=-∑.

,1,2,,i x i n

μ≥=L