纪博士数数12345和于特讲题

纪博士数数12345于特讲题

纪东旭于特郑梦前

学悟有别，你我自取，教学践行，适切至上！（林福凯）

数学解题五境界

第一个境界：正确解题．很多同学以为如果一道题目做错，订正一下，知道哪里错了，怎么做，就行了，其实这只是最低境界．

第二个境界：一题多解．我们要养成的良好习惯是，不要满足于用一种做法和思路解题．一道题目做完之后想一想还有没有其它方法，哪种方法更简单．对于最后的结果，是不是可以有其它

的合理解释．

第三个境界：多题一解．完成一道题目的分析后，尝试推而广之，或把其中的数字换成字母，或把一些条件做一些改变，从这道题目延伸出去，探究与此相关的一类题目．

第四个境界：发现定理．到了这个境界，可以自己发现一些结论或定理、规律。这些结论、定理规律都是解题的有用工具。解题高手都有自己的定理库．

第五个境界：自己编题．解题的最高境界是能够编题。不是所有的老师都具备编题的能力。解题高手拿到一道题目，会知道出题者的意图，会发现出题者的陷阱。即便出题者粗心出现了一个

错误，他也能够很快地纠正纠偏．

刘俊勇：如果没有真正消化吸收为自己的东西，过一段时间就忘却了，真正弄清楚更重要，远胜于蜻蜓点水式浏览一遍．

一方面重视技巧，尤其是考试技巧学习技巧，另一方面回归数学本质，回归教育意义当我们听到一个技巧的时候，除了拿来使用之外，还需要去体会专家在思考、总结过程的数学思考，这个我觉得更加重要和有意义。因为专家的本意也正是立足于思想的交流，而不是一招一式的传递，在本地方

的一些小型的培训中，我注意到活动中最最怕的就是坐在下面的教师一直把自己当成听众、容器，同时，相当一部教师的都有简单的拿来主义和简单的怀疑主义倾向，这个也特别可怕数学是思维的体操，没有绝技想拿冠军是不可能的。以教材为主对大部分学生适用，但在我们这光靠教材的知识点，中考想考满分概率为零。学灵魂在于积累、创新、规纳而不是照搬的模仿和接受，要有自己的数学大格局，适合自己的就是最好的！

版块一引入问题

1．如图1-1，在3×3的网格中标出了∠1和∠2，则∠1＋∠2＝

图1-1图1-2

2．如图1-2，在△ABC 中，∠BAC ＝45°，AD 是BC 边上的高，BD ＝3，DC ＝2，则AD 的长为_________．版块二“123”+“45”的来源

一般化结论：若45αβ+=?则有1tan a α-=

+，1tan β=（1a >），当32a =时，则得到21tan tan =3

5αβ=（了解）当a =2时，则得到1

1tan tan =23

αβ=（重要）当52a =时，则得到23tan tan =5

7αβ=（了解）;当4a =时，则得到1

3tan tan =45

αβ=（次重要）

【例1】（济南市中考题）如图2-1，AOB ∠是放置在正方形网络中的一个角，则cos AOB ∠的值是．

图2-1【例2】（2015湖北十堰）如图2-2，正方形ABCD 的边长为6，点E ，F 分别在AB ，AD 上，若CE =53，

且∠ECF =45°，则CF 的长为（）

A ．102

B ．53

C ．5103

D ．1053

图2-2

倍角与半角构造

当出现等腰三角形或翻折的背景问题时，解决策略“??顶角底角顶角”解题依据“1902

?－顶角＝底角”．

如图，在等腰三角形ABC 中，AB =AC ．

⑴若tan 2BCA ∠=，则tan BAC ∠=．⑵若4tan 3BAC ∠=，则tan ABC ∠=．

【例3】如图2-3，已知正方形ABCD 中，E 为BC 上一点．将正方形折叠起来，使点A 和点E 重合，

折痕为MN ．若3

1tan =

∠AEN ，DC ＋CE ＝10．⑴求△ANE 的面积；⑵求ENB ∠sin 的值．

图2-3

【例4】如图2-4，已知正方形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ，点E 在BC 上，且CE=2BE ，

过B 点作BF ⊥AE 于点F ，连接OF ，则线段OF 的长度为。

图2-4

【例5】（2011?武汉）如图2-5，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，过A 作OP 的垂线AB ，垂足为点C ，

交⊙O 于点B ，延长BO 与⊙O 交于点D ，与PA 的延长线交于点E ．

⑴求证：PB 为⊙O 的切线；

⑵若tan ∠ABE =，求sin ∠E ．

图2-5

【例6】如图2-6，正方形ABCD 中，点P 是BC 的中点，把△PAB 沿着PA 翻折得到△PAE ,过C 作

CF ⊥DE 交DE 延长线于点F ，若CF =2，则DF =．

图2-6

（2002?盐城）已知：如图2-7，在直角三角形ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，E 为AC 上一点，点G 在BE 上，连接DG 并延长交AE 于F ，若∠FGE ＝45°．

⑴求证：BD ?BC ＝BG ?BE ；⑵求证：AG ⊥BE ；⑶若E 为AC 的中点，求EF ：FD 的值．

【例7】（江苏省竞赛题）如图2-8，等腰Rt ABC △中，90C ∠=?，D 为BC 中点，将ABC △折叠，使

A 点与D 点重合，若EF 为折痕，则sin BED ∠的值为．

图2-8

【例8】（全国初中数学联赛试题）如图2-9，在正方形ABCD 中，N 是DC 的中点，M 是AD 上异于D 的

点，且MBC NMB ∠=∠，则有=∠ABM tan ．

图2-9

【例9】（天津市竞赛试题）如图2-10，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AD ⊥CD ，BC ＝CD ＝2AD ，E 是CD

上一点，∠ABE ＝450，则AEB ∠tan 的值等于（）

A ．23

B ．2

C ．25

D ．3

图2-10

【例10】如图2-11，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，BC=2AD，点E在对角线AC上，且AE=AB,连接

BE，tan∠ABE=2．若∠DAC=60°，CD BE的长为．

图2-11

【例11】（2010?上海）如图2-12，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．半径为1的圆A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与线段BC的延长线交于点P．

⑴若CE=2，BD=BC，求∠BPD的正切值；

⑵若tan∠BPD=，设CE=x，△ABC的周长为y，求y关于x的函数关系式．

图2-12

【例12】如图2-13，在平面坐标系中，点A(3，0),B(0，4),点C在x轴的负半轴上，且∠OAB=2∠BCO，求点C的坐标．

图2-13

【例13】如图2-14，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交直线BC于点E，交直线AB与点F，若AB=4，BE=3，则BF的长为．

图2-14

【例14】如图2-15，在矩形ABCD 中，AB =10，BC =20，若在BC 、BD 上分别取一点M 、N ，使得MN +NC 的值最小，则这个最小值为．

图2-15

【例15】如图12-16，将矩形ABCD 沿BE 折叠，使得点C 落在点G 处，若DE =1，CE =2，BC =6，则AF 的长为．

图2-16

版块三12345拓展

若定义符号“2”表示正切值为2的锐角，其余类似，则⑴．"1""1""2"90,"3"9023

+=?+=?；

⑵．"1""1"45,"2""3"13523

+=?+=?；

⑶．"1""1"2=+45,"3"4532

?=?；

⑷．"1""1""4""1""1""3",+=+=；

【例16】（202年泰州市中考题）如图3-7，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A 、B 、C 、

D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点P ，则tan APD ∠的值是．

图3-7

【例17】如图3-8，二次函数223y x x =--，D （,0），在第四象限的抛物线上存在点P ，使线段AP 与直

线CD 的夹角为45°，求点P 的坐标．

图2-8

【例18】如图3-20，在边长为2的正方形ABCD 中，边CD 上有一个动点，将△ADE 沿AE 翻折得△AEF ，

连接BD ，分别交AE 、AF 于点M ，O ，作∠BAF 的角平分线AN 交BD 于点N ，若BN =则OE =．

图3-20

【例19】(盘锦2015)如图3-9-⑴，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx +3交x 轴于A （﹣，0）和B （5，0）两点，交y 轴于点C ，点D 是线段OB 上一动点，连接CD ，将线段CD 绕点D

顺时针旋转90°得到线段DE ，过点E 作直线l ⊥x 轴于H ，过点C 作CF ⊥l 于F ．⑴求抛物线解析式；()()315y x x =-+-

⑵如图3-9⑵，当点F 恰好在抛物线上时，求线段OD 的长；

⑶在⑵的条件下：

①连接DF ，求tan ∠FDE 的值；

②试探究在直线l 上，是否存在点G ，使∠EDG =45°？若存在，请直接写出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．

版块四于特讲（解）题

20．如图，在正方形ABCD 中，AB =6，点E 在边CD 上,13

DE DC =，连接AE ，将△ADE 沿AE 翻折，点D 落在点F 处，点O 是对角线BD 的中点，连接OF 并延长OF 交CD 于点G ，连接BF ，BG ，则△BFG 的周长是．

10DK BG ==DF FG DG DC CK DK ==,462210DF FG ==,6101055DF FG ==,125225

BF FH DF ===,

12

510BFG C =△．2,3CG HG ==,

10BG =,35BH =,355FH =,65FJ =,2105FG =12

5105BFG C =△我打算从四个方面讲解．临时拉了一个提纲：

一、角的拓展

“12345”主要是研究特殊角的大小．大家可以思考，你在这个图形，能够获得哪些角的大小？

图（1）

图（1）显然∠1与∠2两个角的正切值为1/3,由"1""1""3"334

+=,因此可得∠1＋∠2正切值为3/4从而可得∠BAF 正切值为4/3（这是基于两个角互余，正切值互为倒数）；不要以为这是高中知识．实际上就是同一个直角三角形中两个互余锐角的事情．

图（2）

图（2）由"1""1""4"223

+=，因此可得∠BAF （即顶角）一半的正切值为1/2．从而可得∠ABF 的正切值为2,由("1""2"902+

=?)，因此∠FBC 的正切值为1/2

要知道，这些知识，写得慢，对于会的人，在头脑中盘算极快．

本身，你要学会口算，自然得掌握一些基本功．

没有这样的基本功，你第一次听这样的讲座是非常累人的．

二、适度几何．

既然是几何问题，就尽可能挖掘其中的几何性质．

就这个图形中，有哪些几何性质可值得挖掘呢？

图（3）图（4）图（5）

图（3）：由于△ABM∽△EDM，因此MB＝2MD

由此可得MB＝2MD，进一步可得MO＝MD，即M是OD的中点．MB=3MD

图（4）由于翻折，因此DN＝NF，且DF⊥AE．因此AE∥OG

图（5）考虑AE与DF垂直关系，且∠DAE的正切值为1/3．这样又可以得到一大片角的信息．∠FDG的正切值为1/3，∠DGF的正切值为3

最最关健的还得到一个重要的几何信息：E、G是边CD的三等分点！

图（6）如此一来，大家注意了没有：OG与BG相当于光反射．

这是由于∠OGD与∠BGC的正切值均为3．

图（6）

镜面为CD,满足光反射，通常反向延长，得到在一条直线上．由上立马得到GB＝GP，这一点非常关键．因此要求△BFG的周长，就只要求BF＋FP的长．由此简化了原问题．

三、“2316模型”

其实，“12345”这些问题，在哈尔滨地区研究得最多．他们甚至研究到“2316模型”

我也是刚刚不久，在与刘俊勇老师共同揣摩下，才自认为有点熟悉了所谓“2316模型”

所谓的“2316”模型，是指两个基本图形：模型1．231；模型2．236

大家有没有注意，∠B＋∠C＝45°，就是纪博士今天讲解的内容．

对于“231模型”，仅仅了解这一点还是不够的．还要了解外围大三角形三边长之间的关系．而这并不是一件困难的事情．

即三边之比为5236模型”是指这个图形．这里就不展开了．

四、发起总攻！

图（7）请大家看这个图形，△FBP就是标准的“231模型”．

图（7）

这是由于∠FBP 的正切值为1/2，∠FPB 的正切值为1/3．下面发起总攻！BP ＝12，占5份，一份是多少？当然是12/5．在这种情况下，BF ＋FP 是多少份？当然是“根10＋根5”份了，那么BF ＋FP 是多

少呢？当然也就是△BFG 周长＝BF ＋FP ＝125

！21．已知一次函数的图像经过A (-2，-1)、B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D ,

求一次函数解析式，求tan ∠OCD 的值,求∠AOB 的度数．

22．已知△ABC 是等腰直角三角形，∠A =90°，点D 是腰CA 上一动点，过点C 作CE 垂直BD 的延长线，

垂足为E ，(1)如图（1），若BD 是AC 的中线，求的值

BD CE ；(2)如图（2）若1AD AC n =,求BD CE

的值．

23（2016?常州一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线7y kx =-与y 轴交于点C ，与x 轴交于点B ，

抛物线214y ax bx a =++经过B 、C 两点，与x 轴的正半轴交于另一点A ，且OA ：OC ＝2：7．

（1）求抛物线的解析式；219722

y x x =-+-（2）点D 为线段CB 上一点，点P 在对称轴的右侧抛物线上，PD ＝PB ，当tan 2PDB ∠＝，求P 点的坐标；

（3）在（2）的条件下，点Q （7，m ）在第四象限内，点R 在对称轴的右侧抛物线上，若以点P 、D 、Q 、

R 为顶点的四边形为平行四边形，求点Q 、R 的坐标．

24．（2015?南通）?已知抛物线22

=-++-m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x?1

y x mx m m

21

⑴求证：点P在直线l上；

⑵当m＝?3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x

轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；

⑶若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条

件的m的值．

25．(2016新疆建设兵团第23题)如图，抛物线23(0)

=+-≠的顶点为E，该抛物线与x轴交于A、

y ax bx a

B两点，与y轴交于点C，且BO=OC=3AO，直线11

=-+与y轴交于点D．

y x

⑴求抛物线解析式；

⑵证明△DBO≌△EBC；

⑶在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是等腰三角形？若存在，请直接写出符合条件的P点坐

标，若不存在，请说明理由．

刷子（吴小平）分享：

如图所示，作边长为3、4、5的直角三角形的内心O ，过点O 作三边的垂线，则有:

1tan 3OAD ∠=,1tan 2

OBD ∠=,而45OAD OBD ∠+∠=?；tan 3,tan 2AOD BOD ∠=∠=,而135AOD BOD ∠+∠=?；1tan tan OAD OAE ∠=∠=,而3tan BAC ∠=’1tan tan 2OBD OBF ∠=∠=,而4tan 3ABC ∠=．1．如图⑴，在△ABC 中，∠ABC =90°，BC =BA ，D 是AC 上一点，CE 垂直BD ，AF ⊥BD ．

⑴当CE =2BE ，则DE :CE 的值为；

⑵如图⑵，过CD 的中点作MN ⊥AC 分别交BC 、CE 于点N 、O ，若MO =NO =2，则△ABC 的面积为．

2．如图，AB =AC ,M 为BC 的中点，AM =BC ，∠ABD =45°，∠DCB =90°，若AD =2015，那么BC 的长为．

3．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 的坐标分别为（-1,0）、（0,2），点C 在第一象限，∠ABC =135°，AC 交y 轴于点D ，CD =3AD ,反比例函数k y x =的图像经过点C ，则k 的值为．

4．如图，正方形ABCD 的边长为，对角线AC 、BD 交于点O ，Q 是BC 延长线上一点,AQ 交BD 于点E ，交CD 点P ，OQ 交CD 点E ，若EF ∥AC ，则OF 的长为．

5．如图，在平面直角坐标系中，点M 的坐标为（5,3），M 5，一束光线从点A （0,2）出发，经过x 轴上点P 反射后，恰好与M 相切，则点P 的坐标为．

6．如图，抛物线2722y x x =-++与直线122

y x =+交于C 、D 两点，其中点C 在y 轴上，点P 是y 轴右侧抛物线上一动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交CD 于点F ,若存在点P ，使得∠PCF =45°，则点P 的坐标为．

7．如图，直线122

y x =-与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =++过A 、B 两点，点C 是抛物线上一点，满足∠ABC =45°，则点C 的坐标为．

8．如图，在△ABC 中，BC =30，CA =40，AB =50，D 、E 是△ABC 内两点，满足AD 平分∠CAB ，BE 平分∠CBA ，DE ∥AB ，且DE =10，则△CDE 的面积为

9．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 在BC 上，连接AD ，若∠CAD =∠B ，3tan DAB ∠=，25BD =,则线段AC 的长为．

10．如图，抛物线245y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点，直线334

y x =-+与y 轴交于点C ，与x 轴交于点D ，点P 是第一象限的抛物线上一动点，过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，交直线CD 与点E ,设点P 的横坐标为m ，若点E '是点E 关于直线PC 的对称点，是否存在点P 使点E '落点落在y 轴上？若存在，请求出相应的点P 坐标；若不存在，请说明理由．

上海彭亚(81228570)22:08:04

我的学习浅见:12345法，来源于45度角的思考，于是，矩形大法出现了，构造出Rt三角形，运用正切值，归纳出许多有趣且美的结论。如果tan∝=n/m，那么tan(45度一∝)=ln-mⅠ/(m+n)，tan(45度+∝)=(m+n)/ln-mⅠ。所以在图形中找到、或构造出两角和或差为45度的Rt△，那么可以秒了。希望对初学者有帮助。另外，发现，垂直处理、矩形大法、增量巧设都是好兄弟，45度与正切值是他们宠儿。