高中数学会考知识点总结
高中数学会考知识点总结
第一章 集合与简易逻辑 1、
集合
(1)、定义:某些指定的对象集在一起叫集合;集合中的每个对象叫集合的元素。 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性;表示一个集合要用{ }。 (2)、集合的表示法:列举法()、描述法()、图示法();
(3)、集合的分类:有限集、无限集和空集(记作φ,φ是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集);
(4)、元素a 和集合A 之间的关系:a ∈A ,或a ?A ;
(5)、常用数集:自然数集:N ;正整数集:N ;整数集:Z ;整数:Z ;有理数集:Q ;实数集:R 。 2、子集
(1)、定义:A 中的任何元素都属于B ,则A 叫B 的子集 ;记作:A ?B , 注意:A ?B 时,A 有两种情况:A =φ与A ≠φ
(2)、性质:①、A A A ??φ,;②、若C B B A ??,,则C A ?;③、若A B B A ??,则A =B ; 3、真子集
(1)、定义:A 是B 的子集 ,且B 中至少有一个元素不属于A ;记作:B A ?; (2)、性质:①、A A ?≠φφ,;②、若C B B A ??,,则C A ?; 4、补集
①、定义:记作:},|{A x U x x A C U ?∈=且;
②、性质:A A C C U A C A A C A U U
U U ===)(,,Y I φ; 5、交集与并集
A
B
A
(1)、交集:}|{B x A x x B A ∈∈=且I
性质:①、φφ==I I A A A A , ②、若B B A =I ,则A B ? (2)、并集:}|{B x A x x B A ∈∈=或Y
性质:①、A A A A A ==φY Y , ②、若B B A =Y ,则B A ?
6、一元二次不等式的解法:(二次函数、二次方程、二次不等式三者之间的关系)
判别式:△=b 2-4ac
0>?
0=? 0
二次函数
)0()(2>++=a c bx ax x f
的图象
一元二次方程
)0(02>=++a c bx ax 的根
有两相异实数根
)(,2121x x x x <
有两相等实数
根
a b
x x 221-== 没有实数根
一元二次不等式
)0(02>>++a c bx ax 的解
集 },|{21x x x x x ><
“>”取两边
}2|{a
b
x x -≠
R
一元二次不等式
)0(02><++a c bx ax 的解
集
}|{21x x x x <<
“<”取中间
φ φ
不等式解集的边界值是相应方程的解
含参数的不等式ax 2+b x +c>0恒成立问题?含参不等式ax 2+b x +c>0的解集是R ;
A
B
x 1
x 2
x
y
O x 1=x 2
x y
O
x
y
O
其解答分a =0(验证bx +c>0是否恒成立)、a ≠0(a<0且△<0)两种情况。
第二章 函数
1、映射:按照某种对应法则f ,集合A 中的任何一个元素,在B 中都有唯一确定的元素和它对应,
记作f :A →B ,若B b A a ∈∈,,且元素a 和元素b 对应,那么b 叫a 的象,a 叫b 的原象。
2、函数:(1)、定义:设A ,B 是非空数集,若按某种确定的对应关系f ,对于集合A 中的任意一个数x ,集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应,就称
f :A →B 为集合A 到集合B 的一个函数,记作y=f (x ),
(2)、函数的三要素:定义域,值域,对应法则;自变量x 的取值范围叫函数的定义域,函数值f (x )的范围叫函数的值域,定义域和值域都要用集合或区间表示;
(3)、函数的表示法常用:解析法,列表法,图象法(画图象的三个步骤:列表、描点、连线);
(4)、区间:满足不等式b x a ≤≤的实数x 的集合叫闭区间,表示为:[a ,b ] 满足不等式b x a <<的实数x 的集合叫开区间,表示为:(a ,b )
满足不等式b x a <≤或b x a ≤<的实数x 的集合叫半开半闭区间,分别表示为:[a ,b )或(a ,b ];
(5)、求定义域的一般方法:①、整式:全体实数,例一次函数、二次函数的定义域为R ;
②、分式:分母0≠,0次幂:底数0≠,例:|
3|21
x y -= ③、偶次根式:被开方式0≥,例:225x y -=
④、对数:真数0>,例:)11(log x
y a -=
(6)、求值域的一般方法:①、图象观察法:||2.0x y = ②、单调函数:代入求值法: ]3,3
1[),13(log 2∈-=x x y
③、二次函数:配方法:)5,1[,42∈-=x x x y , 222++-=x x y
④、“一次”分式:反函数法:1
2+=
x x
y ⑤、“对称”分式:分离常数法:x
x
y sin 2sin 2+-=
⑥、换元法:x x y 21-+= (7)、求f (x )的一般方法:
①、待定系数法:一次函数f (x ),且满足172)1(2)1(3+=--+x x f x f ,求f (x ) ②、配凑法:,1
)1
(22x
x x
x f +
=-求f (x ) ③、换元法:x x x f 2)1(+=+,求f (x )
④、解方程(方程组):定义在(-1,0)∪(0,1)的函数f (x )满足x
x f x f 1
)()(2=-,求f (x )
3、函数的单调性:
(1)、定义:区间D 上任意两个值21,x x ,若21x x <时有)()(21x f x f <,称)(x f 为D 上增函数;
若21x x <时有)()(21x f x f >,称)(x f 为D 上减函数。(一致为增,不同为减) (2)、区间D 叫函数)(x f 的单调区间,单调区间?定义域;
(3)、判断单调性的一般步骤:①、设,②、作差,③、变形,④、下结论 (4)、复合函数)]([x h f y =的单调性:内外一致为增,内外不同为减; 4、反函数:函数)(x f y =的反函数为)(1x f y -=;函数)(x f y =和)(1x f y -=互为反函数;
反函数的求法:①、由)(x f y =,解出)(1y f x -=,②、y x ,互换,写成)(1x f y -=,③、写出)(1x f y -=的定义域(即原函数的值域);
反函数的性质:函数)(x f y =的定义域、值域分别是其反函数)(1x f y -=的值域、定义域;
函数)(x f y =的图象和它的反函数)(1x f y -=的图象关于直线x y =对称; 点(a ,b )关于直线x y =的对称点为(b ,a );
5、指数及其运算性质:(1)、如果一个数的n 次方根等于a (*,1N n n ∈>),那么这个数叫a 的n 次方根;
n
a 叫根式,当n 为奇数时,a a n n =;当n 为偶数时,?
??<-≥==)0()0(||a a a a a a n n
(2)、分数指数幂:正分数指数幂:n
m
n
m
a a =;负分数指数幂:n
m n
m
a
a
1=
-
0的正分数指数幂等于1,0的负分数指数幂没有意义(0的负数指数幂没有意义);
(3)、运算性质:当Q s r b a ∈>>,,0,0时:r
r
r
rs
s
r s
r s
r
b a ab a a a a a ===?+)(,)(,,r
r
a a 1
=;
6、对数及其运算性质:(1)、定义:如果)1,0(≠>=a a N a b ,数b 叫以a 为底N 的对数,记作b N a =log ,其中a 叫底数,N 叫真数,以10为底叫常用对数:记为
lgN ,以e=2.7182828…为底叫自然对数:记为lnN
(2)、性质:①:负数和零没有对数,②、1的对数等于0:01log =a ,③、底的对数等于1:1log =a a ,④、积的对数:N M MN a a a log log )(log +=, 商的对数:
N M N
M
a a a
log log log -=, 幂的对数:M n M a n a log log =, 方根的对数:M n
M a n a log 1
log =, 7、指数函数和对数函数的图象性质 函数 指数函数
对数函数
定义
x a y = (10≠>a a 且)
x y a log =(10≠>a a 且)
a>1
01 0 y y=a x 图象 (非奇非偶) 性 质 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) (0,+∞) (0,+∞) 值域 (0,+∞) (0,+∞) (-∞,+∞) (-∞,+∞) 单调性 在(-∞,+∞) 上是增函数 在(-∞,+∞) 上是减函数 在(0,+∞) 上是增函数 在(0,+∞) 上是减函数 函数 值变 化 ?? ? ??<<==>>0,10,10 ,1x x x a x ?? ? ??<>==><0,10,10,1x x x a x ?? ? ??<<<==>>10,01,01,0log x x x x a ?? ? ??<<>==><10,01,01,0log x x x x a 图 象 定 点 ∴=,10a Θ过定点(0,1) ∴=,01log a Θ过定点(1,0) 图象 特征 ∴>,0x a Θ图象在x 轴上方 ∴>,0x Θ图象在y 轴右边 图象 关系 x a y =的图象与x y a log =的图象关于直线x y =对称 第三章 数列 (一)、数列:(1)、定义:按一定次序排列的一列数叫数列;每个数都叫数列的项; O 1 y=log a x x y O 1 y x y=log a x 1 y=a x x y O 数列是特殊的函数:定义域:正整数集*N (或它的有限子集{1,2,3,…,n}), 值域:数列本身,对应法则:数列的通项公式; (2)、通项公式:数列{n a }的第n 项n a 与n 之间的函数关系式;例:数列1,2,…,n 的通项公式n a = n 1,-1,1,-1,…,的通项公式n a =1)1(--n ; 0,1,0,1,0,…,的通项公 式n a 2 )1(1n -+= (3)、递推公式:已知数列{n a }的第一项,且任一项n a 与它的前一项1-n a (或前 几项)间的关系用一个公式表示,这个公式叫递推公式;例:数列{ n a }: 11=a ,1 11-+ =n n a a ,求数列{ n a }的各项。 (4)、数列的前n 项和:n n a a a a S ++++=Λ321; 数列前n 项和与通项的关系: ???≥-===-)2()1(111n S S n S a a n n n (二)、等差数列 :(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。 (2)、通项公式:d n a a n )1(1-+= (其中首项是1a ,公差是d ;整理后是关于n 的一次函数), (3)、前n 项和:1.2) (1n n a a n S += 2. d n n na S n 2 )1(1-+=(整理后是关于n 的没有 常数项的二次函数) (4)、等差中项:如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。即: 2 b a A += 或b a A +=2 [说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 (5)、等差数列的判定方法: ①、定义法:对于数列{}n a ,若d a a n n =-+1(常数),则数列{}n a 是等差数列。 ②、等差中项:对于数列{}n a ,若212+++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等差数列。 (6)、等差数列的性质: ①、等差数列任意两项间的关系:如果n a 是等差数列的第n 项,m a 是等差数列的第m 项,且n m ≤,公差为d ,则有d m n a a m n )(-+= ②、等差数列{}n a ,若q p m n +=+,则q p m n a a a a +=+。 也就是:ΛΛ=+=+=+--23121n n n a a a a a a ,如图所示:444484444764443 44421Λn n a a n a a n n a a a a a a ++---11 2,,,,,,12321 ③、若数列{}n a 是等差数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈, 那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等差数列。 如下图所示:444444444448 4444444444476443 4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ ④、设数列{}n a 是等差数列,奇S 是奇数项的和,偶 S 是偶数项项的和,n S 是前n 项 的和, 则有:前n 项的和 偶 奇S S S n +=, 当n 为偶数时, d 2n S = -奇偶S ,其中 d 为公差; 当n 为奇数时,则中偶奇a S =-S ,中奇a 21n S += ,中偶a 21 n S -=(其中中a 是等差数列的中 间一项)。 ⑤、等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ,等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ,则' 1 21 2--=n n n n S S b a 。 (三)、等比数列:(1)、定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(0≠q )。 (2)、通项公式:11-=n n q a a (其中:首项是1a ,公比是q ) (3)、前n 项和] ????? ≠--=--==) 1(,1)1(1)1(,111q q q a q q a a q na S n n n (推导方法:乘公比,错位相减) 说明:①)1(1) 1(1≠--= q q q a S n n ○2)1(11≠--=q q q a a S n n ○ 3当1=q 时为常数列,1na S n =,非 0的常数列既是等差数列,也是等比数列 (4)、等比中项: 如果在a 与b 之间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么G b a G =,即ab G =2(或ab G ±=,等比中项有 两个) (5)、等比数列的判定方法: ①、定义法:对于数列{}n a ,若)0(1 ≠=+q q a a n n ,则数列{}n a 是等比数列。 ②、等比中项:对于数列{}n a ,若2 12++=n n n a a a ,则数列{}n a 是等比数列。 (6)、等比数列的性质: ①、等比数列任意两项间的关系:如果n a 是等比数列的第n 项,m a 是等比数列的第m 项,且n m ≤, 公比为q ,则有m n m n q a a -= ②、对于等比数列{}n a ,若v u m n +=+,则v u m n a a a a ?=? 也就是:Λ Λ=?=?=?--23121n n n a a a a a a 。如图所示:44448 4444764443 44421Λn n a a n a a n n a a a a a a ??---11 2,,,,,,12321 ③、若数列{}n a 是等比数列,n S 是其前n 项的和,*N k ∈,那么k S ,k k S S -2,k k S S 23-成等比数列。 如下图所示:444444444448 4444444444476443 4421Λ4434421Λ444344421Λk k k k k S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k 31221S 321-+-+++++++++++ (7)、求数列的前n 项和的常用方法:分析通项,寻求解法 2 )1(321+= ++++n n n Λ ,2)12(531n n =-++++Λ, )12)(1(6 1 3212222++= ++++n n n n Λ ①公式法:“差比之和”的数列:=?-++?-+?----)532()532()532(21n Λ ②、并项法: =-++-+--n n 1)1(4321Λ ③、裂项相消法:=-+ +++n n )1(1 6 12 1 1Λ =++++++ ++ +1 14 313 212 11n n Λ ④、到序相加法: ⑤、错位相减法:“差比之积”的数列:=++++-12321n nx x x Λ 第四章 三角函数 1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (2)、与α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈?+=,360|οαββ} (3)、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。 2、弧度制:(1)、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用弧度做单位叫弧度制。 (2)、度数与弧度数的换算:π=ο180弧度,1弧度'1857)180 (οο≈=π (3)、弧长公式:r l ||α= (α是角的弧度数) 扇形面积:2||2 12 1 r lr S α=== P (x ,y ) r x y 3、三角函数 (1)、定义: (如图) (2)、各象限的符号: y r y x r x x r x y r y = =====ααααααcsc cot cos sec tan sin (3)、 特殊角的三角函数值 α的角 度 ?0 ?30 ?45 ?60 ?90 ?120 ?135 ?150 ?180 ?270 ?360 α的弧 度 6π 4π 3π 2π 3 2π 4 3π 6 5π π 2 3π π2 αsin 2 1 2 2 2 3 1 23 2 2 2 1 0 1- 0 αcos 1 2 3 2 2 2 1 0 2 1- 22- 2 3- 1- 1 αtan 0 3 3 1 3 — 3- 1- 3 3- 0 — 0 4、同角三角函数基本关系式 (1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系: 1cos sin 22=+αα α ααcos sin tan = 1cot tan =αα αα22sec tan 1=+ α ααsin cos cot = 1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα (4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”) ①、αα22cos 1sin -=, αα2cos 1sin -±=;αα22sin 1cos -=, α α2sin 1cos -±=; ②θ θθθθθθ2sin 2 cos sin sin cos cot tan 22= +=+,αα α ααααθθ2cot 22sin 2cos 2cos sin sin cos tan cot 22==-=- x y + + _ _ O x y + + _ _ O x y + + _ _ O 1 ③ααααα2sin 1cos sin 21)cos (sin 2±=±=±, |cos sin |2sin 1ααα±=± 5、诱导公式:(奇变偶不变,符号看象限) 公式一: ααααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(=??+=??+=??+k k k 公式二: 公式三: 公式四: 公式五: ααααααtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(-=-?-=-?=-? α αααα αtan )180tan(cos )180cos(sin )180sin(=+?-=+?-=+? α αααα αtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=- α αααααtan )360tan(cos )360cos(sin )360sin(-=-?=-?-=-? 补充:ααπααπα απ cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin( =-=-=- ααπααπααπ cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+=+ α απ ααπααπcot )2 3tan(sin )2 3cos(cos )2 3sin(=--=--=- ααπααπααπcot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(-=+=+-=+ 6、两角和与差的正弦、余弦、正切 )(βα+S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ )(βα-S :βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- )(βα+C :βαβαβsin sin cos cos )cos(-=+a )(βα-C : βαβαβsin sin cos cos )cos(+=-a )(βα+T :β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + )(βα-T :β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- )(βα+T 的整式形式为:)tan tan 1()tan(tan tan βαβαβα-?+=+ 例:若?=+45B A ,则2)tan 1)(tan 1(=++B A .(反之不一定成立) 8、二倍角公式:(1)、α2S : αααcos sin 22sin = (2)、降次公式:(多用于 研究性质) α2C : ααα22sin cos 2cos -= ααα2sin 2 1 cos sin = 1cos 2sin 2122-=-=αα 2 1 2cos 2122cos 1sin 2+-=-= ααα α2T : α α α2 tan 1tan 22tan -= 2 1 2cos 2122cos 1cos 2+=+=ααα (3)、二倍角公式的常用变形:①、|sin |22cos 1αα=-, |cos |22cos 1αα=+; ②、|sin |2cos 2121αα=-, |cos |2cos 2 1 21αα=+ ③、2 2sin 1cos sin 21cos sin 22 2 4 4 α αααα-=-=+; ααα2cos sin cos 44=-; ④半角:2cos 12 sin αα -± =,2cos 12cos αα+±=,α α αcos 1cos 12tan +-±=α αααcos 1sin sin cos 1+= -= 9、三角函数的图象性质 (1)、函数的周期性:①、定义:对于函数f (x ),若存在一个非零常数T ,当 x 取定义域内的每一个值时,都有:f (x +T )= f (x ),那么函数f (x )叫周期 函数,非零常数T 叫这个函数的周期; ②、如果函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数,这个最小的正数叫f (x )的最小正周期。 (2)、函数的奇偶性:①、定义:对于函数f (x )的定义域内的任意一个x , 都有:f (-x )= - f (x ),则称f (x )是奇函数,f (-x )= f (x ),则称f (x )是偶函数 ②、奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称; ③、奇函数,偶函数的定义域关于原点对称;(3)、正弦、余弦、正切函数的性质(Z k∈) 函数定义域值域周期性奇偶 性 递增区间递减区间x y sin =R x∈[-1,1] π2 = T奇函 数 ?? ? ?? ? + + -π π π π k k2 2 , 2 2?? ? ?? ? + +π π π π k k2 2 3 , 2 2 x y cos =R x∈[-1,1] π2 = T偶函 数 []π πk k2, )1 2(-[]π π)1 2(, 2+ k k x y tan =} 2 | {π π k x x+ ≠(-∞,+ ∞) π = T奇函 数 ? ? ? ? ? + + -π π π π k k 2 , 2 x y sin =图象的五个关键点:(0,0),( 2 π,1),(π,0),( 2 3π,-1),(π2,0); x y cos =图象的五个关键点:(0,1),( 2 π,0),(π,-1),( 2 3π,0),(π 2,1); x y sin =的对称中心为(0,πk);对称轴是直线 2 π π+ =k x;) sin(? ω+ =x A y的周 期 ω π2 = T; 1 -1 x y 1 -1 x y o x y x y cos =的对称中心为(0,2 π π+ k ) ;对称轴是直线πk x =; )cos(?ω+=x A y 的周期ω π 2= T ; x y tan =的对称中心为点(0,πk )和点(0,2 π π+k ) ; )tan(?ω+=x A y 的周期ω π = T ; (4)、函数)0,0)(sin(>>+=ω?ωA x A y 的相关概念: 函数 定义域 值域 振幅 周期 频率 相位 初 相 图象 )sin(?ω+=x A y R x ∈ [-A , A] A ω π 2= T π ω 21= = T f ?ω+x ? 五点法 )sin(?ω+=x A y 的图象与x y sin =的关系: ① 振 幅变换:x y sin = x A y sin = ② 周期 变 换 :x y sin = x y ωsin = ③ 相 位 变换 :x y sin = )sin(?+=x y ④ 平 移变换:x A y ωsin = )sin(?ω+=x A y 常叙述成: ①把x y sin =上的所有点向左(0>?时)或向右(0 当A 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的A 倍 当A 时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的A 倍 当时,图象上各点的纵坐标缩短到原来的 倍 当 时,图象上各点的纵坐标伸长到原来的 倍 当时,图象上的各点向左平移个单位倍 当 时,图象上的各点向右平移 个单位倍 当时,图象上的各点向左平移个单位倍 当 时,图象上的各点向右平移 个单位倍 ②再把)sin(?+=x y 的所有点的横坐标缩短(1>ω)或伸长(<01<ω)到原来的 ω 1 倍(纵坐标不变)得到)sin(?ω+=x y ; ③再把) sin(? ω+