数字信号处理计算题
2、用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F ≤50Hz ，信号最高频率为1kHz ，试确定以下各参数。
（1）最小记录时间Tpmin ； （2）最大采样间隔Tmax ； （3）最小采样点数Nmin ；
（4）在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高一倍的N 值。
解：
(1) Tpmin=1/F =1/50 =0.02s
(2) Tmax=1/2fc =1/2*1000 =0.0005s (3) Nmin=Tpmin/Tmax=0.02/0.0005=40 (4) F=25，N=2fc/F=80
3、给定两个序列：x 1（n ）=｛2，1，1，2｝，x 2（n ）=｛1，-1，-1，1｝。 （1）计算x 1（n ）和x 2（n ）的五点循环卷积。 （2）用DFT 的方法计算12()()()l y n x n x n =*。
解：（1）
4、已知1
12
3()252z X z z z
----=-+，分别求： （1）收敛域0.5
2.从性能、结构和设计工作上对IIR 和FIR 数字滤波器进行比较。（5分）
3.设系统函数H(z)如下式：
()123123(20.379)112/1 1.250.750.125H z z z z z z z ------=-+--+- 试画出其级联型网络结构。（5分）
1. 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率Hz F 20≤，信号最高频率kHz f c 2=。（8分） (1)试确定最小记录时间min p T ，最少采样点数min N 和最大采样间隔max T ； (2)要求谱分辨率增加一倍，确定这时的min p T 和min N 。
2、两个序列：x1（n ） ＝ {2，1，1，2} ，x2（n ） ＝ { 1，-1，-1，1}。（10分） (1)直接在时域计算x1(n)与x2(n)的卷积;
(2)用DFT 计算x1(n)与x2(n)的卷积，总结出DFT 的时域卷积定理。
3、用窗函数法设计线性相位高通FIRDF 要求阻带截止频率/2P rad ωπ=，阻带截止频率/4s rad ωπ= 通带最大衰减 p α=1dB ，阻带最小衰减s α=40dB 。
（13分）。 1.已知X(z)=
)
5.01)(21(1
1
1----z z ，分别求： (1)收敛域为0.5<｜z ｜<2时的原序列x(n)。 (2)收敛域为｜z ｜>2时的原序列x(n)
2．序列)3()2(2)()(-+-+=n n n n x δδδ求： （1）)(n x 的4点DFT ；
（2）若)3(2)1()()(-+-+=n n n n h δδδ，求两序列的线性卷积。
3．用双线性变换法设计一个三阶巴特沃思数字低通滤波器，采样频率为f s=4 kHz （即采样周期为T =250 μs ），其3dB 截止频率为f c=1 kHz 。 三阶模拟巴特沃思滤波器为
3
2)
/()/(2)/(211
)(c c c a s s s s H Ω+Ω+Ω+=
4．根据下列技术指标，设计一个FIR 低通滤波器。阻带截止频率ωs=0.3π，阻带衰减A s=50dB ，并用Matlab 实现程序。
计算题（8+8+8+8+10）
1：计算以下序列的N点DFT，在变换区间0<=n<=N-1内，序列定义为
(1)x(n)=sin[(2pi/N)*mn] 0 (2)x(n)=Rm(n) 0 2：已知是一个2N点序列x(n)的DFT值, 现需要从X(k)求x(n)值。为了提高运算效率，设计一个N点IFFT运算一次完成。提示：先组成 4：已知系统用下面的差分方程描述：y(n)=3/8y(n-1)-1/16y(n-2)+1/2x(n)+1/6x(n-1) 试分别画出系统的直接型，级联型和并联型结构。式中想x(n).y(n)分别是表示系统的输入和输出信号。 5设计低通数字滤波器，要求通带内频率低于0.2 pi rad时，容许幅度误差在1d B之内：频率在0.3PI到PI之间的阻带衰减大于10dB。试采用（巴特沃斯型模拟滤波器和双线性变换法中的一种来设计数字低通滤波器。采样间隔T=1ms.） 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A ） 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1. 两个有限长序列x 1(n)，0≤n ≤33和x 2(n)，0≤n ≤36，做线性卷积后结果的长度是 ，若 对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。 2. DFT 是利用nk N W 的 、 和 三个固有特性来实现FFT 快速运算的。 3. IIR 数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。 4. FIR 数字滤波器有 和 两种设计方法，其结构有 、 和 等多种结构。 一、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z 变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ） 2. Chirp-Z 变换的频率采样点数M 可以不等于时域采样点数N 。（ ） 3. 按频率抽取基2 FFT 首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（ ） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（ ） 5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（ ） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（ ） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于FIR 阶数。（ ） 二、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT ，X (k)=？ 2) 若)()]([)(26k X W n g DFT k G k ==，试确定6点序列g(n)=? 3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？ 三、 IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 设计一个数字低通滤波器，要求3dB 的截止频率f c =1/π Hz ，抽样频率f s =2 Hz 。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数H an (s)。 2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系统函数H a (s)，并画出其零极 点图。 3. 用双线性变换法将H a (s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。 四、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 设FIR 滤波器的系统函数为)9.01.29.01(10 1 )(4321----++++= z z z z z H 。 1． 求出该滤波器的单位取样响应)(n h 。 2． 试判断该滤波器是否具有线性相位特点。 3． 求出其幅频响应函数和相频响应函数。 4． 如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。 北京信息科技大学 2010 ~2011 学年第一学期 《数字信号处理》课程期末考试试卷（A ）参考答案 课程所在学院：自动化学院 适用专业班级：智能0801-0802 考试形式：闭卷 一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分） 1. 两个有限长序列x 1(n)，0≤n ≤33和x 2(n)，0≤n ≤36，做线性卷积后结果的长度是 70 ，若对 这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 63 为线性卷积结果。 2. DFT 是利用nk N W 的 对称性 、 可约性 和 周期性 三个固有特性来实现FFT 快速运算的。 3. IIR 数字滤波器设计指标一般由ωc 、ωst 、δc 和δst 等四项组成。(Ωc Ωst δc δst ) 4. FIR 数字滤波器有 窗函数法 和 频率抽样设计法 两种设计方法，其结构有 横截型(卷积型/ 直接型) 、 级联型 和 频率抽样型（线性相位型） 等多种结构。 二、判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z 变换表达式一定对应相同的时间序列。（×） 2. Chirp-Z 变换的频率采样点数M 可以不等于时域采样点数N 。（√） 3. 按频率抽取基2 FFT 首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（×） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（√） 5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（×） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（×） 7. 只有FIR 滤波器才能做到线性相位，对于IIR 滤波器做不到线性相位。（×） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR 滤波器实现其阶数一定低于FIR 阶数。（√） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 1） 分 分分 2, 50] 2,2,1,2,2,11[)1(23 2cos 23cos 432222322232)()(6263626 65646362665 06≤≤-=-+++=+++++=+++++==--=∑k k k W W W W W W W W W W W n x k X k k k k k k k k k k k n nk π π 2） 7 2} 212123{)2()()()]([)()2(65 26 6 5 26 ≤≤=-====--=-=∑∑n ，，，n x W k X W W k X k X W IDFT n g k n k k nk k k ，， 3） 9 0} 9,8,14,20,15,16,10,16,13{)())(()()(} 4,4,9,8,14,20,15,16,10,12,9{)()()(*)()(98 95 1≤≤=-==-==∑∑==n n R m n x m x n y m n x m x n x n x n y m m 四、IIR 滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 答：（1）其4个极点分别为：3,2,1,0)4 1221()21 221(==Ω=-+-+k e e s k j N k j c k ππ 2分 1 21 )2 222)(2222(1 ))((1 )(2 4 54 3++= -+++ =--= s s j s j s e s e s s H j j an ππ 3分 （2）s rad f c c /22==Ωπ 1分 4 224 )2()( )(2 ++==Ω=s s s H s H s H an c an a 3分 零极点图： 1分 （3） 2 12 1 2111212 11 1 112)225(622521)1()1)(1(22)1(4)1() 114()()(1 1 -----------+-=-+-+++= ++-++-+= +-==--z z z z z z z z z z z H s H z H a z z T s a （4） 2 2512 2522 2512 252252 2561)225(622521)(210212 21122110212 1+= += += +-- =+= --++=-+-+++=--------b b b a a z a z a z b z b b z z z z z H 五、 FIR 滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 解：1．∑∞ -∞ =-= n n z n h z H )()( 4 0}1.009.021.009.01.0{)4(1.0)3(09.0)2(21.0)1(09.0)(1.0)(≤≤=-+-+-+-+=∴n n n n n n n h δδδδδ （4分） 2．∴--=，n N h n h )1()( 该滤波器具有线性相位特点 （4分） 3．)9.01.29.01(10 1 ) ()(432ωωωωω ω j j j j e z j e e e e z H e H j ----=++++= = )(2222)()21.0cos 18.02cos 2.0() 21.02 18.022.0(ωθωω ωωωω ωωωj j j j j j j e H e e e e e e =++=++⨯++⨯=---- 幅频响应为21.0cos 18.02cos 2.0)(++=ωωωH 2分 相频响应为 ωωθ2)(-= 2分 4．其线性相位型结构如右图所示。 4分 《现代数字信号处理》试题 一、计算题 （1）已知曲线 ()()(),()C p x p y p =的曲率可表达为 () 3 222 p pp pp p p p x y x y x y κ-= + a. 求椭圆 ()(cos ,sin )C a b θθθ=当0θ=和 2 π 时的曲率。 答案：223/222223/2 2222223/222 sin ;cos ;()(sin cos )cos ;sin ;sin cos /(sin cos );0/;/2/x a y b x y a b x a y b x y x y ab ab ab ab a b a b b a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθκθθθκθπκ=-=+=+=-=--=+==+=⇒==⇒= b. 试求抛物线2 y ax =，当0x =时的曲率。 答案：2223/2 223/2 223/2 223/2()(,);1;2;()(14)0;2; ()/()2/(14);02x x x x xx xx x xx xx x x x C x x ax x y ax x y a x x y a x y x y x y a a x x a κκ===+=+==⇒=-+=+=⇒= c ．试求椭圆 2222 1x y a b += 在(0,)b 和(,0)a -两点的曲率各为多少？ d.已知三次曲线32 211,432y ax bx cx d b ac = +++>式中， 求在y 取局部极值时的曲率。 答案： 由 2 1, 0; , 2; x xx x xx x x y ax bx c y ax b ===++=+ 再由2 1,20x y ax bx c x =++=⇒=代入公式，得 ( ) 1,23 22 2 x xx xx x x x x y x y x y κ-= =+（2） a. 若一数字图像的灰度直方图如下图所示，试画出其累积直方图。 ==============================绪论============================== 1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV ==================第一章 时域离散时间信号与系统================== 1. ①写出图示序列的表达式 答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15} 2. ①求下列周期 ) 5 4sin( )8 sin( )4() 51 cos()3() 54sin()2()8sin()1(n n n n n π ππ π - ②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）A是常数 8ππn 73Acos x(n)???? ? ?-= （2）)8 1 (j e )(π-=n n x 解： （1） 因为ω= 73π, 所以3 14 π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。 （2） 因为ω= 81, 所以ω π 2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。 ③序列)Acos(nw x(n)0?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0。 3.加法 乘法 序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位 翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。 ② 尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。 卷积和：①h(n)*求x(n)，其他0 2 n 0n 3，h(n)其他03n 0n/2设x(n) 例、???≤≤-=???≤≤= }2 3 ,4,7,4，23{0,h(n)*答案：x(n)= ②已知x (n )={1,2,4,3},h (n )={2,3,5}, 求y (n )=x (n )*h (n ) x (m )={1,2,4,3},h (m )={2,3,5}，则h (-m )={5,3,2}(Step1:翻转) 解得y (n )={2,7,19,28,29,15} ③(n)x *(n)x 3)，求x(n)u(n u(n)x 2),2δ(n 1)3δ(n δ(n)2、已知x 2121=--=-+-+= 1设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点圆周卷积。 （3）试求8点圆周卷积。 解：1．y(n)=x(n)*h(n)={4,7,9,10,6,3,1} 2．6点圆周卷积={5,7,9,10,6,3} 3．8点圆周卷积={4,7,9,10,6,3,1,0} 2二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列： (1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n ≤5); (4)x[((-n-1))6],(0≤n ≤5); n 1 2 3 4 0.5 4 3210-1-2-3x(3-n) x[((n-1))6] n 5432104 3 2 1 0.5 n 1 2 3 4 0.5 5 43210x[((-n-1))6] 3．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为) 21)(5.01() 1(2)(111------=z z z z H 试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。 解: 0.5 2Re Im 系统有两个极点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域为：0.5<|z|<2 1 1 111213 /25.013/4)21)(5.01()1(2)(--------=---=z z z z z z H )1(23 2 )()5.0(34)(--+= n u n u n h n n 4．设x(n)是一个10点的有限序列 x （n ）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT ，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3) ∑=9 0)(k k X ,（4） ∑=-9 5 /2)(k k j k X e π 解：（1） （2） （3） （4） 5． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 } (1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)； (2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y 1(n)= x(n)⑥h (n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y 2(n)= x(n)⑧h (n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1） 5 2 4 -1 2 -3 2 1 5 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 - 6 -12 3 -6 -15 4 -3 13 -4 3 2 14 ][]0[1 9 0===∑=n N n x X W 12 ][][]5[1 19 180510 -=-= ==???-=∑∑====奇 偶 奇数 偶数n n n n n n x n x X n n W 20 ]0[*10][] [101]0[9 9 ===∑∑==x k X k X x k k 0 ]8[*10][] [101]))210[((] []))[((2 )10/2(9 2 )10/2(9 10)/2(===-? --=-=-∑∑x k X e k X e x k X e m n x k j k k j k m N k j N πππ 《数字信号处理》计算型试题解答 A 卷 三、（15分）已知LSI 离散时间系统的单位抽样响应为： ⑴ 求该系统的系统函数)(z H ，并画出零极点分布图； ⑵ 写出该系统的差分方程。 解：⑴ 系统的系统函数)(z H 是其单位抽样响应()h n 的z 变换，因此： 1 111107111 3333():1111112 11242424z z z z z H z ROC z z z z z z z ---⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=+== > ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝ ⎭⎝⎭ 零点：1,03z =- 极点：11,24 z = 零极点分布图： () 10171()3234n n h n u n ⎡⎤ ⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ⑵ 由于 ()11 12 111111()333111()1114824z z Y z H z X z z z z z ------++=== ⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 所以系统的差分方程是 311 ()(1)(2)()(1)483 y n y n y n x n x n - -+-=+- 四、（15分） 已知序列()x n 的z 变换为 求其可能对应的几种不同ROC 的z 反变换。 Im[] j z 2()341z X z z z = -+ 解：11 21211()34134(1)(3) z z z X z z z z z z z ------=== -+-+-- 设 11 ()13A B X z z z --= +-- 有 11 113 1 (1)() 2 3(3)() 2 z z A z X z B z X z -=-= =-= =-=- 故 111111()121213X z z z --⎛⎫ ⎪ ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪ -⎝⎭ 由于()X z 有两个极点：1 1,3 z z ==。所以()X z 的三个不同ROC 分 别为： ROC1: z 1 1 ROC2: z 13 1 ROC3:z 3 ><<< 于是可得()X z 的三个不同的ROC 对应的序列分别为： 111ROC1: z 1 ()()() 2231 111ROC2:z 1 ()(1)() 32231111ROC3: z ()(1)(1) 3 223n n n x n u n u n x n u n u n x n u n u n ⎛⎫ >=- ⎪⎝⎭⎛⎫ <<=---- ⎪⎝⎭⎛⎫ < =---+-- ⎪⎝⎭ 五、（10分）已知一因果系统差分方程为()3(1)()y n y n x n +-=，求： 习 题 1. 给定 f(t) = rect(t+2) + rect(t-2), 画出下列函数的图形。 (a) f(t) (b) g(t) = f(t-1) (c) h(t) = f(t)u(t) (d) f(t/2) 2. 设 f(t) 是某一函数，a, t 0, T 为实常数，证明： (a) ) ()()( )(000 t t t t f a a t t f -=-δδ (b) )()(1 )()(000a t a f a at t f t t t -= -δδ (c) ) ()()( )(00 nT t nT f T T t comb t f t t t n --+=-∑∞ -∞ =δ 3. (a) 如 f(t) F(Ω)，证明： e e e t j t y j t j t f dy y F F Ω-∞ ∞--Ω-Ω-== *Ω⎰ )(2)()()(π (b) 用 （a ） 的结果，证明频域卷积定理 ) ()(21)() (21 2 1 Ω*Ω↔ F F f f t t π 4. 求下图中 f(t) 脉冲的傅氏变换。 5. (a) )()()(a H H -Ω=Ω*Ωδ (b) ) ()()(0 Ω +Ω= Ω +Ω* Ω∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =n H n H n n δ 6. 设e t a t f -=)(，证明脉冲序列) ()(nT t nT f n -∑∞ -∞ =δ的傅氏变换等于 aT aT aT e T e e 22cos 211---+Ω-- 7. (a) 证明 T n n n jnT e π δ2),(1000 = ΩΩ+Ω=Ω∑∑∞ -∞ =∞ -∞=Ω - (b) 若f(t) F(Ω)，证明 ) ()(0 Ω +Ω= ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =Ω -n F nT f T n n jnT e 习 题 1. 下列系统中，y(n) 表示输出，x(n) 表示输入，试确定输入输出关系是否线性？是否非移变？ (a) y(n) = 2x(n) +3 (b) y(n) = x 2 (n) (c) ∑-∞== n m m x n y ) ()( 2. 确定下列系统是否因果的？是否稳定的？ (a) y(n) = g(n) x(n), g(n) 有界 (b) ∑- == n k n k x n y 0 ) ()( n>n 0 (c) y(n) = x(n-n 0) (d) x(n) = a n u(n), h(n) = u(n) (e) x(n) = a n u(n), h(n) = (1/2) n u(n) 3. x(n) 为输入序列， h(n) 为系统的单位取样响应序列，确定输出序列 y(n)， (a) 如图 p 2.1 (a) 所示 (b) 如图 p 2.1 (b) 所示 (c) 如图 p 2.1 (c) 所示 数字信号处理经典习题(北理工826必备)(附答案) 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理 理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1 8 c 因此 Hz T f c c 6251612==Ω= π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π，因此对T 8π没有影响，故整个系 统的截止频率由)(ω j e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T f c 1250161 == 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1 （ 2 （2）)(*n x （共轭） 解：DTFT )(**])([)(*)(*ωωω j n n jn jn e X e n x e n x n x -∞ -∞ =∞ -∞ =-=== ∑ ∑ 2．计算下列各信号的傅里叶变换。 一. 填空题 1、一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n）；则输入为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为 y(n-3) 。 2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率 f max 关系为： fs>=2f max 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（e jw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（e jw）的 N 点等间隔采样。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。 5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的交叠所产生的现象。 6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是 (N-1)/2 。 7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较窄，阻带衰减比较小。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是递归型结构。 9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。 10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的类型有关，还与窗的采样点数有关 11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的主值区间截断，而周期序列可以看成有限长序列的周期延拓。 12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m (n)表示，其数学表达式为x m (n)= x((n-m)) N R N (n)。 13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并将输入变输出，输出变输入即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。 14.线性移不变系统的性质有交换率、结合率和分配律。 15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、泄漏、栅栏效应和频率分辨率。 16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型，串联型和并联型四种。 17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs。 二．选择填空题 1、δ(n)的z变换是 A 。 2、用微处理机对实数序列作谱分析，要求谱分辨率F ≤50Hz ，信号最高频率为1kHz ，试确定以下各参数。 （1）最小记录时间Tpmin ； （2）最大采样间隔Tmax ； （3）最小采样点数Nmin ； （4）在频带宽度不变的情况下，使频率分辨率提高一倍的N 值。 解： (1) Tpmin=1/F =1/50 =0.02s (2) Tmax=1/2fc =1/2*1000 =0.0005s (3) Nmin=Tpmin/Tmax=0.02/0.0005=40 (4) F=25，N=2fc/F=80 3、给定两个序列：x 1（n ）=｛2，1，1，2｝，x 2（n ）=｛1，-1，-1， 1 ｝。 （1）计算x 1（n ）和x 2（n ）的五点循环卷积。 （2）用DFT 的方法计算12()()()l y n x n x n =*。 解：（1） 4、已知1 123()252z X z z z ----=-+，分别求： （1）收敛域0.5 数字信号处理经典例题解析 1：周期序列某~nco0n，0~6，某n是由某~a(t)co0t理想抽样而得。试求(1)~某n的周期; (2)某ejF某~njΩ0(3)~某entat=nn；求n(4) 某F某~at解：(1)对于周期性序列某~nco0n因为 2212N= 0/6=1=K所以序列周期N12 (2):由题意知~某n是由某~at理想抽样所得，设抽样间隔为T，抽样输出为某at；易得某F某~atFco0tej0tej0tF[2] =0+0 由采样序列~某n=某ant，由采样定理知：某ejF~某n=某a/T=1Tk某(2TkT)= 1某(2kT)kT2k2k166[()()]=TkTT=[(2k)(2k)] 66ke~(3)由某a(t)co0t= j0te2j0tjΩnte=n得: 0n1n1n2 0n其他(4)由(2)得:某=0+0 2：有限长序列某nconR12n求： 6j(1)Rn(e)F[Rn(n)] (2)某ejF某n，用RN(ej)表示;(3)求(2)中某ejkj212的采样值某 e0k11;(4)某kDFT某n; kj212(5):求第(3)问中某e的IDFT变换;(6)：求某1ejkj224某eFconR24n的采样值10k23;6(7):求第(6)问中的采样序列某1n;(8):第(2)问中某ejjkj224的采样值某e对应的采样序列。jnR(n)e. 解:(1)Rn(e)F[Rn(n)]=N n0N11ejNejN/2ejN/2ejN/2j/2j/2j/2=j1eeeeejN/2in(N/2)=j/2 ein(/2)容易看出在主值周期内当0时Rn(ej)N，当 2k(0kN1)时Rn(ej)=0N(2)根据公式 11jjF某nyn某eYe= 22某(ej)Y(ej())d Fcon[(2k)(2k)]则又由=666k某ejF某nFconR12n 61= 2k[(2k)(2k)]R12(ej())d661=2j()[()()]R(e)d1266j()61=R12(e21)R 12(e2j()6) kj2212(3)易知某e是对某ej进行间隔为的等间隔采样所得,由 (1)122k(0kN1)时知在主值周期内当0时Rn(ej)N，当NRn(ej)=0 1又因为某e=R12(e2jj()6j()16)所以在主值周期 内)R12(e222ko,k2126126kj21212某e时即k1,11时26，当 kj212k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10时某e0;k1,116kj212e即：某 0k0,2,3,4,5,6,7,8,9,10(4)根据DFT变换与序列傅里叶变换的关系： 计算与证明题 信号与系统的时域分析与处理 1.判断下列系统是否为线性移不变系统，并说明理由。（假定x(n)为实序列） （1）y(n) = T ［x(n) ］= nx(n) （2）y(n) = T ［x(n) ］= 2x(n) 2．设h(n)=3n )2 1(u(n)为线性移不变系统的单位抽样响应，若输入x(n)=u(n)，求∞→n lim y(n)，其中y(n)为输 出。 3．系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）输入输出关系为 y(n)= ∑∞ -∞ =-i i n x i h ),()( 其中，h(n)为一确定序列。证明此系统为线性移不变。 离散时间傅里叶变换（DTFT ） 1. 证明实序列x(n)的傅里叶变换X(e j ω )有如下对称性质： Re ［X(e j ω )］=Re ［X(e -j ω )］； Im ［X(e j ω)］=-Im ［X(e -j ω )］。 2. 设DTFT ［x(n)］=X(e j ω )，求DTFT ［x(n)*x *(-n)］. 3. 设DTFT ［x(n)］=X(e j ω)，y(n)=? ? ?±±=其它,0,L 2,L ,0n ),L /n (x ，求DTFT ［y(n)］。 4．设线性移不变系统的单位采样响应为()()2 1( )23 n h n u n +=-，求其频率响应。 Z 变换 1. 求x(n)=cos(ω0n)u(n)的Z 变换。 2．用Z 变换求下列两个序列的卷积： h(n)=??? ? ?? ?-+=≤≤其它0)1()()(,10) 21(n n n x n n δδ 3.已知系统输入输出方程为 y(n)=x(n)-x(n-1) （1）证明该系统为线性移不变。 （2）求系统函数H(z)的形式。 2．(10分)求序列x(n)=2-n u(-n)的Z 变换。 4．(10分)考虑一个具有系统函数4 4 1 16 ()1116 z H z z --- +=-的稳定系统。 1）求系统的零点和极点，并作出图表示； 2）画出系统的级联型结构图。 5.已知线性移不变系统函数为 H(z)= 2 11 z 2z 52z 3---+--, 2 1 <|z|<2 （1）求系统的单位冲激响应h(n)。 （2）求系统的频率响应。 6.(10分)已知X(z)= 2 11z 2z 52z 3---+--，分别求 (1)收敛域为0.5<｜z ｜<2时的原序列x(n) (2)收敛域为｜z ｜>2时的原序列x(n) 四、计算题（每小题10分，共40分） 1.已知1 1 2 57()252z X z z z ----= -+，求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。 解： X (z )有两个极点：z 1=0.5，z 2=2， 因为收敛域总是以极点为界，因此收敛域有三种情况： |z |<0.5，0.5<|z |<2，2<|z |。对应三种不同的原序列。 -----------3分 0.5 2 1()R e s[(),0.5]R es[(),2] (57)(57)(0.5) (2) 2(0.5)(2) 2(0.5)(2) 1[3()2](1) 2n n z z n n x n F z F z z z z z z z z z z z u n ==+=----=- -- -----=-⋅+-- ------------3分 11()3()()2(1) 2 n n x n u n u n +=⋅--- ------------------------2分 11 ()32()2n n x n u n +⎡⎤⎛⎫=⋅+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ------------------------2分 2.用Z 变换法解下列差分方程：y (n )－0.9y (n －1)=0.05u (n )，n < 0时y (n )=0。 解： 1 1 1 1 1()0.9()0.05 10.05 ()(10.9)(1) Y z Y z z z Y z z z -----=-= -- ------------------------4分 () 1 1 0.050.05 ()R e s[(),0.9]R e s[(),1](0.9) 0.1 0.1 0.50.90.5 n n y n F z F z ++=+=+ -=-⋅+ ------------------------3分 n <0时， y (n )=0 最后得到 y (n )=［－0.5 · (0.9)n +1+0.5］u (n ) ------------------------3分 3.设计一个巴特沃斯低通滤波器， 要求其通带截止频率f p=12 kHz ，阻带截止频率f s=24 kHz ， f p 处最大衰减为3dB ，阻带最小衰减a s=15dB 。求出该滤波器的系统函数H a(s )，并说明如何应用脉冲响应不变法转换为数字滤波器系统函数。 解：3s sp 3 p 2π241022π1210 ΩλΩ⨯⨯= = =⨯⨯ sp 5.548k = = = ≈ sp sp lg lg 5.548 2.472lg lg 2k N λ== = ------------------------4分 32 1 ()221 G p p p p = +++ 数字信号处理练习题 一、填空题 1）离散时间系统是指系统输入、输出都是___________的系统。2）在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样周期T与信号最高截止频率fm应满足关系3）因果系统的H(z)z，则H(z)的收敛域为2zz64）因果稳定离散系统的系统函数H(z)的全部极点都落在Z平面的__________________。5）如果序列某[k]的长度为M，则只有当时，才可由频域采样某[m]恢复原序列，否则产生现象。 6）设序列某[k]长度N＝16，按DIT－FFT做基2FFT运算，则其运算流图有级碟形，每一级由个碟形运算构成。 7）实现数字滤波器的基本运算单元是：_______、________、 ________。8）线性相位FIR数字滤波器的第一类线性相位表达式为，满足第一类线性相位的充分必要条件是：h[k]是且9）判断y[k]=k某[k]+b 所代表的系统的线性和时不变性。.10）有限长序列某[k]的离散傅立叶变换某[m]与其离散时间傅立叶变换某(ej) 的关系是二、判断题(正确的在题后括号内打“√”，错的打“某”。) 1）常系数线性差分方程描述的系统一定是线性时不变系统。()2）两序列的z变换形式相同则这两序列也必相同。()3）离散傅里叶变换的特点是离散时间、离散频率。() 4）双线性变换法是非线性变换，所以用它设计IIR滤波器不能克服频率响应混叠效应。 ()5）当且仅当单位冲击响应满足：h(n)0,n0时，那么线性时不变系 统将是一个因果性的系统。（）6）任意序列某[k]都存在傅立叶变换。（）7）有限长序列某[k],n1nn2;如果n10，那么z=0不在收敛域内。（）8） 长度为N点的序列某[k]，它的DFT也是一个长度为N的序列。（）9） FIR滤波器过渡带的宽度与窗函数旁瓣的宽度密切相关。（）10）III型 线性相位滤波器能用于高通滤波的设计。（） 三、选择题(注：Z指Z变换) n1.Z[(1)u(n)]______________________。 1Z1ZA.Z1B.Z1C.Z1D.Z1 2.若N1点序列某[k])和N2点序列y[k]的线性卷积和L点圆周卷积相等，则他们相等的条件是（）。A.L=N1B.L=N2C.L=N1+N2-1D.LN1+N2-1 2 3.试判断系统y[k]=[某[k]]是（）的 A.线性时变系统 B.非线性时不变系统 C.非线性时变系统 D.线性时不 变系统 4.一个连续时间信号某a(t)co(0t)，以采样频率F＝1000Hz采样得 到序列某(n)=co(n), 4那么模拟频率0＝（）弧度/秒。A.250πB.π/4C.1000πD.4000π ，k0,1,2,,75．如果某(k)DFT[某(n)]y(n)=某((n+5))8R8(n)， Y(k)DFT[y(n)]k0,1,2,,7；则（） A. Y(k)某(k)Y(k)某(k)，k0,1,2,,7B.，k0,1,2,,7 习题一 1 判断下列信号中哪一个是周期信号，如果是周期信号，求出它的周期。 （a ）sin1.2n （b ）sin9.7n π （c ） 1.6j n e π （d ）cos(3/7)n π （e ） 3 cos 7 8A n ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭ （f ）1 8j n e π⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 2 以下序列是系统的单位脉冲响应h(n)，试说明系统是否是因果的和稳定的。 （1） 2 1()u n n （2） 1()! u n n （3）3()n u n （4）3()n u n - （5） 0.3()n u n （6） 0.3(1)n u n -- （7）(4)n δ+ 3 假设系统的输入和输出之间的关系分别如下式所示，试分别分析系统是否是线性时不变系 统。 （1） ()3()8y n x n =+ （2） ()(1)1y n x n =-+ （3） ()()0.5(1)y n x n x n =+- （4） ()()y n nx n = 习题二 4 已知因果系统的差分方程为 ()0.5(1)()0.5(1)y n y n x n x n =-++- 求系统的单位脉冲响应h(n)。 5 设系统的差分方程为()(1)()y n ay n x n =-+，0 习题三 6 试求以下序列的傅里叶变换。 （1） 1()(3)x n n δ=- （2）211 ()(1)()(1)22 x n n n n δδδ= +++- （3） 3()()n x n a u n = 0 1 已知线性因果网络用下面差分方程描述： y(n)=0.8y(n－1)+x(n)+0.8x(n－1) （1）求网络的系统函数H(z) （2分）及单位脉冲响应h(n) （6分）； （2）写出网络频率响应函数H(ejω)的表达式（2分），并定性画出其幅频特性曲线（2分） 解：（1） 最后得到 （2） 幅频特性如下： 2 （8分）证明DFT对称定理即假设X(k)=DFT［x(n)］,证明DFT［X(n)］ =Nx(N－k) 证明：因 所以 又 有 3 （10分）已知序列x(n)=a n u(n)，0 由于 ，所以 因此 IDFT[X(k)]N = 4 （12分）设 是长度为N=2M 的有限长序列,M 为自然数，详述时域抽取法基2FFT 基本原理；（10分）DIT-FFT 算法的运算总共需要的复数乘次数、复数加次数各为多少？ 解：设序列x(n)的长度为N ，且满足N=2M ，M 为自然数。按n 的奇偶把x(n)分解为两个N/2点的子序列 12()(2)0112()(21)011 2N x r x r r N x r x r r ==-=+=-，，，， ， ，， ， （1分） （1分） 则x(n)的DFT 为： /21 /21 2(21) 0/21 /21 22120 ()()()(2)(21)()()kn kn N N n n N N kr k r N N r r N N kr k kr N N N r r X k x n W x n W x r W x r W x r W W x r W ==--+==--===+ =+ += +∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ 偶数奇数 1、数字信号处理的处理对象是数字信号、序列，处理方法是 数值计算 ，处理目的是提取有用信息。 2、序列3()cos()76x n A n ππ=+的周期为 14 。序列3()sin()5 x n n π =的周期为 10 。 3、对于一个系统而言，如果对于任意时刻n 0，系统在该时刻的响应仅取决于此时刻及此时刻以前时刻的输入系统，则称该系统为 因果 系统。 4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为228(1) ()252 z z H z z z --=++，则系统的极 点为 -（1/2） -2 ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应()h n 的初值h(0)= 4 ；终值()h ∞ 不存在 。 5、N 点FFT 的运算量复乘是 N/2㏒2 N ，复加是 N ㏒2 N 。 6、试写出N=64是用DIT 时共有 6 级，第四级有 8 个蝶形单元。 7、FFT 算法共分两大类： 按时间抽选 和按频率抽选。 8、某序列的DFT 表达式为1 0()()N kn M n X k x n W -==∑，由此可以看出，该序列时域的长度为 N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 2π /M 。 9、设计数字滤波器时要先利用模拟域频带变换法再 利用数字化法 。 10、FIR 数字滤波器有 窗函数设计法 和频率抽样设计法两种设计方法。 11、对于理想的低通滤波器，所有高于截止频率的频率分量都将 不允许 通过系统，而低于截止频率的频率分量都将 允许 的通过系统。 12、线性移不变系统是因果系统的充分必要条件是 n<0,h(n)=0 。 13、要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须 大于等于2倍f m ，这就是奈奎斯特抽样定理。 14、采样频率为s F Hz 的数字系统中，系统函数表达式中1z -代表的物理意义是 延时 ，其中时域数字序列()x n 的序号n 代表的样值实际位置是 nT=n/Fs ；()x n 的N 点DFT )X k （中，序号k 代表的样值实际位置又是 ωR =2πR/N 。 15、两个有限长序列x 1(n)，0≤n ≤33和x 2(n)，0≤n ≤36，做线性卷积后结果的长度是 70 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 68 为线性卷积结果。 16、直接计算一个序列N 点的DFT 所需的复数乘法次数为 n 2 ，复数加法次数为 n(n-1) ；用FFT 算法计算DFT 所需的复数乘法次数为 n/2log 2n ，复数加法次数为 Nlog 2N 。 第一章数字信号处理概述 简答题： 1．在A/D变换之前和D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，它们分别起什么作用？ 答：在A/D变化之前让信号通过一个低通滤波器，是为了限制信号的最高频率，使其满足当采样频率一定时，采样频率应大于等于信号最高频率2倍的条件。此滤波器亦称位“抗折叠”滤波器。 在D/A变换之后都要让信号通过一个低通滤波器，是为了滤除高频延拓谱，以便把抽样保持的阶梯形输出波平滑化，故友称之为“平滑”滤波器。 判断说明题： 2．模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理，自己要增加一道采样的工序就可以了。（） 答：错。需要增加采样和量化两道工序。 3．一个模拟信号处理系统总可以转换成功能相同的数字系统，然后基于数字信号处理理论，对信号进行等效的数字处理。（） 答：受采样频率、有限字长效应的约束，与模拟信号处理系统完全等效的数字系统未必一定能找到。因此数字信号处理系统的分析方法是先对抽样信号及系统进行分析，再考虑幅度量化及实现过程中有限字长所造成的影响。故离散时间信号和系统理论是数字信号处理的理论基础。 第二章 离散时间信号与系统分析基础 一、连续时间信号取样与取样定理 计算题： 1．过滤限带的模拟数据时，常采用数字滤波器，如图所示，图中T 表示采样周期（假设T 足够小，足以防止混迭效应），把从)()(t y t x 到的整个系统等效为一个模拟滤波器。 （a ） 如果 kHz T rad n h 101,8)(=π截止于，求整个系统的截止频率。 （b ） 对于kHz 201=，重复（a ）的计算。 解 （a ）因为当0)(=≥ωπω j e H rad 时，在数 — 模变换中 )(1)(1)(T j X T j X T e Y a a j ωω=Ω= 所以)(n h 得截止频率8πω=c 对应于模拟信号的角频率c Ω为 8 π = ΩT c 因此 Hz T f c c 6251612==Ω= π 由于最后一级的低通滤波器的截止频率为T π ，因此对T 8π没有影响，故整个系统的截止频 率由)(ω j e H 决定，是625Hz 。 （b ）采用同样的方法求得kHz T 201=，整个系统的截止频率为 Hz T f c 1250161 == 二、离散时间信号与系统频域分析 计算题： 1．设序列)(n x 的傅氏变换为 )(ωj e X ，试求下列序列的傅里叶变换。现代数字信号处理题库
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