重点高中数学不等式的分类、解法
精心整理
高中数学简单
不等式的分
式,分式不等
式,高次不等
式,指数、对数不等式,三
等式时,将二
次不等式整理成首项系数大
3
的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之
集区间的端点
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4.分式不等式
的解法
解法
法一:转
化为不等式
(
)
(
)
(>
?g
x
f
x
g
精心整理
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0 ()()()(x g x f a a x g x f >; 解 8.含参不等式 解法 化为基本不等 精心整理 式(有时还会结合奇偶性) 2 23 x -<<(一化二算三写) (2) 213022 x x ++>解集 例1已知函数 精心整理 ) ()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式 )(>x f 的解集 3 2)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 的 )( 关于x 的不等 式20 x mx n -+≤的解集是{|51} x x -≤≤,则不 _____ 答案:(-2,-1)∪[2,+∞) 变式2:不等 精心整理 精心整理 式 3323<+--x x x 的解 集为 . 2+ax a 0的关系②a 2 与-1的关系 变式3:①解)不等式解集为 精心整理 ) ,1()1 ,(+∞-∞ a 当a=0时, 原不等式解集 为φ 当a>1时,原x )2log 2 1 ,0(a 当 精心整理 0 ) 2log 2 1 ,(a -∞ 应选择准对所含字母 分类讨论,要做到不重不 ) 2(x 的解集为 不等式或分段 解不等式 精心整理 画出函数图像,结合图像 ???-12x x x f )(法一:结合图像求解;法二:化为不等式组 解集为{}) ,5[0]3,(+∞--∞ ) ,0[+∞所以,不等式 精心整理 转化为) 2()1(f x f >-,化为2 1>-x ,得解R ,f )的 导函数,函数 y =f ′(x )的图象 如右图所示,且f (-2)=1, -数图象知f (x )在(-∞,0)上 精心整理 为增函数;在(0,+∞)上为x 求解要先考虑分类标准,做到不漏不重 ) (x f 的大致图像如 精心整理 图,则不等式0) 1)((>-x x x f 的解集为 )(x f 分析:换元, 设 t x f =)(,先解不 等式8 )( 2<<-t 或3 0<≤t ,再转化解1,2,0 ) ()(2 121<--x x x f x f 精心整理 f ? ? ? ???13=34,且 3 )(log 41>x f ,那么x +∞) D.? ?????0,18 ???1, 是x )∴ ) log ()(log 8 18 1x f x f =, 精心整理 由 )31(43)log (8 1f x f => 得 3 1log 8 1< x 2(C -可得 ???>+-<-<-4 )2(2222 2a a a ,解得 ) 4,2(∈a 5 不等式的练习题 一、填空题 1、不等式2654x x +<的解集是 . 2 不等式-4≤x 2-3x <18的整数解为 . 3、如果不等式21 16.使不等式a x x <-+-34有解的条件是 . 17.已知关于x 的方程ax 2 +bx+c <0的解集为{x |x <-1或x >2}.则不等式ax 2 -bx+c >0的解集为 . 二、解不等式: 1、302x x -≥- 2、21 13 x x ->+ 3、22 32023x x x x -+≤-- 4、221 02x x x --<- 5、()()() 3 22 1603x x x x -++≤+ 6、()2 309x x x -≤- 7、 101x x <-< 8、 . 0)25)(-4-( 2 2<++x x x x 9 、 (2 1x -)(2 68x x -+)≤0 10 、 22 41 1372 x x x x -+≥-+ 11 、 12 、x x x 211322 +>+- 典型例题一 例 1 解不等式:( 1)2x3 x2 15 x 0 ;(2) ( x 4)( x 5)2 (2 x)3 0 . 分析:如果多项式 f (x) 可分解为 n 个一次式的积,则一元高次不等式 f ( x) 0 (或f (x) 0 )可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解:( 1)原不等式可化为 x(2x 5)( x 3)0 把方程 x(2 x 5)( x 3) 0 的三个根 x1 0, x2 5 , x3 3顺次标上数轴.然后从右上2 开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部分. ∴原不等式解集为x 5 0或 x 3 x 2 ( 2)原不等式等价于 ( x 4)( x 5)2 (x 2)3 0 x 5 0 x 5 (x 4)( x 2) 0 x 4或 x 2 ∴原不等式解集为x x 5或 5 x 4或x 2 说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x 的系数必为正;②对于偶次或 奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿” ,其法如下图. 典型例题二 例 2 解下列分式不等式: ( 1) 3 1 2 ;(2) x2 4x 1 1 x 2 x 2 3x2 7x 2 分析:当分式不等式化为f (x) 0(或0) 时,要注意它的等价变形g( x) ① f ( x) f ( ) g ( ) 0 g( x) x x ② f ( x) f (x) g(x) f ( x) f ( x ) 0或 ( ) ( ) 0 或 g( x) g (x) 0 g (x) f x g x ( 1)解: 原不等式等价于 3 x 3 x 0 x 2 x 2 x 2 x 2 3( x 2) x( x 2) x 2 5x 6 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) ( x 6)( x 1) 0 (x 6)( x 1)( x 2)(x 2) 0 ( x 2)( x 2) (x 2)( x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 2) 1,2 6, 。 ( 2)解法一 :原不等式等价于 2x 2 3x 1 0 3x 2 7x 2 (2x 2 3x 1)(3x 2 7 x 2) 0 2x 2 3x 1 0 2x 2 3x 1 3x 2 7x 2 或 3x 2 7x 2 1 或 1 x 或 x 2 x 2 1 3 ∴原不等式解集为 ( , 1 ) ( 1 ,1) (2, ) 。 3 2 解法二:原不等式等价于 ( 2x 1)( x 1) 0 (3x 1)( x 2) (2x 1)( x 1)(3x 1) (x 2) 0 用“穿根法” ∴原不等式解集为 ( , 1) ( 1 ,1) (2, ) 3 2 典型例题三 例 3 解不等式 x 2 4 x 2 高中数学基本不等式问题求解十例 一、基本不等式的基础形式 1.222a b a b +≥,其中,a b R ∈,当且仅当a b =时等号成立。 2.2a b a b +≥,其中[),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 3.常考不等式: 2 2 2 2112 2a b a b a b a b ++??≥≥≥ ??? + ,其中(),0,a b ∈+∞,当且仅当a b =时等号成立。 二、常见问题及其处理办法 问题1:基本不等式与最值 解题思路: (1)积定和最小:若a b 是定值,那么当且仅当a b =时,()m in 2a b a b +=。其中[),0,a b ∈+∞ (2)和定积最大:若a b +是定值,那么当且仅当a b =时,()2 m a x 2a b a b +??= ??? ,其中,a b R ∈。 例题1:若实数,a b 满足221a b +=,则a b +的最大值是 . 解析:很明显,和为定,根据和定积最大法则可得:2 2 222 221222 4 a b a b a b a b -++?= ??≤≤? ??+≤-? ? ,当且 仅当1a b ==-时取等号。 变式:函数1 (0,1)x y a a a -=>≠的图象恒过定点A ,若点在直线1m x n y +=上,则m n 的最大值为______。 解析:由题意可得函数图像恒过定点()1,1A ,将点()1,1A 代入直线方程1m x n y +=中可得1m n +=,明显,和为 定,根据和定积最大法则可得:2 124m n m n +?? ≤= ? ?? ,当且仅当12m n ==时取等号。 例题2:已知函数()2 122 x x f x +=+ ,则()f x 取最小值时对应的x 的值为__________. 解析:很明显,积为定,根据积定和最小法则可得:2 2 1122212 2 x x x x +++≥? =,当且仅当2 12 12 x x x += ?=-时 取等号。 变式:已知2x >-,则12 x x + +的最小值为 。 解析:由题意可得()120,2 12 x x x +>+ ?= +,明显,积为定,根据和定积最大法则可得: ()1122 222 2 x x x x ++≥+?=++,当且仅当122112 x x x x += ?+=?=- +时取等号,此时可得 一元一次不等式及其解法 一、知识点复习 1.一元一次不等式的概念: 只含有一个未知数,且未知数的次数是1且系数不为0的不等式,称为一 元一次不等式。 2.解一元一次不等式的一般步骤: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3. 注意事项: ①去分母时各项都要乘各分母的最小公倍数,去分母后分子是多项式时,分子要加括号。 ②系数化为1时,注意系数的正负情况。 二、经典题型分类讲解 题型1:考察一元一次不等式的概念 1. (2017春昭通期末)下列各式:①5≥-x ;②03<-x y ;③05<+πx ;④ 32≠+x x ; ⑤x x 333≤+;⑥02<+x 是一元一次不等式的有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.(2017春启东市校级月考)下列不等式是一元一次不等式的是( ) A 、 67922-+≥-x x x x B 、01=+x C 、0>+y x D 、092≥++x x 3.(2017春寿光市期中)若03)1(2>-+m x m 是关于x 的一元一次不等式,则m 的值为( ) A 、1± B 、1 C 、1- D 、0 题型2:考察一元一次不等式的解法 4. (2016秋太仓市校级期末)解不等式,并把解集在数轴上表示出来: (1))21(3)35(2x x x --≤+ (2)2 2531-->+ x x 5.解不等式 10 1.0)39.1(10 2.06.035.05.12?->---x x x 。 6.(2016秋相城区期末)若代数式 123-+x 的值不大于6 34+x 的值时,求x 的取值范围。 7. (2017春开江县期末)请阅读求绝对值不等式3 专题三:高考数学不等式问题的题型与方法(理科) 一、考点回顾 1.高考中对不等式的要求是:理解不等式的性质及其证明;掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理,并会简单的应用;掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式;掌握简单不等式的解法;理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2.不等式这部分内容在高考中通过两面考查,一是单方面考查不等式的性质,解法及证明;二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查,深化数学知识间的融汇贯通,从而提高学生数学素质及创新意识. 3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰. 4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的步骤,技巧和语言特点.比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值).5.在近几年全国各省市的高考试卷中,不等式在各种题型中都有出现。在解答题中,不等式与函数、数列与导数相结合,难度比较大,使用导数解决逐渐成为一般方法6.知识网络 其中:指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式,不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1.有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中,一般与函数的值域,最值与比较大小等常结合在一起 例1.(xx 年江西卷)若a >0,b >0,则不等式-b <1 x 1b D.x <1b -或x >1a 解析:-b <1x 1 a 答案:D 点评:注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.(xx 年北京卷)如果正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,那么( ) A.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 B.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值唯一 C.ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 D.ab c d +≥,且等号成立时a b c d ,,,的取值不唯一 解析:正数a b c d ,,,满足4a b cd +==,∴ 4=a b +≥,即4ab ≤,当且仅当a =b =2时,“=”成立;又4=2 ( )2 c d cd +≤,∴ c+d ≥4,当且仅当c =d =2时,“=”成立;综上得ab c d +≤,且等号成立时a b c d ,,,的取值都为2 答案:A 点评:本题主要考查基本不等式,命题人从定值这一信息给考生提供了思维,重要不等式可以完成和与积的转化,使得基本不等式运用成为现实。 例3.(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,则实数a 的取值范围是 (A)a <-1 (B)a ≤1 (C) a <1 (D )a ≥1 解析:若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立,当x ≥0时,x ≥ax ,a ≤1,当x <0时, 高一数学一元二次不等式解法练习题及答案 例若<<,则不等式--<的解是1 0a 1(x a)(x )01 a [ ] A a x B x a .<< .<<11 a a C x a D x x a .>或<.<或>x a a 1 1 分析比较与的大小后写出答案. a 1 a 解∵<<,∴<,解应当在“两根之间”,得<<. 选. 0a 1a a x A 11 a a 例有意义,则的取值范围是 .2 x x 2--x 6 分析 求算术根,被开方数必须是非负数. 解 据题意有,x 2-x -6≥0,即(x -3)(x +2)≥0,解在“两根之外”,所以x ≥3或x ≤-2. 例3 若ax 2+bx -1<0的解集为{x|-1<x <2},则a =________,b =________. 分析 根据一元二次不等式的解公式可知,-1和2是方程ax 2+bx -1=0的两个根,考虑韦达定理. 解 根据题意,-1,2应为方程ax 2+bx -1=0的两根,则由韦达定理知 -=-+=-=-=-?? ?????b a a ()()1211122×得 a b ==-1212 ,. 例4 解下列不等式 (1)(x -1)(3-x)<5-2x (2)x(x +11)≥3(x +1)2 (3)(2x +1)(x -3)>3(x 2+2) (4)3x 2-+- -+-3132 511 3 122x x x x x x >>()() 分析 将不等式适当化简变为ax 2+bx +c >0(<0)形式,然后根据“解公式”给出答案(过程请同学们自己完成). 答 (1){x|x <2或x >4} (2){x|1x }≤≤3 2 (3)? (4)R (5)R 说明:不能使用解公式的时候要先变形成标准形式. 例不等式+> 的解集为5 1x 1 1-x [ ] A .{x|x >0} B .{x|x ≥1} C .{x|x >1} D .{x|x >1 或x =0} 分析 直接去分母需要考虑分母的符号,所以通常是采用移项后通分. 解不等式化为+->, 通分得>,即>, 1x 0001 111 22 ----x x x x x ∵x 2>0,∴x -1>0,即x >1.选C . 说明:本题也可以通过对分母的符号进行讨论求解. 高中数学-不等式的解法 考点不等式的解法 1不等式ax>b 若a>0,解集为 ? ? ? ? ? ? x| x> b a;若a<0,解集为?? ? ? ? ? x| x< b a;若a=0,当b≥0时,解集为?,当b<0时,解集为R. 2一元二次不等式 “三个二次”分三种情况讨论,对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的解集,可归纳为: 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0Δ=0Δ<0 二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0)的根 有两相异实根 x=x1或x=x2 有两相同实根 x=x1=x2 无实根 一元 二次 不等 式的 解集 ax2+bx+ c>0(a>0) {x|x 典型例题一 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 (1)解:原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 (2)解法一:原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二:原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 实用文档 标准文案大全典型例题一 例1解不等式:(1)015223???xxx;(2)0)2()5)(4(32????xxx. 分析:如果多项式)(xf可分解为n个一次式的积,则一元高次不等式0)(?xf(或0)(?xf)可用“穿根法”求解,但要注意处理好有重根的情况. 解:(1)原不等式可化为 0)3)(52(???xxx 把方程0)3)(52(???xxx的三个根3,25,0321????xxx顺次标上数轴.然后从右上开始画线顺次经过三个根,其解集如下图的阴影部 分. ∴原不等式解集为??????????3025xxx或 (2)原不等式等价于 ??????????????????????2450)2)(4(050)2()5)(4(32xxxxxxxxx或 ∴原不等式解集为??2455???????xxxx或或 说明:用“穿根法”解不等式时应注意:①各一次项中x的系数必为正;②对于偶次或奇次重根可转化为不含重根的不等式,也可直接用“穿根法”,但注意“奇穿偶不穿”, 其法如下图. 典型例题二 例2 解下列分式不等式: (1)22123????xx;(2)12731422?????xxxx 分析:当分式不等式化为)0(0)()(??或xgxf时,要注意它的等价变形 实用文档 标准文案大全①0)()(0)()(????xgxfxgxf ② 0)()(0)(0)()(0)(0)()(0)()(?????????????xgxfxfxgxfxgxgxfx gxf或或 (1)解:原不等式等价于 ????????????????????????????????????????0)2)(2(0)2)(2)(1)(6(0)2 )(2()1)(6(0)2)(2(650)2)(2()2()2(302232232xxxxxxxxxxxx xxxxxxxxxxxxx 用“穿根法” ∴原不等式解集为????????????,62,1)2,(。 (2)解法一:原不等式等价于 027313222?????xxxx21213102730132027301320)273)(132(222222??? ???????????????????????????????xxxxxxxxxxxxxxx或或或 ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(??????。 解法二:原不等式等价于0)2)(13()1)(12(?????xxxx 0)2()13)(1)(12(???????xxxx 用“穿根法” ∴原不等式解集为),2()1,21()31,(?????? 典型例题三 实用文档 标准文案大全 例3解不等式242???xx 分析:解此题的关键是去绝对值符号,而去绝对值符号有两种方法:一是根据绝对值的 不等式解法15种典型例题 例1 解不等式:(1)01522 3>--x x x ;(2)0)2()5)(4(3 2 <-++x x x . 分析:如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积,则一元高次不等式0)(>x f (或0)( 综合滚动练习:不等式的解法及其应用 一、选择题(每小题3分,共24分) 1.若a >b ,则下列不等式一定成立的是( ) A.b a <1 B.b a >1 C.-a >-b D.a -b >0 2.不等式x 2-x -13 ≤1的解集是( ) A.x ≤4 B.x ≥4 C.x ≤-1 D.x ≥-1 3.关于x 的不等式2x -a ≤-1的解集是x ≤-1,则a 的值是( ) A.0 B.-3 C.-2 D.-1 4.(2017·遵义中考)不等式6-4x ≥3x -8的非负整数解有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5.要使4x -3 2 的值不大于3x +5的值,则x 的最大值是( ) A.4 B.6.5 C.7 D.不存在 6.用甲、乙两种原料配制成某种饮料,已知这两种原料的维生素C 含量及购买这两种原 现配制这种饮料10千克,要求至少含有4200单位的维生素C.若所需甲种原料的质量为x 千克,则x 应满足的不等式为( ) A.600x +100(10-x )≥4200 B.8x +4(100-x )≤4200 C.600x +100(10-x )≤4200 D.8x +4(100-x )≥4200 7.若关于x 的方程3m (x +1)+1=m (3-x )-5x 的解是负数,则m 的取值范围是( ) A.m >-54 B.m <-54 C.m >54 D.m <5 4 8.某商店老板销售一种商品,他要以不低于进价20%的利润出售,但为了获得更多的利 润,他以高出进价80%的价格标价,若你想买下标价为360元的这种商品,商店老板让价的最大限度为( ) A.82元 B.100元 C.120元 D.160元 二、填空题(每小题4分,共24分) 9.(2017·海南中考)不等式2x +1>0的解集是 . 10.如果关于x 的不等式2(x -1) 高中数学-不等式的解法 若a<0时,可以先将二次项系数化为正数,对照上表求解. 3高次不等式的解法 如果一元 n 次不等式 a o x n + a 1X n 1+ …+ a n >0(a o 工 0, n € N *, n > 3)可以转化为 a °(x — X 1)(x — X 2)…(X — X n )>0(其中X 1 七年级下册不等式专题测练 训练一 不等式及其解集 1.下列式子中,不等式的个数为( ) ①20-<;②34x y +>;③21x +=;④x y +;⑤6a ≠. A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2.当3x =-时,下列不等式成立的是( ) A 、58x ->- B 、1303 x +> C 、3(3)3x ->- D 、32x x > 3.用不等式表示图1中的不等式的解集,其中正确的是( ) A 、2x >- B 、2x <- C 、22x -<< D 、2x > 4.哥哥今年6岁,弟弟今年4岁,以下说法正确的是( ) A 、比弟弟大的人,一定比哥哥大; B 、比哥哥小的人,一定比弟弟小; C 、比哥哥大的人可能比弟弟小; D 、比弟弟小的人决不会比哥哥大. 5.设“●”、“▲”表示两种不同的物体,现用天平称(如图),若用x 、?y 分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________. 6.先根据文字语言列出不等式,并想出不等式的解集,然后再在数轴上表示出其解集. (1)x 减去4-的差是正数; (2)a 的3倍小于6-. 训练二 不等式的性质 1.如果x y >,那么下列结论错误的是( ) A 、33x y ->- B 、44x y > C 、2255 x y > D 、x y ->- 2.若0m n >>,那么下列各式中正确的是( ) A 、mp np > B 、2n mn < C 、 11m n > D 、()()m p n p -->+- 3.如果(3)3a x a +>+的解集为1x <,那么a 必须满足( ) A 、0a < B 、3a > C 、3a >- D 、3a <- 4.设0x y <<,用不等号连接下列各项中的式子:2x - 2 y -, 2x 2y . 5.式子22x -,当x 时,该式子的值是正数;当x 时,该式子的值是负数;当x 时,该式子的值小于2. 高中数学不等式的分 类、解法 精品文档 收集于网络,如有侵权请联系管理员删除 高中数学简单不等式的分类、解法 一、知识点回顾 1.简单不等式类型:一元一次、二次不等式, 分式不等式,高次不等式,指数、对数不等 式,三角不等式,含参不等式,函数不等式, 绝对值不等式。 2.一元二次不等式的解法 解二次不等式时,将二次不等式整理成首 项系数大于0的一般形式,再求根、结合图像 写出解集 3三个二次之间的关系: 二次函数的图象、一元二次方程的根与一元二次不等式的解集之间的关系(见复习教材P228) 二次函数的零点---对应二次方程的实根----对应二次不等式解集区间的端点 4.分式不等式的解法 法一:转化为不等式组;法二:化为整式不等式;法三:数轴标根法 5.高次不等式解法 法一:转化为不等式组;法二:数轴标根法 6.指数与对数不等式解法 a>1时)()()()(x g x f a a x g x f >?>; 0)()()(log )(log >>?>x g x f x g x f a a 0; ) ()(0)(log )(log x g x f x g x f a a <> 7.三角不等式解法 利用三角函数线或用三角函数的图像求解 8.含参不等式解法 根据解题需要,对参数进行分类讨论 9.函数不等式解法 利用函数的单调性求解,化为基本不等式 (有时还会结合奇偶性) 10.绝对值不等式解法(后面详细讨论) 二、练习: (1)23440x x -++>解集为 (2 23x -<< )(一化二算三写) (2)213 022 x x ++>解集为 (R ) (变为≤,则得?)(无实根则配方) 三、例题与练习 例1已知函数)()1()(b x ax x f +?-= ,若不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-,则不等式 0)2(<-x f 的解集为 ),2 1 ()23,(+∞--∞Y 解法一:由根与系数关系求出3,1-=-=b a ,得32)(2++-=x x x f ,再得出新不等式,求解 一元二次不等式及其解法(文科学案) 编者:赵学磊审核:刘丽娟 【教学目标】 1.知识与技能:理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系,掌握图象法解一元二次不等式的方法;培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力; 2.情态与价值:激发学习数学的热情,培养勇于探索的精神,勇于创新精神。 【教学重点】 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型;一元二次不等式的解法。 【教学难点】 理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集的关系。 【教学过程】 1.一元二次不等式的概念 形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0)(其中a≠0)的不等式叫做一元二次不等式,用文字语言表述为:,叫做一元二次不等式.2.一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的联系 (1)将原不等式化为一般式. ax2+bx+c≥0与ax2+bx+c≤0(a>0) (2)判断?的符号. (3)求方程的根. (4)根据图象写不等式的解集. 写不等式解集的规律是:大于零取小于零取。 三、典型讲解: 题型一、解一元二次不等式 例1、求下列不等式的解集. (1)2230x x -+-> (2)2 4410x x -+> (3)x 2+28≥11x; (4)x 2 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质: (1)同向不等式可以相加;异向不等式可以相减:若,a b c d >>,则a c b d +>+(若,a b c d ><,则 a c b d ->-),但异向不等式不可以相加;同向不等式不可以相减; (2)左右同正不等式:同向的不等式可以相乘,但不能相除;异向不等式可以相除,但不能相乘:若 0,0a b c d >>>>,则ac bd >(若0,0a b c d >><<,则 a b c d >); (3)左右同正不等式:两边可以同时乘方或开方:若0a b >>,则n n a b > >(4)若0ab >,a b >,则11a b <;若0ab <,a b >,则11a b >。 【例】(1)对于实数c b a ,,中,给出下列命题:①22,bc ac b a >>则若;②b a bc ac >>则若,22; ③22,0b ab a b a >><<则若;④b a b a 11,0< <<则若;⑤b a a b b a ><<则若,0; ⑥b a b a ><<则若,0;⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0;⑧11 ,a b a b >>若,则0,0a b ><。其中正确的命题是______(答:②③⑥⑦⑧); (2)已知11x y -≤+≤,13x y ≤-≤,则3x y -的取值范围是______(答:137x y ≤-≤); (3)已知c b a >>,且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______(答:12,2? ?-- ?? ?) 2. 不等式大小比较的常用方法: (1)作差:作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果;(2)作商(常用于分数指数幂的代数式);(3)分析法;(4)平方法;(5)分子(或分母)有理化;(6)利用函数的单调性;(7)寻找中间量或放缩法 ;(8)图象法。其中比较法(作差、作商)是最基本的方法。 【例】(1)设0,10>≠>t a a 且,比较 21log log 21+t t a a 和的大小(答:当1a >时,11log log 22 a a t t +≤(1t =时取等号);当01a <<时,11 log log 22 a a t t +≥(1t =时取等号)); (2)设2a >,1 2 p a a =+-,2422-+-=a a q ,试比较q p ,的大小(答:p q >); (3)比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小(答:当01x <<或4 3 x >时,1+3log x >2log 2x ;当 413x <<时,1+3log x <2log 2x ;当4 3 x =时,1+3log x =2log 2x ) 3. 利用重要不等式求函数最值时,你是否注意到:“一正二定三相等,和定积最大,积定和最小”这17字方 针。 【例】(1)下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-(答:C ); (2)若21x y +=,则24x y +的最小值是______ (答:; (3)正数,x y 满足21x y +=,则y x 1 1+的最小值为______ (答:3+; 4.常用不等式有:(1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ; (2)a 、b 、c ∈R ,222 a b c ab bc ca ++≥++(当且仅当a b c ==时,取等号); (3)若0,0a b m >>>,则b b m a a m +<+(糖水的浓度问题)。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ,则ab 的取值范围是_________(答:[)9,+∞) 高中数学不等式的解法 复习目标 1.掌握一元一次不等式(组) ,一元二次不等式,分式不等式,含绝对值的不等式,简单的 无理不等式的解法. 2.会在数轴上表示不等式或不等式组的解集. 3.培养运算能力. 知识回顾 一、一元一次不等式的解法 一元一次不等式 ax b(a 0) 的解集情况是 b b (1)当 a 0 时,解集为 { x | } (2)当 a 0时,解集为 { | } x x x a a 二、一元二次不等式的解法 2 bx c 2 的有 一般的一元二次不等式可利用一元二次方程 ax 0与二次函数 y ax bx c 关性质求解,具体见下表: 2 0 0 0 a 0 , b 4ac 二次函数 y 2 ax b x c 的图象 一元二次方程 有两个相等的实根 有两实根 2 bx c ax 的根 x x 或 1 x x 2 x x 1 x 2 b 2a 无实根 不等式 一 式 元 的 2 bx c ax {x| x x 1或x x 2} { x | x x 1 } R 二 解 次 集 不 的解集 不等式 等 2 bx c ax {x|x 1 x x 2} Φ Φ 的解集 注:1.解一元二次不等式的步骤: (1)把二次项的系数a变为正的.(如果a 0,那么在不等式两边都乘以1,把系 数变为正) 1 (2)解对应的一元二次方程.(先看能否因式分解,若不能,再看△,然后求根)(3)求解一元二次不等式.(根据一元二次方程的根及不等式的方向) 2.当a 0 且0 时,定一元二次不等式的解集的口诀:“小于号取中间,大于号取两边”. 三、含有绝对值的不等式的解法 1.绝对值的概念 a (a 0) a 0 a 0 a a 0 2.含绝对值不等式的解: (1)| x | a(a 0) a x a (2)| x | a(a 0) x a或x a (3)| f (x) | a(a 0) a f (x) a (4)| f (x) | a(a 0) f (x) a或f (x) a 注:当a 0时,| x | a 无解,| x | a的解集为全体实数. 四、一元高次不等式的解法 一元高次不等式 f ( x) 0(或 f (x) 0),一般用数轴标根法求解,其步骤是: (1)将 f ( x) 的最高次项的系数化为正数; (2)将 f ( x) 分解为若干个一次因式的积; (3)将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线; (4)根据曲线显现出 f (x) 值的符号变化规律,写出不等式的解集. 如:若a1 a2 3 ,则不等式(x a1)(x a2) (x a n) 0 a a n 或(x 1)(x a ) (x a n ) 0的解法如下图(即“数轴标根法”): a 2 五、分式不等式的解法 ' ' f (x) f ( x) 对于解 a a 或型不等式,应先移项、通分,将不等式整理成 ' g ( x) g'( x)不等式及其解法练习题
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