数形结合
六年级数学数与形教案
数与形 教学内容： 人教版数学六年级上册第八章数学广角——数与形 教学目标： 1、结合具体实例初步理解数与形结合的思想方法。 2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。 3、在解决实际问题的过程中，体会数与形之间的密切联系，感受数学知识的奥妙，激发学生学习数学的兴趣。 教学重难点： 1、结合具体实例理解数与形结合的思想方法。 2、运用数形结合的方法探索规律，帮助计算，解决实际问题。 教学方法： 启发法，探讨法。 教具准备： 挂图，教学ppt。 教学过程： 一、导入新课 1、提问：平时在生活和学习中遇到过困难吗？你是怎样解决的呢？ 学生自由谈论自己的解决办法。 教师根据学生的发言小结：说得很好，你们在遇到困难时都能勇敢面对，并且想方设法去解决。那这节课我们就一起来解决问题，看看大家是否能像自己说的那样去做。
2、设疑。 （1）按规律填空： ○1 5 10 15 20 （）○2 1 3 6 10（） ○3 2 3 5 6 9 10 14 15 （）（） （2）计算： 100+101+102+103+…+2018=（） （3）填空：(出示挂图) 小明用吸管和图钉钉三角形形状(如图，线段表示吸管，黑点表示图钉)。 如果小明钉100个三角形，那么又需要_____个图钉和_____根吸管。3、教师小结：以上问题，如果用常规方法，解决起来会很困难和繁琐，但是如果用数形结合的方法就能使问题更简便。今天我们就一起来学习数形结合的方法。 4、板书：数形结合 二、探索新知 （一）学习例题1——数转为图形。 1、计算。 1＋3＝（） 1＋3＋5＝（） 1＋3＋5＋7＝（） 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋19＝（） 观察这些算式中的加数有什么特点？（连续自然数） 2、观察一下，上面的图和下面的算式有什么关系？把算式补充完整。
巧用数形结合思想解二次函数中的问题
巧用数形结合思想解二次函数中的问题 摘要：数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来。通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，数形结合思想通过“以形助数，以数解形”两个方面，已经成为当今数学的特色之一，它使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质。它兼有数的严谨与形的直观，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法。本文通过例题分析了解“数形结合思想”来解决二次函数中的问题，因为此类问题的特点是若仅进行代数推理,亦能解决, 但运算繁、技巧强、难度大若以形助数, 则运算简、技巧弱、难度小。 关键词：数形结合思想二次方程和不等式二次函数 由于初中的“二次函数”的问题，历年来都是中考的热点，因此，我从用“数形结合”思维思想来谈一谈这些问题。 一、数形结合思想概述 法国著名的自然辨证哲学家恩格斯曾经说过“数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学”。数学中两大研究对象“数”与“形”的矛盾统一是数学发展的内在因素，数形结合是贯穿于数学发展历史长河中的一条主线，并且使数学在实践中的应用更加广泛和深入。一方面。借助于图形的性质可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直觉的启示。另一方面，将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。这种“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简洁明快，而且可以大大开拓
我们的解题思路，为研究和探求数学问题开辟一条重要的途径．因此，数形结合不应仅仅作为一种解题方法．而应作为一种重要的数学思想，它是将知识转化为能力的“桥”。而课堂教学中多媒体的应用更有利于体现数形结合的数学思想方法。有利于突破教学难点，有利于动态地显示给定的几何关系，营造愉快的课堂教学气氛，激发学生的学习兴趣，使学生喜欢数学，爱学数学． “数”与“形”作为数学中最古老最重要的两个方面．一直就是一对矛盾体。正如矛和盾总是同时存在一样．有“数”必有“形”，有“形”必有“数”。华罗庚先生曾说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休。切莫忘，几何代数统一体。永远联系．切莫分离!”寥寥数语，把数形之妙说得淋漓尽致．“数形结合”作为数学中的一种重要思想，它在初、高中都是解决许多问题得重要思想，特别是在高中数学中占有极其重要的地位，关于这一点，我们只要翻阅近年高考试卷就可以一目了然。在多年来的高考题中，数形结合应用广泛．大多是“以形助数”，比较常见的是在解方程和不等式、求函数的最值问题、求复数和三角函数等问题中，与此同时“数形结合”思想在二次函数中的应用在中、高考命题中解决问题也成了必不可少的部分，也是平时学习二次函数解决应用问题的一个重点。巧妙运用“数形结合”思想解题．可以化抽象为具体，达到事半功倍的效果。 二、二次函数与系数之间的关系
数形结合法
八、数形结合思想方法 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合一是一个数学思想方法，应用主要是借助形的直观性来阐明数之间的联系，其次是借助于数的精确性来阐明形的某些属性。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设命题甲：0 速解高中解析几何的方法之一——数形结合 四川省郫县第三中学姚慰民 【摘要】解析几何是高考数学的必考内容，在所有题型中所占比值相对较高。一般来说，解析几何的难度比函数低，且有一定的技巧性，只要掌握了速解技巧，将题目的“数”与“形”相结合，将题目所给条件一一对应来帮助解题，就能减少解题时间，也不会漏掉题目条件，提高答题效率。因此，准确运用数形结合答题方法是高中解析几何成绩的决定因素。文章对速解高中解析几何方法中的数形结合进行分析，对数形结合在解析几何几种题型中的运用进行举例说明。 【关键词】高中解析几何；速解方法；数形结合 中图分类号：G633.65 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2015）33- 所谓数形结合，就是把题目所给条件中的“数”与“形”一一对应，用简单的、直观的几何图形及条件之间的位置关系来将复杂的、抽象的数学语言及条件之间的数量关系结合起来，通过形象思维与抽象思维之间的结合以形助数或以数解形，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，以达到化解题途径的目的。可见，数形结合在平面解析几何和立体解析几何的解题中有重要的作用。 一、解析几何的概念 解析几何是几何学的分支，主要是用代数方法研究几何对象之间的关系和性质，因而解析几何也叫坐标几何，它包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何是二维空间上的解析几何，立体解析几何是三维空间上的解析几何，立体解析几何比平面解析几何更加复杂、抽象。 二、数形结合法的概述 1.数形结合的解题思想 通常来说，一道题目不会明确指定用数形结合的方法进行答题，每道题也不会只有一种解题方法，但数形结合方法在解析几何答题中具备相当的优势，能减少运算量，节约答题时间，提高正确率。因此，学生需要在平时练习中形成数形结合的解题思想，遇到解析几何时，能清楚条件与问题之间的数量关系与位置关系，将“数”与“形”一一对应，快速找到解题 应用数与形相结合的原则 在现实世界中，数与形是不可分离地结合在一起的，这是直观与抽象相结合，感知与思维相结合的体现。数与形相结合不仅是数学自身发展的需要，也是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。 从表面上看来，中学数学内容可分为数与形两大部分，中学代数是研究数和数量的学科，中学几何是研究形和空间形式的学科，中学解析几何是把数和形结合起来研究的学科，实际上，在中学数学各科教学中都渗透了数与形相结合的内容。如： 例：在正三角形ＡＢＣ外接圆的弧ＢＣ上任取一点Ｐ，求证： （１）ＰＢ＋ＰＣ＝ＰＡ；（２）ＰＢ·ＰＣ＋ＡＢ２＝ＰＡ２ 分析：设正△ABC 边长为a ，PA=X PB=Y PC=Z 由∠B PA=∠CPA=60° 对△PAB 和△PAC 使用余弦定理，有：x 2+y 2-xy=a 2 x 2+z 2-xz=a 2 即：y 2-xy+ x 2- a 2=0 z 2-xz +x 2- a 2=0 如图： 过说明Y 、Z 是关于U 的方程：u 2-xu+ x 2- a 2=0的两个根。 由韦达定理有：Y+Z=X Y-X=X 2-A 2 C 即：PB+PC=PA PB·PC+AB2=PA2这是几何问题转化为代数问题中的三角法。 又如：对每个实数，设F（X）取4Ｘ+1 X-Z -2X+4中的最小值，那么+（X）的最的最大值是（） A、8/3 B、1/3 C、2/3 D、2/5 分析：如图 函数Y=F（X）的图象是图中的实线，联立：Y=—2X+4、Y=X+ 2解得：X=2/3 Y=8/3，故此题应选“A”。这是由代数问题转化为几何题图解法。 以上两题证明数与形之间的联系是密不可分的，两者相畏相承同生共长。在教学中应注意利用它们之间的关系来解决问题。 另外，实数与数轴相结合，复数与坐标平面相结合；函数与其图象相结合。代数方程可表示各种数量关系，它可解决有关长度、面积、体积等问题。二元一次方程，二元一次方程分别表示平面直线，二次曲线等。都应运用到教学中来。以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研都材，理解数学中的有关概念，公式与法则，掌握数形相结合进行分析问题与解决问题的方法，从而提高运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力。 三、数形结合在解题中的应用。 y O A B 第三讲 一次函数与不等式 一、学习指引 1.知识要点 （1）图形与平面直角坐标系（2）一次函数与不等式（3）一次函数与不等式的应用 2.方法指引 （1）熟知一次函数的图象与性质，实际问题一定要注意自变量取值. （2）一次函数的图象在X 轴上方的部分X 的取值相当于一次不等式大于0的解；一 次函数的图象在X 轴下方的部分X 的取值相当于一次不等式小于0的解. （3）函数题一定要注意一种重要的数学思想即数形结合. （4）会用图象上的点、实际问题中的变量关系以及图象的形状和位置或具有的性质 等各种条件，灵活运用转化、分类讨论和方程等思想方法，用待定系数法来确定函数的解析式. 一、典型例题 （一）填空与选择 1．如图，在直角坐标系中，已知点)0,3(-A ，)4,0(B ，对△OAB 连续作旋转变换，依次得 到三角形①、②、③、④…，则三角形⑩的直角顶点的坐标为 ． 2．如图，将边长为1的正方形OAPB 沿x 轴正方向连续翻转2 007次，点P 依次落在点P 1, P 2, P 3, P 4, …，P 2 007的位置，则P 2 007 的横坐标x 2 007＝_ ． 3．若直线y=mx+4，x=l ，x=4和x 轴围成的直角梯形的面积是7，则m 的值是（ ） A ．－12 B ．－ 23 C ．－3 2 D ．－2 4．已知直线y 1=ax+b 和y 2=mx+n 的图象如图所示，根据图象填空． ⑴ 当x_ _时，y 1＞y 2；当x___ _时，y 1=y 2； 当x___ ___时，y 1＜y 2. ⑵ 方程组12 y =ax+b y =mx+n ??? 是 . 5．如图，直线y kx b =+经过(21)A ， ，(12)B --，两点，则不 等式1 22 x kx b >+>-的解集为 . y O A B ① ② ③ ④ 4 8 12 16 4 （第1题图） （第2题图） （第4题图） 巧用数形结合，渗透数学思维 发表时间：2018-04-17T16:26:14.350Z 来源：《教育学文摘》2018年4月总第260期作者：孔维胜[导读] 小学数学中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。 青海省西宁市城西区文汇小学810000 摘要：小学数学中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然，知其所以然”。数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。《数学课程标准》中也明确指出：“通过义务教育阶段的数学学习，学 生能获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。” 关键词：数形结合数学思维转化数形结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相作用来解决数学问题的一种思想方法。其实质是将抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，使得抽象的数学概念或复杂的数量关系直观化、形象化、简单化。下面以“分数除以整数”一课为例，谈谈如何合理、有效地应用数形结合思想开展教学，引导学生探究所学知识，使他们真正获得发展。 一、将数学语言转化为图形，是数形结合思想的基础小学生的抽象逻辑思维能力不强，遇到新学或较难的数学问题时难免会出现疑惑、不理解。这时，把抽象的数学语言转化为图形，将抽象的“数”转化为直观的“形”，可以使复杂的问题简单化，使抽象的问题具体化，有效地帮助学生解决问题。教学片段1：画图研究÷2，大胆猜想算法。例：把一张纸的平均分成2分，每份是这张纸的几分之几？师：把什么平均分了？平均分成几份？怎么列式？学生列式为÷2。 师：这是一道操作题，我们先来看一看该怎么操作？第一步，找出整张纸的。 第二步，将平均分成2份。 第三步，找出其中的一份。 师：大家会不会折纸？每个同学桌上有一张长方形的纸，在操作过程中边折边思考，该怎样折？ 折法1： 折法2： 生1：折法一中可以看出，里有4个，平均分成2份，每份是2个，就是。算式为：÷2＝ = 。生2：折法二中可以看出，把平均分成2份，求一份是多少，就是求的是多少。× = 。 …… 二、根据图形明确算理，是数形结合思想的升华计算教学不是简单的技能训练，学习数的运算就是发展学生逻辑思维能力的过程，通过动手画图、课件的动态演示，引导学生经历探究算理、算法的过程，为学生深入理解算理、掌握算法提供了有力的支持。教学片段2：结合图形计算÷3。师：尝试用这两种方法计算÷3。 巧用数形结合渗透数学思想 内容摘要： 数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是一种指导思想和普遍适用的方法。数学是研究空间形式和数量关系的科学，因此数形结合思想是最重要的数学思想方法之一。“数”与“形”是贯穿整个数学教材的两条主线，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，它们在一定条件下可以相互转化 关键词：渗透数学思想数形结合 《数学课程标准》在总体目标中指出：“学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。”小学生的数学学习过程是思想形成的过程，数学思想的形成离不开数学方法的应用。数学思想方法作为数学知识内容的精髓，是一种指导思想和普遍适用的方法。数学是研究空间形式和数量关系的科学，因此数形结合思想是最重要的数学思想方法之一。“数”与“形”是贯穿整个数学教材的两条主线，数是形的抽象概括，形是数的直观表现，它们在一定条件下可以相互转化。华罗庚教授曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔裂分家万事非。”数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，使抽象思维和形象思维相结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法。适时的渗透数形结合的思想，可达到事半功倍的效果。 一、渗透数形结合思想，使计算中的算式形象化，帮助学生在理解算理 小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓要“知其然而知其所以然”。根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。 例如，在教学“同分母分数的加法”时，课始创设情境：小明过生日，他吃了这个蛋糕的1/8,妈妈吃了这个蛋糕的1/8,他们两人一共吃了这个蛋糕的几分之几在探究算理时，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/8+1/8这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引导学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/8+1/8这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。 再如，在教学有余数的除法时，我就是利用7根小棒来完成教学的。首先出示7根小棒，问：能搭出几个三角形要求学生用除法算式表示搭三角形的过程。像这样，把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解算理。 目录 0 引言 (1) 1 以“数”化“形” (1) 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (2) 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 (3) 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 (3) 2 以“形”变“数” (4) 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 (4) 3 “形”“数”互变 (6) 3.1 数轴在有理数化简中的应用 (6) 3.2 利用三角函数图象求角度 (7) 3.3 利用数形结合解决平面几何问题 (7) 结论 (9) 致谢 (9) 参考文献 提纲 1 以“数”化“形” 1.1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 1.2 利用二次函数的图象求一元二次不等式的解集 1.3 利用两点间距离公式辅助图形，解决代数综合题 2 以“形”变“数” 2.1 用解析法解决平面解析几何中的圆锥曲线问题 3 “形”“数”互变 3.1 数轴在有理数化简中的应用 3.2 利用三角函数图象求角度 3.3 利用数形结合解决平面几何问题。 摘要：数形结合法是解决数学问题中最基本、也最常用的思想方法。本文就中学数学中的不等式、集合、函数、解析几何等内容，举例阐述数形结合法在解题中的三点应用。 关键词：数形结合；中学数学；应用；解决问题 引言 做事情，如果想要事半功倍，就必须讲究方法，其实，何止事半功倍，有时方法甚至起到了决定性的作用，缺乏有效的方法，不仅谈不上效率，而且问题不能解决，事情也就根本不能成功，数形结合法对解决某些数学问题就起到了决定性的作用，如果能将数与形巧妙地结合起来，一些看似无法入手的问题就会迎刃而解，产生事半功倍的效果。我国著名的数学家华罗庚曾精辟地概括了数形结合法的内涵：数与形，本是相倚依，焉能分作两边分，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合万般好，割离分家万事非，切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离！可见，数与形存在着十分密切的联系。其实，在中学数学中，有很多内容就是集“数”“形”于一身的良好载体，例如：函数、解析几何等等，本文试从中学数学中的有理数、不等式、集合、三角函数、函数及其图象、平面几何、解析几何内容方面，举例说明数形结合法在中学数学解题中的三点应用：（1）以“数”化“形”；（2）以“形”变“数”；（3）“形”“数”互变。 1 以“数”化“形” 利用数形结合处理数学问题的技巧 摘要 数形结合在代数解题中有广泛应用，是数学研究的常用方法，它的思想可以把抽象的代数问题具体化，把数量关系与空间图形结合起来，既能分析其代数意义，又能揭示其几何意义。它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。下面将通过一些典型例题，探索解题中应用数形结合的技巧和方法。 关键词：数形结合思想方法技巧典型例题 正文： 数与形是数学中最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以相互转化。 中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合，或形数结合。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非。”“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我们认为，数形结合，主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数辅形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。 作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”。“以数解形”就是有些图形太过于简单，直接观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长、角度等等。“以形助数”就是把某些复杂的数学问题通过几何图形很直观的看出来，这样就把问题直观具体化。 数形结合的思想方法是数学教学内容的主线之一，应用数形结合的思想，可以解决以下问题： 一、解决集合问题：在集合运算中常常借助于数轴来处理集合的交、并、补等运算，从而使问题得以简化，使运算快捷明了。 二、解决函数问题：借助于图象研究函数的性质是一种常用的方法。函数图象的几何特征与数量特征紧密结合，体现了数形结合的特征与方法。 三、解决方程与不等式的问题：处理方程问题时，把方程的根的问题看作两个函数图象的交点问题；处理不等式时，从题目的条件与结论出发，联系相关函数，着重分析其几何意义，从图形上找出解题的思路。 四、解决三角函数问题：有关三角函数单调区间的确定或比较三角函数值的大小等问题，一般借助于单位圆或三角函数图象来处理，数形结合思想是处理三角函数问题的重要方法。 五、解决线性规划问题：线性规划问题是在约束条件下求目标函数的最值的问题。从图形上找思路恰好就体现了数形结合思想的应用。 六、解决数列问题：数列是一种特殊的函数，数列的通项公式以及前n项和公式可以看作关于正整数n的函数。用数形结合的思想研究数列问题是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决。 七、解决解析几何问题：解析几何的基本思想就是数形结合，在解题中善于将数形结合的数学思想运用于对点、线、曲线的性质及其相互关系的研究中。 八、解决立体几何问题：立体几何中用坐标的方法将几何中的点、线、面的性质及其相互关系进行研究，可将抽象的几何问题转化纯粹的代数运算。 《数学广角---数与形（一）》教学设计 教学内容: 新人教版小学数学第十一册P107—P108 教学目标： 1.知识与技能：在学习过程中引导学生探索在数与形之间建立联系，寻找规律，发现规律，运用规律提高计算技能。 2.数学思考与问题解决：运用数形结合的数学思考方法，让学生经历猜想与验证的过程，培养学生积极探究，大胆猜想验证，灵活运用知识的能力。 3.情感与态度：通过以形想数的直观生动性，体会数形结合思想，感受数学的趣味性，培养学生热爱科学勇于探索的精神。 教学重点、难点： 重点：引导学生探索在数与形之间建立联系发现规律，正确的运用规律进行计算。 难点：经历探索规律及验证规律的过程。 教学准备：课件、小正方形 教学过程设计： 一、导入： 师：观察这几组数有什么特点你能很快算出它们的得数吗 1+3+5+7= 1+3+5+7+9+11+13= 1+3+5+7+9+11+13+15+17= 1+3+5+7+9+11+ (99) （设计意图：通过快速算出“从1开始，连续几个奇数相加的和是多少”，激发学生学习的兴趣） 二、探究： 1.通过拼摆小正方形，初步感受数与形的联系。 师：说一说，每幅图是由几个小正方形组成的 师：想一想，要拼成一个更大的正方形，要增加几个小正方形 师：议一议，用算式表示出每个图中小正方形的个数。 师：观察这几个图形与计算的得数，你有什么发现 师：根据这个规律，想一想第7幅图是怎样的一共有多少个正方形第9幅图呢第100幅图呢第n幅图呢 （设计意图：通过拼摆学具，引导学生在数与形之间建立联系，感受到在图形中隐含着数的规律，可利用数的规律来解决图形问题。） 2. 运用规律解决问题。(可借助学具摆一摆) ①1＋3＋5＋7+9+11+13＝()2 ②1＋3＋5＋7＋9＋11＋13+15+17＝()2 ③_____1+3+_______________＝92 ④1+3+5+7+5+3+1= ⑤1+3+5+7+9+11+13+11+9+7+5+3+1= ⑥1+3+7+9+11+13= 小结：数形结合是一种特别重要的数学思想方法，把数与形结合起来解决问题，可以使复杂的问题变得更简单，师抽象的问题变得更直观。 （设计意图：运用规律解决问题，提升从1开始连续几个奇数相加的和这一规律的认识，清晰规律，灵活运用。） 3. 通过形的变化规律，理解数的变化规律。 下面每个图中各有多少个红色小正方形和多少蓝色小正方形 红色： 蓝色： 师：你发现了什么规律 生：第几幅图，就有几个红色小正方形；中间每增加1个红色正方形，上、下都必须增加1个蓝色正方形；后一个图形都比前一个图形增加1个红色小正方形和2个蓝色小正方形。 师：照这样接着画下去，第6个图形有多少个红色小正方形和多少个蓝色小 巧用数形结合思想解题 发表时间：2016-11-07T16:03:11.857Z 来源：《教育学》2016年9月总第105期作者：陈永才[导读] 或运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。 内蒙古包头市六中014000 摘要：数与形巧妙结合，即根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义。可运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；或运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。关键词：数形结合题设数量关系 数形结合是数学学科的一大基本思想，它与函数思想、方程思想紧密相连，是富有数学特色的信息转换。它不仅是一种重要的解题方法，也是一种重要的思维方法。 所谓数形结合就是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙结合起来，并充分地利用这种结合，探求解决问题的思路。一是运用代数知识、三角知识通过数量关系的讨论，去处理几何图形；二是运用几何知识通过对图形性质的研究，去解决数量关系。下面通过具体的例子揭示数形结合的运用：例1：已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，在下列结论中：（1）a+b+c<0，（2）a-b+c>0，（3）abc<0，（4）b=2a。正确的个数是：（） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解：从图形上看，抛物线开口向下，所以得出a<0；由抛物线与y轴的交点在正半轴，所以得出c>0；由抛物线的顶点的横坐标为-1，即-b/2a=-1，得b=2a，所以得出abc>0。 当x=-1时，y>0，即a-b+c>0；当x=1时，y>0，即a+b+c<0。 例2：点A（a，b）、B（a-1，c）均在函数y=1/x的图象上，若a<0，则b____c。（添“>”或“=”或“<”）解：如图，函数y=1/x的图象在每一象限内y随x的增大而减小。 ∵a-1 1引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显着的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显着，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2文献综述 国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不争的事实 2020年高考数学（理） 重难点06 函数与导数 【命题趋势】在目前高考全国卷的考点中，导数板块常常作为压轴题的形式出现，这块部分的试题难度呈现非减的态势，因此若想高考中数学拿高分的同学，都必须拿下导数这块的内容.函数单调性的讨论、零点问题和不等式恒成立的相关问题（包含不等式证明和由不等式恒成立求参数取值范围）是出题频率最高的. 对于导数内容，其关键在于把握好导数，其关键在于把握好导数的几何意义即切线的斜率，这一基本概念和关系，在此基础上，引申出函数的单调性与导函数的关系，以及函数极值的概念求解和极值与最值的关系以及最值的求解.本专题选取了有代表性的选择，填空题与解答题，通过本专题的学习熟悉常规导数题目的思路解析与解题套路，从而在以后的导数题目中能够快速得到导数问题的得分技巧. 【满分技巧】 对于导数的各类题型都是万变不离其宗，要掌握住导数的集中核心题型，即函数的极值问题，函数的单调性的判定.因为函数零点问题可转化为极值点问题，函数恒成立与存在性问题可以转化为函数的最值问题，函数不等式证明一般转化为函数单调性和最值求解，而函数的极值和最值是由函数的单调性来确定的.所以函数导数部分的重点核心就是函数的单调性. 对于函数零点问题贴别是分段函数零点问题是常考题型，数形结合是最快捷的方法，在此方法中应学会用导数的大小去判断原函数的单调区间，进而去求出对应的极值点与最值. 恒成立与存在性问题也是伴随着导数经典题型，对于选择题来说，恒成立选择小题可以采用排除法与特殊值法相结合的验证方法能够比较快捷准确得到答案，对于填空以及大题则采用对函数进行求导，从而判定出函数的最值. 函数的极值类问题是解答题中的一个重难点，对于非常规函数，超出一般解方程的范畴类题目则采用特殊值验证法，特殊值一般情况下是0,1等特殊数字进行验证求解. 对于理科类导数类题目，对于比较复杂的导数题目.一般需要二次求导，但是要注意导数大小与原函数之间的关系，搞清楚导数与原函数的关系是解决此类题目的关键所在. 含参不等式证明问题也是一种重难点题型，对于此类题型应采取的方法是： 一双变量常见解题思路：1双变量化为单变量→寻找两变量的等量关系；2转化为构造 1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不 数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老、最基本的元素，是数学大厦深处的两块基石，所有的数学问题都是围绕数和形的提炼、演变、发展而展开的：每一个几何图形中都蕴藏着一定的数量关系，而数量关系又常常可以通过图形的直观性作出形象的描述。因此，在解决数学问题时，常常根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，将数的问题利用形来观察，提示其几何意义；而形的问题也常借助数去思考，分析其代数含义，如此将数量关系和空间形式巧妙地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决的方法。 正恩格斯曾经说过:"数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的一门科学。"在数学领域中包含着两大研究对象,即"数"与"形",这两大研究对象既是对立的又是统一的,它们是数学发展的内在因素。纵观数学知识的发展长河中,数形结合始终是发展的一条主线,并且数与形相结合能够让学生在实际应用中对知识的运用更加广泛和深入。在初中数学教学中教师要特别重视将数形结合的思想渗透到教学环节中,以此来让学生感受到数形结合的伟大力量,促进学生生成数形结合的思想, 让学生在以后的数学学习中受益 1.数形结合思想的涵义 “数”早期是古代的计数，现在表示数量的概念；“形”早期是古代的形状，现在表示空 间的概念。家欧几里得用自己毕生精力完成《几何原本》这一千古流芳的巨着，这是体现数形转化的文字资料。柏拉图说过，只有数学存在的实体才具备永恒的可理解性，任何科学都只有建立在几何学带来的概念和模式上，才可以解释现象表面背后的结构和关系。教育家波利亚也曾说：“画一个图，并用符号表示”。 数形结合是把数或数量关系与图形对应起来，借助图形来研究数量关系或者利用数量关系来研究图形的性质，是一种重要的数学思想方法。它可以使抽象的问题具体化，复杂的问题简单化。数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质等等。 用数形结合法巧解最值问题 胡龙林 数形结合涉及两方面的问题,一是将图形性质转化成数量关系问题,二是将数量 关系问题转化成图形性质问题,都是中学数学普遍而重要的问,利用后者求函数 的最值可获得简捷解法。现行高中数学教材解析几何中简单线性规划内容，教材重点在于图解法求解目标函数的最值,它更好地体现了数形结合的思想方法，也引发了我对数形结合这思想方法的一点思考。数形结合不仅把抽象的问题直观 化，简化解题过程,提高学生的解题能力，而且可拓宽解题思路,提高学生思维的灵活题性和创造性。 1利用数轴上的截距解函数最值 截距是指函数与所有坐标轴交点的坐标之差, 可取正数也可取负数或0.求形如)()(x g x f y ±=的函数最值, 可以把)(),(x g x f 当作是变量, 即令)(),(x g u x f v ==, 方程0),(=v u F 一般表示一条曲线, 则y 可以当作是y u v +±=的直线在纵坐标轴上的截距, 因此截距的最值也即是函数的最值.]1[ 例1 已知数y x ,满足03422=+-+x y x , 求y x +的最值. 解 令,b y x =+则.b x y +-= 因为1)2(22=+-y x 的圆心为)0,2(, 以及它到直线b x y +-=的距离为1, 所以111| 12|22=+-?b , 可得22±=b . 于是 ,22max +=b .22min -=b 例2 求函数3424322+---+=t t t t S 的最值. 解 令?????-+=+-=, 43,34222t t y t t x 有x y S -=又 ).0,0(,1624433422222≥≥=+??????-+=+-=y x y x t t y t t x 因此S 可看成是直线系S x y +=和椭圆16 242 2=+y x 在第一象限相交直线在轴上的截距（如图所示）, 可得速解高中解析几何的方法之一——数形结合
数与形相结合的原则
八年级数学暑假作业辅导第三讲一次函数与不等式北师大版
巧用数形结合,渗透数学思维
巧用数形结合
数形结合法在解题中的应用
利用数形结合处理数学问题的技巧
新人教版小学数学六《数学广角--数与形》教学设计
巧用数形结合思想解题
用数形结合的方法解题
2020年高考数学(理)重难点专练06 函数与导数(解析版)
用数形结合的方法解题
数形结合思想的含义数与形是数学中两个最古老
用数形结合法巧解最值问题