《双曲线的定义及其标准方程》专题练习

《双曲线的定义及其标准方程》

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知识点一：双曲线的定义

把平面内与两个定点F 1，F 2距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．知识点二：双曲线的标准方程

题型一：双曲线的定义及应用

例1：若F 1，F 2是双曲线x 29－y 2

＝1的两个焦点． (1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离．

(2)若点P 是双曲线上的一点，且∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．

例2、已知方程x 21＋k －y 2

1－k

＝1表示双曲线，则k 的取值范围是

例3、已知定点A 的坐标为(1,4)，点F 是双曲线x 24－y 2

＝1的左焦点，点P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________.

题型二：求双曲线的标准方程

例1、根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上；

（2）a ＝4，经过点A ?

???1，－4103；

（3）过点P ????3，154，Q ???

?－163，5且焦点在坐标轴上；（4）与双曲线x 216－y 24

＝1有相同的焦点，且经过点(32，2)；（5）以椭圆x 23＋y 24

＝1的焦点为顶点，以这个椭圆的长轴的端点为焦点；

题型三：与双曲线有关的轨迹问题

例1：如图2-3-2所示，已知定圆F 1：x 2＋y 2＋10x ＋24＝0，定圆F 2：x 2＋y 2－10x ＋9＝0，动圆M 与定圆F 1，F 2都外切，求动圆圆心M 的轨迹方程.

课后训练

类型一：双曲线的定义及应用

1、若双曲线E ：x 29－y 216

＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于

2、若方程x 2k ＋3＋y 2

k ＋2

＝1，k ∈R 表示焦点在x 轴上的双曲线，则k 的取值范围是

3、双曲线x 24－y 216

＝1的焦点坐标为________．

4、设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29

＝1的一个焦点，则m ＝________.

5、已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2

b 2＝1，点A ，B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB |＝m ，F 1为另一焦点，则△ABF 1的周长为( )

6、设F 1，F 2是双曲线x 2

－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上一点，且3|PF 1|＝4|PF 2|，则△PF 1F 2的面积等于________.

7、已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在双曲线上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝

类型一：求双曲线的标准方程

1、求满足下列条件下的双曲线的标准方程

（1）若a ＝3，b ＝4

（2）a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上

（3）已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8；

（4）已知某双曲线与x 216－y 24

＝1共焦点，且过点(32，2)

（5）以椭圆x 216＋y 29

＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)

（6）与椭圆x 24

＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)

（7）以椭圆x 28＋y 25

＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，10)

（8）已知双曲线过点P 1????－2，352和P 2???

?473，4

（9）已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点

（10）已知双曲线中心在坐标原点且一个焦点为F 1(－5，0)，点P 位于该双曲线上，线段PF 1的中点坐标为(0,2)

（11）与椭圆x 227＋y 2

＝1有共同的焦点且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4.

（12）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F 1，F 2分别为(5，0)和(－5，0)，点P 在双

曲线上，且PF 1⊥PF 2，△PF 1F 2的面积为1

题型三：与双曲线有关的轨迹问题

1、已知平面内两定点A (－5,0)，B (5,0)，动点M 满足|MA |－|MB |＝6，则点M 的轨迹方程是

2、一动圆过定点A (－4,0)，且与定圆B ：(x －4)2＋y 2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为