含绝对值的不等式的解法例题

含绝对值的不等式的解法·例题

例5-3-13解下列不等式：

(1)|2-3x|-1＜2

(2)|3x+5|+1＞6

解(1)原不等式同解于

(2)原不等式可化为

|3x+5|＞5 3x+5＞5或3x+5＜-5

注解含绝对值的不等式，关键在于正确地根据绝对值的定义去掉绝对值符号。

解5-3-14解不等式4＜|x2-5x|≤6。

解原不等式同解于不等式组

不等式(i)同解于

x2-5x＜-4或x2-5x＞4

不等式(ii)同解于

-6≤x2-5x≤6

取不等式(i)，(ii)的解的交集，即得原不等式的解集

其解集可用数轴标根法表示如下：

注本例的难点是正确区别解集的交、并关系。“数轴标根法”是确定解集并防止出错的有效辅助方法。

例5-3-15解不等式|x+2|-|x-1|≥0。

解原不等式同解于

|x+2|≥|x-1| (x+2)2≥(x-1)2

注解形如|ax+b|-|cx+d|≥0的不等式，适合于用移项后两边平方脱去绝对值符号的方法。但对其他含多项绝对值的情形，采用此法一般较繁，不可取。

例5-3-16解下列不等式：

解(1)原不等式同解于不等式组

左边不等式同解于

右边不等式同解于

取(i)，(ii)的交集，得原不等式的解集为{x|1＜x＜2}

(2)原不等式同解于

取(Ⅰ)、(Ⅱ)、(Ⅲ)的并集，得原不等式的解集为

例5-3-17解不等式||x+1|-|x-1||＜x+2。

分析要使不等式有解，必须x+2＞0即x＞-2。又|x+1|，|x-1|的零点分别为-1，1，故可在区间(-2，-1)，[-1，1]，[1，+∞)内分别求解。

解原不等式同解于

注解含多个绝对值项的不等式，常采用分段脱号法。其步骤是：找出零点，确定分段区间；分段求解，确定各段解集；综合取并，确定所求解集。

例5-3-18已知a＞0，b＞0，解不等式|ax-b|＜x。

解显然x＞0，故原不等式同解于

注含绝对值的不等式中，若含有参数，则先去掉绝对值符号并化简，再根据具体情况对参数进行分类讨论。

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