北师大版八年级数学二元一次方程组知识总结与训练

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认识二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.1认识二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】二元一次方程1.定义含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.2.二元一次方程的条件（1）整式方程；（2）只含有两个未知数；3.关于x,y的两元一次方程的一般形式：ax+by=c（a≠0,b≠0）.特别提醒：“所含未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1,例如2xy+1=0不是二元一次方程.【知识点2】二元一次方程组1.定义共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程,叫做二元一次方程组.2.二元一次方程组应满足的条件：（1）两个方程都是整式方程；（2）共含有两个未知数；（3）两个方程都是一次方程；特别提醒：判断二元一次方程组时,误认为每个方程必须是二元一次方程.【知识点3】二元一次方程的解1.二元一次方程组的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解.2.判断一对数值是不是二元一次方程的解的方法：判断一对数值是不是二元一次方程的解，只需将这对数值分别代入方程的左右两边，看其是否相等.特别提醒：二元一次方程只要给定其中的一个未知数的值，就可以相应地求出另一个未知数的值，因此二元一次方程有无数个解.二元一次方程的整数解有时只有有限个.【知识点4】二元一次方程组的解1.二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做这个二元一次方程组的解.2.判断一对数值是不是二元一次方程组的解的方法判断一对数值是否为一个二元一次方程组的解，必须将这对数值分别带入方程组中的每一个方程进行检验，若满足没一个方程，则这对数值就是这个方程组的解，否则就不是这个方程组的解.特别提醒：方程组的解一定是方程组中每个方程的解，而方程组中某个方程的解不一定是方程组的解.【考点目录】【考点1】二元一次方程的认识；【考点2】二元一次方程组的认识【考点3】二元一次方程的解；【考点4】二元一次方程组的解【答案】0【分析】根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程，进行求解即可解：∵方程()()33420m n m xn y --+--=是关于x y ，的二元一次方程，∴40312031m m n n +≠⎧⎪-=⎪⎨-≠⎪⎪-=⎩，∴44m n ==，，∴m n -440=-=【点拨】本题考查二元一次方程的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题关键．二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．【举一反三】【变式1】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）下列是二元一次方程的是（）A ．215x -=B ．21x y +=C ．23x y +=D ．12y x+=【答案】C【分析】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程，②方程中共含有两个未知数，③所有未知项的次数都是一次，不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．解：A ．215x -=，是一元一次方程，故本选项不符合题意；B ．21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意；C ．23x y +=，是二元一次方程，故本选项符合题意；D ．12y x+=，是分式方程，故本选项不符合题意．故选：C ．【变式2】（2022下·湖北荆州·七年级校考期中）若方程：223m x +＋514n y -＝6是关于x 、y 的二元一次方程，则n m -的平方根为．【答案】2±【分析】根据二元一次方程的定义，得各个未知数的次数为1，求得m ，n 的值，进而求解．解：由题意，得：231m +=，5141n -=，解得1m =-，3n =．∴()314n m -=--=，∴n m -的平方根2=±．故答案为：2±．【点拨】本题考查二元一次方程的定义，平方根，熟练掌握只含有两个未知数，且未知项的次数为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．【考点二】二元一次方程组的认识【例2】（2017下·四川宜宾·七年级校联考阶段练习）已知方程组()()2233112m x m ym x --⎧--=⎪⎨+=-⎪⎩是二元一次方程组，求m 的值．【答案】m =5解：依题意，得：|m -2|-2=1，且m -3≠0，且m +1≠0，解得：m =5．【点拨】本题考查了二元一次方程组的定义．二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程，②方程组中共含有两个未知数，③每个方程都是一次方程．【举一反三】【变式1】（2023下·河北廊坊·七年级统考期末）下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．436231x y y z -=⎧⎨-=⎩B ．45342x y x =⎧⎨-=⎩C ．46323xy x y =⎧⎨+=⎩D ．23325y xy x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩【答案】B【分析】根据二元一次方程组定义判断即可.解： A.此方程组含有,,x y z 三个未知数，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；B ．该方程组是二元一次方程组，故此选项符合题意；C ．46xy =是二元二次方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；D ．233y x+=是分式方程，故不是二元一次方程组，故此选项不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查了二元一次方程的定义．一定要紧扣二元一次方程组的定义回答．【变式2】（2023下·江苏徐州·七年级统考期末）观察所给的4个方程组：①23x y =⎧⎨=⎩；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，其中，符合二元一次方程组定义的是（写出所有正确的序号）．【答案】①②④【分析】含有两个未知数，且未知数的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，根据定义逐一判断即可．解：①23x y =⎧⎨=⎩，符合二元一次方程组定义；②415343x y x =⎧⎨-=-⎩，符合二元一次方程组定义；③2164x y x y +=⎧⎨-=⎩，未知数x 的最高次数是2，不符合二元一次方程组定义；④352494x y x y +=⎧⎨+=⎩，符合二元一次方程组定义；所以符合二元一次方程组定义的是①②④．故答案为：①②④．【点拨】本题考查的是二元一次方程组的定义，熟记定义是解本题的关键．【考点三】二元一次方程的解【例3】（2023上·河北张家口·八年级统考期中）已知24x y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程314x ay +=的一组解．（1）求a 的值（2）请用含有x 的代数式表示y ．【答案】（1）2a =；（2）372y x=-【分析】（1）将二元一次方程的解24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=得到关于a 的方程，解关于a 的方程即可；（2）将2a =代入314x ay +=得到3214x y +=，将x 看作已知数，y 看作未知数，解关于y 的方程即可．（1）解：将24x y =⎧⎨=⎩代入314x ay +=，得：32414a ⨯+=，解得2a =；（2）解：∵2a =，∴原方程可变为3214x y +=，∴372y x =-．【举一反三】【变式1】（2023上·陕西西安·八年级高新一中校考期中）若关于x 、y 的二元一次方程221x y a +=-的一组解为3x =，1y =，则a 的值是（）A ．3B ．2C ．1D ．1-【答案】A【分析】本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是掌握二元一次方程的定义．把3x =，1y =代入到221x y a +=-中即可求解．解：把3x =，1y =代入到221x y a +=-中得：21321a -=+⨯，216a -=，3a =，故选：A ．【变式2】（2023上·全国·八年级专题练习）小方解方程组232ax by cx y +=⎧⎨-=-⎩时，因抄错了a ，解得11x y =⎧⎨=⎩，则c 的值为．【答案】1【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，将解代入第二个方程即可解答．解：把11x y =⎧⎨=⎩代入32cx y -=-得：32c -=-，解得：1c =．故答案为：1．【考点四】二元一次方程组的解【例4】（2023上·全国·八年级专题练习）甲和乙两人同解方程组125bx y x ay +=⎧⎨+=⎩，甲因抄错了a ，解得52x y =⎧⎨=⎩，乙因抄错了b ，解得32x y =⎧⎨=⎩，求52a b -的值．【答案】1【分析】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙求得的解分别代入正确的方程，求出a ，b 的值即可求解，用代入法解方程是解本题关键．解：由题意52x y =⎧⎨=⎩，是12bx y +=的解，∴5212b +=，解得2b =，又 32x y =⎧⎨=⎩是5x ay +=的解，∴325a +=，解得1a =，5251221a b ∴-=⨯-⨯=．【举一反三】【变式1】（2023上·广东深圳·八年级校联考期中）若关于x ，y 的二元一次方程组2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩的解是15x y =⎧⎨=⎩，则关于m 、n 的二元一次方程组()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩的解是（）A ．15m n =⎧⎨=⎩B ．51m n =⎧⎨=⎩C ．23m n =-⎧⎨=⎩D ．32m n =⎧⎨=-⎩【答案】D【分析】本题考查了二元一次方程组的解及解二元一次方程组，先将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩解得357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，再将357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩代入()()()()2138m n a m n b m n m n ⎧+--=-⎪⎨++-=⎪⎩即可求解，熟练掌握二元一次方程组的解及利用加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．解：将15x y =⎧⎨=⎩代入2138x ay bx y -=-⎧⎨+=⎩得：251158a b -=-⎧⎨+=⎩，解得：357a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，()()()()3215738m n m n m n m n ⎧+--=-⎪∴⎨⎪-++-=⎩，解得：32m n =⎧⎨=-⎩，故选D ．【变式2】（2023下·七年级单元测试）写出一个解为25x y =⎧⎨=-⎩的二元一次方程组：．【答案】37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）【分析】方程组的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程．在求解时，应先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得方程组．解：先围绕25x y =⎧⎨=-⎩列一组算式，如：253-=-，257+=，然后用x ，y 代换，可得37x y x y +=-⎧⎨-=⎩等．答案不唯一，符合题意即可．故答案为：37x y x y +=-⎧⎨-=⎩（答案不唯一）．【点拨】本题考查二元一次方程组的解，此题是开放性题目，答案不唯一．掌握二元一次方程组解的意义是解题的关键．。

八年级数学上册第五章二元一次方程组知识整理北师大版

第五章二元一次方程组一、本章知识点梳理：知识点1:二元一次方程（组）的定义知识点2：二元一次方程组的解定义知识点3:二元一次方程组的解法知识点4：一次函数与二元一次方程（组）知识点5:实际问题与二元一次方程组二、各知识点分类讲解知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程注意:1、(1）方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数。

（2）含有未知数的项的次数都是1。

（3）二元一次方程的左右两边都必须是等式. (三个条件完全满足的就是二元一次方程）2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。

即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by｜a|－1＝5是关于x 、y 的二元一次方程,则a ＝______，b ＝_____．例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ,③2=xy ，④3=+y x ,⑤22=-y x，⑥22=-+y x xy ，⑦71=+y x⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】下列方程中是二元一次方程的是（） A ．3x-y 2=0 B ．2x+1y=1 C ．3x —52y=6D ．4xy=32、二元一次方程组的概念由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组注意：①方程组中有且只有两个未知数。

②方程组中含有未知数的项的次数为1。

③方程组中每个方程均为整式方程. 例:下列方程组中,是二元一次方程组的是（）A 、228423119 (237)54624x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=⎧⎧=⎧⎧⎨⎨⎨⎨+=-==-=⎩⎩⎩⎩【巩固练习】1、已知下列方程组：（1)32x y y =⎧⎨=-⎩,（2）324x y y z +=⎧⎨-=⎩，（3）1310x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，(4）30x y x y +=⎧⎨-=⎩，其中属于二元一次方程组的个数为( ）A ．1B 。

八年级北师大专题5.1认识二元一次方程组(3个知识点5种题型2个中考考点)(原卷版)word

专题15认识二元一次方程组（3个知识点5种题型2个中考考点）【目录】倍速学习四种方法【方法一】脉络梳理法知识点1.二元一次方程的概念（重点）知识点（重点）知识点3.二元一次方程（组）的解（重点）【方法二】实例探索法题型1.二元一次方程（组）概念的应用题型2.二元一次方程（组）的解的意义题型4.列二元一次方程（组）解应用题【方法三】仿真实战法考法【方法四】成果评定法【学习目标】1.了解二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念。

2.会判断一组数是不是某个二元一次方程组的解。

3.会列简单的二元一次方程和二元一次方程组，掌握用方程解决实际实际问题的方法。

【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1.二元一次方程的概念（重点）1. 二元一次方程的定义定义：方程中含有两个未知数（x和y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.要点：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数. （2）“未知数的次数为1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是1. （3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须符合以下三个条件：①方程中只含有2个未知数；②含未知数项的最高次数为一次；③方程是整式方程．知识点（重点）2. 二元一次方程组的定义定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.例如，二元一次方程组3452x y x +=⎧⎨=⎩.要点：（1）它的一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩（其中1a ，2a ，1b ，2b 不同时为零）．（2）更一般地，如果两个一次方程合起来共有两个未知数，那么它们组成一个二元一次方程组．（3）符号“{”表示同时满足，相当于“且”的意思．【例2】下列属于二元一次方程组的是（）【变式】下列方程组中，是二元一次方程组的是（）A ．012x y y +=⎧⎨+=⎩B ．41x y y z +=⎧⎨+=⎩C ．431xy x y =⎧⎨+=⎩D ．242x y x y ⎧-=⎨+=⎩知识点3.二元一次方程（组）的解（重点）3. 二元一次方程组的解定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点：（1）方程组中每个未知数的值应同时满足两个方程，所以检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.（2）方程组的解要用大括号联立；（3）一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎩⎨⎧=+=+6252y x y x 无解，而方程组⎩⎨⎧-=+-=+2221y x y x 的解有无数个. 【例3】（2023上·吉林长春·八年级校考开学考试）已知一个二元一次方程组的解是12x y =-⎧⎨=-⎩，则这个方程组A ．20x y x y +=⎧⎨-=⎩B ．02x y x y +=⎧⎨-=⎩C ．20x y x y +=-⎧⎨-=⎩D ．02x y x y +=⎧⎨-=-⎩【方法二】实例探索法题型1.二元一次方程（组）概念的应用2.下列方程组是二元一次方程组的是（）A ．2361x y x +=⎧⎨=-⎩B ．3x y xy k +=⎧⎨=⎩C ．22515x y x y -=⎧⎨+=⎩D ．3120x y x z -=⎧⎨+=⎩题型2.二元一次方程（组）的解的意义3．下列4组数值中，二元一次方程25x y +=的解是（）A ．11x y =-⎧⎨=⎩B ．11x y =⎧⎨=-⎩C ．22x y =⎧⎨=-⎩D ．31x y =⎧⎨=⎩题型4.列二元一次方程（组）解应用题6．用二元一次方程组解应用题：一家超市中，杏的售价为10元/kg ，桃的售价为8元/kg ，小菲在这家超市（1）该大型超市购进A 、B 品牌矿泉水各多少箱？（2）全部销售完600箱矿泉水，该超市共获得多少利润？8.在学习“有理数加法“时，我们利用“(+5)+(+3)=+8，(5)+(3)=8，……”抽象归纳推出了“同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加”的加法法则．这种推导方法叫( )A ．排除法B ．归纳法C ．类比法D ．数形结合法【方法三】仿真实战法考法为．10．《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四足五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺．将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺．现设绳长x 尺，木长y 尺，则可列二元一次方程组为（）【方法四】成果评定法一、单选题1．（2023上·福建福州·八年级校考开学考试）下列方程是二元一次方程的是（）4．下列方程组中是二元一次方程组的是（）A ．23124x y x y ⎧+=⎨-=⎩B ．225xy x y =⎧⎨+=⎩C ．63a b b c -=⎧⎨+=⎩D ．310521m n m n +=⎧⎨-=⎩A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．若方程||5(6)51a a x y --+=是关于x ，y 的二元一次方程，则a 的值为（） A ．±6B ．6C ．±5D ．57．若方程13121m n x y -++=是关于x 、y 的二元一次方程，则mn 的值为（） A ．0B ．1C ．2D ．38．《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x 人，物品价格为y 钱，可列方程组为（）A．8374x yx y-=⎧⎨+=⎩B．8374y xy x-=⎧⎨-=⎩C．8374x yx y-=⎧⎨-=⎩D．8374x yx y+=⎧⎨-=⎩10．某社区为了打造“书香社区”，丰富小区居民的业余文化生活，计划出资500元全部用于采购A，B，C 三种图书，A种每本30元，B种每本25元，C种每本20元，其中A种图书至少买5本，最多买6本（三种图书都要买），此次采购的方案有（）A．5种B．6种C．7种D．8种二、填空题三、解答题利用以上材料，解决下列问题：（1）求方程(15，20)x+(4，8)y=99的一组整数解；（2）求方程(15，20)x+(4，8)y=99有几组正整数解．。

第5章二元一次方程组(知识清单)-八年级数学上期中期末考试满分全攻略(北师大版)

第5章二元一次方程组知识清单一二元一次方程（组）概念及解1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程.注意：二元一次方程的识别方法①“二元”，即含有两个未知数；②“一次”，即含未知数的次数是1；③“整式方程”，即未知数不能出现在分母中。

2、二元一次方程组共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组．注意：①含有两个整式方程；②方程中共含有两个未知数；③含未知数的项的次数都是1．3、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．注意：①二元一次方程的每一个解都是一对数值，而不是一个数；②一般情况下，一个二元一次方程有无穷多个解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也可能只有有限个特殊的解。

4、二元一次方程组的解我们把二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．注意：①方程组的解同时满足方程组中的每一个方程；②由于方程组需用“｛”括起来，所以方程组的解也要用“｛”括起来．5、二元一次方程组解的情况（1）唯一解；（2）无数解；（3）无解．二二元一次方程组的解法1、代入消元法将方程组中一个方程的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程。

这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法。

注意：①找准消元对象。

消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的）未知数，使变性后的方程比较简单或代入后比较容易化简；②在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的第（2）步中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ax+b 代入变形的原方程，必然得到一个恒等式；③用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较简单．2、加减消元法把方程组的两个方程（或先作适当变形）相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程。

北师大八年级-二元一次方程组

二元一次方程组一、知识梳理知识点1. 二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1•的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．例1.方程41ax y x -=-是二元一次方程，则a 的取值为（）A 、0a≠ B 、1a ≠- C 1a ≠ D 、2a ≠例2.若二元一次方程321x y -=有正整数解，则x 的取值应为（）A 正奇数B 、正偶数C 、正奇数或正偶数D 、0例3.已知二元一次方程组45ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩ 的解是21x y =⎧⎨=⎩,则_____.a b +=练习1.已知,x y 满足方程组⎩⎨⎧=+=+4252y x y x ，则x y -的值为。

2.请写出一个以,x y 为未知数的二元一次方程组，且同时满足下列两个条件：①由两个二元一次方程组成；②方程的解为⎩⎨⎧==32y x ，这样的方程组可以是___________.知识点2.二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．例1：解方程组：（1）32528x yx y+=⎧⎨-=⎩（2）2931x yy x+=⎧⎨-=⎩例2解方程组：4143314312 x yx y+=⎧⎪⎨---=⎪⎩练习：已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值。

求解二元一次方程组(知识梳理与考点分类讲解)-八年级数学上册基础知识专项突破讲与练(北师大版)

专题5.4求解二元一次方程组（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】代入消元法解二元一次方程组代入消元法：（1）定义：将其中一个方程组中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程组，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代入消元法，简称代入法.（2）用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤：步骤具体做法目的注意事项（1）变形选取一个系数比较简单的二元一次方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数变形为x=ax+b（或x=ay+b）（a,b 是常数,a≠0）的形式一般选未知数系数比较简单的方程变形（2）代入把y=ax+B（或x=ay+b）代入另一个没有变形的方程消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程变形后的方程只能代入另一个方程（或另一个方程变形后的方程）（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值去括号时不能漏乘，移项时所移的项要变号（4）回代把求得的未知数的值代入步骤（1）中变形后的方程求出另一个未知数的值一般代入变形后的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：将方程组中的一个二元一次方程写成用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，是用代入法解二元一次方程组的前提和关键，其方法就是利用等式的性质将其变形为y=ax+b（或x=ay+b）的形式，其中a,b 为常数,a≠0.用含一个未知数的式子表示另一个未知数后，应代入另一个方程求解，否则只能得到一个恒等式，并不能求出方程组的解.【知识点2】加减消元法解二元一次方程组1.加减消元法的定义通过将两个方程相加（减）消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程来解，这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.2.用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤步骤具体做法目的注意事项（1）变形根据绝对值较小的未知数（同一个未知数）的系数的最小公倍数，给方程的两边都乘适当的数.使某一个未知数在两个方程中的系数相等或互为相反数.给某个方程乘一个数时，方程两边的每一项都要和这个数相乘（2）代入两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减.消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程把两个方程相加（减）时，一定要把两个方程两边分别相加（减）.（3）求解解消元后的一元一次方程求出一个未知数的值（4）回代把求得的未知数的值代入方程组中某个较简单的方程求出另一个未知数的值回代时选择系数较简单的方程（5）写解把两个未知数的值用大括号联立起来特别提醒：1.两个方程同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系时，解方程组应考虑用加减消元法.2.如果同一未知数的系数的绝对值既不相等又不成倍数关系，我们应设法将一个未知数的系数的绝对值转化为相等关系.3.用加减法时，一般选择系数比较简单（同一未知数的系数的绝对值相等或成倍数关系）的未知数作为消元对象.【考点目录】【考点1】代入消元法解二元一次方程组；【考点2】加减消元法解二元一次方程组；【考点3】同解方程组；【考点4】整体思想解二元一次方程组；【考点5】求解二元一次方程组——错题复原问题；【考点6】求解二元一次方程组——参数问题；【考点7】构造二元一次方程组求解。

北师大版八年级上册第五章二元一次方程组知识点分类及其练习(无答案)

二元一次方程组知识点一：认识二元一次方程组1.定义1．(3分)下列方程中，是二元一次方程的是（）A.3x-2y=4zB.6xy+9=0C.D.4x=y-22．(3分)下列方程组中，不是二元一次方程组的是（）A.B.C.D.3．(3分)在方程组、、、、、中，是二元一次方程组的有（）A.2个B.3个C.4个D.5个4．(3分)若方程mx-2y=3x+4是关于x、y的二元一次方程，则m的取值范围是（）A.m≠0B.m≠3C.m≠-3D.m≠22.一元二次方程（组）的解5．(3分)方程4x+3y=16的所有非负整数解为（）A.1个B.2个C.3个D.无数个6．(3分)如果是方程x-3y=-3的一个解，那么代数式5-a+3b的值是（）A.8B.5C.2D.07．(3分)小亮解方程组的解为，由于不小心滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数●和，则两个数●与的值为（）A.B.C.D.8．(3分)方程组的解为，则被遮盖的两个数分别是（）A.1，2B.5，1C.2，-1D.-1，99．(3分)已知二元一次方程，用含的代数式表示y，正确的是（）A.B.C.D.10．(3分)已知关于x、y的二元一次方程3x-ay=16的一个解是，则a= ．11．(3分)若方程组的解为，则被遮盖的两个数分别为．12．(3分)已知是方程组的解，则代数式(a+b)(a-b)的值为．13．(3分)已知关于x，y的二元一次方程组的解互为相反数，则k的值是．14．(3分)关于，y的方程组的解是，则m= ，n= ．15．(3分)方程2x+3y=17的正整数解为．16．(3分)已知方程，用含的代数式表示y，则y= ．17．(3分)由方程可得到用表y示的式子是．18．(6分)某同学在解关于的方程组时，本应解出，由于看错了系数c，而得到，求的值．知识点二：求解二元一次方程组1．(3分)用加减消元法解二元一次方程组，由①-②可得的方程为（）A.3x=5B.-3x=9C.-3x-6y=9D.3x-6y=52．(3分)若关于x，y的二元一次方程组有整数解，则满足要求的所有整数a的个数为（）A.0B.4C.8D.123．(3分)已知3a2x-1b2y与-3a-3y b3x+6是同类项，则x+y的值为（）A.B.C.D.-4．(3分)已知一个等腰三角形的两边长x，y满足方程组则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或45．(3分)用代入法解方程组有以下步骤：(1)由①，得y=③；(2)把③代入①，得7x-2×=3；(3)整理，得3=3；(4)因此x可取一切有理数，故原方程组有无数个解．以上解法中，造成错误的一步是（）A.(1)B.(2)C.(3)D.(4)6．(3分)已知是方程组的解，则3a-b= ．7．(3分)已知是二元一次方程组的解，则2m-n的算术平方根为．8．(3分)已知方程组与同解，则m= ，n= ．9．(3分)已知与互为相反数，则＝．10．(3分)以方程组的解为坐标的点(x，y)在第象限．11．(3分)若，则= ．12．(3分)已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为．13．(5分)解方程组．14．(5分)已知方程组与方程组的解相等，试求a、b的值．15．(5分)已知方程组与有相同的解，求m和n值．16．(5分)已知方程组，解方程组时，甲由于看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了②中的b，得到方程组的解为，若按正确的a，b计算，则原方程组的解是多少？17．(5分)已知方程组和的解相同，试求(a-b)3的值．知识点三：应用二元一次方程组1.鸡兔同笼1．(3分)我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一题：“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足，问：鸡兔各几何？”此题的答案是：鸡有23只，兔有12只．现在小敏将此题改编为：今有鸡兔同笼，上有33头，下有88足，问：鸡兔各几何？则此时的答案是：鸡有只，兔有只．2．(5分)松鼠妈妈采松子，晴天每天可采20个，雨天每天可采12个．它一连几天采了112个松子，平均每天采14个，这几天中有几天晴天？几天雨天？3．(5分)《九章算术》中记载了一个问题，大意是：今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱；每人出7钱，还缺4钱．问人数有多少？鸡的价钱是多少？4．(5分)我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宪》记载了一道数学趣题，大意是：有100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头，试问大、小和尚各有多少人？2.增收节支2．(3分)某个体商贩在一次买卖中，同时卖出两件上衣，售价都是135元，若按成本计，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，在这次买卖中他（）A.不赚不赔B.赚了9元C.赔了18元D.赚了18元3．(3分)已知小李家去年节余5000元，今年节余9500元，并且今年收入比去年高15%，支出比去年低10%．则今年的收入与支出各是多少？设去年的收入为x元，支出为y元，则可列方程组为（）A.B.C.D.4．(3分)甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10%，乙商品提价40%，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20%．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为元、y元，则可列方程组为．5．(3分)某公司销售甲、乙两种球鞋，去年卖出12200双．已知今年甲种球鞋卖出的量比去年增加6%，乙种球鞋卖出的数量比去年减少5%，两种球鞋的总销量增加了50双．求：去年甲、乙两种球鞋各卖出多少双？设去年甲种球鞋卖了x双，乙种球鞋卖了y双，则根据题意可列方程组为．6．(5分)一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表：第一次第二次甲种货车辆数/辆 2 5乙种货车辆数/辆 3 6运货总吨数/吨15.5 35现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车，一次刚好运完这批货．如果按每吨付运费30元计算，那么货主应付运费多少元？7．(5分)某服装店用6000元购进A，B两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润3800元(毛利润=售价-进价)．这两种服装的进价、标价如下表所示：(1)求这两种服装各购进的数量．(2)如果A种服装按标价的8折出售，B种服装按标价的7折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价售出少收入多少元？3.里程碑的数1．(3分)A、B两地相距420千米，一辆小汽车和一辆客车分别从A、B两地同时开出，经过2.5小时相遇，相遇时，小汽车比客车多行驶70千米．设小汽车和客车的平均速度分别为x千米/时和y千米/时，则下列方程组正确的是（）A.B.C.D.2．(3分)一个三位数，三个数位上的数字和为17，百位上的数字与十位上的数字和比个位上的数字大3．若把百位上的数字与个位上的数字对调，得到的新数比原来的数小198，则原数为（）A.971B.917C.719D.7913．(3分)甲、乙两地相距360 km，一艘轮船往返于甲、乙两地之间，顺水航行需用18 h，逆水航行需用24 h．设船在静水中的速度为km/h，水流速度为y km/h，则下列方程组中正确的是（）A.B.C.D.4．(3分)甲、乙两人练习跑步，若乙先跑8米，则甲跑4分钟可追上乙；若乙先跑2分钟，则甲跑5分钟可追上乙．设甲的速度为x米/分，乙的速度为y米/分，则下列列出的方程组中正确的是（）A.B.C.D.5．(3分)已知甲、乙两地相距360千米．若一轮船往返于甲、乙两地之间，顺水行船用18小时，逆水行船用24小时．设轮船在静水中的速度为x千米/时，水流速度为y千米/时，则下列方程组中正确的是（）A.B.C.D.6.已知：正方形ABCD的面积为64，被分成四个相同的长方形和一个面积为4的小正方形，则a，b的长分别是（）A. a=3，b=5B. a=5，b=3C. a=6.5，b=1.5D. a=1.5，b=6.57．(5分)一列快车长200 m，慢车长250 m．若两车同向而行，会车时间为50 s；相向而行，会车时间为10 s．求两车的速度．8．(5分)如图，已知演员身高是高跷长度的2倍，高跷与腿重合部分的长度为28 cm，演员踩在高跷上时，头顶距离地面的高度为224 cm．设演员的身高为x cm，高跷的长度为y cm，求x，y的值．9．(5分)甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向出发匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟后两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．10．(5分)某水果基地计划装运甲、乙、丙三种水果到外地销售(每辆汽车规定满载，并且只装一种水果)．如表为装运甲、乙、丙三种水果的重量及利润．甲乙丙每辆汽车能装的数4 2 3量(吨)每吨水果可获利润5 7 4(千元)(1)用8辆汽车装运乙、丙两种水果共22吨到A地销售，问装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(2)水果基地计划用20辆汽车装运甲、乙、丙三种水果共72吨到B地销售(每种水果不少于一车)，假设装运甲水果的汽车为m辆，则装运乙、丙两种水果的汽车各多少辆？(结果用m表示)(3)在(2)问的基础上，如何安排装运可使水果基地获得最大利润？最大利润是多少？知识点四：应用二元一次方程组1．(3分)已知方程组没有解，则一次函数y=2-x与y=-x的图象必定（）A.重合B.平行C.相交D.无法确定2．(3分)如图，已知函数和的图象交于点P，则根据图象可得，关于，y的二元一次方程组的解是（）A.B.C.D.3．(3分)如图所示的是一次函数y1=ax+b和y2=bx+a(a≠0，b≠0)在同一坐标系的图象，则的解中( )A.m>0，n>0B.m>0，n<0C.m<0，n>0D.m<0，n<04．(3分)若直线经过一次函数和的图象的交点，则k的值为．5．(3分)若方程组无解，则一次函数y=kx+3的图象不经过第象限．6．(3分)如图，已知直线y=ax+b和直线y=kx交于点P，则关于x，y的二元一次方程组的解是．7．(3分)如图，直线l1，l2交于点A，观察图象，点A的坐标可以看做方程组的解．8．(5分)已知一次函数和．(1)求这两个一次函数图象的交点P的坐标．(2)求函数的图象与y轴的交点A的坐标，及函数的图象与轴的交点B的坐标．(3)求由P，A，B三点围成的三角形的面积．。

5.2 二元一次方程组的解法北师大版数学八年级上册练习题(含解析)

第17课二元一次方程组的解法课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

知识点03 加减消元法解二元一次方程组两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做消元法，简称加减法．注意：用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：(1)方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数，又不相等，那么就用适当的数乘方程的两边，使同一个未知数的系数互为相反数或相等；(2)把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来，就是方程组的解．知识点04 选择适当的方法解二元一次方程组解二元一次方程组的基本思想（一般思路）是消元，消元的方法有两种：代入消元和加减消元，通过适当练习做到巧妙选择，快速消元．考法01 用代入法解二元一次方程组【典例1】用代入法解方程组：【即学即练】m 取什么数值时，方程组的解（1）是正数；（2）当m 取什么整数时，方程组的解是正整数？并求它的所有正整数解.【典例2】对于某些数学问题，灵活运用整体思想，可以化难为易．在解二元一次方程组时，就可以运用整体代入法：如解方程组：能力拓展解：把②代入①得，x+2×1=3，解得x=1．把x=1代入②得，y=0．所以方程组的解为请用同样的方法解方程组：．【即学即练】解方程组（1）（2）考法02 方程组解的应用【典例3】如果方程组的解是方程3x+my=8的一个解，则m=（）A．1B．2C．3D．4【典例4】已知和方程组的解相同，求的值．【即学即练】小明和小文解一个二元一次组小明正确解得小文因抄错了c，解得已知小文除抄错了c外没有发生其他错误，求a+b+c的值．考法03 加减法解二元一次方程组【典例5】用加减消元法解方程组【即学即练】方程组的解为：.【典例6】若关于x、y的二元一次方程组的解为，求关于x、y的方程组的解．【即学即练】三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说：“这个题目好象条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是：．考法04 用适当方法解二元一次方程组【典例7】解方程组【即学即练】【典例8】试求方程组的解．【即学即练】若二元一次方程组和y=kx+9有相同解，求（k+1）2的值．题组A 基础过关练1．用加减法解方程组下列解法错误的是（）A ．①×3－②×2，消去xB ．①×2－②×3，消去yC ．①×(－3)＋②×2，消去xD ．①×2－②×(－3)，消去y 2．用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（）A ．①×2﹣②B ．②×（﹣3）﹣①C ．①×（﹣2）+②D ．①﹣②×33．解方程组，用加减法消去y ，需要（）A ．①×2﹣②B ．①×3﹣②×2C ．①×2+②D ．①×3+②×2分层提分4．用加减法将方程组中的未知数消去后，得到的方程是（）．A．B．C．D．5．利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（）A．要消去y，可以将①×5＋②×2B．要消去x，可以将①×3＋②×（－5）C．要消去y，可以将①×5＋②×3D．要消去x，可以将①×（-5）＋②×26．用代入消元法解方程组使得代入后化简比较容易的变形是( )A．由①得B．由①得C．由②得D．由②得y＝2x－57．已知a，b满足方程组则a+b的值为（）A．﹣4B．4C．﹣2D．28．已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±2B．C．2D．49．若，则x，y的值为（）A．B．C．D．10．以方程组的解为坐标的点（x，y）在平面直角坐标系中的位置是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限11．若方程组的解满足x+y＝0，则a的值为（）A．﹣1B．1C．0D．无法确定12．在解方程组时，甲同学正确解得乙同学把看错了，而得到那么，，的值为（）A．，，B．，，C．，，D．不能确定题组B 能力提升练13．已知，用含的代数式表示=________．14．已知、满足方程组，则的值为___．15．如果方程组的解与方程组的解相同，则a+b的值为______．16．若方程组，则的值是_____．17．已知关于x、y的方程的解满足，则a的值为__________________．18．已知是二元一次方程组的解，则m+3n的立方根为．19．若单项式﹣5x4y2m+n与2017x m﹣n y2是同类项，则m-7n的算术平方根是_________.20．若关于x、y的二元一次方程组的解是，则关于a、b的二元一次方程组的解是_______．21．若方程组的解是则方程组的解为________题组C 培优拔尖练22．解下列方程组（1）（2）23．（1）用代入法解方程组：（2）用加减法解方程组：24．甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了m，解得；乙解题时看错了n，解得．请你以上两种结果，求出原方程组的正确解．25．阅读探索解方程组解：设a&#ξΦ02∆;1&#ξΦ03∆;x，b&#ξΦ02B;2&#ξΦ03∆;y，原方程组可变为解方程组得，即，所以．此种解方程组的方法叫换元法．（1）拓展提高运用上述方法解下列方程组：（2）能力运用已知关于x，y的方程组的解为，直接写出关于m、n的方程组的解为_______．第17课二元一次方程组的解法课程标准1. 理解消元的思想；2. 会用代入法解二元一次方程组.3. 掌握加减消元法解二元一次方程组的方法；4. 能熟练、正确、灵活掌握代入法和加减法解二元一次方程组；5．会对一些特殊的方程组进行特殊的求解．知识点01 消元法1.消元思想：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先求出一个未知数，然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想.2.消元的基本思路：未知数由多变少.3.消元的基本方法：把二元一次方程组转化为一元一次方程.知识点02 代入消元法通过“代入”消去一个未知数，将方程组转化为一元一次方程，这种解法叫做代入消元法，简称代入法．注意：(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式，再代入另一个方程中达到消元的目的．(2)代入消元法的技巧是：①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时，可以直接利用代入法求解；②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程．则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便；(3)若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1，选系数的绝对值较小的方程变形比较简便．代入消元法的一般步骤：（1）转化：从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来.（2）代入：把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）求解：解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）回代、写解：把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.（5）检验: 把方程组的解代回方程组检验，当满足每个方程时才是方程组的解。

八年级数学上册第五章二元一次方程组知识点归纳北师大版

第五章二元一次方程组1、二元一次方程含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2、二元一次方程的解适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3、二元一次方程组含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5、二元一次方程组的解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法（无论是代入消元法还是加减消元法，其目的都是将“二元一次方程”变为“一元一次方程”，所谓之“消元”）6、一次函数与二元一次方程（组）的关系：（1）一次函数与二元一次方程的关系：每个二元一次方程都可以看成一次函数，直线y=kx+b 上任意一点的坐标(,)m n 都是它所对应的二元一次方程0kx y b -+=的解x m y n =⎧⎨=⎩（2）一次函数与二元一次方程组的关系：求二元一次方程组的解，可看成求两个一次函数图象的交点。

二元一次方程组 111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩ 的解x m y n =⎧⎨=⎩可看作两个一次函数 1111a c y xb b =-+ 和2222a c y xb b =-+ 的图象的交点(,)m n 。

反之，可以通过求二元一次方程组的解，求出两个一次函数图象的交点当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解。

7、在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：①设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x 或y ；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；②寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

8、处理问题的过程可以进一步概括为：解答检验求解组方程抽象分析问题→→)(。

2023年北师版八年级上册数学二元一次方程组知识点及练习题

学易佳教育中心八年级上册第五章二元一次方程组基础知识1.二元一次方程具有两个未知数, 并且所含未知数旳项旳次数都是1旳整式方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程旳解适合一种二元一次方程旳一组未知数旳值, 叫做这个二元一次方程旳一种解。

3.二元一次方程组具有两个未知数旳两个一次方程所构成旳一组方程, 叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组旳解二元一次方程组中各个方程旳公共解, 叫做这个二元一次方程组旳解。

5.二元一次方程组旳解法（1）代入（消元）法（2）加减（消元）法6.一次函数与二元一次方程（组）旳关系:（1）一次函数与二元一次方程旳关系:直线y=kx+b上任意一点旳坐标都是它所对应旳二元一次方程kx- y+b=0旳解（2）一次函数与二元一次方程组旳关系:二元一次方程组旳解可看作两个一次函数和旳图象旳交点。

当函数图象有交点时, 阐明对应旳二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时, 阐明对应旳二元一次方程组无解。

【基础训练】1.下列方程是二元一次方程旳有: ___________________（只填序号）①093=-+y x ②012232=+-y x ③202=+y x ④113=-yx ⑤3A-4B=70 ⑥x 2+10=02.甲种物品每个4kg, 乙种物品每个7kg 。

既有甲种物品x 个, 乙种物品y 个, 共76kg.(1)列出有关x,y 旳二元一次方程组_____________________________(2)若x=12,则y=___________(3)若有乙种物品8个, 则甲种物品有_________个。

3、小明从邮局买了面值50分和80分旳邮票共9枚, 花了6.3元, 小明买了50分邮票枚, 买了80分邮票枚, 则根据题意可列方程组：___________________⎩⎨⎧=+=+222111c y b x a c y b x a 22122b c x b a y +-=4.、下列四组数值中, 哪些是二元一次方程旳解_______________（1）⎩⎨⎧=-=;6,2y x （2）⎩⎨⎧==;4,3y x （3）⎩⎨⎧==;3,4y x （4）⎩⎨⎧-==.2,6y x 5.、二元一次方程组旳解是（）（A ）⎩⎨⎧==;3,4y x （B ）⎩⎨⎧==;6,3y x （C ）⎩⎨⎧==;4,2y x（D ）⎩⎨⎧==.2,4y x 6.用代入消元法解下列方程组:1. 2、7、用加减消元法解下列方程组:1. 2、3. 4.【巩固提高】一、填空题:1. 已知/是有关x,y 旳二元一次方程, 则m ＝ .2.假如/是一种二元一次方程, 那么数/= , /= .3.假如/是同类项, 那么 /= , /= .4.请写出方程x+2y=7旳一种正整数解是 .5./中, 若/则/_______.6.由/_______, /_______.7.假如那么_______. 8. 已知二元一次方程/当/时, y ＝ .9. /是二元一次方程2x ＋by ＝－2旳一种解, 则b 旳值等于 .10. 已知/和/都是ax ＋by ＝7旳解, 则a ＝ , b ＝ .11. 已知/, 则x ＋y ＝ .12. 若方程组/旳解是/, 则/.13. 某年级有学生246人, 其中男生比女生人数旳2倍少3人, 问男女学生各多少人, 设女生人数为x 人, 男生人数为y 人, 可列方程组为 .⎩⎨⎧=-=+.232,12y x y x =-+-+3962242y x y x14.购面值各为20分, 30分旳邮票共27枚, 用款6.6元。

北师大版八年级上册数学第19讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理

⎩ ⎨x - 2 y = 5 ⎨ y = b北师大版八年级上册数学第 19 讲《二元一次方程组的相关概念》知识点梳理【学习目标】1. 理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的含义；2. 会检验一组数是不是某个二元一次方程（组）的解.【要点梳理】要点一、二元一次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1，像这样的方程叫做二元一次方程．要点诠释：二元一次方程满足的三个条件：（1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数.（2） “未知数的次数为 1”是指含有未知数的项（单项式）的次数是 1.（3）二元一次方程的左边和右边都必须是整式.要点二、二元一次方程的解一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的一组解．要点诠释：⎧x = 2,(1) 二元一次方程的解都是一对数值，而不是一个数值，一般用大括号联立起来，如： ⎨ y = 5.．(2) 一般情况下，二元一次方程有无数个解，即有无数多对数适合这个二元一次方程．要点三、二元一次方程组把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 要点诠释：组成方程组的两个方程不必同时含有两个未知数，例如⎧3x + 1 = 0 ⎩ 也是二元一次方程组. 要点四、二元一次方程组的解一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.要点诠释：（1）二元一次方程组的解是一组数对，它必须同时满足方程组中的每一个方程，一般写成⎧x = a 的⎩ 形式．⎩ ⎩⎧2x + y = 5(2)一般地，二元一次方程组的解只有一个，但也有特殊情况，如方程组⎨2x + y = 6无解，而方程组 ⎧x + y = -1 ⎨2x + 2 y = -2 的解有无数个．【典型例题】类型一、二元一次方程 1．已知下列方程，其中是二元一次方程的有． (1)2x-5＝y ； (2)x-1＝4； (3)xy ＝3； (4)x+y ＝6； (5)2x-4y ＝7；(6) x + 1 = 0 ；(7) 5x + 2 = 1 ；(8) x + 1 y = 3 ；(9) x 2 - 8 y = 0 ；(10)x + 4 y = 6 ． 2 y 2 2【思路点拨】按二元一次方程满足的三个条件一一检验．【答案】(1)(4)(5)(8)(10)【解析】只有(1)(4)(5)(8)(10)满足二元一次方程的概念．(2)为一元一次方程，方程中只含有一个未知数；(3)中含未知数的项的次数为 2；(6)只含有一个未知数；(7)不是整式方程；(9)中未知数 x 的次数为 2．【总结升华】判断一个方程是否为二元一次方程的依据是二元一次方程的定义，对于比较复杂的方程，可以先化简，再根据定义进行判断．举一反三：【变式】（2015 春•桃园县校级期末）下列各方程中，是二元一次方程的是（）A ．=y+5xB ．3x+2y=2x+2yC ．x=y 2+1D ．【答案】D ．类型二、二元一次方程的解2.（2016 春•吴兴区期末）下列数组中，是二元一次方程 x+y=7 的解的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】二元一次方程 x+y=7 的解有无数个，所以此题应该用排除法确定答案，分别代入方程组，使方程左右相等的解才是方程组的解．【答案】B⎨ y = 1y = 解：A 、把 x=﹣2，y=5 代入方程，左边=﹣2+5≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；B 、把 x=3，y=4 代入方程，左边=右边=7，所以是方程的解；故本选项正确；C 、把 x=﹣1，y=7 代入方程，左边=6≠右边，所以不是方程的解；故本选项错误；D 、把 x=﹣2，y=﹣5 代入方程，左边=﹣7≠右边，所以不是方程的解．故本选项错误．故选 B ．【总结升华】考查二元一次方程的解的定义，要求理解什么是二元一次方程的解，并会把 x ，y 的值代入原方程验证二元一次方程的解．举一反三：【变式】若方程ax - 2 y = 4 的一个解是⎧x = 2 ，则 a= .⎩ 【答案】33.已知二元一次方程 x + 3 y = 1 ．4 2(1)用含有 x 的代数式表示 y ；(2)用含有 y 的代数式表示 x ；⎧x = -2(3)用适当的数填空，使⎨ 是方程的解． ⎩【思路点拨】用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，就是把要表示的未知数当未知数，把其他的未知数当已知数，然后再将方程变形．【答案与解析】解：(1)将方程变形为 3y ＝2 - x ，化 y 的系数为 1，得y = 2 - x ． 2 3 6(2)将方程变形为 x = 2 - 3y ，化 x 的系数为 1，得 x = 4 - 6 y ． 2(3)把 x ＝-2 代入 y = 2 - x 得， y ＝1． 3 6【总结升华】用含 x 的代数式表示 y ，其实质表示为“y ＝含 x 的代数式”的形式．在进行方程的变形过程中，有效地利用解一元一次方程的方法技巧很重要．举一反三：【变式】已知：2x +3y =7，用关于 y 的代数式表示 x ，用关于 x 的代数式表示 y ．⎨ y = -5 ⎩⎨ y = -5 ⎨ y = -5⎨y = -5 ⎨ y = -5 ⎩ ⎩ 解：（1）2x =7－3y ， x = 7 - 3y；（2）3y =7－2x ， y = 7 - 2x 23类型三、二元一次方程组及方程组的解4.（2015 春•道外区期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】解：A 是二元二次方程组，故 A 不是二元一次方程组；B 是三元一次方程组，故 B 不是二元一次方程组；C 是二元一次方程组，故 C 是二元一次方程组；D 不是整式方程，故 D 不是二元一次方程组；【总结升华】本题考查了二元一次方程组，含有两个未知数，且每个未知数的次数都是 1 的方程式二元一次方程，两个二元一次方程组成的方程组．⎧4x + 2 y = 2 5.判断下列各组数是否是二元一次方程组⎨⎩x + y = -1 ① 的解． ②（1） ⎧x = 3 ⎩ ⎧x = -2 （2） ⎨ y = 1 【答案与解析】解：（1）把⎧x = 3 ⎩ 代入方程①中，左边＝2，右边＝2，所以⎧x = 3 ⎩ 是方程①的解．把 x ＝3，y ＝-5 代入方程②中，左边＝ 3 + (-5) = -2 ，右边＝ -1 ，左边≠右边，所以⎧x = 3 ⎩ 不是方程 ②的解．所以⎧x = 3⎩不是方程组的解．（2）把⎧x = -2 代入方程①中，左边＝-6，右边＝2，所以左边≠右边，所以⎧x = -2 不是方程①的解， ⎨ y = 1 ⎨ y = 1⎩ ⎩ ⎨ y = -2⎨ y = -2⎨2x - 5 y = 12再把⎧x = -2 代入方程②中，左边＝x+y ＝-1，右边＝-1，左边＝右边，所以⎧x = -2 是方程②的解，⎨ y = 1 但由于它不是方程①的解，所以它也不是方程组的解．⎨ y = 1【总结升华】检验是否是方程组的解，应把数值代入两个方程，若两个方程同时成立，才是方程组的解，而方程组中某一个方程的某一组解不一定是方程组的解.举一反三：【变式】写出解为⎧x = 1 ⎩ 的二元一次方程组．【答案】解：此题答案不唯一，可先任构造两个以⎧x = 1 ⎩为解的二元一次方程，然后将它们用“{”联立即可，现举一例：∵ x ＝1，y ＝-2，∴ x+y ＝1-2＝-1．2x-5y ＝2×1-5×(-2)＝12．∴ ⎧x + y = -1 ⎩ 就是所求的一个二元一次方程组．注：任选的两个方程，只要其对应系数不成比例，联立起来即为所求．。

北师大版八年级上册第五章二元一次方程组小结与复习

(2)在直角坐标系中作出上述两个函数在第一象限内的图象，观察图象，分别指出第15天和第25天结束时，哪条生产线的总产量高．
分析：此题涉及求解析式及函数与方程的关系，并利用一次函数的图象解决实际问题．
解：(1)由题意可知，甲生产线生产时对应的函数关系式为y＝20x＋200. 乙生产线生产时对应的函数关系式为y＝30x . 令20x＋200＝30x，解得x＝20. ∴当第20天结束时，
x＋2y＝4， ②
则x－y＝________．
(2)已知方程组
3x＋2y＝m＋2，①
的解适合方程x＋y＝8.
2x＋3y＝m ②
求m的值．
【说明】
第(1)题并不一定要先把x，y的值求出来，再计
算x－y的值．可以采用①－②直接求得；
第(2)题也并不一定是用m的代数式来表示x，y，
再代入x＋y＝8求得m，可以①＋②得5(x＋y)＝2m＋
第五章二元一次方程组本章复习小结
学习目标
1．会解二元一次方程组和利用二元一次方程组解决实际问题． 2．通过归纳整理本章知识点，回顾解决问题中所涉及的整体代入、转化消元、数形结合的思想．加强各知识之间的内在联系，便于加深理解．
【学习重点】
会解二元一次方程组，能够根据具体问题中的数量关系列出方程组．
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解.
5.方程组的解法基本思想或思路——消元常用方法————代入法和加减法根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.
用代入法解二元一次方程组
(1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如y，用含x的代数式表示;
两条生产线的总产量相同；

北师大版数学八年级上册——二元一次方程组常见题型总结

二元一次方程常见题型例1 关于x，y的二元一次方程2（n﹣3）x2|m|﹣|n|+3（m﹣2）y3|n|﹣4|m|＝2，求m+n．练1、如果（m﹣3）x+2y|m﹣2|+8＝0是关于x，y的二元一次方程，试求m的值．练2、已知关于x，y的方程（m2﹣4）x2+（m+2）x+（m+1）y＝m+5．（1）当m为何值时，它是一元一次方程？（2）当m为何值时．它是二元一次方程？例2 方程x+y＝4与2x﹣3y＝3的公共解是（）A．B．C．D．练1、已知：|2x+y﹣3|+（x﹣3y﹣5）2＝0，则y x的值为（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2例3 已知是关于x、y的二元一次方程3x﹣ay＝7的一个解，则a的值为（）A．5B．C．﹣D．﹣5练1、若，是二元一次方程y＝kx﹣5的一个解，则k的值为（）A．﹣2B．2C．﹣3D．3练2、已知是关于x，y的二元一次方程组的解，求a+b的值．例4 已知，关于x、y二元一次方程组的解满足方程2x﹣y＝13，求a的值．练1、已知关于x，y的方程组的解也满足方程4x﹣3y＝21，求k的值．练4、已知关于x、y的二元一次方程组的解x与y互为相反数，求k的值．练2、若关于x，y的二元一次方程组的解满足2x+y＝4，求m的值．例5已知关于x，y的方程组和的解相同，求（3a+b）2020的值．练1、已知关于x、y的方程组与有相同的解，求a、b的值．练2、关于x、y的方程组和的解相同，求a、b的值．练3、若方程组与方程组的解相同，求m，n的值．例6解方程组时，由于粗心，小天看错了方程组中的a，得到解为，小轩看错了方程组中的b，得到解为，求方程组正确的解．练1、甲、乙两同学同时解方程组，甲看错了a，求得解为，乙看错了b，求得解为，求原方程组的解．练2、解方程组时，一同学把c看错而得到，而正确的解是，求a、b、c的值．例7 一种商品有大小盒两种包装，3大盒、4小盒共装102瓶，2大盒、3小盒共装72瓶，大盒与小盒每盒各装多少瓶？练1、列方程组解应用题现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？1、已知和都是方程ax+b﹣y＝0的解，则a的值是（）A．a＝1B．a＝﹣1C．a＝2D．a＝﹣22、已知方程组的解满足x＝y，则k的值为（）A．1B．2C．3D．43、已知关于x，y的方程组和有相同解，求（﹣a）b的值．4、已知关于x、y的二元一次方程组的解满足二元一次方程5x﹣3y＝60，求m的值？5、已知方程（2m﹣4）x m+3+（n+3）y|n|﹣2＝6是关于x，y的二元一次方程，试求m，n的值．6、某养牛场2头大牛和1头小牛一天约用饲料40kg；4头大牛和3头小牛一天约用饲料90kg；1头大牛和1头小牛一天约用饲料各多少kg？1、如果|2x﹣y﹣2|+（2x+y+10）2＝0，那么（）A．B．C．D．2、解下列二元一次方程组：（1）（2）3、已知方程组与方程组的解相同．求（2a+b）2020的值．4、已知2020（x+y）2与|y﹣1|的值互为相反数，试求：（1）求x、y值；（2）求的平方根．5、在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解为；乙看错了方程组中的b而得到解为．（1）求正确的a、b值；（2）求原方程组的解．6、疫情初期，武汉物资告急，全国一心，各地纷纷运送物资到武汉．已知3辆大货车与2辆小货车可以一次运货17吨，5辆大货车与4辆小货车可以一次运货29吨，则2辆大货车与3辆小货车可以一次运货多少吨？。

北师大版八年级上册第五章二元一次方程组知识总结和易错题总结

第五章二元一次方程组本章学习目标1二元一次方程应同时满足三个条件：一方程中含有两个未知数；二所含未知数的项的次数都是1；必须是整式方程。

2二元一次方程组的解：各个方程的公共解。

二元一次方程的解有无数个。

3求解二元一次方程组：代入消元法和加减消元法4解二元一次方程组的步骤：变形-加减(代入)-求解-回代-写解 5列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤审：认真审题，明确题目中的已知量和未知量(方法：列举，画线段图，画草图等等) 找：找出等量关系设：设出两个未知数列：根据等量关系列方程组解：解方程组验：检验所得的解是否是方程组的解，并且检验是否符合题意。

答：写出答案，包括单位。

6增收节支常见问题中的数量关系增长或降低率问题：增长率=增量基数×100% 降低率=减量基数×100%增长后的数量=基数×(1±增长(降低)率) 销售问题：销售额=售价×销量总利润=总销售额-总成本=单件的利润×销量=(售价-进价)×销量，利润率=利润进价×100%，打折后的价格=原价×打折数×110储蓄问题：利息=本金×利率×期数，本息和=本金+利息 7里程碑上的数数字问题：一个两位数，若十位数字是x ，各位数字是y ，则这个两位数可表示为10x+y一个三位数，若百位数字为a ，十位数字为b ，个位数字为c ，则这个三位数表示为100a+10b+ca 是一个两位数，b 是一个三位数，若把a 放在b 的左边得到一个五位数，则这个五位数可表示为1000a+b 行程问题：相遇问题的等量关系是路程之和等于总路程追击问题的等量关系是路程之差等于相距的路程工程问题：工作了=工作效率×工作时间，合作的效率=各单独做的效率和 8二元一次方程与一次函数的关系一、方程中的x ，y 和函数中的x ，y 有不同的含义，在二元一次方程中的x ，y 是未知数，在一次函数中的x ，y 均为变量。

5.2 求解二元一次方程组-知识考点梳理北师大版数学八年级上册课件

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变式衍生2
若 x，y 满足（x＋y）2＋|x－y－2|＝0，
重
难
题则 x，y 的值分别是（ C ）
型
A. －1，1
B. 1，1
突
破
C. 1，－1
D. 无法确定
5.2 求解二元一次方程组
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解题通法
把非负数和为 0 问题转化成二元一次方程
重
难
题组的问题是解题的关键.
（2） − 的平方根.
5.2 求解二元一次方程组
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［解析］根据题意得到等式 2 020（x＋y）2+
重
难

题
+ − =0，即 x+y=0，

型
突程组解题即可.
破

+ − =0，联立方
5.2 求解二元一次方程组
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重
［答案］解：（1）∵2 020（x＋y）2 与 ቚ + −

难
题

2
型 ቚ的值互为相反数，∴2 020（x＋y）＋ + − ＝0

突
破，
+ = ，
= ，
∴ቐ
解得ቊ

= .
+ − = .

（2）当 x＝－1，y＝1 时，
以
− 的平方根是± ．
− ＝
＝3，所
5.2 求解二元一次方程组
5.2 求解二元一次方程组
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重
+ = ，

第五章二元一次方程组(整理与复习)

拓展提升
归纳整理
。
知识梳理
6、二元一次方程组的基本解法：
，
。
7、二元一次方程（组）与函数的关系：
二元一次方程的解与对应图象上的点的坐标
。
两条直线的
就是二元一次方程组的解。
8、待定系数法（步骤）：
① ,② ,③ ,④ .
9、列方程组解应用题的步骤：
① ,② ,③ ,④ ,⑤ ,⑥ ,⑦ .
知识梳理
10、三元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
11、三元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
12、三元一次方程组的解：
三元一次方程组中各个方程的
。
13、三元一次方程组的解法：
，
。
基础过关
基础ห้องสมุดไป่ตู้关
基础过关
y=x+1 y=2x-1
y=x y=-2x+5
巩固提升
拓展提升
能力提升
拓展提升
北师大版八年级上册数学
第五章二元一次方程组
知识梳理
1、二元一次方程：
含有
，并且未知数项的次数都是的方程。
2、二元一次方程的解：
适合一个二元一次方程的
的值。
3、二元一次方程组：
共含有
未知数的个一次方程所组成的一组方程。
4、二元一次方程组的解：
二元一次方程组中各个方程的
。
5、解二元一次方程组的基本思路是

解二元一次方程组知识梳理及练习北师大版八年级数学上册

二元一次方程组知识点一、相关概念1、二元一次方程：① ② ③2、二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解.（解为一对数值，一般要用大括号联立起来，通常表示为⎩⎨⎧ba ＝＝y x 的形式）3、二元一次方程组：由几个一次方程组成并且含有两个未知数的方程组，叫作二元一次方程组.4、二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.典例解析：1、（1）下列各式中是二元一次方程的是①2x −y ②x −3y =−15 ③x y +x −2=0 ④2x −y =0(2)下列方程组中是二元一次方程组的是A 、{3x −2y =1y =4z +1B 、{a =32b −3a =2C 、{1x +y =31y +2x =4D 、{mn =−1m +n =3 2、（1）在①{x =2y =−1；②{x =3y =1；③{x =1y =7；④{x =−1y =−7各数中，是方程2x −y =5的解是（2）二元一次方程组{3x −2y =3x +2y =5的解是 A 、{x =1y =0 B 、{x =32y =2 C 、 {x =2y =32D 、{x =7y =−1 3、（1）若{x =1y =2是关于x 、y 的二元一次方程3x −y +a =0的一个解，则a = ；（2）已知方程(m −2)x n−1+2y |m−1|=m 是关于x 、y 的二元一次方程，则m = ；n = 。

知识点二、解二元一次方程组典例解析：1、解方程组：（1）{2x +3y =40x −y =−5（2）{2x +3y =93x −2y =7（3）{3x =5y 2x −3y =1 （4）{3x −5y =6x +4y =−15（5）{3x +2y =122x +3y =−22、（1）若单项式2a m+2n b n−2m+2与a 5b 7是同类项，则m n = ；（2）若{x =2y =1是二元一次方程组{mx +ny =7nx −my =1的解，则m +3n 的立方根为；（3）若方程组{2x +3y =7ax −by =4与{4x −5y =3ax +by =6有相同的解，则a = ；b = ；（4）已知关于x 、y 的二元一次方程组{3x +2y =k 2x +3y =2k +1,，若方程组的解满足x +y =5，则k = ；若方程组的解满足x −y =5，则k = 。

北师大版八年级上二元一次方程组复习总结讲义.doc

佳悦教育八年级上二元一次方程组复习讲义一、方程的有关概念1 •方程：含有未知数的等式就叫做方程.2.一元一次方程：只含有一个未知数（元）x,未知数x的指数都是1（次），这样的方程叫做一元一次方程•例如：1700+50x=1800, 2 （x+l・5x） =5等都是一元一次方程.3.方程的解：使方程中等号左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解.注：⑴ 方程的解和解方程是不同的概念，方程的解实质上是求得的结果，它是一个数值（或几个数值），而解方程的含义是指求出方程的解或判断方程无解的过程.⑵方程的解的检验方法，首先把未知数的值分别代入方程的左、右两边计算它们的值，其次比较两边的值是否相等从而得出结论.二、等式的性质等式的性质（1）:等式两边都加上（或减去）同个数（或式子），结果仍相等.用式子形式表示为：如果a=b,那么a±c=b±c（2）等式的性质（2）：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，用式子形式表示为：如果a=b,那么ac=bc;如果a=b（cHO）,那么ac=bc三、移项法则：把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.四、去括号法则1.括号外的因数是正数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号相同.2.括号外的因数是负数，去括号后各项的符号与原括号内相应各项的符号改变.五、解方程的一般步骤K 去分母（方程两边同乘各分母的最小公倍数）2、去括号（按去括号法则和分配律）3、移项（把含有未知数的项移到方程一边，其他项都移到方程的另一边，移项要变号）4^合并（把方程化成ax = b 式）5.系数化为1（在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解x二ba）.六、用方程思想解决实际问题的一般步骤1、审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间的关系.2・、设：设未知数（可分直接设法，间接设法）3.列：根据题意列方程.4.解：解出所列方程.5.检：检验所求的解是否符合题意.6.答：写出答案（有单位要注明答案）七、有关常用应用类型题及各量之间的关系K和、差、倍、分问题：（1）倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率……" 來体现.（2）多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……"来体现.2、等积变形问题：“等积变形^是以形状改变而体积不变为前提•常用等量关系为：①形状面积变了，周长没变；②原料体积=成品体积.3、劳力调配问题：这类问题要搞清人数的变化，常见题型有：（1）既有调入又有调出；（2）只有调入没有调出，调入部分变化，其余不变；（3）只有调出没有调入，调出部分变化，其余不变4、数字问题（1）要搞清楚数的表示方法：一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c （其中a、b、c均为整数，月.lSaS9, 0<b<9, 0<c<9）则这个三位数表示为:100a+10b+c・（2）数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大1；偶数用2n表示，连续的偶数用2n+2或2n—2表示；奇数用2n+l或2n—1表示.5、工程问题：工程问题中的三个量及其关系为：工作总量二工作效率X工作时间6、行程问题：（1）行程问题中的三个基本量及其关系：路程二速度x时间.（2）基本类型有①相遇问题；②追及问题；常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题.7、商品销售问题有关关系式：商品利润二商品售价一商品进价二商品标价x 折扣率—商品进价商品利润率=商品利润/商品进价商品售价=商品标价X 折扣率8、储蓄问题⑴ 顾客存入银行的钱叫做本金，银行付给顾客的酬金叫利息，本金和利息合称本息和，存入银行的时间叫做期数，利息与本金的比叫做利率•利息的20%付利息税 ⑵ 利息二本金x 利率X 期数本息和=本金+利息利息税二利息X 税率（20%）【例题讲析】[基础训练] 1.已知卩=3,是方程祇_2）=2的一个解，那么a 的值是 ___________ .7 = 5贝0 y=______ , 当兀=0 时，y= ______ .(2)严"4,[4(x-1) = 6y+ 7.6. 用作图象的方法解方程组jX+2y =（），[2x- y = 5.7. 甲、乙两种商品原来的单价和为100 7C.因市场变化，甲商品降价10%,乙商品提价40%, 调价后两种商品的单价和比原來的单价和提高了 20%.甲、乙两种商品原來的单价各是多少？8. 某校有两种类型的学生宿舍30间，大的宿舍每间可住8人，小的宿舍每间可住5人.该校198个住宿生恰好住满这30间宿舍.大、小宿舍各有多少间？2.己知2x —3y=l,用含x 的代数式表示y 93.元一次方程组的解是(y = 2x)•兀=4,y = 兀=3,y =[x = 2,[x = 4?（C ） \（D ） q卜=4;卜=2・4. 已知如果 x=4 时，y=15； x=l 0寸，y=24,则 k= ________ ； b= _____5. 解下列方程组： (A)佳悦教育《二元一次方程组》复习题1 •已知方程组严也"的解为产2,则2a —3b 的值为 ____________________ax+ by = 2 [y= 12 实数 x, y 满足 Jx + y- 5 4- （x- 4y ）2 = 0,则/^二 ______________ {y — —x +23以方程组彳‘的解为坐标的点（匕y ）在平面直角坐标系中的位置是（）2 =兀_1A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4已知代数式/与l-x n y m+n 是同类项，那么加、巾的值分别是 2m= _______ n= ________5•二元-次方程组为{：：；；：则-尸—‘宀=—3x-y = 56. 若一次函数y 二3x-5与y=2x+7的交点P 的坐标为（12,31）,则方程组的解[2x-y = -7为 ________ .7. 解方程组严+）匸8时，由于粗心，小红看错了方程组中的a,而得解为彳，小华[x- by =7[y = 5看错了方程组中的b 而得解为_1，则原方程组的正确解为__________________b= io8•二元-次方程组芝芝爲3的解"的值相等'则*I t + y — 5k，的解也是二元一次方程2x + 3y = 6x-y = 9k则k 的值为3 3 (A) --(B)-4410.解方程组： 4 (C)- 34 (D)--3(1) Vx- y=S (2) « %丄y1—+—= 1 3 54x + 7y = 103(x+y)+2(x -3y)= 1511.若函数y 二2x+3与y=3x-2b 的图像交于x 轴同一点，则b 二 __________= kx + b12•孔明同学在解方程组彳‘ 的过程屮，错把Z?看成了 6,他其余的解题过程没有出卜=-2兀[x = —1错，解得此方程组的解为彳,又已知直线y = kx^by\点（3, 1）,则方的正确值应9.若关于X、的解,2 = 2该是 __________ . 13.八年级（2）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元•捐款情况如下表：表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已经看不清楚.若设捐款2元的有兀名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组（）.x + y = 27 [ y = 27彳（B ） \ （A ）[2x + 3y = 66 [2x + 3y = 100[x+y = 27 [ x + y = 27 （C ） \（D ） < y[3x + 2y = 66[3x^2y = 100与方程组]%一5尸16有相同的解,bx+ay=-S求：（2o + b 严的值7 QQ15. 在直角坐标系中有两条直线：y=-x + -和尸_二丫 + 6,与x 轴分别交于点A 和点B.它5 5 2们的交点为C,求的面积.16. —个两位数的十位上的数与个位上的数的和是5,如果这个两位数减去27,则恰好等于十位上的数与个位上的数对调后组成的两位数，求这个两位数.17. 暑假，某校组织学生进行社会实践活动，男生戴口色遮阳帽，女生戴红色遮阳帽.休息时他们坐在一起，大家发现了一个有趣的现彖，每位男生看到白色与红色的遮阳帽一样多，而每位女生看到白色的遮阳帽是红色的2倍.根据这些信息推测学牛共有多少人？18. 在“家电下乡”活动期间，凡购买指定家用电器的农村居民均可得到该商品售价13%的财政补贴.村民小李购买了一台〃型洗衣机，小王购买了一台〃型洗衣机，两人一共得到财政补贴351元，又知〃型洗衣机售价比A 型洗衣机售价多500元.求：（1）力型洗衣机和$型洗衣机的售价各是多少元？（2）小李和小王购买洗衣机除财政补贴外实际各付款多少元14 •已知方程组严+5y = ・6ax-by =-419.某商场代销甲、乙两种商品，其中甲种商品的进价为120元/件，售件为130元/件，乙种商品的进价为100元/件，售件为150元/件。

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二元一次方程组知识总结及训练♦知识讲解1．二元一次方程组的有关概念二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1? 的整式方程叫做二元一次方程．二元一次方程的解集：适合一个二元一次方程的每一对未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解．对于任何一个二元一次方程，令其中一个未知数取任意一个值，都能求出与它对应的另一个未知数的值．因此，任何一个二元一次方程都有无数多个解．由这些解组成的集合，叫做这个二元一次方程的解集．二元一次方程组及其解：两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组．一般地，能使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解．2．二元一次方程组的解法代入消元法：在二元一次方程组中选取一个适当的方程，将一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，消去一个未知数得到一元一次方程，求出这个未知数的值，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法．加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相差，从而消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种求二元一次方程组的解的方法叫做加减消元法，简称加减法．3．二元一次方程组的应用对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：（1）选定几个未知数；（2）依据已知条件列出与未知数的个数相等的独立方程，组成方程组；（3）解方程组，得到方程组的解；（4）检验求得未知数的值是否符合题意，符合题意即为应用题的解．♦例题解析【点评】如果是方程组的解，那么它们就能满足这个方程组中的每一个方程. 例2(2008，长沙市)“ 5 . 12 ”汶川大地震后，灾区急需大量帐篷.有4条成衣生产线和5条童装生产，工厂决定转产，计划用 3天时间赶制1000?顶帐篷支援灾区.若启用1条成衣生产线和 2条童装生产线，一天可以生产帐篷105顶；？若启用2 条成衣生产线和3条童装生产线，一天可以生产帐篷178顶.(1 )每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各多少顶？(2)工厂满负荷全面转产，是否可以如期完成任务？如果你是厂长，你会怎样体现你的社会责任感？【解答】(1)设每条成衣生产线和童装生产线平均每天生产帐篷各x , y 顶，则x 2y 105 2x 3y 178解得：x=41 ; y=32答：每条成衣生产线平均每天生产帐篷 41顶，每条童装生产线平均每天生产帐篷32顶.(2 )由3 X( 4 X 41+5 X 32 ) =972<1000 知，即使工厂满负荷全面转产，也不能如期完成任务.可以从加班生产，改进技术等方面进一步挖掘生产潜力，法尽早完成生产任务，为灾区人民多做贡献.x 2例1 已知是方程组y 12x (m nx1)y2的解，求(m+n )的值.1 【分析】由方程组的解的定义可知2,同时满足方程组中的两个方程,1入两个方程，分别解二元一次方程，即得的值, 从而求出代数式的值.【解答】把x=2 , y=1代入方程组2x (m nx1)y1 2中，得2n 1(m 1) 1由①得m= — 1 , 由②得所以当 m= — 1 , n=0 时，(m+n )=(—1+0 ) = — 1 .?某服装厂原或者动员其他厂家支援等，想例3 （2006，海南）某商场正在热销 2008年北京奥运会吉祥物“福娃”和徽章两种奥运商品，根据下图提供的信息，？求一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格各是多少元?问题的能力.x 2y 145 x 125 解这个方程组，得2x 3y 280y 10故一盒“福娃”玩具的价格为 125元，一枚徽章的价格为10元.例4（2004，昆明市）为满足用水量不断增长的需求，昆明市最近新建甲，乙，?丙三个水厂，这三个水厂的日供水量共计11.8万m 3, ?其中乙水厂的日供水量是甲水厂日供水量的3倍，丙水厂的日供水量比甲水厂日供水量的一半还多1万m 3.（1）求这三个水厂的日供水量各是多少万立方米？（2）在修建甲水厂的输水管道的工程中要运走 600t 土石，运输公司派出 A 型，B?型两种载重汽车，A 型汽车6辆，B 型汽车4辆，分别运5次，可把土石运完；或者 A 型汽车3辆，B 型汽车6辆，分别运5次，也可把土石运完，那么每辆 A 型汽车，每辆B 型汽车每次运土石各多少吨？（每辆汽车运土石都以准载重量满载）【分析】（1 ）可设甲水厂的日供水量是 x 万m 3，则乙水厂的日供水量是 3x 万m 3,1丙水厂的日供水量是（一x+1 ）万m 3，由三个水厂的日供水量总和为11.8万m 3，可列方2迪 1程 x+3x+ x+仁11.8 ;2（2）设每辆A 型汽车每次运土石 xt , B 型车每辆每次运土石 yt , ?依题意可列方程组30x 20y15x 30y 600解方程后可求解.600【解答】（1 ）设甲水厂的供水量是 x 万m 3，则乙水厂的日供水量是3x 万m 3,丙水1厂的日供水量是（x+1 ）万m 3.2共计1蚂元【分析】本题以图文形式提供了部分信主要考查学生运用二元一次方程组解决实际【解答】设一盒“福娃”玩具和一枚徽章的价格分别为x 元和y 元.依题意，得共计280元1由题意得：x+3x+ x+仁11.8 ，解得x=2.4 .2则3x=7.2 , x+1=2.2 .答：甲水厂日供水量是 2.4万m3，乙水厂日供水量是7.2万m3, ?丙水厂日供水量是2.2 万m3.（2 ）设每辆A型汽车每次运土石xt，每辆B型汽车每次运土石yt，由题意得：30x 20 y 600 x 1015x 30 y 600 …y 15答：每辆A型汽车每次运土石10t，每辆B型汽车每次运土石15t .【点评】本例系统地考查了一元一次方程和二元一次方程组这两个重要内容，在同一背景下提供不同的动作方案是近年中考应用题的发展方法.♦强化训练一、填空题1 .若2x m+n—1—3y m—n—3+5=0 是关于x, y 的二元一次方程，则m= ______ , n= ____ .2 .在式子3m+5n—k中，当m= —2 , n=1时，它的值为1 ;当 1 m=2 , n= —3 时，它的值是.ax y0x 13 .若方程组的解是，则a+b= .2x by6y23x 2y 54 .已知方程组的解x, y,其和x+y=1 ,则k _________kx (k 1)y 72x35t5 .已知x, y, t满足方程组,则x和y之间应满足的关系式是3y2t x2x y b x16 . （2008，宜宾）若方程组的解是，那么 |a— b |x by a y07 .某营业员昨天卖出7件衬衫和4条裤子共460元，今天又卖出9件衬衫和6条裤子共660元，则每件衬衫售价为_________ ，每条裤子售价为________ .8 . （2004，泰州市）为了有效地使用电力资源，我市供电部门最近进行居民峰谷用电试点，每天8 : 00至21 : 00用电每千瓦时0.55元（“峰电”价），21 : 00至次日8 :00?用电每千瓦时0.30元（“谷电”价），王老师家使用“峰谷”电后，？五月份用电每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是（巧克力辆板车每次可运xt 货，每辆卡车每次能运 yt 货，则可列方程组（）后来男同学又走了 22名，这时男女同学人数相同，那么最初的女同学有（）量为300kW • h ，付电费115元，则王老师家该月使用“峰电”kW • h .、选择题一兀一次方程 3x+2y=15在自然数范围内的解的个数是（）A . 1个Bi . 2个 C . 3个D . 4个x a|x| 2i .已知是方程组的则a+b 的值等于（)y b2x y 3A . 1B.5 C . 1 或 5D . 0.已知|2x —y —3| + (2x+y+11 ) 2=0 , 则（）x 2x 0x 1x 2A .B .C .D .y 1y 3 y 5y 7ax by 2 x 2x:.在解方程组时，一同学把c 看错而得到，正确的解应是cx 7y 8y 2y那么a , b , c 的值是（)A .不能确定B . a =4， b=5， c= — 29. 10 1112 D . a=4 , b=7 , c=2C . a , b 不能确定，c= — 24x 5y 274x 5y 27A .B .10x 3y 27 10x 3y 204x 5y 274x 27 5yC .D .10x 3y 2010x 20 3y15 .七年级某班有男女同学若干人，女同学因故走了13 . （ 2008，河北）如图 4 — 2 所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等,A . 20gB . 25gC . 15gD . 30g14 . 4辆板车和5 辆卡车一次能运27t 货, 10辆板车和3辆卡车一次能运20t 货，设每14名，？这时男女同学之比为 5 : 3 ,A . 39 名B . 43 名C. 47 名 D . 55 名16 •某校初三（2 ）班40名同学为“希望工程”捐款，共捐款100元，？捐款情况如下表:表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x 名同学，捐款3元的有y 名同学，根据题意，可得方程组.（）x y 27 x y 27 A •B •2x 3y 66 2x 3y 100 x y 27x y 27C •D •3x 2y 663x 2y 10017 •甲，乙两人分别从两地同时出发，若相向而行，贝Uah 相遇；若同向而行，则 bh 甲追上乙，那么甲的速度是乙的速度为（）a b 八b 八 b a 八 b a 八 A •倍 B •倍C •倍 D •倍ba bb ab a18 •学校总务处和教务处各领了同样数量的信封和信笺，总务处每发一封信都只用一张信笺，教务处每发出一封信都用3张信笺，结果，总务处用掉了所有的信封,20 • （ 2008，山东省）为迎接2008年奥运会，？某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”?但余下50张信笺，而教务处用掉所有的信笺但余下数分别为（）A • 150 , 100B • 125 , 75三、解答题 19 .解下列方程组：3x 5y 8 （1 ）（ 2008，天津市）2x y 150个信封，则两处各领的信笺张数,C • 120 , 70D • 100 , 150?信封个X (2 )( 2005，南充市)1 22y 3x和奥运会吉祥物“福娃”•该厂主要用甲、乙两种原料，？已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为4盒和3盒，？生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为5盒和10盒.该厂购进甲、乙原料的量分别为20000盒和30000盒，？如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？21 .（2008，重庆市）为支持四川抗震救灾，重庆市A, B , C三地现在分别有赈灾物资100t , 100t , 80t，需要全部运往四川重灾地区的 D , E两县.根据灾区的情况，这批赈灾物资运往D县的数量比运往E县的数量的2倍少20t .（1 ）求这批赈灾物资运往 D , E两县的数量各是多少？（2）若要求C地运往D县的赈灾物资为60t , A地运往D县的赈灾物资为xt （x 为整数），B地运往D县的赈灾物资数量小于A地运往D县的赈灾物资数量的2倍，其余的赈灾物资全部运往E县，且B地运往E县的赈灾物资数量不超过25t .则A , B?两地的赈灾物资运往 D , E两县的方案有几种？请你写出具体的运送方案：（3）已知A, B , C三地的赈灾物资运往 D , E两县的费用如表所示：为及时将这批赈灾物资运往 D , E两县，某公司主动承担运送这批赈灾物资的总费用,在（2）问的要求下，该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多是多少?22 .( 2003，常州市)甲、乙两班学生到集市上购买苹果，苹果的价格如下表所示•甲班分两次共购买苹果70kg (第二次多于第一次)，共付出189元，而乙班则一次购买苹果70kg •(1 )乙班比甲班少付出多少元？(2 )甲班第一次，第二次分别购买苹果多少千克?答案33 一1 . 3 ; —1 2 . —7 3 .8 4. k= 5. 15y —x=6 6.1 7 . 20 兀59. ?C 10 . C 11 . D 12 . B 13 . A 14 . C 15 . C 16 . A 17 .19 . ( 1)由②得y=2x —1 ③把③代入①得：3x+5 ( 2x — 1 ) =8即x=1把x=1代入③得y=1•••原方程组的解为x 2y 7（2）化简方程组，得6x y 3④代入⑤，得y= — 3 .将y= —3代入，得x=1x 1故原方程组的解是：y 34x 20 .设生产奥运会标志x套，生产奥运会吉祥物y套，根据题意，得3x① X 2 —②得：5x=10000 .• x=2000 .把x=2000 代入①得：5y=12000 .• y=2400 .80 元8 . 100C 18 . A5y 20000, 10y 30000.答：该厂能生产奥运会标志2000套，生产奥运会吉祥物2400套.21．（ 1）设这批赈灾物资运往 D 县的数量为 a （ t ），运往 E 县的数量为 b （t ）解得a 180,b 100.答：这批赈灾物资运往 D 县的数量为 180t ，运往 E 县的数量为 100t120 x 2x（ 2 ）由题意，得x 2 25解得 X 40,即 40<x < 45 , x 45.•/ x 为整数，••• x 的取值为 41 , 42 , 43 , 44 , 45 . 则这批赈灾物资的运送方案有五种．3）设运送这批赈灾物资的总费用为 w 元，由题意，得w=220x+250 (100 — x ) +200 (120 — x ) +220 (x — 20 ) +200 X 60+210 X 20=—10x+60800.因为w 随x 的增大而减小，且 40<x < 45 , x 为整数.所以，当 x=41 时， w 有最大值，则该公司承担运送这批赈灾物资的总费用最多为： w=60390(元)由题意，得a b 280, a 2b 20.方案一：A 地的赈灾物资运往 D 县 41t ，运往运往 E 县 21t .方案二： A 地的赈灾物资运往D县 42t，运往运往 E 县 22t .方案三： A 地的赈灾物资运往D县 43t，运往运往 E 县 23t .方案四： A 地的赈灾物资运往 D县 44t，运往运往 E 县 24t .方案五： A 地的赈灾物资运往 D 县 45t，运往E 县 59t ；B 地的赈灾物资运往 D 县 79t ，E 县 58t ；B 地的赈灾物资运往 D 县 78t ，E 县 57t ；B 地的赈灾物资运往 D 县 77t ，E 县 56t ；B 地的赈灾物资运往 D 县 76t ，E 县 55t ；B 地的赈灾物资运往 D 县 75t ，具体的运送方案是：运往 E 县 25t .当 y>50 ， x+y>80>70 ，不合题意．当 30<y < 50 时，70 X 2.5=175<189，也不合题意.③若 x>50 ， y>x ，则 x+y>70 ，不合题意．故甲班第一次买苹果 28kg ，第二次买苹果 42kg ．（2）设甲班第一次买苹果 xkg ，第二次买苹果 ykg ①当x < 30时，则 y>30 ( 否则，x+y w 60<70 ).x y 70x y 70依题意有或者3x 2.5y 189 3x 2 y 189x 28x 49解之，得或者（不合题意，舍y42y 21②若 30<x < 50，则 30<y < 50 , 或 y>50 ，22 .（ 1 ）乙班共付出 70 X 2=140 （元），乙班比甲班少付出189 — 140=49 （元） x<y )。