拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于
内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。
第二节
拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理
一、杆件在一般情况下应力的概念
m F 2
F 1
O 点
?F 微内力
?A 微面积
A
F p ??=
m
研究图示杆件。在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即
m F 2
F 1
m F 2
F 1
O 点?F 微内力
?A 微面积
p m A
F p ??=
m
全应力
一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即
O
A
F
A F p A d d lim 0=
??=→?
m F P2
F P1
m
F P2
F P1
K 点
?F 微内力
?A 微面积
p 全应力K
全应力p m 的方向即?F 的方向。通常将应力分解成
垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。
σ称正应力，τ称为切应力。
σ
τ
正应力
切应力
m F P2
F P1
m
F P2
F P1
K 点
?F 微内力
?A 微面积
p 全应力
K
在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa
（帕），1Pa=1N/m 2。在工程实际中，这一单位太小，
常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。
σ
τ
正应力
切应力
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
1．实验观察取一等截面直杆，在杆上画出与杆轴线垂直的横向线1-1
和2-2 ，再画上与杆轴向平行的纵向线，然后沿杆的轴线作用拉(压)力F ，使杆件产生拉伸变形。此时可以
观察到：横向线在变形前后均为直线，且都垂直于杆的轴线，
只是其间距增大(缩小) ，纵向间距减小(增大)，所有正方形的2．平面截面假设可作如下假设：变形前的截面，变形后仍未垂直于轴线的平面，仅略作平移而已，这个假设成为平面假设。3．应力分布它意味着拉杆的任意两个截面之间所有纵向线段的变形相同。由材料的均匀连续性假设，可以推断出内力在横截面上的分布是均匀的，且都垂直于横截面。轴向拉伸
轴向压缩F N σA F N =σ
F F
F
F
（6-1）11
22112
2
1'1'2'
2'1'
1'2'2'二、拉压杆横截面上的正应力
F 正应力σ，其计算式为
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
F
F
一中段开槽的直杆，承受轴向载荷F ＝20kN 作用，
已知h =25mm ，h 0=10mm ，b =20mm 。试求杆内的最大正应力。
解1）计算轴力。用截面法求得杆中各处的轴力为
F N =-F =-20kN
例6-2
2）求横截面面积。该杆
有两种大小不等的横截面面积A 1和A 2，显然A 2较小，故中段正应力大。
A 2=(h -h 0)b =(25-10)?20mm 2
=300mm
23）计算最大正应力
σ
112
2A 1
b
h
1—1h 0
b h A 22—2
F F N
MPa 7.66N/mm 300
102023
2N m ax
-=?-==A F σ
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
三、斜截面上的应力
轴向拉（压）杆的破坏有
时不沿着横截面，例如铸铁压缩时沿着大约与轴线成45?的斜截面发生破坏，因此有必要研究轴向拉（压）杆斜截面上的
应力。设图示拉杆的横截面面F
F
α
α
n
k
k'A
F α
k
F α
k'
斜截面上的应力显然也是均布的，故斜截面上任一点的
全应力为
α
αααA F A F p =
=积为A ，任意斜截面k -k'的方位角
为α。用截面法可求得斜截面上的内力为
F α=F
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
α
τα
F
F
α
α
n
k
k'A
F α
k
F α
k'
F
k'k
p α
σα式中，A α为斜截面的面积，
，代入上式后有α
αααA F A F p =
=ααcos A A =
α
ααcos cos A
F
A F p ==ασcos =（6-2）式中，是横截面上的正应力。
A
F
=σ将斜截面上的全应力p α分解为垂直于斜截面的正应力σα和位于斜截面内的切应力τα，由几何关系得到
σα＝p αcos α＝σcos2α
τ＝p sin α＝σcos αsin α＝α
σ
2sin （6-3）
τα＝α
σ2sin 2
从式(6-3)可以看出，斜截面上的正应力σα和切应力τα都是
α的函数。这表明，过杆内同一点的不同斜截面上的应力是不同的。当α=0?时，横截面上的正应力达到最大值
σmax = σ
当α=45?时，切应力τα达到最大值
τmax =
当α=90?时，σα和τα均为零，表明轴向拉（压）杆在平行于杆轴的纵向截面上无任何应力。
2
σ
τα＝α
σ2sin 2
在应用式(6-3)时，须注意角度α和σα、τα的正负号。现规定如下：σα仍以拉应力为正，压应力为负；τα的方向与截面外法线按顺时针方向转90?所示方向一致时为正，反之为负。由式(6-3)中的切应力计算公式
可以看到，必有τα＝-τα+90?。，说明杆件内部相互垂直的
截面上，切应力必然成对出现，两者等值且都垂直于两平面的交线，其方向则同时指向或背离交线，此即切应力互等定理。
α
σ
τα2sin 2
=
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
四、拉、压杆的变形及胡克定理
F
F
l
l 1a
a 1
F
F
l a 1．纵向线应变和横向线应变
设方形截面拉杆原长为l ，边长为a ，受轴向拉力F 后，纵向长度由l 变为l l ，横向尺寸由a 变为a 1，则
横向变形为?a=a 1-a 纵向变形为?l=l 1-l 返回首页
下一页
上一页
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html, 为了度量杆的变形程度，用单位长度内杆的变形即线应
变来衡量。与上述两种绝对变形相对应的线变形为
横向线应变纵向线应变
l
l
l
l
l-
=
?
=1
ε
a
a
a
a
a-
=
?
='1
ε
线应变所表示的是杆件的相对变形。它是一个量纲为1的量。
实验表明，当应力不超过某一限度时，横向线应变ε'和纵向线应变ε之间存在比例关系且符号相反，即
ε' =-με
式中，比例常数μ称为材料的横向变形系数，或称泊松比。
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
2．胡克定律
实验表明，当拉、压杆的正应力σ不超过某一限度时，其
应力与应变ε成正比。即
σ＝E ε
（6-4）
式（6-4）称胡克定律。其中，比例常数E 称为材料的弹性模量。对同一种材料，E 为常数。弹性模量具有应力的单位，常用GPa 表示。
EA
l
F l N =?若将式和代入式（6-4），则得胡克定律的l
l ?=εA F N =σ另一表达式（6-5）
式（6-5）表明：若杆的应力未超过某一极限值，则其绝对变形?l 与力F N 成正比，而与横截面积A 成反比。其中分母EA 称为杆的抗拉（压）刚度。
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html, 材料名称E/GPa
碳钢
合金钢合金钢灰铸钢铜及铜合金铝合金196~216
186~206
220
78.5~162
72.6~128
70
0.24~0.28
0.25~0.30
0.22~0.25
0.23~0.27
0.31~0.42
0.33
表6-1 几种材料的E、μ值下一页
上一页返回
弹性模量E和泊松比都是表征材料的弹性常数，可由实验测定。几种常用材料的E和值见表6-1
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
图示阶梯杆，已知横截面面积A AB =A BC
=500mm 2，
A CD =300mm 2，弹性模量E =200GPa 。试求杆的总伸长。
解1）作轴力图。用截面法求得CD 段和BC 段的轴力F N CD =F N BC =-10kN ，AB 段的轴力为F N AB =20kN ，画出杆的轴力图。
例6-3
2）计算各段杆的变形量
O
10kN
A
B D
C 10030kN
100100
F N 10kN
20kN
x
－
+AB
AB AB AB
EA l F l N =
?0.02mm mm 500
1020010010203
3
=????=
机械工业出版社
https://www.360docs.net/doc/be3628979.html,
=-0.01mm
2）计算各段杆的变形量O
10kN
A
B D
C 100
30kN 100
100
F N 10kN
20kN
x
－
+m m
02.0=?AB l mm 500
1020010010103
3
????-=mm 0167.0mm 300
1020010010103
3
N -=????-==
?CD
BC CD EA l F l CD BC
BC B BC
EA l F l C N =
?3）计算杆的总伸长
?l = ?l AB + ?l BC + ?l CD =(0.02-0.01-0.0167) mm ＝-0.0067mm 计算结果为负，说明杆的总变形为缩短。
我所认识的应力应变关系
我所认识的应力应变关系 应力应变都是物体受到外界载荷产生的响应。物体由于受到外界载荷后，在物体内部各部分之间要产生互相之间的力的作用，由于受到力的作用就会产生相应的变形；或者由于变形引起相应的力的作用。则一定材料的物体其产生的应力和应变也必然存在一定的关系。 一 应力-应变关系 影响本构关系的因素有很多，例如材料、环境、加载类型（载荷、温度）、加载速度（动载荷、静载荷）等，当然，本构关系有很多类型，包括弹性、塑性、粘弹性、粘塑性、各向同性、各向异性本构关系，那么首先来叙述一下简单情况本构关系，所谓简单情况就是六个应力分量x y xy yz zx σσστττ、、z 、、、只有一个不为零， 六个应变分量x y xy yz zx εεεγγγ、、z 、、、只有一个自由变化，应力应变关系图1-1。 图1-1 应力应变关系图 图中OA 为线弹性阶段，AB 为非线弹性阶段，故OB 为初始弹性阶段，C 点位初始屈服点，()s σ+为初始屈服应力，CBA 为弹性阶段卸载，这一阶段中E σε=， 初始弹性阶段结束之后，应力继续增大，进入塑性阶段，CDE 为强化阶段，应变强化硬化，EF 为颈缩阶段，应变弱化软化。如果在进入塑性阶段卸载后再加载，
例如在D 点卸载至零，应力应变关系自D 点沿'DO 到达'O 点，且'DO ∥OA ，其中'O O 为塑性应变p ε，DG 为弹性应变e ε，总应变为它们之和。此后再继续加载，应力应变关系沿ODEF 变化，D 点为后继屈服点，OD 为后继弹性阶段，()'s σ+为后继屈服应力，值得一提的是初始屈服点只有一个，而后继屈服点有无数个（由加载历史决定）。若在卸除全部载荷后反向加载，弹性阶段'COC ，()()s s σσ+-=，而在强化阶段'DOD ，()()s s σσ+->，称为Bauschinger 效应。 从上述分析得出材料弹塑性行为有一定的特殊性，主要表现在：弹性应力应变关系是线性，且是单值对应关系，而塑性应力应变关系是非线性的非单值对应。 因为通常情况下物体不仅仅处于简单应力状态，那么复杂应力状态下应力应变关系又如何呢？如果我们将材料性质理想化即假设材料是连续的、均匀的、各向同性的，忽略T 、t 的影响，忽略净水压力对塑性变形的影响，可以将应力应变关系归结为不同的类型，包括理想线弹性模型、理想刚塑性模型、线性强化刚塑性模型、理想弹塑性模型、线性强化弹塑性模型、幂强化模型、等向强化模型、随动强化模型。各种材料的应力应变关系图如下图所示： 理想线弹性模型 理想刚塑性模型
混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)
混凝土受压应力－应变 全曲线方程
混凝土受压应力－应变全曲线方程 混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney 通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley 和Mchenry 的试验研究再次证实，1962年，Barnard 在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin ，P.T.Wang ，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。 1、混凝土单轴受压全曲线的几何特点 经过对混凝土单轴受压变形的大量试验大家一致公认混凝土单轴受压变过程的应力应变全曲线的形状有一定的特征。典型的曲线如图1所示，图中采用无量纲坐标。 s c c E E N f y x 0,,=== σ εε 式中， c f 为混凝土抗压强度；c ε为与c f 对应的峰值应变；0E 为混凝土的初始弹性模量；s E 为峰值应力处的割线模量。
应力-应变曲线
应力-应变曲线 MA 02139，剑桥 麻省理工学院 材料科学与工程系 David Roylance 2001年8月23日 引言 应力-应变曲线是描述材料力学性能的极其重要的图形。所有学习材料力学的学生将经 常接触这些曲线。这些曲线也有某些细微的差别，特别对试验时会产生显著的几何变形的塑 性材料。在本模块中，将对表明应力-应变曲线特征的几个点作简略讨论，使读者对材料力 学性能的某些方面有初步的总体了解。本模块中不准备纵述“现代工程材料的应力-应变曲 线”这一广阔的领域，相关内容可参阅参考文献中列出的博依（Boyer ）编的图集。这里提 到的几个专题——特别是屈服和断裂——将在随后的模块中更详尽地叙述。 “工程”应力-应变曲线 在确定材料力学响应的各种试验中，最重要的恐怕就是拉伸试验1 了。进行拉伸试验时， 杆状或线状试样的一端被加载装置夹紧，另一端的位移δ是可以控制的，参见图1。传感器 与试样相串联，能显示与位移对应的载荷)(δP 的电子读数。若采用现代的伺服控制试验机， 则允许选择载荷而不是位移为控制变量，此时位移)(P δ是作为载荷的函数而被监控的。 图1 拉伸试验 在本模块中，应力和应变的工程测量值分别记作e σ和e ε， 它们由测得的载荷和位移值，及试样的原始横截面面积和原始长度按下式确定 0A 0L 1 应力-应变试验及材料力学中几乎所有的试验方法都由制定标准的组织，特别是美国试验和材料学会 (ASTM)作详尽的规定。金属材料的拉伸试验由ASTM 试验E8规定；塑料的拉伸试验由ASTM D638规定； 复合材料的拉伸试验由ASTM D3039规定。
广义胡克定律
§10.4 空间应力状态及广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D 点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。 图10-16 空间应力状态及其应力圆 二、最大、最小正应力和最大剪应力 从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为： σmax=σ1，σmin=σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径： 13 max 2σστ-= Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450 。 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε= （a ） 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出： 'E σ εμεμ=-=- （b ） 在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即 G τγ= 或 G τγ= （c ） 对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所示。根据剪应力互等定律，τxy =－τyx ，τxz =－τzx ，τyz =－τzy ，因而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a ）、（b ）、（c ）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。
混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)备课讲稿
混凝土受压应力-应变全曲线方程(描述)
混凝土受压应力－应变 全曲线方程
混凝土受压应力－应变全曲线方程 混凝土的应力－应变关系是钢筋混凝土构件强度计算、超静定结构内力分析、结构延性计算和钢筋混凝土有限元分析的基础，几十年来，人们作了广泛的努力，研究混凝土受压应力－应变关系的非线性性质，探讨应力与应变之间合理的数学表达式，1942年，Whitney通过混凝土圆柱体轴压试验，提出了混凝土受压完整的应力应变全曲线数学表达式，得出了混凝土脆性破坏主要是由于试验机刚度不足造成的重要结论，这一结论于1948年由Ramaley和Mchenry的试验研究再次证实，1962年，Barnard在专门设计的具有较好刚性且能控制应变速度的试验机上，试验了一批棱柱体试件以及试件两靖被放大的圆柱体试件，试验再次证明，混凝土的突然破坏并非混凝土固有特性，而是试验条件的结果，即混凝土的脆性破坏可用刚性试验机予以防止，后来由很多学者（如M.Sagin，P.T.Wang，过镇海等）所进行的试验，都证明混凝土受压应力－应变曲线确实有下降段存在，那么混凝土受压应力与应变间的数学关系在下降段也必然存在，研究这一数学关系的工作一刻也没有停止。 钢筋混凝土结构是目前使用最为广泛的一种结构形式。但是，对钢筋混凝土的力学性能还不能说已经有了全面的掌握。近年来，随着有限元数值方法的发展和计算机技术的进步，人们已经可以利用钢筋混凝土有限元分析方法对混凝土结构作比较精确的分析了。由于混凝土材料性质的复杂性，对混凝土结构进行有限元分析还存在不少困难，其中符合实际的混凝土应力应变全曲线的确定就是一个重要的方面。
真实应力应变
真实应力=工程应力*（1+工程应变） 真实应变=Ln（1+工程应变） 这是现行的通用做法，应该是不会出问题的。 不过用此法时推导真实应力的过程中假设结构体积不变，俺觉得是有问题的，如果考虑体积变化，则真实应力为：真实应力/工程应力=(1 + 工程应变)/(1 +工程应变- 2 工程应变* 泊松比) 或者：真实应力/工程应力=1/(1 - 工程应变* 泊松比)^2 后两者很相近，且比上述做法要低不少。 请您仔细读以下说明： Run ROR's Keygen, Use the serial number for installation, Write down the Registration ID, After installation, Copy the "orglab.lic" file to "C:\Program Files\OriginLab\OriginPro75\FLEXlm". Start OriginPro, When ask for registration, Select I'm already registered. Enter the Registration ID. OK! 解压程序包后，注意crack 这个东东～～备用。 1. 运行注册机，用生成的sn 安装软件，next 2. 记下您相应sn 的ID 以备后用(sn 和id 应该是相互对应滴一组～～) 3. 安装完成后先不运行程序，把orglab.lic 这个文件复制到您的程序安装目录下(不一定是c 盘) X:\program files \ originlab \ originpro75 \ FLEXLM 文件夹下 4. 然后起动程序，按照要求输入刚记下的ID →就应该ok 了吧～～ 如果不行可能是其他原因，您要是能抓一些问题出现时的图片更有助于问题的解决！ 当然，仍安装不上也可能是您的程序或系统或其他问题。 Luck！ 安装搜狗输入法，在哪个键盘符号上点右键，点第二项，希腊字母里面去选就是了 αβγδεδεζηθικλμνπξζηυθχψω ΑΒΓΓΔΕΖΘΗΚ∧ΜΝΞΟ∏Ρ∑ΤΥΦΦΧΨ абвгде?жзийклмнопрстуфхцчшщъыьэюя
广义胡克定律
广义胡克定律 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
§空间应力状态及广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。 图10-16 空间应力状态及其应力圆 二、最大、最小正应力和最大剪应力
从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al 点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为： σmax =σ1，σmin =σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。 而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径： 13 max 2σστ-= Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450。 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε= （a ） 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出： 'E σ εμεμ=-=- （b ） 在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即 G τγ= 或 G τγ= （c ）
(完整版)广义胡克定律
广义胡克定律 强度理论 [知识回顾] 1、 轴向拉（压）变形 在轴向拉（压）杆件内围绕某点截取单元体，单向应力状态（我们分析过） 横向变形 2）纯剪切 [导入新课] 胡克定律反映的是应力与应变间的关系，对复杂应力状态，其应力与应变间的关系由广义胡克定律确定。 [新课教学] x x E εσ=E x x y σ μμεε-=-=γ τG =
广义胡克定律 强度理论 一、广义胡克定律（Generalized Hooke Law ） 1、主应力单元体－叠加法 只在1σ作用下：1方向 只在2σ作用下：1方向 1方向由1σ、2σ、3σ共同作用引起的应变 只在3σ作用下：1方向 即 同理： 2、非主应力单元体 可以证明：对于各向同性材料，在小变形及线弹性范围内， 线应变只与正应力有关，而与剪应力无关； 剪应变只与剪应力有关，而与正应力无关， 满足应用叠加原理的条件。 E 1 1σε= 'E 21σ με-=''E 31 σ με-='''111εεεε'''+''+'=()[] 32111 σσμσε+-=E ()[]1322 1 σσμσε+-=E ()[]21331σσμσε+-=E [] [] [] ??? ? ?????+-=+-=+-=)(1)(1)(1y x z z x z y y z y x x E E E σσμσεσσμσεσσμσε??????? ??===zx zx yz yz xy xy G G G τγτγτγ111小变形，线弹性范围内，符合叠加原理
3、体积应变 单元体，边长分别为dx 、dy 和dz 。在三个互相垂直的面上有主应力1σ、2σ和3σ。 变形前单元体的体积为 变形后，三个棱边的长度变为 由于是单元体，变形后三个棱边仍互相垂直，所以，变形后的体积为 dxdydz V )1)(1)(1(3211εεε+++= 将上式展开，略去含二阶以上微量的各项，得 dxdydz V )1(3211εεε+++= 于是，单元体单位体积的改变为 3211εεεθ++=-= V V V θ称为体积应变（或体应变） 。它描述了构件内一点的体积变化程度。 5、体积应变与应力的关系 将广义虎克定律（8-22）代入上式，得到以应力表示的体积应变 式中 K 称为体积弹性模量，m σ是三个主应力的平均值。体积应变θ只与平均应力m σ有 关，或者说只与三个主应力之和有关，而与三个主应力之间的比值无关。 体积应变θ与平均应力m σ成正比，称为体积虎克定律。 dxdydz V =dz dz dz dy dy dy dx dx dx )1()1()1(332211εεεεεε+=++=++=+)21(3μ-= E K )(31321σσσσ++=m K E m σσσσμθ= ++?-==3)21(3321)(21321321σσσμ εεεθ++-=++=E
应力应变关系
应力应变关系 我所认识的应力应变关系 一在前面两章的分别学习了关于应力与应变的学习，第三章的本构关系讲述了应力与应变的关系从而构成了弹塑性力学的本构关系。 在单向应力状态下，理想的弹塑性材料的应力应变关系及其简单满足胡克定律即 ,E ,,XX 在三维应力状态下需要9个分量，即应力应变需要9个分量，于是可以把单向应力应变关系推广到三维应力状态，及推广到广义的胡克定律 本式应该是91个应变分量单由于切应力互等定理，此时后面的三个应力与式中的切应力想等即现在剩余36个应变分量。 (1)具有一个弹性对称面的线弹性体的应力应变公式如下
(2)正交各向异性弹性体的弹塑性体公式如下 (3)各向同性弹性体的本构方程 各向同性弹性体在弹性状态下，主应力方向与主应变方向重合容易证明。在主应变空间里，由于应变主轴与应力主轴重合，各向同性弹性体体内任意一点的应力和应变之间满足: ,,,,,，，CCCxxyz111213 ,,,,,，，CCCyxyz212223 ,,,,,，，CCCzxyz313233 (2-3) ,,,,,,yyxzxz对的影响与对以及对的影响是相同的，即有 ,CCC==,CC=CC=,y112233x12132123z;和对的影响相同，即，同理有和CC=3132等，则可统一写为: CCCa==,112233 CCCCCCb=====,122113312332 (2-4) 所以在主应变空间里，各向同性弹性体独立的弹性常数只有2个。在任意的坐标系中，同样可以证明弹性体独立的弹性参数只有2个。 广义胡可定律如下式 ,,xy1,,,,,,,,,,，[()]xy,xxyz,2GE,,,,1,yz, ,,，[()],,,,,,,,yzyyxz 2GE,,
第四章应力应变关系
4 应力应变关系 4.1弹性变形时应力和应变的关系 当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke 定律，即 1()1() 1() 111222x x y z y y x z z z x y xy xy yz yz zx zx E E E G G G εσνσνσεσνσνσεσνσνσετετετ?=--?? ?=--???=--???===? ，， （4.1） 式中，E 为拉压弹性模量，G 为剪切模量，ν为泊松比，对于各向同性材料，三个常数之间满足() 21E G ν=+关系。 由上式可得 11212()()33m x y z x y z m E E νν εεεεσσσσ--=++= ++= （4.2） 于是 11 ()'2x m x m x E G νεεσσσ+-= -= 或 1112''22x m x x m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 类似地可以得到 1112''22y m y y m G G E ν εεσσσ-=+ =+ 1112''22z m z z m G G E ν εεσσσ-=+=+ 于是，方程（4.1）可写成如下形式 121 2'00'0000'x xy xz x xy xz m v yx y yz yx y yz m G E m zx zy z zx zy z εγγσττσγεγτστσσγγεττσ-?????? ? ? ?=+ ? ? ? ? ? ????? ?? 即 '1122ij ij m ij ij m G E ν εεεσδσ-'=+= + （4.3）
显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正比，即 12m m E νεσ-= （4.4） 后者与偏差应力分量成正比，即 ''12''12''1211 1222x x m x G y y m y G z z m z G xy xy yz yz zx zx G G G εεεσεεεσεεεσετετετ? =-=?=-=??=-=??=== ? ，， 或简写为 2ij ij G σε''= （4.5） 此即为广义Hooke 定律。 4.2塑性变形时应力和应变的关系 弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke 定律为其基础的；而在塑性力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，又与所研究的具体材料和塑性应变有关。 塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两大类，即增量理论和全量理论。 4.2.1增量理论 在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材料反向时的屈服极限's σ，这就是材料的卸载规律（图4.1a ）。因此，当材料发生塑性 图4.1 单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系
拉压杆横截面上的应力应变及胡克定律
机械工业出版社 https://www.360docs.net/doc/be3628979.html, 用同一材料制成而横截面积不同的两杆，在相同拉力的作用下，随着拉力的增大，横截面小的杆件必然先被拉断。这说明，杆的强度不仅与轴力的大小有关，而且还与横截面的大小有关，即杆的强度取决于 内力在横截面上分布的密集程度。分布内力在某点处的集度，即为该点处的应力。 第二节 拉、压杆横截面上的应力、应变及胡克定理 一、杆件在一般情况下应力的概念
m F 2 F 1 O 点 ?F 微内力 ?A 微面积 A F p ??= m 研究图示杆件。在截面m-m 上任一点O 的周围取一微小面积?A ，设在?A 上分布内力的合力为?F ，?F 与?A 的比值称为?A 上的平均应力，用p m 表示，即
m F 2 F 1 m F 2 F 1 O 点?F 微内力 ?A 微面积 p m A F p ??= m 全应力 一般情况下，内力在截面上的分布并非均匀，为了更真实的描述内力的实际分布情况，应使?A 面积缩小并趋近于零，则平均应力p m 的极限值称为m-m 截面上O 点处的全应力，并用p 表示，即 O A F A F p A d d lim 0= ??=→?
m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力K 全应力p m 的方向即?F 的方向。通常将应力分解成 垂直于截面的法向分量σ和相切于截面的切向分量τ。 σ称正应力，τ称为切应力。 σ τ 正应力 切应力
m F P2 F P1 m F P2 F P1 K 点 ?F 微内力 ?A 微面积 p 全应力 K 在我国的法定计量单位中，应力的单位为Pa （帕），1Pa=1N/m 2。在工程实际中，这一单位太小， 常用兆帕（MPa ）和吉帕（GPa ），其关系为1MPa=106Pa ，1GPa=109Pa 。 σ τ 正应力 切应力
第3章轴向拉压变形
第三章轴向拉压变形 研究目的：1、分析拉压杆的拉压刚度； 2、求解简单静不定问题。
§3-1 拉（压）杆的变形·胡克定律 一、拉(压)杆的纵向变形、胡克定律 绝对变形l l l -1=?l l ?= ε相对变形 F F d l l 1d 1 正应变以伸长时为正，缩短时为负。 EA Fl l = ?EA l F N =EA l F l N =?拉（压）杆的胡克定律 EA —杆的拉伸（压缩）刚度。 E σ =
杆纵向的总伸长量 ??==?l x l x x l 0 d d εδF N (x ) F N (x )+d F N (x ) l B A q x B q ql d x F N (x ) d δx
二、横向变形与泊松比 d d ?= 'ε绝对值d d d -1=?横向线应变 F F d l l 1 d 1 试验表明：单轴应力状态下，当应力不超过材料ε εν-='n -----泊松比，是一常数，由试验确定。 的比例极限时，一点处的纵向线应变ε与横向线应变ε'的绝对值之比为一常数：
三、多力杆的变形与叠加原理 BC AB l l l ?+?=?F 1 C B A F 2 l 1 l 22 221121)(EA l F EA l F F + +=
2 2 11111)(EA l F EA l F F l +=?F 1 C B A F 2l 1 l 2F 1 C B A l 1 l 2 C B A F 2 l 1 l 21 1 22)(EA l F F l = ?) ()(11F l F l l ?+?=?2 221121)(EA l F EA l F F + +=
广义胡克定律
广义胡克定律
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
§10.4 空间应力状态及广义胡克定律 一、空间应力状态简介 当单元体上三个主应力均不为零时的应力状态称为空间应力状态，也称为三向应力状态。本节只讨论在已知主应力σ1、σ2、σ3的条件下，单元体的最大正应力和最大剪应力。先研究一个与σ1平行的斜截面上的应力情况，如图10-16(a)所示。该斜面上的应力σ、τ与σ1无关，只由主应力σ2、σ3决定。于是，可由σ2、σ3确定的应力圆周上的点来表示平行于σ1某个斜面上的正应力和剪应力。同理，在平行于σ2或σ3的斜面上的应力σ、τ，也可分别由（σ1、σ3）或（σ1、σ2）确定的应力圆来表示。这样作出的3个应力圆称作三向应力圆，如图10-16（d）所示。当与三个主应力均不平行的任意斜面上的正应力和剪应力必然处在三个应力圆所围成的阴影范围之内的某一点D。D点的纵横坐标值即为该斜面上的正应力和剪应力。由于D 点的确定比较复杂且不常用，在此不作进一步介绍。 图10-16 空间应力 二、最大、最小正应力和最大剪应力 从图10-16(d)看出，在三个应力圆中，由σ1、σ3所确定的应力圆是三个应力圆中最大的应力圆，又称极限应力圆。画阴影线的部分内，横坐标的极大值为Al点，而极小值为B1点，因此，单元体正应力的极值为： σmax=σ1，σmin=σ3 单元体中任意斜面上的应力一定在σ1和σ3之间。
而最大剪应力则等于最大应力圆上Gl 点的纵坐标，即等于该应力圆半径： 13 max 2 σστ-= Gl 点在由σ1和σ3所确定的圆周上，此圆周上各点的纵横坐标就是与σ2轴平行的一组斜截面上的应力，所以单元体的最大剪应力所在的平面与σ2轴平行，且与σ1和σ3主平面交450 。 三、广义胡克定律 在研究单向拉伸与压缩时，已经知道了在线弹性范围内，应力与应变成线性关系，满足胡克定律 E σε = （a ） 此外，轴向变形还将引起横向尺寸的变化，横向线应变根据材料的泊松比可得出： 'E σ εμεμ =-=- （b ） 在纯剪切的情况下，根据实验结果，在剪应力不超过剪切比例极限时，剪应力和剪应变之间的关系服从剪切胡克定律，即 G τγ = 或 G τ γ= （c ） 对于复杂受力情况，描述物体一点的应力状态，通常需要9个应力分量，如图10.1所示。根据剪应力互等定律，τxy =－τyx ，τxz =－τzx ，τyz =－τzy ，因而，在这9个应力分量中只有6个是独立的。这种情况可以看成是三组单向应力（图10-17）和三组纯剪切的组合。对于各向同性材料，在线弹性范围内，处于小变形时，线应变只与正应力有关，与剪应力无关；而剪应变只与剪应力有关，与正应力无关，并且剪应力只能引起与其相对应的剪应变分量的改变，而不会影响其它方向上的剪应变。因此，求线应变时，可不考虑剪应力的影响，求剪应变时不考虑正应力的影响。于是只要利用（a ）、（b ）、（c ）三式求出与各个应力分量对应的应变分量，然后进行叠加即可。