泰勒公式和运用

泰勒公式及其应用

数学与计算机科学学院数学与应用数学数学091班赵菲

【摘要】泰勒公式集中体现了微积分“逼近法”的精髓,在微积分学及相关领域的各个方面都有重要的应用。在现行教材对泰勒公式证明基础上,介绍泰勒公式的一种新的更为简单的证明方法,并归纳了其在求极限与导数、判定级数与广义积分敛散性、不等式证明、定积分证明,行列式计算与中值公式、导数的中值估计、界的估计等方面的应用。

1 预备知识

1. 1 带有Peano 型余项的泰勒公式

函数在[ a , b ] 上具有n 阶导数, 则

x

∈[ a , b ] 有 +

其中

即

1. 2 带有Lagrange 型余项的泰勒公式

若函数在上连续，在开区间( a , b) 内存在，则

在与之间，使得下式成立

其中

为Lagrange 型余项。

注：若中取

这里

（介于与0之间）称之为Maclaurin 型余项

1. 3 常见的Maclaurin 公式

（这里为任意实数）；

2 泰勒公式的证明

两种余项的泰勒公式所表达的根本思想就是怎样用多项式来逼近函数。公式(1) 非普通的等式,而是反映了极限性质的渐进等式,因此公式(1) 在求极限时很有用处,对余项可以提供充分小量的估计。公式(2) 的余项有确定表达式,当然也有不确定因素,即有中值,但不妨碍定理

的使用,为近似计算的误差估计提供了理论依据。

证明：设现在只需要证

有关系式（3）可知，并易知因为存在，所以在点的某个领域内f存在介导函数，于是且

时，允许接连使用洛必达法则次，得到

注：满足的条件是唯一的。

4.泰勒公式的应用

4.1在求极限的问题中，可以利用泰勒公式及皮亚诺余项计算。

例4.1 求

解由于等价无穷小可以知道，分母为

只要把，展开到即可。

故

注:因为对于函数多项式或有理分式的极限问题的计算是十分简单的,因此,对一些较复杂的函数可以根据泰勒公式将原来较复杂的函数极限问题转化为类似多项式或有理分式的极限问题,因此满足下列情况时可考虑用泰勒公式来求极限:

( ⅰ) 用洛比达法则时,次数较多,且求导及化简过程较繁。( ⅱ) 分子或分母中有无穷小的差,且此差不容易转化为等价无穷小替代形式。

( ⅲ) 所遇到的函数展开为泰勒公式不难。当确定了要用泰勒公式求极限时,关键是确定展开的阶数。如果分母(或分子) 是n 阶,就将分子(或分母) 展开为n 阶麦克劳林公式。如果分子,分母都需要展开,可分别展开到其同阶无穷小的阶数,即合并后的首个非零项的幂次的次数

4.2 泰勒公式在微分方程方面的应用。

例4.2 解微分方程。

解显然在的领域内可展开成幂数，

故方程的解为，带入原方程并整理得

因为各次幂系数都等于零，所以

带入所设方程解中的原方程的通解为

这里为任意常数。

注当微分方程的解不用初等函数或其积分表达时，常常采用泰勒级数解决，如微分方程，当在领域内可以展开成的泰勒级数（或幂级数）时，方程在内必有形如的解。

4.3 泰勒公式在近似值计算上的应用

例 4.3 计算的值使得误差不超过；

解由上面公式（1），当x=1时有

故当n=9时便

有

从而略去而得e的近似值

为

4.4 泰勒公式在判定级数敛散性方面的应用。

例 4.4 在级数敛散性理论中，要判断一个正级数

∑∑

= =>

=

n

n p

n

n

n

p

n

p

1

1

),0

(

1可有比较判别法来判定，那么在实际应用中较困

难的问题是如何选取恰当的∑∞

=>

1

)0 (

1

n

p

p

n

中p的值？

考虑以下情况

（i）若p=2,此时∑+∞

=1

2 1

n n

收敛，但是,

1

lim

2

+∞

=

+∞

→

n

a

n

n

（ii ） 若p=1,此时∑+∞

=11n n

收敛，但是01lim

=+∞

→n

a n

n ，这里我们无法判定∑+∞

=1

n n a 的敛散性，为了有效的选取∑

∞

=>1

)0(1

n p p n 中p 的值，可以用泰勒公式研究0→n a 的阶，据此选取恰当的p 的值，使得

l n a p

n

n =+∞

→1lim

，并且保证+∞<

=1

n n

a

的敛散性。

例 4.4 判定级数

∑∑+∞

=+∞=+-=1

1

))`

11ln(1

(

n n n n n

a 的敛散性。

解 利用泰勒公式展开有

)(4

1))

21(0411(11))

1(211(11))1

(211(1

23

2

3

212

122--+=+--=+--=+?-=

n o n n n n

n n o n n n

n o n n n

a n

故有411lim

2

3=-+∞

→n

n 即)(0+∞→→n a n 时是2

3阶的，与4

1

12

3

1

=

-+∞

=∑

n

n 同敛散性，所以∑+∞

=1

n n a 收敛

注：泰勒公式研究序列无穷小量n a 的阶，然后与恰当的

)0,1

(>p n b p

n 如

去比较，有的放矢的求出P 的值再求出极限值，则

可顺利解决问题。

4.5 泰勒公式在导数方面的应用。

例 4.5 设

)

(x f 在

x 处

n 次可导，且

∑∑=-=-+-+-+=-+-=n

k n k n k k n

k

k x x o x x k a x f x x x x a x f 0

1

1001'

00)

)(())(1()())((0)()(证明证 因为)(x f 在0x 处n 次可导，且∑=-+-=n

k n k

k x x o x x a x f 0

00))(()()(故

由泰勒局部公式的唯一性可知，)......,2,1,0(,!)

(0n k k x f a k k ==

即且知)('x f 在0x 点

n-1次可导。在0x 的某领域内具有n-2阶导数，故有

泰勒局部公式，

∑-=--+-==1

0100'

)

)(()()()(n k n k k x x o x x b x g x f 且

1...........2,1,0,!

)(!)(0)1(0)(-===+n k k x f k x g b k k k 将)!1()(10)

1(+=++k a x f

k k 代入上

式即得)1(1+=+k a b k k

所以))(()()1()(1001

1'

--=+-+-+=∑n k n k k x x o x x k a x f

注 1.本题用到泰勒局部公式的条件与唯一性等知识。 2.由本题证明可见，虽然证明是由对)('x f 直接应用，泰勒局部公式并利用)(x f 在0x 点泰勒局部公式唯一性得到的结论，但效果上看，掐相当于在)(x f 的泰勒公式两端关于x 求导所得结果。 4.6 泰勒公式在无穷小中的应用

例 4.6 确定常数a,b ，使得当x=0时bx

ax

e x

f x +--

=11)( 为x 的3阶无穷小。 解

因为

[])

()()()(1)(1)1()1)(1(11)

(!

3!2133322233322133

2x o x b ab x ab b x b a x o x b x b bx ax bx ax bx

ax

x o x x x e x

+-+-+-+=+-+-+=++=++++++=-

所以 )()!

31()!21()1()(333222'x o x b ab x ab b x b a x f ++-++-++-=为了在

0→x 时使)(x f 为

x 的3阶无穷小，应选则常数，a,b.使得{0

10

2

12=+-=+-b a ab b 即{1

)(2

1

=-=-+b a b a b 解得{

2

12

1=

-

=a b 既有)(12

1

2233x o x x x e x

+-=-+-

注 按照无穷小界的概念，这里应在极限式0)

(lim

≠=→αk

x x x f 的条件下确定a,b （k 是指定阶数），本题的解法虽没有出现此极限式，但实际上正是从这一极限式中0≠α的要求下进行的，及当且仅当

)(x f 的泰勒局部展式中低于

k 阶的系数等于0，k 阶系数≠0时，

有0≠α，为此，)(x f 的佩亚诺余项应为)(k x o ，这也是解决问题的一般方法1。 4.6 关于界的估计

例 4.6 设)(x f 在[]1,0上有二阶导数，10≤≤x 时2)(,1)(''<≤x f x f 试

证：当10≤≤x 时，3)('≤x f 。

证

2'

''2'

''))((2

1))(()()0(,)1)((2

1)1)(()()1(x f x x f x f f x f x x f x f f -+

-+=-+-==ηξ

所以

321)1(2)(2

1

)1()(21)0()1()(222''2'''=+≤+-+≤+-+

+≤x x x f x f f f x f ηξ4.8 泰勒公式证明不等式

例

4.8 证明：x x x x x <+<->?)1ln(2

,02

证明 ,0>?x 而x x x x x <<<+-=+112

0,)1(21)1ln(ξξ

又 x x x x x x x <<->++-=+22

2

2220,2

)1(312)1ln(ξξ

故,0>?x 有x x x x <+<-)1ln(2

2

证毕

可见，用泰勒公式证明不等式是一种很好的方法。

4.9 泰勒公式证明中值公式

例4.9 设)(x f 在[]b a ,上三次可导，试证：),(b a c ∈?使得 3'

'''))((24

1)2(

)()(a b c f b a f a f b f -+++=）

（1） 证 （待定系数法）设k 为使下式成立的实数； 0)(24

1

))(2(

)()(3'=---+--a b k a b b a f a f b f （2） 这时，我们的问题归为证明：),(b a c ∈?，使得 )('''c f k =

。（3）

令 3')(24

))(2(

)()()(a x k

a x x a f a f x f x g ---+--=（4） 则 0)()(==

b g a g 根据Rolle 定理，),(b a ∈?ε使得0)('=εg

由（4）式，即：0)(8

)2)(2()2(

)(''''=---+-+-a k

a a f a f f εεεεε（5）这是关于k 的方程，注意到)('εf 在点2

ε

+a 处的泰勒

公式；2

''''''')2

)((21)2)(2()2()(a c f a a f a f f -+-+++=εεεεε，

（6）其中),(b a c ∈ 。比较（5），（6）可得式（3）。证毕。

参考文献 高等教育出版社 裴礼文 《数学分析中的典型问题与方法》

华东师范大学数学系 第三版 《数学分析》 廊坊师范学院学报 潘劲松《泰勒公式的证明及应用》

西安交通大学出版社 李惜文 《数学分析例题解析及难点注释》 北京电力高等专科学校学报杜道渊《泰勒公式在高等数学中的若干应用》

(