第十一章 机械波与电磁波练习 答案

第十一章 机械波与电磁波

练习一

一、选择题

1、当一列机械波在弹性介质中由近向远传播的时候，下列描述错误的是( A ) (A)机械波传播的是介质原子

(B)机械波传播的是介质原子的振动状态 (C)机械波传播的是介质原子的振动相位 (D)机械波传播的是介质原子的振动能量

2、已知一平面简谐波的表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则( D ) （A ）波的频率为a ； （B ）波的传播速度为 b/a ； （C ）波长为 π / b ； （D ）波的周期为2π / a 。 解释：由22cos()cos(

)2/2/y A at bx A t x a b ππππ=-=-，可知周期2T a π

=

。波长为b

π2。 3、一平面简谐波的波形曲线如右图所示，则( D )

(A)其周期为8s (B)其波长为10m

(C)x =6m 的质点向右运动

(D)x =6m 的质点向下运动

4、如右图所示，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点的振动方程为cos y A t ω=，则( C )

（A ）O 点的振动方程为 []cos (/)y A t l u ω=-； （B ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=--； （C ）波的表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=+-； （D ）C 点的振动方程为 []cos (3/)y A t l u ω=-。 二、填空题

1、有一平面简谐波沿Ox 轴的正方向传播，已知其周期为s 5.0，振幅为m 1，波长为m 2，且在0=t 时坐标原点处的质点位于负的最大位移处，则该简谐波的波动方程为

()πππ--=x t y 4cos 。

2、已知一简谐波在介质A 中的传播速度为u ，若该简谐波进入介质B 时，波长变为在介质A 中的波长的两倍，

则该简谐波在介质B 中的传播速度为2u 。 (解释：T

u λ

=

2

2

11u u λλ= u u u u 221122===

λ

λλλ) 3、已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos(25.0x t y -= (SI)，则

)

1= 10m x 点处质点的振动方程为0.25cos(125 3.7)y t =- (SI)；

1= 10m x 和2= 25m x 两点间的振动相位差为 5.55 rad ??=-。

4

该时刻质点A 为向x 轴正方向传播，B 、C 、D 运动方向为B 向上 ，C 向下 ，D

三、计算题

1、一横波沿绳子传播时的波动方程式为

0.05cos(104)y t x ππ=- （SI ）

x ，y 的单位为m ，t 的单位为s 。

（l ）求此波的振幅、波速、频率和波长；

（2）求绳子上各质点振动的最大速度和最大加速度；

（3）求x =0.2m 处的质点在t =1s 时的相位，它是原点处质点在哪一时刻的相位？ （4）分别画出t =1s ，1.25s ，1.50s 各时刻的波形。

解：（1）由波动方程式有A =0.05m ，ν=5Hz ，λ=0.5m ，且 2.5/u m s λν==，00?=

（2）0.5 1.57/m v A m s ωπ===，222549.3/m a A m s ωπ===

（3）x =0.2m 处质点在t =1s 时的相位为(0.2,1)(10140.2)9.2?πππ=?-?= 与t 时刻前坐标原点的相位相同，则(0,)(1040)9.2t t ?πππ=?-?= 得t =0.92s

（4）t =1s 时，0.05cos(104)0.05cos 4()y x x m πππ=-=

t =1.25s 时，0.05cos(12.54)0.05sin 4()y x x m πππ=-= t =1.50s 时，0.05cos(154)0.05cos4()y x x m πππ=-=-

分别画出图形如下图所示

)

2、设有一平面简谐波

0.02cos 2(

)0.010.3

t x y π=- (SI) x ，y 以m 计，t 以s 计。

（1）求振幅、波长、频率和波速。 （2）求x =0.1m 处质点振动的初相位。

解：（1）由波动方程有A =0.02m ，λ=0.3m ，ν=100Hz ，00?=，且30/u m s λν== （2）0

0.1

00.122()0.010.33

x π

?π==-=-

3、已知一沿x 轴正向传播的平面余弦波在t =1/3s 时的波形如右图所示，且周期T =2s 。 （1）写出O 点和P 点的振动表达式； （2）写出该波的波动表达式； （3）求P 点离O 点的距离。

解：由波形曲线可得A =0.1m ，λ=0.4m ，且0.2/u m s T

λ

=

=，2/rad s T

π

ωπ=

= （1）设波动表达式为0cos[()]x y A t u

ω?=-+ 由图可知O 点的振动相位为23

π

，即1003

2()3

3

Ot t s t π

π?ω??==+=

+=

得O 点的初相03

π?=

所以O 点的振动表达式为0.1cos()()3

O y t m π

π=+

同样P 点的振动相位为013

[()]

3

0.2

3

2

P

Pt t s x x t u

==-+=

-

+

=-

ππ

π

π

?ω?，得0.1P x m =

所以P 点的振动表达式为0.1cos()()6

P y t m =-π

π

（2）波动表达式为0.1cos[(5)]()3

y t x m π

π=-+

（3）P 点离O 点的距离为0.1P x m =

练习二

一、选择题

1、当一平面简谐机械波在弹性媒质中传播时，下述各结论哪个是正确的？( D ) （A ）媒质质元的振动动能增大时，其弹性势能减小，总机械能守恒； （B ）媒质质元的振动动能和弹性势能都作周期性变化，但二者的相位不相同； （C ）媒质质元的振动动能和弹性势能的相位在任一时刻都相同，但二者的数值不等； （D ）媒质质元在其平衡位置处弹性势能最大。

2、下列关于电磁波说法中错误的是( D ) (A)电磁波是横波 (B)电磁波具有偏振性

(C)电磁波中的电场强度和磁场强度同相位

(D)任一时刻在空间中任一点，电场强度和磁场强度在量值上无关

3、一平面简谐波沿Ox 轴负方向传播，其波长为λ，则位于λ=1x 的质点的振动与位于

2/2λ-=x 的质点的振动方程的相位差为( B )

(A)π3- (B)π3 (C)2/3π- (D)2/π

4、一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，其波速为u ，已知在1x 处的质点的振动方程为

()0cos ?ω+=t A y ，则在2x 处的振动方程为( C )

(A)??????+???

??-+

=012cos ?ωu x x t A y (B)??????+??? ??++=012cos ?ωu x x t A y (C)??????+???

?

?--

=012cos ?ωu x x t A y (D)??

????+??? ??+-=012cos ?ωu x x t A y 二、填空题

1、已知两频率相同的平面简谐波的强度之比为a

2、介质的介电常数为ε，磁导率为μ，则电磁波在该介质中的传播速度为

3、若电磁波的电场强度为E ，磁场强度为H ，则该电磁波的能流密度为 S E H =? 。

4、一平面简谐波，频率为31.010Hz ?，波速为31.010m/s ?，振幅为41.010m ?，在截面面积为424.010m -?的管内介质中传播，若介质的密度为238.010kg m -??，则该波的能量密度___521.5810W m -??；该波在60 s 内垂直通过截面的总能量为_33.7910 J ?____。

三、计算题

1、一平面简谐声波的频率为500Hz ，在空气中以速度u =340m/s 传播。到达人耳时，振幅A =10-4cm ，试求人耳接收到声波的平均能量密度和声强（空气的密度ρ=1.29kg/m 3）。

解：人耳接收到声波的平均能量密度为22631

6.3710/2

w A J m ρω-=

=? 人耳接收到声波的声强为3

2

2.1610/I wu W m -==?

2、一波源以35000W 的功率向空间均匀发射球面电磁波，在某处测得波的平均能量密度为

7.8×10-15J/m 3，求该处离波源的距离。电磁波的传播速度为3.0×108

m/s 。 解：设该处距波源r ，单位时间内通过整个球面的能量为2

4P SA S r π==

则43.4510r m =

==?

3、一列沿x 正向传播的简谐波，已知t 1=0和t 2=0.25s 时的波形如右图所示。试求： （l ）P 的振动表达式； （2）此波的波动表达式； （3）画出O 点的振动曲线。

解：由波形图可知A =0.2m ，1T s =，0.6m =λ，1T s =，1

1Hz T

ν==，

0.6/u m s λν== （1） 由P 点的振动状态知02

P π

?=-，故P 点的振动表达式为0.2cos(2)()2

P y t m π

π=-

（2）由O 点的振动状态知02

O π

?=

，故O 点的振动表达式为0.2cos(2)()2

O y t m π

π=+

所以波动表达式为100.2cos[2()]0.2cos(2)()0.6232

x y t t x m ππ

πππ=-+=-+ （3）O 点的振动曲线如下图所示

练习三

一、选择题

1、两列波要形成干涉，要满足相干条件，下列选项中不属于相干条件的是( D ) (A)频率相同 (B)振动方向相同 (C)相位差恒定 (D)振幅相同

2、在波长为λ 的驻波中，两个相邻波腹之间的距离为( B ) (A) λ /4 (B) λ /2 (C) 3λ /4 (D) λ

3、下列关于驻波的描述中正确的是( C ) (A)波节的能量为零，波腹的能量最大 (B)波节的能量最大，波腹的能量为零 (C)两波节之间各点的相位相同 (D)两波腹之间各点的相位相同

4、设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S ν。若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R v 沿着S 、R 连线向着声源S 运动，则位于S 、R 连线中点的质点P 的振动频率为( A )

（A ）S ν； （B ） R S u v u ν+； （C ）

S R u u v ν+； （D ） S R u

u v ν-。 二、填空题

1、如图所示，有两波长相同相位差为π的相干波源

1S , 2S ,发出的简谐波在距离1S 为a ，距离2S 为b

（b>a ）的P 点相遇，并发生相消干涉，则这两列简 谐波的波长为

2()(0,1,2)21

b a k k -=+。

2、当一列弹性波由波疏介质射向波密介质，在交界面反射时，反射波与入射波间有π的相位突变，这一现象被形象化地称为 半波损失 。

3、如图所示，两列相干波在P 点相遇。一列波在B 点引起的振动是 310310cos2y t -=?π；

另一列波在C 点引起的振动是3201310cos(2)2y t -=?π+π； 令0.45 m BP =，0.30 m CP =，两波的传播速度= 0.20 m/s u 。 若不考虑传播途中振幅的减小，则P 点的合振动的振动方程为

31

610cos(2)2

y t -=?-ππ(SI)。

解释：第一列波在P 点引起的振动的振动方程为

311

310cos(2)2

y t -=?-ππ

第二列波在P 点引起的振动的振动方程为

321

310cos(2)2

y t -=?-ππ

所以，P 点的合振动的振动方程

3121

610cos(2)2

y y y t -=+=?-ππ

4、一列火车以20 m /s 的速度行驶，若机车汽笛的频率为600 Hz ，一静止观测者在火车前和火车后所听到的声音频率分别为637.5 Hz 和_566.7 Hz （设空气中声速为340 m/s ）。 三、计算题

1、同一介质中的两个波源位于A 、B 两点，其振幅相等，频率都是100Hz ，相位差为π，若A 、B 两点相距为30m ，波在介质中的传播速度为400m/s ，试求AB 连线上因干涉而静止的各点的位置。

解：建立如下图所示的坐标轴，根据题意，设

A ?=，

B ?π

=，且

4u

m

λν

=

=，

2200/rad s ==ωπνπ

在A 、B 间任选一点C ，两波在C 点引起的振动分别为

cos[()]cos ()AC A x x

y A t A t u u ω?ω=-+=-

()

cos[()]cos[()]BC B x x L y A t A t u u

ω?ωπ'-=-+=++

两振动使C 点静止的相位差应为(21)C BC AC k ???π?=-=+ 即()2[()]()(2)(21)x L x t t x L k u u πωπωππλ

-+

+--=-+=+ 解得215,0,1,2,

,7x k k =+=±±±

即AB 连线间因干涉而静止的点距A 点为（1,3,5,…,29）m ，共有15个。

在A 、B 两点外侧连线上的其他任意点，比如D 点和E 点，A 、B 两相于波的传播方向相同，并且在这些点处均为同相叠加，是干涉加强区域，所以在A 、B 两点外侧的连线上没有静止点。

2、两个波在一很长的弦线上传播，设其波动表达式为

10.06cos (0.020.8)2

y x t π

=- 20.06cos

(0.020.8)2

y x t π

=+

用SI 单位，求：

（1）合成波的表达式； （2）波节和波腹的位置。 解：（1）ω=0.4πrad/s ，U=40m/s,λ=200m ，将两波改写成如下形式

120.06cos(0.4)200y t x =-

ππ，220.06cos(0.4)200

y t x =+π

π 则合成波为122(2cos )cos 0.12cos0.01cos0.4y y y A x t x t =+==π

ωππλ

这是个驻波。

（2）波节有cos0.010x π=

0.01(21)

2

x k π

π=+

故波节位置为50(21),0,1,2,

x k m k =+=±

±

波腹有cos0.011x π=

0.01x k ππ=

故波腹位置为100,0,1,2,

x k m k ==±

±

3、（1）火车以90km/h 的速度行驶，其汽笛的频率为500Hz 。一个人站在铁轨旁，当火车从他身旁驶过时，他听到的汽笛声的频率变化是多大？设声速为340m/s 。

（2）若此人坐在汽车里，而汽车在铁轨旁的公路上以54km/h 的速率迎着火车行驶。试问此人听到汽笛声的频率为多大？

解：设声波在空气中传播的速率为u ，波源（汽笛）的频率为S ν，波源（火车）运动的速

率为39010/25/3600S m s m s υ?=

=，观察者的运动速率为3

5410/15/3600

R m s m s υ?==。 当波源和观察者沿两者的连线运动时，观察者接收到的频率为R

R S S

u u υννυ+=- （1）火车向着观察者运动时观察者接收到的频率为

1340

(

)()50054034025

S S u Hz Hz u ννυ==?=-- 火车远离观察者运动时观察者接收到的频率为

2340

(

)50046634025

Hz Hz ν=?=+

则频率变化为1274Hz ννν?=-= （2）车中的观察者接收到的频率为

34015

500563.534025

R S S u Hz Hz u υννυ++=

=?=--