平面向量等和线的应用

平面向量等和线的应用前文《向量运算，莫失良“技”（1）》提及的第一个技巧，就是运用共起点的三个向量终点共线的充要条件（即：如图，已知OB OA ,不共线，设OB OA OP μλ+=，则P B A ,,三点共线1=+⇔μλ）解决问题．其中的点P 可以是直线AB （即l ）上的任意一点．那么，当点P 不在直线l 上时，μλ+的值当然也不再为1，那它的值有什么变化特点呢？这正是本文要研究的问题．设μλ+=k ，如图，若点P 在与直线l 平行的直线上时，k 仍是定值，只是不再为1，我们把直线l 以及它的平行线都叫做等和线，这正是本文的主角，它具有以下性质：1．当等和线： ①过点O 时，0=k ；②在点O 与直线l 之间时（如2l ），)1,0(∈k ； ③为直线l 时，1=k ；④与点O 分居直线l 的两侧时（如1l ），),1(+∞∈k ． 2．若两条等和线关于点O 对称，则它们的k 值互为相反数． 3．同号的k 值之比等于点O 到等和线的距离之比．现在，等和线由原来一条变成一类，无数条；和值也变成无数个，能取到任意实数．拓展之后，又可以生发出新的解题技巧，真可谓是一线生“技”呀！下面举例展示．一、求k 值例1 （2013年江苏高考10）设E D ,分别是ABC ∆的边BC AB ,上的点，BC BE AB AD 32,21==，若AC AB DE 21λλ+=（R ∈21,λλ），则=+21λλ ．分析：如图，通过作辅助线把DE 转移到AG 处，然后根据等和线的性质 3求解．解：如图，过点D 作BC DF //交AC 于F ，则F 是边AC 的中点；延长BC 到H ，使得BE EH =，连接AH ，交DF 于G ．则DE AG =．因为DF 就是关于AC AB ,的一条等和线，且21=k ，AG 的终点G 在直线DF 上，所以2121=+λλ． 评注：等和线应用的前提是共起点的三个向量，本例条件不具备这个前提，采用了平移向量的方法凑齐了三个这样的向量．细心的你或许会发现，其实本例的答案与点E 的位置无关，它可以是边BC 上的任2FG H一点．变式1 （2018年安徽安庆二模）在ABC ∆中，点D 是边BC 上任意一点，M 是线段AD 的中点，若存在实数λ和μ，使得AC AB BM μλ+=，则=+μλ（ ）A ．21 B ．21- C ．2 D ．2- 分析：如图，以MB MA ,为邻边建立平行四边形，把BM 转移到EA 处，进而得AC AB AE μλ--=，即可运用等和线求解．解：如图，以MB MA ,为邻边建立平行四边形MAEB ，连接ME ， 由BDME 是平行四边形，可得BC ME //．因为AC AB AE BM μλ+=-=，所以AC AB AE μλ--=，所以21=--μλ，所以21-=+μλ．选B ． 评注：本题是运用平行四边形转移向量.运用等和线解决问题，与运用三点共线的充要条件一样，关键也是建立共起点．．．的三向量的线性关系式． 二、求k 的最值或范围（一）求k 的最值例2 （2017年高考全国Ш卷12）在矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AD AB AP μλ+=，则μλ+的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2分析：如图，显然直线BD 是1=k 时的等和线，向右下平移直线BD ，则会产生一系列等和线，它们先后与圆相交，相切，相离，其中与圆相切于点P 的等和线，是距离点A 最远的等和线，所以它的k 值最大．如何求解呢？还是依据性质3，运用点A 到等和线的距离之比等于k 之比求解．解：如图，等和线为BD 时，1=k ．设与BD 平行的圆的另一条切线为l ，则当点P 在l 上， 即点P 为切点时，μλ+的值最大．因为CE 等于圆的半径，且PD CE ⊥，所以点A 到切线l 的距离等于到直线BD 距离的3倍，所以μλ+的最大值为3．选A ．评注：求k 的最值，一般需先找到1=k 时的等和线，然后EAB运用等和线的性质3求解．大家可以尝试或查阅一下本例的常规解法，那是相当繁复而崎岖，毕竟它是当年高考压台的选择题．而用等和线呢？让我们一起再次引吭高呼那两个字：秒杀！变式2 （2019年绍兴高一期中）给定两个长度为1的平面向量OB OA ,，它们的夹角为︒120，点C 在以O 为圆心的劣弧AB 上，若),(R y x OB y OA x OC ∈+=，则y x +的最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解：把题意转化成点C 在扇形及其内部不影响最终结果．如图，直线AB 是1=k 的等和线，过弧AB 中点N 的直线l 应是k 值最大 的等和线（根据垂径定理和切线的性质定理易知），所以y x +的最大值为21==⨯OMOA OM ON ．选B ． 变式3 （2019年云南昆明高一期末）在ABC ∆中，BC AB BC AB ⊥==,8,6，M 是ABC ∆外接圆上一动点，若AC AB AM μλ+=，则μλ+的最大值为（ ）A ．1B ．45 C ．34D ． 2 解：如图，直线BC 是1=k 的等和线，平移直线BC 至l ，使直线l 与圆相切于点M ，则M 为劣弧BC 的中点（根据垂径定理和切线的性 质定理），则直线l 就是使k 值最大的等和线．易求圆O 的半径为5，所以23525=-=-=-=ABON OM NM ． 所以μλ+的最大值为为=+=+⨯6261AB NM AB 34．选C ．评注：上述三个题都是当动点在圆（圆弧）上时，求k 的最值问题，这个最值往往在切点处取得，求解时离不开垂径定理和切线的性质定理.（二）求k 的范围例3 （2019年湖南郴州高三模拟）如图，在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC （含端点）上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AD n AB m AP +=，则n m +的取值范围是 ．分析：先找到1=k 时的等和线，然后找到最高圆和最低圆， 则两圆与1=k 等和线平行的其中一条切线就应分别是使得k 值取M NA BOlAD Al得最值的两条等和线，进而求解.解：如图，直线BD 是1=k 的等和线．圆B 和圆C 分别是圆Q 的最低和最高位置，分别在两圆的外侧作直线BD 的平行线l m ,，则它们分别是使n m +取得最小值和最大值的两条等和线． 所以n m +的最小值为421221221-=-⨯，最大值为422221241+=+⨯，所以n m +的取值范围是⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-422,421．变式4 （2019年浙江杭州高二期末）如图，已知平行四边形ABCD 的对角线相交于点O ，点P 在△COD 的内部（不含边界）．若AD n AB m AP +=，则n m +的取值范围是 ．解：是个福利题，答案：)2,1(变式5 （2019年衡水中学高三模拟）已知直角ABC ∆中，5,4,3===BC AC AB ，I 是ABC ∆的内心，P 是IBC ∆内部（不含边界）的动点，若)R ,(∈+=μλμλAC AB AP ，则μλ+的取值范围是（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,127B ．⎪⎭⎫⎝⎛1,31)C ．⎪⎭⎫⎝⎛127,41D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,41解：如图，直线BC 是1=k 的等和线，过点I 且与直线BC 平行的直线l 是使k 值最小的等和线．因为点A 到直线BC 的距离为512543=⨯，圆I 的半径为154343=++⨯，所以直线l 对应的12751215121=-⨯=k ．所以μλ+的取值范围是⎪⎭⎫⎝⎛1,127．（三）求与k 相关的量的范围例4 （黑龙江省实验中学2020届高三月考）如图，圆O 是边长为32的等边ABC ∆的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆上任意一点，),(R y x BD y BA x BM ∈+=，则y x +2的最大值为（ ）ClA ．2B ．3C ．2D ．22分析：解答本题的关键是给y x +2办身份证，还得与等和线联系起来，方法是把条件式中的向量BA 换成BE ，则x 就变成了x 2，则DE 就是1=k 的等和线，AC 就是使k 取得最大值的等和线.解：如图，直线DE 是1=k 的等和线，AC 就是使k 取得最大值的等和线. 因为DE AC //，且DE AC 2=，所以y x +2的最大值为2．选C ． 评注：若你有兴趣，可求一下y x +2的最小值.变式 6 （2017年浙江温州期末考试）如图，在OMN ∆中，B A ,分别是ON OM ,的中点，若),(R y x OB y OA x OP ∈+=，且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（ ）A ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,31B ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡43,31C ．⎦⎤⎢⎣⎡43,41D ．⎥⎦⎤⎢⎣⎡32,41解：直线AB 是1=k 的等和线，直线MN 是2=k 的等和线，所以]2,1[∈k ．因为无论点P 落在何处，0≥y ，所以当0,2==y k 时，21+++y x y 取得最小值41．对于每一条等和线，k 是定值，y 的最大值恰好是k ，所以21+++y x y 的最大值函数为21)(++=k k k f211+-=k ，所以当2=k 时，21+++y x y 取得最大值43． 所以21+++y x y 的取值范围是⎦⎤⎢⎣⎡43,41．选C ．E。