悖论

悖论——讲稿

目录

悖论——讲稿 (1)

1 芝诺悖论 (1)

1.1 芝诺悖论内容 (1)

1.2 一些哲学家的观点 (2)

1.3 我们自己分析 (3)

1.4 问题在哪？ (4)

1.4.1 时间： (4)

1.4.2 芝诺时： (4)

1.4.3 运动不可证： (5)

2 谷堆、秃头命题 (6)

3 幽默悖论 (7)

4 悖论与我们 (8)

1 芝诺悖论

1.1 芝诺悖论内容

芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：

1、二分法。物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。

2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。

3、飞矢不动。任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。

4、运动场。两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。

四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。

1.2 一些哲学家的观点

关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。

以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。

１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。

已知最早的批评来自亚里士多德。关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。

黑格尔对芝诺悖论的解决是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。”这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释。不过，它似乎并没有直接针对芝诺论辨本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。受黑格尔的影响，我国哲学界一般认为芝诺不懂得连续性和间断性的辩证关系，把这两者机械的对立起来，所以造成运动悖论。这大意是说，芝诺的论证没使用辩证逻辑，因而是无效的。这种批评同样是笼而统之，不关痛痒。

1.3 我们自己分析

1.无穷级数的求和

在芝诺的运动悖论和多悖论中都涉及到无限分割后的求和问题，微积分的发展使得对此进行定量分析成为可能。对于多悖论而言，可以肯定的说，无穷分割后的各部分趋于零但不等于零，其总和不等于零，但也不会是一个无限量。

对于阿喀琉斯而言，他虽然要无数次的到达某个起始点，但它所走的空间距离并不是一个无限量，追龟情形下的空间距离是：

（其中ｄ是初始距离，分别是快者和慢者的速度）

是一个有限数，对于有限的距离，当然可以在有限的时间内穿过并达到终点。

许多人在算出了无穷级数之和是一个有限数之后，就以为解决了芝诺的阿喀琉斯悖论，他们很显然是认为悖论之悖在于把经历无限之点与经历无限之距离混为一谈，只要澄清了这一点，悖论就自然消除了。

然而，算出了距离是有限的并未解决问题。让我们来考察一下我们是怎么算出来的。无穷级数的求和最终要用求极限的方法，求极限是什么意思呢？并不是说我们一项一项的将无穷级数的所有项全部加在一起正好就等于这个极限值，而是说，我们可以让无穷级数的和充分接近这个极限值，想多接近就多接近。注意，依然是“接近”。在初等数学中我们还有一个更为简便的方法求出追上乌龟的时间，那就是假定它是ｔ，可以列出方程：

解方程可得

在这个方法中，有一个前提，那就是假定阿喀琉斯最终追上了乌龟。这个假定说明，数学所告诉我们的不过是，如果能的话，需要多少时间，但数学不解决“是否能”的问题。

1.4 问题在哪？

希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼对芝诺论辨有一个回答。据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间里走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？这个故事很长时间被作为一个笑话，人们大多相信，第奥根尼根本没有弄懂芝诺的意思。芝诺并不是说在现象界没有运动这么一回事，他当然承认有，但他要说的是，虽然满目是物体在飞舞，但运动是不合理的，我们可以通过逻辑证明运动是不可能的。因此，我们所看到的运动是假象，并不真实，因为真实的东西一定是合乎逻辑的。

真的可以用逻辑证明运动的不可能性吗？

柏格森说得对，芝诺论辨的全部要害在于用运动轨迹代替运动本身。许多现代分析哲学家进一步指出，芝诺用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹，就将真实的物理运动导入关于无限的数学迷途之中。

1.4.1 时间：

时空是否可以无限分割芝诺悖论的关键是使用了两种不同的时间测度。原来，我们用来测量时间的任何一种“钟”都是依靠一种周期性的过程作标准的。如太阳每天的东升西落，月亮的圆缺变化，一年四季的推移，钟摆的运动等等。人们正是利用它们循环或重复的次数作为时间的测量标准的。芝诺悖论中除了普通的钟以外，还有另一种很特别的“钟”，就是用阿基里斯每次到达上次乌龟到达的位置作为一个循环。

1.4.2 芝诺时：

用这种重复性过程测得的时间称为“芝诺时”。例如，当阿基里斯在第n次到达乌龟在第n次的起始点时，芝诺时记为n，这样，在芝诺时为有限的时刻,阿基里斯总是落在乌龟后面。但是在我们的钟表上,假如阿基里斯跑完AB(即100米)用了1分钟，那么他跑完BC只要6秒钟，跑完CD只需0.6秒，实际上，他只需要1 1/9分钟就可以追上乌龟了。

因此，芝诺悖论的产生原因，是在于“芝诺时”不可能度量阿基里斯追上乌龟后的现象。在芝诺时达到无限后，正常计时仍可以进行，只不过芝诺的“钟”已经无法度量它们了。这个悖论实际上是反映时空并不是无限可分的，运动也不是连续的。

有人解释道：若慢跑者在快跑者前一段，则快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当他到达被追者的出发点，慢跑者又向前了一段，又有新的出发点在等着它，

有无限个这样的出发点。

芝诺当然知道阿基里斯能够捉住海龟，跑步者肯定也能跑到终点。

类似阿基里斯追上海龟之类的追赶问题，我们可以用无穷数列的求和，或者简单建立起一个方程组就能算出所需要的时间，那么既然我们都算出了追赶所花的时间，我们还有什

么理由说阿基里斯

永远也追不上乌龟呢？然而问题出在这里：我们在这里有一个假定，那就是假定阿基里斯最终是追上了乌龟，才求出的那个时间。但是芝诺的悖论的实质在于要求我们证明为何能追上。上面说到无穷个

步骤是难以完成。

以上初等数学的解决办法，是从结果推往过程的。悖论本身的逻辑并没有错，它之所以与实际相差甚远，在于这个芝诺与我们采取了不同的时间系统。人们习惯于将运动看做时间的连续函数，而

芝诺的解释则采取了离散的时间系统。即无论将时间间隔取的再小，整个时间轴仍是由有限的时间点组成的。换句话说，连续时间是离散时间将时间间隔取为无穷小的极限。

其实这归根到底是一个时间的问题。譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。实际情况是阿基里斯必然会在100/9秒之后追上乌龟。按照悖论的逻辑，这100/9秒可以无

限细分，给我们一种好像永远也过不完的印象。但其实根本不是如此。这就类似于有1秒时间，我们先要过一半即1/2秒，再过一半即1/4秒，再过一半即1/8秒，这样下去我们永远都过不完这1秒，因为

无论时间再短也可无限细分。但其实我们真的就永远也过不完这1秒了吗？显然不是。尽管看上去我们要过1/2、1/4、1/8秒等等，好像永远无穷无尽。但其实时间的流动是匀速的，1/2、1/4、1/8秒，时

间越来越短，看上去无穷无尽，其实加起来只是个常数而已，也就是1秒。

1.4.3 运动不可证：

二分法有两种形式，一种是说，它永远到不了终点，另一种是说，它根本不能起动。第一种形式的无穷序列没有最后一项，所以到不了终点；第二种形式的无穷序列没有第一项，所以根本无法起动。第二种形式最具有启发性，因为若无穷问题得到了很好的解决，第一种形式的因难就可以消除了，但第二种形式的困难还剩下一点：第一推动。如它能有一个初始起动，它可以起动；如它没有一个初始起动，它就不能起动。这是一个同语反复，表明数学分析并不能证明运动是可能的。回想一下柏格森所提出的问题：对运动轨迹的任何分析都不是对运动本身的完全分析，因此在此基础之上既不可能证明运动是不可能的，也不可能证明运动是可能的。“运动”在“证明”之外。

物理点并不是数学点，阿喀琉斯实际上只用了有限步骤就追上了乌龟。抛弃了芝诺所设置的点结构，阿喀琉斯问题也不再成为问题了。

总结一下由芝诺悖论所引出的哲学结论：运动本身是第一位的，而运动轨迹是第二位的；物理经验是第一位的，而数学描述是第二位的；物理事件是第一位的，而时空结构是第二位的。对运动轨迹的分析引出了数学和逻辑上的许多问题，即使这些问题最终能够解决（现在当然还不能说已经解决），也不意味着最终解决了运动问题本身。运动更为基本而且不可分析，它超出了理论理性。芝诺没能证

明运动的不可能性，因为运动根本不可证。（第奥根尼的回答并不可笑，相反很深刻）若说只有可证的才是真实的，那运动的确是“不真实”的。芝诺悖论最终的哲学意义涉及到爱利亚学派对“实在”的看法。

2 谷堆、秃头命题

谷堆悖论：

前提：一堆谷子，从中取出一粒，仍为一堆

过程：一粒一粒取

结论：还剩最后一粒，取完了仅剩空气也是一堆。

秃头悖论：

前提：比秃头多一根头发的人还是秃头。

过程：比秃头多两根头发的人还是秃头，……，

结论：所有人都是秃头

原因在于：此类悖论属于逻辑型悖论，前提不够严密，肯定会和否定之间存在含混区域，在严密的逻辑推理中使用了模糊不清的概念，轻微的不清晰不断重复，以致最终我们都是秃头。逻辑型悖论的第（1）个特征不可扩展，现有的解悖方案大都是在缩小第（1）个特征。我们引入界限与特征函数来解决这一问题。

逻辑模糊悖论的解决：引入界限与特征函数

1． 界限可以区分所属位置

2． 特征函数可以衡量“隶属度”

例：定义“秃头曲线”：

()()()31(0100)()111001000(100)x f x x x ≤≤??=?+->?? （100是秃头的界限）

定义了“秃头曲线”，根据这一函数，可以得到不同人的“秃头度”，如f （16）=1，f （1100）=0.5等。这样我们就不会得到所有人都是秃头结论。类似这样的逻辑模糊的问题我们就可以通过引入特征函数来解决。

3 幽默悖论

2.幽默悖论的例子

悖论存在于日常生活的方方面面，只不过我们

没有意识到而已。举个很简单的例子：

垂钓者：你已经在这看我钓鱼有三个小时

了，你自己为什么不试一试呢?

旁观者：我这人没耐心。

这个例子说明，人们有时会不知不觉地违反

矛盾律。事实上这个旁观者能够花三个小时看垂

钓者钓鱼这件事情本身就足以证明他有相当的耐

心了，只不过他自己没意识到或不承认而已。他

的话和他的行为相左，因而产生幽默。

【美】在《第二十二条军规》描述：

根据第二十二条军规，疯子才能获准免于飞行，但必须由本人提出申请；同时又规定，凡能意识到飞行有危险而提出免飞申请的，属头脑清醒者，应继续执行飞行任务。

4 悖论与我们

?悖论不是令人生厌的东西。

?它只是我们使用自己的方法论去了解这个世界的过程中面临的一些挫折。

?而且，它离我们并不遥远。

?因为，有时候，

?我们需要使用悖论，

?来寻找心灵的慰藉。

我们可能时常会遇到这样的情景：

某一天，你会遇到一些令人伤心的事请。你会觉得很不公平，怎么你会失去这么多？

这时候，你的朋友走过来，说了这样的一句话：

上帝常常要从我们身边取走一些东西，那是在提醒我们：你已经得到了太多。你终于从郁闷中回过神来的时候，你会发现，原来这也是一个悖论。