初二上总复习几何证明举例(青岛版)
青岛版八年级数学上册 5.6.5几何证明举例课件
E
B
C
D
已知一直角边和斜边作直角三角形
a
c
已知：线段a、c 求作Rt∆ABC使直角边BC=a斜边AB=c
⑴ 作直线DE，在直线DE上任取一点C, 过点C作射CM⊥DE
M
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a; M B
D
C
E
D
C
E
⑶ 以B为圆心,C为半径画弧，交射线 CE于点A;
M B
⑷ 连接AB.
M B
∴Rt△ABP≌Rt△DEQ (HL) ∴ ∠B=∠E 在△ABC和△DEF中
B
PC
D
∵
{∠BAC=∠EDF AB=DE ∠B=∠E
∴△ABC≌△DEF (ASA)
E
Q
F
课堂小结
1、应用斜边直角边（H.L.）公理判定两个三角形全等，要按照公 理的条件，准确地找出“对应相等”的边和角；
2、寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分利用图形中的隐 含条件，如“公共边、公共角、对顶角等等”；
⑵ 在射线C´M上取段B´C´=BC; ⑶ 以B´为圆心,AB为半径画弧，交
射线C´N于点A´;
C A´ N
⑷ 连接A´B´.
M B´
C´
练习
已知：AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC ,CE=BF, 求证：CD‖AB
C F A
D E
B
1、已知： AB ^ BD , ED ^ BD , C 是 BD 上一点 且 AC = EC , AC ^ EC 求证： BD = AB + ED
BD＝CD ∴ △BED≌△CFD(H.L) ∴∠B=∠C ∴AB=AC ∴ △ABC是等腰三角形。
(第 1 题)
青岛版八年级数学上册典例举析：几何证明
• 所以∠ADE＝∠DAE，故EA＝ED. • 因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知， • EA2＝EC·EB. • 而EA＝ED，所以ED2＝EC·EB.
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热点三 四点共圆的判定
【例4】 如图，已知△ABC的两条角平分线 AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC 上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E 四点共圆； (2)EC平分∠DEF. 证明 (1)在△ABC中，因为∠B＝60°， 所以∠BAC＋∠BCA＝120°. 因为AD、CE是角平分线， 所以∠HAC＋∠HCA＝60°， 故∠AHC＝120°.
• (1)证明：A，P，O，M四点共圆； • (2)求∠OAM＋∠APM的大小．
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(1)证明 连接OP、OM， ∵AP与⊙O相切于P，∴OP⊥AP， 又∵M是⊙O的弦BC的中点， ∴OM⊥BC， 于是∠OMA＋∠OPA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部，
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可知四边形 APOM 的对角互补， ∴A，P，O，M 四点共圆． (2)解 由(1)得 A，P，O，M 四点共圆，可知∠OAM ＝∠OPM，又∵OP⊥AP，由圆心在∠PAC 的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， ∴∠OAM＋∠APM＝90°.
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• (2)相似三角形的性质 • ①相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比
都等于相似比； • ②相似三角形周长的比等于相似比； • ③相似三角形面积的比等于相似比的平方． • (3)直角三角形的射影定理：直角三角形中，每一条直角边是这
条直角边在斜边上的射影与斜边的比例中项；斜边上的高是两直角 边在斜边上射影的比例中项． • 2．(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半． • (2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
八年级数学上册 第五章 几何证明初步 5.6.4 几何证明举例课件 (新版)青岛版
B DE
C
图1-34
h
11
课堂小结
1.角平分线的性质定理： ① 角平分线上的点到这个角两的两边的距离相等。 ② 作用：证明两条线段相等 2.角平分线性质定理的逆定理： ① 角的内部到角的两边距离相等的点点在这个角的平分线上。 ② 作用:证明两个角相等或线是角平分线
3.符号语言： 角平分线的性质定理：∵点P在的平分线BD上且 PM⊥BA,PN⊥BC ∴PM=PN
h
9
小试身手
• 如图24-79，△ABC中，AB＝AC，M是BC的中点，MD⊥AB，ME⊥AC， D、E是垂足。
求证：MD＝ME。
h
10
再试身手
• 如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC 于D，AE平∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF.
• 求证：BF是∠ABC的平分线.
∵AM是∠BAC的角平分线，点O在AM上 （已知）
∴OF=OE（在角平分线上的点到角的两边 的距离相等）
A
F
E
P
O
N
同理 OF=OD. ∴ OD=DE(等量代换） ∵CP是∠ACB的角平分线
B
C
MD
这个交点叫三角形的内心
∴O在CP上（角的内部到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上
结论：三角形的角平分线的交点到三边的距离相等。
角平分线的判定定理：∵ PM⊥BA,PN⊥BC，且PM=PN ∴点P在∠ABC的平分线上 （或BP是∠ABC的平分线)
h
12
祝同学们学习进步！
h
13
P
（3）垂直距离。
定理的作用： 证明线段相等。
应用定理的书写格式：
青岛版八年级数学上册几何证明举例第二课时教学课件
通过添加辅助线把三角形ABC分成两个全等的三角形，
只要证得被分成的两个三角形全等即可得∠B=∠C.
已知：如图,在△ABC中,AB=AC.
A
求证：∠B=∠C.
证明：作底边BC上的高AD交BC于点D.
∴∠ADB=∠ADC=90°(垂线的定义)
在Rt△ABD和Rt△ACD中, ∵AB=AC(已知)，AD=AD(公共边)，
BD=CD, ∴AD⊥BC
∠1=∠2.
B ∥D ∥C
⑶∵AB=AC, AD⊥BC
∴BD=CD, ∠1=∠2.
发现与证明
对于“等腰三角形的两个底角等”，有逆命 题吗？逆命题是什么，怎样证明呢？
逆命题：
有两个底角相等的三角形是等腰三角形. A
1.作辅助线AD⊥BC.
B DC
2.根据∠ADB= ∠ADC=90°， AD=AD，可推出AB=AC.
3.如图，△ABC是等边三角形，BD是AC边上的 高，延长BC至E，使CE=CD．连接DE．
（1）∠E等于多少度？ （2）△DBE是什么三角形？为什么？
1.等腰三角形的性质定理和判定定理： 2.等边三角形的性质定理和判定定理：
2）找等腰或等边三角形；
3）对顶角相等；
还有什么其他的方法？
4）等角的余角(或补角)相等；
1.已知，如图D是⊿ABC内的一点，且DB=DC，BD 平分∠ABC,CD平分∠ACB.
求证：AB=AC. A
D
B
C
2.在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于 点O，过点O作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．请 证明DE=BD+EC．
∴△ABC是等边三角形。
2)若∠B=60°，AB=AC.也可证得△ABC是等AC，D是AB上的一 点，DE⊥BC，交BC于点E，交CA的延长线于点F。
青岛版八年级上册数学《5.6几何证明举例(5)》课件
C
E
DC
E
⑶ 以B为圆心,c为半径画弧， 交射线CE于点A;
M B
⑷ 连接AB.
M B
DC
A
E
DC
AE
△ABC就是所求作的三角形.
三、系统总结
• 1.应用斜边直角边（HL）定理判定两个三角形全 等，要按照定理的条件，准确地找出“对应相等” 的边；
• 2.寻找使结论成立所需要的条件时，要注意充分 利用图形中的隐含条件，如“公共边、公共角、 对顶角等等”；
• 求证Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆A/B/C/
A/ A
A/ ( A )
B/
B
B/
B
C/ C
C/ ( C )
将两个直角三角形的斜边重 合在一起，你能证明两个直 角三角形全等吗？
C
B(B/)
31
4
2
C/
A(A/)
SSA翻身啦！
• 由于HL定理的存在，在直角 三角形中，两边及一角分别 相等的两个三角形，当其中 较大一边的对角是直角时， 它们全等。
如图：已知ＡＣ＝ＢＤ，
∠C= ∠D=90°，
求证(1)Ｒt∆ABC ≌Ｒt ∆BAD
D
C
O
A
B
例2已知一直角边和斜边作直角三角形
a
c
已知:线段a,c求作Rt∆ABC使直角边BC=a斜边AB=c
⑴ 作直线DE，在直线DE上任
取一点C,过点C作射CM⊥DE M
⑵ 在射线CM上截取线段CB=a;
M B
D
“斜边、直角边”或“HL” 定理的符号语言
在Rt∆ABC和Rt∆DEF中
A
D
AB=DE
∵
AC=DF
青岛版数学八年级上册《几何证明举例》教学精品PPT
A(A/)
青岛版数学八年级上册《几何证明举 例》教 学精品 课件
以后学习了勾股定理后还有别的方法
于是得到直角三角形全等的判定定理： 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另
一个直角三角形的斜边和一条直角边分别相等，那 么这两个直角三角形全等.(简记为“斜边，直角边” 或“HL”)
青岛版数学八年级上册《几何证明举 例》教 学精品 课件
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现在你有几种判定直角三角形
全等的方法？
前
1.边角边 简称 “SAS” 三 个
2.角边角 简称 “ASA” 是
3.边边边
简称 “AAS” 事
实
青岛版数学八年级上册《几何证明举 例》教 学精品 课件
方法1 根据AC=A´C´, ∠C=∠C´将两个三角形的直 角边AC和A´C´和对应顶点分别重合，B和B´分别在AC所 在直线的两侧(如图)。由于∠ACB=∠A´C´B´=90°，所 以B,C,B ´三点共线，又由于AB=A´B´,于是组成等腰三角 形ABB´.所以∠B=∠B´,所以△ACB≌△A´C´B´（AAS）.
例4 已知一直角边和斜边作直角三角形. l
已知:线段l,m(l<m).
m
求作Rt∆ABC,使直角边AC=l,斜边AB=m.
先利用基本作图“过一点作已知直线的 垂线”,作出三角形的直角顶点C.再根据直角 边AC的长确定顶点A，最后根据斜边长作出 另一个顶点B.
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如图，在Rt△ABC和Rt△A ´B ´C´中，∠C= ∠C =90°，AB＝A ´B ´,AC＝A ´C ´. 能证明Rt∆ABC ≌Rt∆A´B´C´吗？
八年级数学上册 5.6 几何证明举例专项练习素材 (新版)
CA BCD E P 图 ⑴5.6 几何证明举例1、 已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，在BC 上任取一点P ，作PQ∥AB 交AC 于Q ，作PR∥CA交BA 于R ，D 是BC 的中点，求证：△RDQ 是等腰直角三角形.CB2、 已知：在△ABC 中，∠A=900，AB=AC ，D 是AC 的中点，AE⊥BD，AE 延长线交BC 于F ，求证：∠ADB=∠FDC .3、 已知：在△ABC 中BD 、CE 是高，在BD 、CE 或其延长线上分别截取BM=AC 、CN=AB ，求证：MA⊥NA .4、已知：如图(1)，在△ABC 中，BP 、CP 分别平分∠ABC 和∠ACB，DE 过点P 交AB 于D ，交AC 于E ，且DE∥BC．求证：DE －DB=EC ．5、在Rt△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC=90°，O 为BC 的中点.(1)写出点O 到△ABC 的三个顶点A 、B 、C 的距离的大小关系(不要求证明)；(2)如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动中保持AN＝BM，请判断△OMN的形状，并证明你的结论.6、如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，AE=BD，连结EC、ED，求证：CE=DE7、如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC且BC＝10，求△DCE的周长.几何证明习题答案1. 连接AD,由△ABC为等腰直角三角形可得AD垂直AC,且AD=BD,∠DAQ=∠DBR=45度,A BCOMN又由平行关系得,四边形RPQA为矩形,所以AQ=RP,△BRP也是等腰直角三角行,即BR=PR,所以AQ=BR由边角边,△BRD全等于△AQD,所以∠BDR=∠ADQ,DR=DQ,∠RDQ=∠RDA+∠ADQ=∠RDA+∠BDR=90度,所以△RDQ是等腰RT△.2. 作AG平分∠BAC交BD于G∵∠BAC=90° ∴∠CAG= ∠BAG=45°∵∠BAC=90° AC=AB ∴∠C=∠ABC=45°∴∠C=∠BAG ∵AE⊥BD ∴∠ABE+∠BAE=90°∵∠CAF+∠BAE=90° ∴∠CAF=∠ABE∵ AC=AB ∴△ACF ≌△BAG∴CF=AG ∵∠C=∠DAG =45° CD=AD∴△CDF ≌△ADG ∴∠CDF=∠ADB3. 易证△ABM≌△NAC．∠NAM＝∠NAE＋∠BAM＝∠NAE＋ANE＝90°4. 略5.（1）因为直角三角形的斜边中点是三角形的外心，所以 O到△ABC的三个顶点A、B、C距离相等；（2）△OMN是等腰直角三角形.证明：连接OA，如图，∵AC=AB，∠BAC=90°，∴OA=OB，OA平分∠BAC，∠B=45°，∴∠NAO=45°，∴∠NAO=∠B，在△NAO和△MBO 中，AN=BM ，∠NAO=∠B ，AO=BO ，∴△NAO≌ △MBO，∴ON=OM，∠AON=∠BOM，∵AC=AB，O是BC的中点，∴AO⊥BC，即∠BOM+∠AOM=90°，∴∠AON+∠AOM=90°，即∠NOM=90°，∴△OMN是等腰直角三角形．6. 延长CD到F，使DF=BC，连结EF∵AE=BD ∴AE=CF∵△ABC为正三角形∴BE=BF ∠B=60°∴△EBF为等边三角形∴角F=60° EF=EB在△EBC和△EFD中EB=EF（已证）∠B=∠F（已证） BC=DF（已作）∴△EBC≌△EFD（SAS）∴EC=ED7. 周长为10.。
数学八年级上青岛版几何证明举例课件5
1、等腰三角形常 添的辅助线是底 边上的高
2、利用延长中线 的2、一倍倍长构中造线中法心 对称的两个全等 三角形
练习1、如图：在Rt△ＡＢＣ
中，∠C＝９０°, CD是ＡＢ A
E
边上的中线.
1
求证:CD= 2 AB
D
C
B
练习2 、如图：在△ＡＢＣ A 中，AB＝AC, CD⊥ＡＢ.
下列几个问题： (1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
(2)等腰三角形有哪些性质？
等腰三角形的两底角相等（简称等边对等角）。 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合（等腰三角形的三线合一）。
43..这上些述性性质质都你是是真怎命么题得吗到？的你？能否轴用对从称基的本性事质实
１1 ２
２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
证明△ＡＢD≌△Ａ
CD
行吗?
Ｅ
Ａ
例3、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ １ ２ 的边ＢＣ上的中线，∠１＝ ∠ ２．
求证：ＡＢ＝ＡＣ Ｂ
Ｄ
Ｃ
Ｅ
例4、如图：ＡＤ是△ＡＢＣ的边ＢＣ上的
中Ａ线Ｃ，＝ＢＢＥＦ交．ＡＣ于点Ｅ，交ＡＤ于Ａ 点Ｆ，
求证：ＡＥ＝ＥＦ
Ｆ ２１ Ｅ
分析:
３
先证:△GＢD≌△ＡCD Ｂ (SAS)
3.等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为 8cm,则它的周长是19 cm 。
4.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为3_5_°__，3_5_°_。
回顾与思考 ☞
1.我们学习了证明的相关知识，你还记得我们根据
哪些基本事实，证明了哪些定理？你能说出来吗？
2.我们已经学习过等腰三角形，我们来回忆一下
青岛初中数学八上《5.6 几何证明举例
§5.6 几何证明举例（2）教学目标：1. 学生能够证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
2. 会运用等腰三角形的性质和判定进行有关的证明和计算。
3. 应用等腰三角形的性质和判定进一步认识等边三角形。
4. 培养学生分析问题和逻辑推理的能力。
教学重、难点：重点：会证明等腰三角形的性质定理和判定定理。
难点：等腰三角形的性质定理和判定定理的应用。
教学准备：电子白板、直尺、圆规、直角三角板教学过程一、情境导入、复习回顾1、等腰三角形的性质是什么，这个命题的逆命题是什么？二、交流展示(鼓励学生自己写出证明的过程，注意几何证明的三步)（1）“等腰三角形的两个底角相等”是真命题吗？怎样证明。
证明：等腰三角形的两个底角相等。
已知：如图，在△ABC中，AB=AC求证：∠B=∠C法1证明：过点A作∠BAC的角平分线交BC于点D∴∠BAD = ∠CAD (角平分线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)∠BAD = ∠CAD (已证)AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠ B = ∠ C (全等三角形对应角相等)法2证明：作BC边上的中线 AD∴ BD = CD (中线定义)在△BAD与△CAD中∵AB = AC (已知)BD = CD （已证）AD = AD (公共边)∴△BAD≌△CAD( SSS )∴∠B = ∠ C (全等三角形对应角相等)（2）“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是真命题吗，怎样证明它的正确性？证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
已知：如图，在如图，在△ABC中，∠B=∠C求证：AB=AC证明：作AD⊥BC,垂足为D则∠ADB=∠ADC=90°(垂直的定义)，在△ABD和△ACD中，∵∠B=∠C (已知)，∠ADB=∠ADC=90°(已证)AD=AD (公共边)∴△ABD≌△ACD (AAS)∴AB=AC(全等三角形的对应边相等)(3) 利用等腰三角形的性质定理和判定定理证明：(鼓励学生当老师讲给其他同学听)①等边三角形的每个内角都是60°②三个角都相等的三角形是等边三角形。
青岛版初二数学八年级上册5.6几何证明举例(1)
小
结
AAS：有两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等 判定三角形全等的方法有: “ASA”, “ AAS”, “SSS”, “SAS”
利用三角形全等可以得到线段相等或角相等.
证明两条线段（或角）相等的方法：（1）先观察要证 明的线段（或角）在那两个可能全等的三角形中，再 证明这两个三角形全等；（2）若图中没有全等三角形， 可以把要证明的线段（或角）用和它相等的线段（或 角）代换，再证明它们所在的三角形全等；（3）如果 没有相等的线段（或角）代换，可设法作辅助线构造 全等三角形。
两角分别相等且其中一组等角的对边
也相等的两个三角形全等(AAS)
从基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS 出发可以判定两个三角形全等。
进一步推证两个全等三角形的有关线段或 角相等。
例2 . 已知：如图，AB=AC，DB=DC. 求证：∠B=∠C.
A
B
C
D
在证明两个角相等或两条 线段相等时，可考察它们 是否在给出的两个全等三 角形中.如果不在，可以尝 试通过添加辅助线，构造 两个全等三角形，使待证 的角或线段分别是这两个 全等三角形的对应角或对 应边.
B (E )
F O A
第2 题
C
D
△AOF≌△DOC理由是：
证明：∵ △ABC≌△DEF(已知） ∴∠A=∠D(全等三角形的对应角相等) AB=DE BC=EF(全等三角形的对应边相等） ∴AB-EF=DE-BC(等式的性质） 即AF=CD(等量代换） 又∵ ∠AOF=∠DOC(对顶角相等） ∴ △AOF≌△DOC(AAS)
作 业
187页 习题5.6 复习与巩固
第 1题 , 第 2题 , 第 3题 .
∴ △ABD≌△ACD（S.S.S）.
青岛版数学八年级上册5.6 几何证明举例
。 对。
D
C
C O
A
1 2 E
A
B
B
D
B C
D
第 1 题图
第 2 题图
第 3 题图
4.已知：如图，点 A、C、B 在一条线上，且 AC=EC，DC=BC，∠ACE=∠DCB, 求证： （1） △ACD≌△ECB （2） AD=EB
C D
A
E
B
5．如图，已知 AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段 CE 与 DE 的大小 与位置关系，并证明你的结论. 6、 （2012 广州市， ）如图 6，点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，AB=AC，∠B=∠C。 求证：BE=CD。
也相等的三角形全等。 三角形。 ，对应高 。
也相等的三角形全等。
问题：①这个命题的条件是 ，结论是 ② 能根据题意画出题目中用到的图形吗？ ③ 能据图形和条件，把命题的条件用数学语言写成已知吗？把结论写成求证吗？ ④ 已知一边相等，再知道条件 可以用 SSS 来说明；或可以知道条件 。
可以用 ASA 来说明全等。题目当中符合这两种判定方法吗？能根据题目已知两角对应相等， 求出另外一个角相等，这样可以选择方法 能总结证明“命题问题”的题目的一般步骤吗？ 三、自主学习，合作探究 来证明。 。
（2）已知 A 和 B 两点在线段 EF 的垂直平分线上，且∠EAF=100°，∠EBF=70°,则∠AEB = ( ) A．95° B．15° C．95°或 15° D．170°或 30°
二、情景激趣，导入新课 我们学了线段垂直平分线的性质和判定，你能证明它们吗？ 三、自主学习、合作探究 1 预习检查 （1）线段是轴对称图形，它的对称轴是 （2） 线段垂直平分线的性质及的逆命题是 2、典例精析 ☆ 探究一 已知：直线 点 P 是直线 求证： 证明： （1）当点 ∵CD⊥AB（已知） ∴∠ ∵PM=PM( ∴△APM≌△ ∴PA=PB ( （2）当点 与线段的中点 M 重合时 ( =∠ =90°（垂直平分线的定义） ) MA= ) ) （垂直平分线的定义） = 不与线段的中点 M 重合时 证明线段垂直平分线的性质定理 是线段 AB 的垂直平分线，垂足为点 上的任意一点。 ， 逆命题是 。 命题。
八年级数学上册5.6几何证明举例例题分析几何证明选讲(拓展)素材青岛版(new)
例题分析：几何证明选讲例1 如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，E 为AC 中点,AD ⊥BC 于D ,DE 交BA 的延长线于F ．求证：BF ∶DF ＝AB ∶AC ．【分析】欲证AFDF AC AB =，虽然四条线段可分配于△ABC 和△DFB 中，由于△ABC 和△FBD 一个是直角三角形，一个是钝角三角形，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论，故需借助中间比牵线搭桥，易证Rt△BAC ∽Rt△BDA ，得出=AC AB ADBD ，于是只需证出AD BD AF DF =，进而须证△DFB ∽△AFD 即可． 证明：∵AB ⊥AC ，AD ⊥BC ，∴Rt△ABD ∽Rt△CAD ，∠DAC ＝∠B ，∴ADBD AC AB =……① 又∵AD ⊥BC ，E 为AC 中点，∴DE ＝AE ，∠DAE ＝∠ADE ,∴∠B ＝∠ADE ，又∵∠F ＝∠F ，∴△FAD ∽△FDB ，∴DF BF AD BD =………②， 由①②得⋅=DF BF AC AB 【说明】由于△ABC 和△FBD 这两个三角形一个是直角三角形，一个是钝角三角形，明显不相似，不可能由这一对三角形相似直接找到对应边而得结论,且图中又没有相等的线段来代换，势必要找“过渡”的线段或线段比，这种寻找“中间”搭桥的线段或线段比是重要的解题技巧．此题用到直角三角形中斜边上的高这个“双垂直”的基本图形，这里有三对相似三角形，这个图形在证相似三角形中非常重要．例2 △ABC 中，∠A ＝60°,BD ，CE 是两条高，求证：BC DE 21= 【分析】欲证BC DE 21=，只须证21=BC DE ． 由已知易得21=AB AD ,于是只须证明,ABAD BC DE = 进而想到证明△ADE ∽△ABC ，这可以由21==AC AE AB AD 证得． 证明：∵∠A ＝60°,BD ，CE 是两条高，∴∠ABD ＝∠ACE ＝30°∵AB AD 21=，AC AE 21=,∴21==AC AE AB AD ，又∠A ＝∠A ∴△ADE ∽△ABC ，∴BC DE AB AD BC DE 2121=∴==。
几何证明举例+课件++2024—2025学年青岛版数学八年级上册
（简写为“斜边、直角边”或 “HL”）．
B′
C′
符号语言: 在Rt△ABC 与 Rt△ A′B′C ′中，
AB =A′B′， BC =B′C ′，
Rt△ABC ≌Rt△A′B′C′ （HL）．
典型例题
例3.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F为垂足，DE＝DF. 求证：△ABC是等腰三角形.
E
⑶以B为圆心,c为半径画弧，交射线CE 于点A;
⑷连接AB.
M
M
B
B
D
C
A
E
DC
A
E
△ABC就是所求作的三角形.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形 判定全等的方法: SSS、SAS、ASA、AAS，还有直角三角形 特殊的判定方法：HL.
勤奋工作，勇于实践；始终坚持学习； 做一个有德行的人；富有创新精神。
∴BD=CD,∠BAD=∠CAD (全等三角形的对应边相等,对应角相等)
B
D
C
典型例题例4已知a 一直角边和c斜边作直角三角形
已知:线段a,c求作Rt∆ABC使直角边BC=a斜边AB=c
⑴作直线DE，在直线DE上任取一点C, 过点C作射CM⊥DE
M
⑵在射线CM上截取线段CB=a; M B
D
C
Eபைடு நூலகம்
D
C
AC =BD
Rt△ABC ≌Rt△BAD
∴ BC﹦AD
(HL）。
A
C B
例2
已知：如图， △ABC是等腰三角形，AB=AC，AD是高 求证:BD=CD ;∠BAD=∠CAD
证明：∵AD是高
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变式：你能通过证明线段相等解决下列问题吗？ 1、在⊿ABC中，∠ACB=900，AC=BC， 直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， 试说明DE=AD+BE
2、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、 CD上移动，但点A到EF的距离AH始终保持与AB 的长相等。在点E、F移动过程中： （1）EF的长度与BE+DF有什么等量关系？ 并说明理由。 （2）若正方形ABCD的边长为10cm， 求⊿EFC的周长。
3．（2014•南充二模）如图：已知在△ABC中， AB=AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分别为E、F． （1）求证：DE=DF； （2）若∠A=90°，图中与DE相等的有哪些线段？ （不说明理由）
4．（2013•长春）在△ABC中，AB=AC， 点D、E、F分别是AC、BC、BA延长线上 的点，四边形ADEF为平行四边形． 求证：AD=BF．
初二上总复习 几何证明举例
（青岛版）
课前练兵： 1．（2014•湘西州）如图，在□ABCD中，点E、F 分别在边BC和AD上，且BE=DF． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）求证：AE=CF．
2．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC， BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， 求证：DE=DF．
证明线段相等或角相等的思路与方法
1、证明两条线段或两个角所在的三角形全等。 依据：全等三角形的对应边 相等 对应角 相等 2、如果所要证明的两条线段或两个角在同一 个三角形中，则证明这个三角形是等腰三角形。 依据：同一三角形中，等边对 等角，等角对 等边 3、若要证明相等的线段或角是平行四边形的对边 或对角，就证明该四边形是平行四边形。 依据:平行四边形的对边 相等 ，对角 相等 另外，有时也可利用“线段的垂直平分线的 性质和角的平分线的性质”来证明线段相等
典例分析
例1．（2014•泰安）如图，∠ABC=90°，D、E 分别在BC、AC上，AD⊥DE，且AD=DE，点F是 AE的中点，FD与AB相交于点M． （1）求证：∠FMC=∠FCM； （2）AD与MC垂直吗？并说明理由．
请把（1）的证明过程的依据填上： （1）证明： ∵△ADE是等腰直角三角形，F是AE中点， ∴DF⊥AE，（ 等腰三角形底边上的高与中线重合 ） DF=AF=EF，（ 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ） 直角三角形的 又∵∠ABC=90°， 两个锐角互余 ∴∠DCF，∠AMF都与∠MAC互余（ ） 同角的余角相等 ∴∠DCF=∠AMF，（ ） ∴△DFC≌△AFM（ AAS ） ∴CF=MF（全等三角形的对应边相等 ） ∴∠FMC=∠FCM（ 等边对等角 ） 请完成（2）证明：
3、在⊿ABC中，AB=AC，点D在边BC所在的 直线上，过点D作DF∥AC交直线AB于点F，DE∥AB 交直线AC于点E。 （1）当点D在边BC上时，如图①，求证：DE+DF=AC . （2）当点D在边BC的延长线上时，如图②；当点 D在边BC的反向延长线上时，如图③，请分别写出 图②③中DE、DF、AC之间的数量关系，不需要证明。 （3）若AC=6，DE=4，则DF=
判定两个三角形全等的“四种思 路” 1、已知两边 找夹角（ SAS ）
思路方法：
பைடு நூலகம்
找直角（HL ， SAS） 找另一边（SSS ） 2、已知一边一角 （1）边为角的对边时，找任一角（AAS ） （2）边为角的邻边时 找角的另一边（SAS ） 找夹边的另一角（ASA ） 找边的对角（ AAS ） 3、已知两角：找任意一边（ AAS ，ASA ） 4、有直角，找两边（ SAS ， HL ）
5．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的 中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长 BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3 （1）求证：BN=DN； （2）求△ABC的周长．
思考： 1、证明两个三角形全等，根据给出的 条件。你能有几种分析思路？ 2、要证明两条线段相等或两个角相等， 你有几种思路？
例2．（2014•靖江市模拟）如图：在正方形 ABCD中，P、Q是CD边上的两点，且DP=CQ， 过D作DG⊥AP于H，交AC、BC分别于E，G， AP、EQ的延长线相交于R． （1）求证：DP=CG； （2）RP与RQ有什么数量关系？说明理由。
证明：（1）在正方形ABCD中 AD=DC，∠ADC=∠DCB=900 ∵DG⊥AP ∴∠APD+∠GDC=∠GDC+∠DGC=900 ∴∠APD=∠DGC ∴⊿APD≌⊿DGC ∴DP=CG （2）相等。在正方形ABCD中，∠GCE=∠QCE=450 ∵DP=CQ，DP=CG ∴CG=CQ ∵CE=CE ∴⊿CGE≌⊿CQE ∴∠CGE=∠CQE ∵∠APD=∠DGC ，∠RPQ=∠APD，∠RQP=∠CQE ∴∠RPQ=∠RQP ∴RP=RQ