正弦函数的性质
正弦函数、余弦函数的性质
课时目标 1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域或最值.2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能用单调性比较大小.3.会求函数y＝A sin(ωx＋φ)及y＝A cos(ωx＋φ)的单调区间．
正弦函数、余弦函数的性质：
y＝sin x y＝cos x
一、选择题
1．若y ＝sin x 是减函数，y ＝cos x 是增函数，那么角x 在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
2．若α，β都是第一象限的角，且α<β，那么( ) A ．sin α>sin β B ．sin β>sin α
C ．sin α≥sin β
D ．sin α与sin β的大小不定 3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )
A.[]－1，1
B.????
??
－54，－1
C.??????－54，1
D.????
??－1，54 4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( ) A.? ????－π4，π4 B.? ????π4，3π4 C.? ????
π，3π2 D.? ????3π2，2π 5．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11° 6．下列函数中，周期为π，且在???? ?? π4，π2上为减函数的是( ) A ．y ＝sin(2x ＋π2) B ．y ＝cos(2x ＋π 2) C ．y ＝sin(x ＋π) D ．y ＝cos(x ＋π ) 7．函数y ＝sin(π＋x )，x ∈???? ?? －π2，π的单调增区间是 ____________． 8．函数y ＝2sin(2x ＋π3)(－π6≤x ≤π 6 )的值域是________． 9．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________． 10．设|x |≤π 4 ，函数f (x )＝cos 2x ＋sin x 的最小值是______． 三、解答题 11．求下列函数的单调增区间． (1)y ＝1－sin x 2； (2)y ＝log 1 2 (cos 2x )． 12．已知函数f (x )＝2a sin ? ????2x －π3＋b 的定义域为???? ?? 0，π2，最大 值为1，最小值为－5，求a 和b 的值． 能力提升 13．已知 sin α>sin β，α∈? ????－π2，0，β∈? ?? ?? π，32π，则( ) A ．α＋β>π B ．α＋β<π C ．α－β≥－32π D ．α－β≤－3 2 π 14．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间???? ?? －π3，π4上的最小值 是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.3 2 C ．2 D ．3 将y 表示成以sin x (或cos x )为元的一次或二次等复合函数再利用换元或配方、或利用函数的单调性等来确定y 的范围． 1．4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 答案 知识梳理 R R [－1,1] [－1,1] 奇函数 偶函数 2π 2π [－ π 2 ＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z ) [π2＋2k π，3π 2 ＋2k π] (k ∈Z ) [－π＋ 2k π，2k π] (k ∈Z ) [2k π，π＋2k π] (k ∈Z ) x ＝π 2 ＋2k π (k ∈ Z ) x ＝－π 2＋2k π (k ∈Z ) x ＝2k π (k ∈Z ) x ＝π＋2k π (k ∈Z ) 作业设计 1．C 2.D 3．C [y ＝sin 2 x ＋sin x －1＝(sin x ＋12)2－54 当sin x ＝－12时，y min ＝－5 4； 当sin x ＝1时，y max ＝1.] 4．C [由y ＝|sin x |图象易得函数单调递增区间???? ?? k π，k π＋π2， k ∈Z ，当k ＝1时，得? ?? ?? π，32π为y ＝|sin x |的单调递增区间．] 5．C [∵sin 168°＝sin (180°－12°)＝sin 12°， cos 10°＝sin (90°－10°)＝sin 80° 由三角函数线得sin 11° 6．A [因为函数周期为π，所以排除C 、D.又因为y ＝cos(2x ＋π 2)＝－sin 2x 在??????π4，π2上为增函数，故B 不符合．故选A.] 7.??????π2，π 8．[0,2] 解析 ∵－π6≤x ≤π6，∴0≤2x ＋π3≤2π 3. ∴0≤sin(2x ＋π 3 )≤1，∴y ∈[0,2] 9．b 解析 ∵1<π 2<2<3<π， sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3. y ＝sin x 在? ????0，π2上递增，且0<π－3<1<π－2<π2， ∴sin(π－3) 2 解析 f (x )＝cos 2x ＋sin x ＝1－sin 2x ＋sin x ＝－(sin x －12)2＋5 4 ∵|x |≤π4，∴－22≤sin x ≤22. ∴当sin x ＝－2 2时，f (x )min ＝1－22 . 11．解 (1)由2k π＋π2≤x 2≤2k π＋3 2 π，k ∈Z ， 得4k π＋π≤x ≤4k π＋3π，k ∈Z . ∴y ＝1－sin x 2 的增区间为[4k π＋π，4k π＋3π] (k ∈Z )． (2)由题意得cos 2x >0且y ＝cos 2x 递减． ∴x 只须满足：2k π<2x <2k π＋π 2 ，k ∈Z . ∴k π 4 ，k ∈Z . ∴y ＝log 1 2(cos 2x )的增区间为? ?? ??k π，k π＋π4，k ∈Z . 12．解 ∵0≤x ≤π2，∴－π3≤2x －x 3≤2 3π， ∴－3 2≤sin ? ????2x －π3≤1，易知a ≠0. 当a >0时，f (x )max ＝2a ＋b ＝1， f (x )min ＝－3a ＋b ＝－5. 由????? 2a ＋b ＝1－3a ＋b ＝－5，解得????? a ＝12－63 b ＝－23＋123 . 当a <0时，f (x )max ＝－3a ＋b ＝1， f (x )min ＝2a ＋b ＝－5. 由????? －3a ＋b ＝12a ＋b ＝－5，解得????? a ＝－12＋63 b ＝19－123 . 13．A [∵β∈? ?? ??π，32π， ∴π－β∈? ?? ?? －π2，0，且sin(π－β)＝sin β. ∵y ＝sin x 在x ∈? ?? ?? －π2，0上单调递增， ∴sin α>sin β?sin α>sin(π－β) ?α>π－β?α＋β>π.] 14．B [要使函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间[－π3，π 4 ]上的最 正弦、余弦函数的图像及性质习题 一、选择题 1、若[]π2,0∈x ，函数x x y cos sin -+=的定义域是 A ．[]π,0 B ．???? ??23,2ππ C ． ?? ?? ??ππ,2 D ．?? ? ? ??ππ2,23 2、函数x y sin 1-=的最小值是 A ．1- B ．0 C ．2- D ．1 3、若cosx=0，则角x 等于( ) A ．k π（k ∈Z ） B ． 2π+k π（k ∈Z ） C ．2 π +2k π（k ∈Z ） D ．－ 2 π +2k π（k ∈Z ） 4、使cosx=m m -+11有意义的m 的值为( ) A ．m ≥0 B ．m ≤0 C ．－1＜m ＜1 D ．m ＜－1或m ＞1 5、已知函数f(x)=2sin x(>0)在区间[,]上的最小值是－2，则的最小值等于（ ）A. B. C.2 D.3 6.若函数的图象相邻两条对称轴间距离为 ，则等于 ． A ． B ． C ．2 D ．4 7．函数y=3cos （ 52x －6 π ）的最小正周期是( ) A ． 5 π2 B ． 2 π 5 C ．2π D ．5π 8．下列函数中，同时满足①在（0， 2 π ）上是增函数，②为奇函数，③以π为最小正周期的函数是( ) A ．y=tanx B ．y=cosx C ．y=tan 2 x D ．y=|sinx| 9、函数??? ?? ?- ∈=32,6,sin ππx x y 的值域是 ??3π- 4 π ?322 3 cos()3 y x π ω=+ (0)ω>2 π ω12 12 教案 正弦型函数的图像和性质 1．,,A ω?的物理意义 当sin()y A x ω?=+，[0,)x ∈+∞（其中0A >，0ω>）表示一个振动量时，A 表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间2T π ω = 称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数12f T ω π = = ，称为振动的频率。x ω?+称为相位，0x =时的相位?称为初相。 2．图象的变换 例 ： 画出函数3sin(2)3 y x π =+的简图。 解：函数的周期为22 T π π= =，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再 函数3sin(2)3 y x π =+ 的图象可看作由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所有点向左平移 3 π 个单位，得到sin()3y x π=+的图象上；②再把 图象上所点的横坐标缩短到原来的12，得到sin(2)3 y x π =+的图象；③再把图象上所有点 的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin(2)3 y x π =+的图象。 x y O π 3 π- 6 π- 53 π 2π sin(3 y x π =+ sin(2)3 y x π =+ sin y x = 3sin(23 y x π =+ 一般地，函数sin()y A x ω?=+，x R ∈的图象（其中0A >，0ω>）的图象，可看作由下面的方法得到： ①把正弦曲线上所有点向左（当0?>时）或向右（当0?<时）平行移动||?个单位长度； ②再把所得各点横坐标缩短（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的 1 ω 倍（纵坐标不变）； ③再把所得各点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当01A <<时）到原来的A 倍（横坐标不变）。 即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。 问题：以上步骤能否变换次序？ ∵3sin(2)3sin 2()36y x x π π=+ =+，所以，函数3sin(2)3 y x π =+的图象还可看作 由下面的方法得到的： ①sin y x =图象上所点的横坐标缩短到原来的 1 2 ，得到函数sin 2y x =的图象； ②再把函数sin 2y x =图象上所有点向左平移6 π 个单位，得到函数sin 2()6y x π=+的 图象； ③再把函数sin2()6y x π =+的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍，得到3sin 2() 6 y x π=+的图象。 3.实际应用 例1：已知函数sin()y A x ω?=+（0A >，0ω>）一个周期内的函数图象，如下图 所示，求函数的一个解析式。 又∵0A > ，∴A = 由图知 52632 T πππ=-= ∴2T π πω ==，∴2ω=， 又∵157()23612 πππ+=， ∴图象上最高点为7( 12 π ， ∴7)12π?=?+，即7sin()16π?+=，可取23 π?=-， 所以，函数的一个解析式为2)3 y x π =-． 2．由已知条件求解析式 例2： 已知函数cos()y A x ω?=+（0A >，0ω>，0?π<<） 的最小值是5-， 图x 3 3 π 56 π 3 O 课时教学设计首页（试用） 授课时间：年月日 ☆补充设计☆ 第页（总页） (4)单调性 正弦函数在闭区间 n n [—2 + 2 k n 2 + 2 k n (kE Z)上是 增函数；在闭区间 l n 3 n 「—[2 + 2 k n, —+ 2 k n (kE Z)上是减函数. 例2求使函数y= 2+ sin x取最大值和最小值的x的集合，并求这个 函数的最大值、最小值和周期. 练习：教材P154,练习A组第1、2 题. 例3 不求值，比较下列各对正弦值 的大小： (1)si n(― 18 )与sin( —:n O )； (2)sin 严与sin 宁. 奇函数图象关于坐标原点对称. (4)随着单位圆中正弦线的变 化，体会正弦函数的单调性?学生总结 正弦函数的单调性. 师：在正弦函数图象上，函数单 调性是如何体现出来的？ 生：正弦函数在[—n + 2k n n 2 + 2kn](k迂Z)上，图象是上升的， 在[2 + 2k n, + 2k n](k^Z)上， 图象是下降的. 教师将例2结合函数图象讲 解，在练习后小结：函数y= 2+ sin x, y= 2—sin x 的图象与y = sin x 的关 系，求它们最大值、最小值的规律. 教师将例3结合正弦函数图象 讲解如何比较函数值的大小，然 后再引导学生一起写出解题步骤. 利用两个例题， 使学生更好地理解函数 性质的应用，进一步渗 透数形结合的思想. 课时教学设计尾页（试用） ☆补充设计☆ 板书设计 1?“五点法”作图； : 2 ?正弦函数的图象和性质 作业设计教材P154，练习A组第3、4、5题， 练习B组. 教学后记 辽宁省农村实验中学高一数学《1.3.1 正弦函数的图像与性质》学案（2） 一、学习目标 重点：正弦型函数的图象特征与性质． 难点：y＝A sin(ωx＋φ)与y＝sin x之间的图象变换规律及正弦型函数的单调区间等性质． 二、知识归纳 1．正弦型函数y=Asin(ωx＋φ)( A>0,ω>0)周期T= ，频率f= ,初相， 相位，振幅，值域 2.三角函数的图象变换 (1)y＝A sin x(A>0)的图象可由y＝sin x图象上各点的横坐标不变，纵坐标 (A>1)或 (0 例3.方程x ＝sin x 在x ∈[－π，π]上实根的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 例4．已知函数f (x )＝3sin(x 2＋π6)＋3 (1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象； (2)求f (x )的单调递减区间、对称轴、值域； （3）求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． 变式．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋π6 )＋a ＋1(其中a 为常数)．(1)求f (x )的单调区间； (2)若x ∈[0，π2 ]时，f (x )的最大值为4，求a 的值；(3)求出使f (x )取最大值时x 的取值集合． 课后习题： 一选择 1．函数y ＝5sin ? ????25 x ＋π6的最小正周期是( ) A.25π B.52π C ．5π D.π6 1 定义编辑数学术语 正弦函数是三角函数的一种. 定义与定理 定义：对于任意一个实数x 都对应着唯一的角(弧度制中等于这个实数) ，而这个角又对应 着唯一确定的正弦值Sin X ,这样，对于任意一个实数X都有唯一确定的值Sin X与它对应， 按照这个对应法则所建立的函数，表示为f(x)=sin X ,叫做正弦函数。 正弦函数的定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a/Sin A=b/Sin B=c/Sin C 在直角三角形ABC中，/ C=90 ，y为一条直角边，r为斜边，X为另一条直角边(在坐标 系中，以此为底)，贝U Sin A=y∕r,r= √( x^2+y^2) 2 性质 编辑图像 图像是波形图像(由单位圆投影到坐标系得出) ，叫做正弦曲线(Sine curve) 正弦函数X∈& 定义域 实数集R 值域 [-1，1] (正弦函数有界性的体现) 最值和零点 ①最大值：当X=2k ∏+ ( ∏/2) , k ∈Z 时，y(max)=1 ②最小值：当X=2k ∏+ (3∏/2), k∈Z 时，y(min)=-1 零值点：( kπ ,0) ，k∈Z 对称性 既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1) 对称轴：关于直线X= ( π /2) +kπ , k∈Z 对称 2) 中心对称：关于点(k ∏ , 0), k∈Z对称 周期性最小正周期：y=SinX T=2 π 奇偶性 奇函数（其图象关于原点对称） 单调性 在[-∏∕2+2k ∏ , ∏∕2+2k ∏], k∈Z 上是单调递增. 在[∏∕2+2k ∏ , 3∏∕2+2k ∏], k ∈Z 上是单调递减. 3 正弦型函数及其性质 编辑 正弦型函数解析式：y=Asin （ω x+ φ ）+h 重庆市渝中区职业教育中心 数学课程教案 教师 周名昆 第 1 页 第 1 页 共 2 页 [课 题] 5.8函数)sin(?ω+=x A y 的性质和图象 [课 时] 第一课时 [课 型] 新授课 [目 标] 1. 了解正弦型函数的解析表达式中各个符号的实际背景意义； 2. 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系； 3. 能够根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [重 点]根据表达式正确地指出A 、ω、?并求出最值、最小正周期 [难 点] 理解正弦型函数的图象与正弦函数的图象之间的关系 [教 法] 讲授法、启发式教学法 [教 具] 教材、实物展示台、多媒体投影 [教学过程] 一、复习引入 1正弦函数在区间[-π，π]上的图象（五点法作出） 2正弦型函数引出：见教材实例 二、新课讲授 1正弦型函数)sin(?ω+=x A y 中各个字母的意义 1）A ——振幅 2）ω——频率（弧度/秒） 3）?——初相 4）??+t ——t 时刻的相位 2正弦型函数的性质：A 、T A ——最值 T ——最小正周期（? π2=T ） 例1已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） x y 5sin 3= )115sin(3π-=x y )875sin(3π+=x y )11 5sin(π+=x y 练习已知函数求A （最大值、最小值）、T （ω） )351sin(6π+=x y )11100sin(24ππ+=x y )4 21sin(2π+=x y x y 5.0sin 13= 3正弦型函数与正弦函数图象之间的关系（利用课件演示） ⑴x A y sin =与x y sin = 振幅变换:y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正数曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 正弦函数、余弦函数性质说课稿 一、教材分析 1.教学目标 知识目标：，观察正弦、余弦函数图像得到正弦函数、余弦函数的性质，并灵活应用性质解题。 能力目标：培养学生分析、探索、类比和数形结合等数学思想方法在解决问题中的应用能力；培养学生自主探究的能力。 情感目标：让学生亲身经历数学的研究过程，感受数学的魅力，享受成功的喜悦。 2 地位和作用 本节课是《数学必修4》的第一章三角函数的内容，是学习了正弦函数、余弦函数的图像和周期性之后，进一步学习正弦函数、余弦函数的性质。该内容共两课时，这里讲的是第二课时。正弦、余弦函数的图像和性质是三角函数里的重点内容,也是高考热点考察的内容之一。通过本节课的学习，不仅可以培养学生的观察能力，分析问题、解决问题的能力，而且渗透了数形结合、类比、分类讨论等重要的数学思想方法，为以后、为高考的学习打下基础。 3 教学重点：正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调性、最值。 教学难点:确定函数的单调区间，应该对单调性的应用进行多层次练习，使学生在练习中掌握正弦、余弦函数的性质及应用。 二、学生的认识水平分析 1知识结构：学生在必修1学习了函数的有关概念，以及几个中学阶段的初等函数，在本章书的第一节介绍了角的概念的推广、正弦函数、余弦函数的图像和周期性，所以已经具备了这节课的预备知识。 2能力方面：已经具有一定的分析问题,解决问题的能力,函数思想和数形结合思想已经略有了解，在教师的指导下能力目标不难达到。 3情感方面：高一学生参与意识、自主探究意识逐渐增强，能够对新知识比较感兴趣。三、教法分析 引导发现教学法 为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生，为了立足于学生思维发展，着力于知识的建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会，采用引导发现法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现，再创造的过程。 四、学法分析 学法指导在教学过程中有着十分重要的作用，它不仅有助于学生学好数学知识，而且对培养和发展学生的自学能力，使学生学会学习，学会交流，形成科学世界观都有着不可低估的作用。本节课我从以下两个方面对学生进行学法指导： 联想尝试：数学是一门基础学科，数学的概念、性质、方法、思想抽象严谨，因此在学习过程中引导学生借鉴已有知识和经验，通过观察、分析、尝试发现新的知识方法，这有利于培养学生的数学情感，提高学生的学习兴趣，更有助于学生对知识的理解和掌握。 合作学习：引导学生认真观察正弦、余弦函数的图像之后，指导学生进行讨论交流，通 §1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 三角函数的性质及其编稿：李霞审稿：孙永钊 【考纲要求】 1、了解函数sin()yAx????的物理意义；能画出sin()yAx????的图象，了解参数 A，?，?对函数图象变化的影响. 2、了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 【知识络】 【考点梳理】 考点一、函数sin()yAx????(0A?,0??)的图象的作法 1.五点作图法： 作sin()yAx????的简图时，常常用五点法，五点的取法是设tx????，由t取0、 2?、?、32?、2?来求相应的x值及对应的y值，再描点作图。 2．图象变换法： （1）振幅变换:把sinyx?的图象上各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 变换和相位 sin()yAx???? sin 图象的作法三角函的质其 图象的性 变换的先后顺序不同时，原图象沿x轴的伸缩量有区别. 考点二、sin()yAx????的解析式 1.sin()yAx????的解析式 sin()yAx????(0A?, 0??)，[0,)x???表示一个振动量时，A叫做振幅，2T??? 叫做周期，12fT????叫做频率，x???叫做相位，0x?时的相位?称为初相. 2.根据图象求sin()yAx????的解析式 求法为待定系数法，突破口是找准五点法中的第一零点(,0)???. 求解步骤是先由图象求出A与T，再由2T???算出?，然后将第一零点代入0x????求出?. 要点诠释：若图象未标明第一零点，就只能找特殊点用待定系数法计算. 考点三、函数 sin()yAx????(0A?,0??)的性质 1. 定义域: xR?,值域:y∈[-A,A]. 2．周期性: 2T??? 3. 奇偶性:2k?????时为偶函数；k???时为奇函数，kZ?. 4．单调性:单调增区间 :[????????????22,22kk] , kZ? 单调减区间:[????????????232,22kk] , kZ? 5. 对称性:对称中心(????k,0)，kZ?；对称轴 正弦函数的性质：编辑本段 解析式：y=sinx 图象：波形图象 定义域：R 值域：【-1，1】 最值： ①最大值：当x=(π/2)+2kπ时，y(max)=1 ②最小值：当x=-(π/2)+2kπ时，y(min)=-1 零值点： (kπ,0) 对称性： 1)对称轴：关于直线x=(π/2)+kπ对称 2)中心对称：关于点(kπ,0)对称 周期：2π 奇偶性：奇函数 单调性：在【-(π/2)+2kπ,(π/2)+2kπ】上是增函数，在【(π/2)+2kπ,(3π/2)+2kπ】上是减函数 余弦函数的性质：编辑本段 余弦函数 图象：波形图象 定义域：R 值域：【-1，1】 最值： 1）当x=2kπ时,y(max)=1 2）当x=2kπ+π时,y(min)=-1 零值点：(π/2+kπ,0) 对称性： 1）对称轴：关于直线x=kπ对称 2）中心对称：关于点(π/2+kπ,0)对称 周期：2π 奇偶性：偶函数 单调性：在【2kπ-π,2kπ】上是增函数 在【2kπ,2kπ+π】上是减函数 tan15°=2-√3 tan30°=√3/3 tan45°=1 tan60°=√3 性质 1、定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z} 2、值域：实数集R 3、奇偶性：奇函数 4、单调性：在区间(-π/2+kπ,π/2+kπ)，（k∈Z）上是增函数 5、周期性：最小正周期π（可用T=π/|ω|来求） 6、最值：无最大值与最小值 7、零点：kπ,k∈Z 8、对称性： 轴对称：无对称轴 中心对称：关于点(kπ/2,0)对称（k∈Z） 9、图像（如图所示） 实际上，正切曲线除了原点是它的对称中心以外,所有x=(2/n)π点都是它的对称中心. 诱导公式 tan(2π+α)=tanα tan(－α) =－tanα tan(2π－α)=－tanα tan(π－α) =－tanα tan(π+α) =tanα tan(α+β) =（tanα+tanβ）/（1-tanα×tanβ） 12．正弦（sin）等于对边比斜边； 学习-----好资料 § 142正弦函数、余弦函数的性质导学案 般结论：函数y = As in （，x亠门）及函数y=Acos（?x亠仃）,x?二R的 周期T = 2： 【学习目标】 1、掌握正弦函数、余弦函数的周期性，周期，最小正周期。 2、掌握正弦函数，余弦函数的奇偶性、单调性。 3、会比较三角函数值的大小，会求三角函数的单调区间。 【学习过程】 一、自主学习（一）知识链接：作出函数y=sinx与y=cosx , x€ R的图象，图象的分布有什么特点？（二）自主探究：（预习教材P34-P40） 1、 ___________________________________________________ 正弦函数，余弦函数都是周期函数，周期是，最小正周期是 _________________________________________ 。 2、由诱导公式 _______________________________ 可知正弦函数是奇函数；由诱导公式 __________________________ 可知，余弦函数是偶函数。 3、正弦函数图象关于直线 _______________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称；余弦函数图象关于直线 ________________ 轴对称，关于点 _________________ 中心对称。 4、正弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 _________________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 5、余弦函数在每一个闭区间 __________________ 上都是增函数，其值从一1增大到1 ;在每一个闭区 间 ______________ 上都是减函数，其值从1减少到一1。 6、正弦函数当且仅当x = ____________ 时，取得最大值1,当且仅当x= ___________________ 时取得最小值—1。 7、余弦函数当且仅当x = ________________ 时取得最大值1;当且仅当x= _________________ 时取得最小值—1。 二、合作探究 1 2兀 1 兀 1、求下列函数的周期：（1）y sin（3x ）, （2）y = 2cos（ x ） 2 5 2 6 2、求出下列函数的最大值、最小值，并写出取最大值、最小值时自变量x的集合。 (1) y=1 sin 2x (2) y = -3cos 2x 3、禾U用三角函数的单调性，比较下列各组中两个三角函数值的大 小: ① sin( 54' ： 7 )与sin( 63 二 8 ②cos举与cos理 8 9 1 7T 4、求函数y = 2sin（― x '）的单调区间。 2 3 更多精品文档 x y 等分圆 平移三角函数线作正弦函数的图像 三角函数线 圆 O O 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：x y sin =图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数x y sin =的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同 角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像的画法： 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ②几何法阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出 ] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 ③五点法 观察] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与x轴的 交点和图像的最高点及最低点：______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然 后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像。 2、因为正弦函数是以π2为周期的周期函数，所以函数x y sin =在区间 )0 ] )1 2, 2[≠ ∈ +k Z k k k且 （ （π π上的图像与在区间] 2,0[π上的图像形状完全一样，只是位置 不同，因此我们只需将函数] 2,0[ sinπ ∈ =x x y，的图像向左、向右平行移动（每次移动π2 个单位）就可以得到R sin∈ =x x y，的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 三、合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间] 2,0[π上的简图。 （1）x y sin 3 =（2）x y sin -1 = 邳州市中等专业学校理论课程教师教案本（2015—2016学年第1学期） 班级名称 课程名称数学 授课教师 教学部 课题15.3 正弦型函数 一、正弦型函数的概念 教材分析 《正弦型函数的概念》是学生在学习了三角函数线及诱导公式后，为学习函数图像的周期、相位变换提供了依据；在正弦函数的图像和性质的基础上，进一步地加深对三角函数的认识，为刻画物理学中简谐振动和电工学中交流电的电压、电流变化提供数学模型，它是三角函数知识从理论到生活实践中的连接桥梁。 学情分析 1、知识方面：学生已经掌握了三角函数线及诱导公式，以及正弦函数的图像和性质。对具体形象的实例比较感兴趣，具有一定的数学基础及分析解决问题能力。 2、能力方面：职业学校学生普遍学习缺乏自觉，学习主动性不强，但是爱动手，对于通过自己的探索得出的结论格外感兴趣。 教学目标一、知识与技能 1、认识正弦型函数图像及其表达式的特征， 2、理解正弦型函数的概念， 3、会根据正弦型函数的图像或表达式求参数A，ω，?的值。 二、过程与方法 1、通过学生动手实践，分组讨论，培养学生分析问题解决问题的能力； 2、通过多媒体辅助教学，使学生学会将复杂问题进行分解的能力 三、情感、态度与价值观 1、通过主动探索，感受探索的乐趣和成功的体验，培养学生合作交流的意识，体会数学的理性和严谨； 2、让学生感受“从特殊到一般、从具体到抽象、数形结合”的数 学思想方法。 重难点1、教学重点： 正弦型函数的概念，根据已知条件求参数A，ω，?和最大最小值。 2、教学难点： 实际问题中的正弦型函数的理解。 教法与学法一、教法分析 教法上主要体现启发、探究、分组讨论等形式，同时利用学案导学优化课堂教学。 1、充分利用学生的好奇心与创造性，加强师生互动，生生互动，提高学生课堂参与程度。 2、通过采用设疑的形式启发、引导学生参与 二、学法分析 在学生已有的认知基础上，通过教师的引领，学生在已有认知结构的基础上自主探究，合作交流。 教学资源1、江苏省职业学校文化课教材《数学》第四册 2、教师编写的学案 3、多媒体课件（PPT）,几何画板 教学 准备 1、制作多媒体课件，编写本节课学案，从而优化课堂教学； 2、布置学生复习正弦函数的图像和性质。 正弦函数余弦函数的性质 教学目标 1．掌握y＝sin x(x∈R)，y＝cos x(x∈R)的周期性、奇偶性、单调性和最值．(重点) 2．会用正弦函数、余弦函数的性质解决一些简单的三角函数问题．(难点) 3．了解周期函数、周期、最小正周期的含义．(易混点) [基础·初探] 教材整理1函数的周期性 阅读教材P34～P35“例2”以上部分，完成下列问题． 1．函数的周期性 (1)对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期． (2)如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 2．两种特殊的周期函数 (1)正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． (2)余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π． 函数y＝2cos x＋5的最小正周期是________． 解：函数y ＝2cos x ＋5的最小正周期为T ＝2π. 【答案】 2π 教材整理2 正、余弦函数的奇偶性 阅读教材P 37“思考”以下至P 37第14行以上内容，完成下列问题． 1．对于y ＝sin x ，x ∈R 恒有sin(－x )＝－sin x ，所以正弦函数y ＝sin x 是奇函数，正弦曲线关于原点对称． 2．对于y ＝cos x ，x ∈R 恒有cos(－x )＝cos x ，所以余弦函数y ＝cos x 是偶函数，余弦曲线关于y 轴对称． 判断函数f (x )＝sin ? ?? ?? 2x ＋ 3π2的奇偶性． 解：因为f (x )＝sin ? ???? 2x ＋3π2＝－cos 2x . 且f (－x )＝－cos(－2x )＝－cos 2x ＝f (x )，所以f (x )为偶函数． 教材整理3 正、余弦函数的图象和性质 阅读教材P 37～P 38“例3”以上内容，完成下列问题． §1.4.2正弦函数余弦函数的性质 【教材分析】 《正弦函数和余弦函数的性质》是普通高中课程标准实验教材必修４中的内容，是正弦函数和余弦函数图像的继续，本课是根据正弦曲线余弦曲线这两种曲线的特点得出正弦函数和余弦函数的性质。 【教学目标】 1. 会根据图象观察得出正弦函数、余弦函数的性质；会求含有x x cos ,sin 的三角式的性质；会应用正、余弦的值域来求函数)0(sin ≠+=a b x a y 和函数 c x b x a y ++=cos cos 2)0(≠a 的值域 2. 在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯． 3. 在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 【教学重点难点】 教学重点：正弦函数和余弦函数的性质。 教学难点：应用正、余弦的定义域、值域来求含有x x cos ,sin 的函数的值域 【学情分析】 知识结构：在函数中我们学习了如何研究函数，对于正弦函数余弦函数图像的学习使学生已经具备了一定的绘图技能，类比推理画出图象，并通过观察图象，总结性质的能力。 心理特征：高一普通班学生已掌握三角函数的诱导公式，并了解了三角函数的周期性，但学生运用数学知识解决实际问题的能力还不强；能够通过讨论、合作交流、辩论得到正确的知识。但在处理问题时学生考虑问题不深入，往往会造成错误的结果。 【教学方法】 1．学案导学：见后面的学案。 2．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 【课前准备】 1．学生的学习准备：预习“正弦函数和余弦函数的性质”，初步把握性质的推导。 2．教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 【课时安排】1课时 【教学过程】 一、预习检查、总结疑惑 检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 二、复 习导入、展示目标。 （一）问题情境 复习：如何作出正弦函数、余弦函数的图象？ 生：描点法（几何法、五点法），图象变换法。并要求学生回忆哪五个关键点 引入：研究一个函数的性质从哪几个方面考虑？ 生：定义域、值域、单调性、周期性、对称性等 提出本节课学习目标——定义域与值域 正弦函数的图像和性质（一） 【使用说明】1.课前认真完成预习学案的问题导学及例题、深化提高； 2.认真限时完成，规范书写，课上小组合作探讨，答疑解惑。 【重点难点】重点：正弦函数的图像 难点：图像的画法 一、学习目标 1.了解正弦曲线的画法，能用五点法画出正弦函数的图像； 2.能通过函数图像对函数的性质做简单分析； 3.通过从单位圆和图像两个不同的角度去观察和研究正弦函数的变化规律，培养学生从不同角度观察、研究问题的思维习惯。 二、问题导学 1、函数的图像的画法： 描点法 步骤：列表→描点→连线 补全上述表格，并根据表格中数据在直角坐标系中画出的图像。 几何法 阅读教材25—26页内容，试借助于单位圆，利用正弦函数的定义画出的图像。 五点法 观察的图像，发现有五个点起着关键的作用，它们是图像与轴的交点和图像的最高点及最低点： ______,________,_________,________,__________. 因此，在精度要求不高的情况下，我们通常在直角坐标系中描出这起关键作用的五个点，然后用光滑的曲线连接，做出图像的简图。 请同学们用五点法画出的图像。 2、 因为正弦函数是以为周期的周期函数，所以函数在区间上的图像与在区间上的图像形状完全一样，只是位置不同，因此我们只需将函数的图像向左、向右平行移动（每次移动个单位）就可以得到的图像，正弦函数的图像叫做___________ 请同学们在几何法做出的图像的基础上，画出正弦曲线。 3、 合作探究 例1、用五点法画出下列函数在区间上的简图。 （1） （2） 例2、在上，利用的图像求满足下列不等式的的取值范围。 （1） （2） 正弦型函数y=Asin(ψx+φ）的图象变换教学设计 一、教学目标： 1、知识与技能目标： 能借助计算机课件，通过探索、观察参数A、ω、φ对函数图象的影响，并能概括出三角函数图象各种变换的实质和内在规律；会用图象变换画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象。 2、过程与方法目标： 通过对探索过程的体验，培养学生的观察能力和探索问题的能力，数形结合的思想；领会从特殊到一般，从具体到抽象的思维方法，从而达到从感性认识到理性认识的飞跃。 3、情感、态度价值观目标： 通过学习过程培养学生探索与协作的精神，提高合作学习的意识。 二、教学重点：考察参数ω、φ、A对函数图象的影响，理解由y=sinx的图象到y=Asin(ωx+φ)的图象变化过程。这个内容是三角函数的基本知识进行综合和应用问题接轨的一个重要模型。学生学习了函数y=Asin(ωx+φ)的图象，为后面高中物理研究《单摆运动》、《简谐运动》、《机械波》等知识提供了数学模型。所以，该内容在教材中具有非常重要的意义，是连接理论知识和实际问题的一个桥梁。 三、教学难点：对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响规律的发现与概括是本节课的难点。因为相对来说，、A对图象的影响较直观，ω的变化引起图象伸缩变化，学生第一次接触这 种图象变化，不会观察，造成认知的难点，在教学中，抓住“对图象的影响”的教学，使学生学会观察图象，经历研究方法，理解图象变化的实质，是克服这一难点的关键。 学情分析： 本节课在高一第二学段，对于高中常用的数学思想方法和研究问题的方法已经有初步的了解，并且逐步适应高中的学习方式和教师的教学方式，喜欢小组探究学习，喜欢独立思考，探究未知内容，学习欲望迫切。关于函数图象的变换，学生在学习第一模块时，接触过函数图象的平移，有“左加右减”，“上加下减”这样一些粗略的关于图象平移的认识，但对于本节内容学生要理解并掌握三个参数对函数图象的影响，还要研究三个参数对函数图象的综合影响，且方法不唯一，知识密度较大，理解掌握起来难度较大。 教学内容分析： 案例名称 科目 课时正弦型函数的概念及性质（职业模块工科类） xx数学 一课时教学对象xx （2）提供者xx 一、教材内容分析 1、主要内容： 函数y Asin(x)(A0,0)的概念及性质处于中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学》（职业模块工科类）第一章第2节，主要利用正弦函数的性质和图像研究y Asin(x)(A0,0)的性质和图像。 2、地位与作用： 这节知识是学生在学习了正弦、余弦和正切三个基本三角函数的性质与图像的基础上，进一步加深对三角函数图像的认识，其地位与作用从以下两点可以体现： Ⅰ、它在三角函数知识从理论到生活实践中扮演了连接桥梁的角色。 Ⅱ、学好它可以进一步领会函数图像的研究方法，以及实际生活中的应用。 3、教学建议： 结合具体的实例，了解y Asin(x)(A0,0)的实际意义。 了解正弦函数在电工学和物理学中的应用，培养学生解决问题的能力。 二、教学目标（知识与技能，过程与方法，情感态度与价值观）及重点、难点 1、教学目标： 知识与能力： 掌握正弦型函数的性质． 过程与方法： 通过“变量替换”、概括、归纳的方法，让学生理解并掌握三角函数的周期和最值；通过分析例题和练习，巩固知识。 情感态度与价值观： 通过学生参与教学活动提高认真、积极、自信态度；遇到困难时，通过自己的努力加以克服。养成乐于学习的好习惯。 2、重点及难点 重点： 利用正弦型函数的性质，求三角函数的周期和最值． 难点： 正弦型函数的转化过程。 三、学习者特征分析 1、通过在基础模块上册中三角函数——正弦函数的学习，已经掌握了三角函数的概念、性质及图像，具备了一定的分析、理解能力，对于正弦型函数只需要“变量替换”而形成。 2、学生认为函数很难理解，但是在已有的知识结构基础上，通过“变量替换”总结知识点。加强了学生的运算能力及推导能力。 四、教学策略选择与设计 1、问题激发策略： 《正弦函数的图像与性质》（第一课时）（教案） 神木职教中心 数学组 刘伟 教学目标：1、理解正弦函数的周期性； 2、掌握用“五点法”作正弦函数的简图； 3、掌握利用正弦函数的图像观察其性质； 4、掌握求简单正弦函数的定义域、值域和单调区间； 5、初步理解“数形结合”的思想； 6、培养学生的观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力等 教学重点：1、用“五点法”画正弦函数在一个周期上的图像； 2、利用函数图像观察正弦函数的性质； 3、给学生逐渐渗透“数形结合”的思想 教学难点：正弦函数性质的理解和应用 教学方法：多媒体辅助教学、讨论式教学、讲议结合教学、分层教学 教学过程： Ⅰ 知识回顾 终边相同角的诱导公式： )(sin )2sin(Z ∈=+k k απα 所以正弦函数是周期函数，即 ,6-,4-,2-,6,4,2ππππππ及都是它的周期，其中π2是它的最小正周期，也直接叫周期，故正弦函数的周期为π2 Ⅱ 新知识 1、用描点法作出正弦函数在最小正周期上的图象 x y sin =，[]π2,0∈x （1）、列表 （2）、描点 （3）、连线 因为终边相同的角的三角函数值相同,所以x y sin =的图像在…， [][][][]ππππππ4,2,2,0,0,2,2,4--- ，…与x y sin =，[]π2,0∈x 的图像相 同 2、正弦函数的奇偶性 由诱导公式x x sin )sin(-=-，R x ∈得： ①定义域关于原点对称 ②满足)()(x f x f -=- 所以，正弦函数为奇函数（观察上图，图像关于原点对称） 3、正弦函数单调性 、值域 由图像观察可得： 正弦函数在??????++- ππ ππ k k 22, 22 是增函数，在?? ? ???++ππππk k 223,22是减函数 得到最大值为1，最小值为-1，所以值域为[]1,1- 1.4正弦函数与余弦函数的图像与性质 知识概括 归纳性质完成下表： 函数 x y sin = x y cos = 图像 定义域 值域 奇偶性 周期性 单调性 在区间 上单调增；在区间 上单调减。 在区间 上单调增；在区 间 上单调减。 最值 当=x 时，有最大值 1max =y ；当=x 时，有最 小值1min -=y 。 当=x 时，有最大值 1max =y ；当=x 时，有最小值 1min -=y 。 对称性 对称轴： 对称中心： 对称轴： 对称轴： 课前检测 1.函数)6 sin()(π +=x x f 的一个减区间是（ ） A.]2,2[π π- B.]0,[π- C. ]32,32[ππ- C.]3 2,2[π π 2.比较大小：)18 sin(π - )10 sin(π - ； 3cos 2cos 3.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并写出最大值、最小值各是多少。 （1）R x x y ∈=sin 2 (2) R x x y ∈-=3 cos 2 4.判断下列函数奇偶性 （1）x x f cos 1)(-= （2）x x x f sin )(-= 例题解析 例1.求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合 (1)3cos x y = (2)x y 2sin 2-= (3) ??? ? ? +=6sin 3πx y 变式1 ：(1) 若?? ? ???∈=34,0sin 3πx x y 呢？ (2) 若[]ππ2,0) 6sin(3∈+=x x y 呢？ 例2. 判断下列函数的奇偶性： (1)x x x f cos |sin |)(?=： ；(2)x x x f cos )(+=： . 例3.（1）求)3 2cos(π + =x y 的单调增区间； （2）求)3 2sin(π + -=x y 的单调增区间。 课堂练习 1.函数x 2sin 2y = 的奇偶性为 （ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数 2.在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是 （ ） A.2sin x y = B.x y 21cos = C.4 sin x y -= D.x y 2sin = 3.函数]2 ,0[),6cos(π π ∈+ =x x y 的值域是 （ ） A.]21,23[- B.]23,21[- C.]1,23[ D.]1,2 1 [ 课后作业 1.在△ABC ，则△ABC 必是 （ ） A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形4.4.1正弦函数图像与性质练习题.doc
教案正弦型函数的图像和性质
中职数学基础模块5.3.1正弦函数的图象和性质教学设计教案人教版
高一数学1.3.1正弦函数的图像与性质学案2
正弦函数的图像和性质
正弦型函数的性质和图象教案
正弦函数、余弦函数性质说课稿
人教A版必修四全套教案之1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
知识讲解 三角函数的性质及其应用 提高
正弦函数的性质
最新1.4.2正弦函数、余弦函数的性质导学案
正弦函数的图像和性质(一)
15.3(1)正弦型函数教案
正弦函数余弦函数的性质
高中数学人教版必修4教案 1.4.2正弦函数余弦函数的性质(教、学案)
正弦函数的图像和性质(一)
正弦型函数教案
教学设计――正弦型函数概念及性质
正弦函数的图像与性质教案
高中数学必修四正弦函数与余弦函数的性质学案