复经验正交函数分解CEOF
赤道印度洋上层环流辐合辐散的年际变异成因分析
赤道印度洋上层环流辐合辐散的年际变异成因分析陈瑞莹;何卓琪;王卫强;高郭平【摘要】印度洋上层海气相互作用对印度洋和太平洋气候系统有重要影响.目前针对印度洋气候态环流特征已有较为全面的研究,但针对印度洋环流的年际变化及其季节性差异的特征分析和具体作用机制,仍缺乏深入的研究.本文利用1979-2007年Simple Ocean Data Assimilation(SODA)再分析资料研究了赤道印度洋表层辐合辐散的年际变异及其季节依赖性.结果表明,以赤道为中心,印度洋上层异常海流,在经向上形成显著的辐合(辐散)现象,究其原因主要是赤道纬向风异常形成的Ekman流所导致.进一步分析表明,热带印度洋异常纬向风的成因与太平洋-印度洋的热力强迫过程作用有关,并且不同的热力强迫过程呈现出显著的季节差异性.此热力强迫过程,具体可分为3种类型:第一类是太平洋纬向海表热力差异的遥强迫作用,主要发生在冬末春初,热带太平洋的纬向热力差异通过调节Walker环流,在印度洋激发出一个异常的次级环流,对应的大气低层形成纬向风异常;第二类是东-西印度洋海表热力差异的局地强迫作用导致的局地环流,使赤道印度洋上空形成纬向风异常,此过程在春末夏初较为显著;第三类是太平洋-印度洋热力差协同作用的结果,使赤道印度洋盛行异常的纬向风,此过程在秋季起主导作用.【期刊名称】《海洋与湖沼》【年(卷),期】2019(050)004【总页数】12页(P765-776)【关键词】赤道印度洋;辐合辐散异常;海气相互作用;印度洋-太平洋热力强迫【作者】陈瑞莹;何卓琪;王卫强;高郭平【作者单位】上海海洋大学海洋科学学院上海201306;中国科学院南海海洋研究所热带海洋环境国家重点实验室广州510301;中国科学院南海海洋研究所热带海洋环境国家重点实验室广州510301;中国科学院大气物理研究所大气科学和地球流体力学数值模拟国家重点实验室北京 100029;中国科学院南海生态环境工程创新研究院广州 511458;南方海洋科学与工程广东省实验室广州 510301;中国科学院南海海洋研究所热带海洋环境国家重点实验室广州510301;中国科学院南海生态环境工程创新研究院广州 511458;南方海洋科学与工程广东省实验室广州510301;上海海洋大学海洋科学学院上海201306;上海海事大学海洋科学与工程学院上海201306【正文语种】中文【中图分类】P724.8发生在热带印度洋上层的海气相互作用, 促进了海洋与大气的热量交换和物质交换(Lee, 2004; Horii et al, 2013), 影响着印度洋与太平洋的海洋环流和大气环流。
基于EOF和REOF分析江淮梅雨量的时空分布
基于EOF 和REOF 分析江淮梅雨量的时空分布周后福1, 陈晓红2(1.安徽省气象科学研究所,安徽合肥 230031;2.安徽省气象台,安徽合肥 230031)摘 要:基于江淮梅雨区域50个气象台站1960-2002年的梅雨量资料,利用EOF 、REOF 展开方法,分析了江淮梅雨降水的空间分布及时间演变特征.EOF 展开方法表明江淮梅雨前三个特征向量累积方差贡献比例为88.9%,其主要特征是三个特征向量场呈现纬向带状分布;第一特征向量场空间分布均为正值,说明江淮梅雨量的干湿变化具有一致性,但是各特征向量场之间的特点相差明显.REOF 展开方法表明可以把江淮梅雨划分为6个典型的梅雨量场;后一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小;主成分旋转后载荷要比旋转前分布均匀得多;第一时间系数的变化等同于各站平均梅雨量变化.关键词:EOF 分析;REOF 分析;梅雨降水;时空分布中图分类号:P468 文献标识码:A 文章编号:1001-2443(2006)01-0079-04 梅雨是长江中下游地区的气候特色之一,也是我国乃至东亚地区重要的降水现象.梅雨的形成及其强弱与副热带高压、青藏高压、东亚季风以及西风带长波等大尺度天气系统的活动密切相关.由于每年这些大尺度天气系统的强度、进退迟早和速度快慢等都不一样,梅雨锋系的大小和维持时间的不同,致使历年梅雨到来的迟早、长短和雨量的多寡差异很大,直接导致这一地区干旱或洪涝的形成.因此梅雨形成的研究一直受到气象工作者的重视,进行过许多方面的探讨[1-2]. 安徽省处在北亚热带和暖温带过渡地区,气候变化复杂,每年的降水大多集中在梅雨期,汛期降水更是集中在梅雨过程,因此对梅雨现象进行重点深入探讨,有助于把握汛期降水的主要特性,对于安徽防汛抗旱有指导意义.尽管梅雨时间和空间分布的规律作过不少研究,但是多从气候统计学角度来进行,例如应用平均值、方差、趋势等分析手段.本文主要利用两种EOF 分析方法,探究江淮梅雨的时间演变现象,重点地分析空间分布规律,给出江淮梅雨的分布型,为江淮梅雨的分区预测提供依据.1 资料来源和分析方法1.1 梅雨资料 安徽的梅雨主要发生在淮河一线以南地区,因此本文研究范围为淮河以南.利用安徽省淮河以南地区、资料年代较长的50个气象站1960-2002年逐日降水资料,以及温度资料和东亚大气环流形势,根据作者综合许多气象学者成果的基础上在文献[3]提出的梅雨划分标准,划定江淮之间、沿江江南地区和安徽省逐年入梅日、出梅日和梅雨期,据此得到淮河以南各气象站的梅雨量.1.2 分析方法简介 EOF 分析也称经验正交函数分解,它可以针对气象要素来进行.其基本原理是对包含p 个空间点(变量)的场随时间变化进行分解.设样本容量为n 的资料,则场中任一空间点i 和任一时间点j 的资料值(x ij )m n 可看成由p 个空间函数ik 和时间函数t kj (k =1,2,…,p )的线性组合,具体的展开形式见文献[4,5]. 旋转主成分分析(REOF )是在传统主成分分析(EOF )的基础上再做旋转.本文采用Horel 使用的方差最大正交旋转法,也是气候分析和诊断经常使用的方差最大正交旋转法.其基本原理在文献[4]中有详细的叙述,这里不再赘述.本文取前7个载荷向量及其对应的主成分参加旋转.REOF 分析不仅可以很好地反映不收稿日期:2005-01-28基金项目:安徽省气象科技基金(0307).作者简介:周后福(1965-),男,安徽无为人,硕士,高级工程师,主要从事气候分析和天气预报研究.第29卷1期2006年2月 安徽师范大学学报(自然科学版)Journal of Anhui Normal University (Natural Science )Vol.29No.1Feb .2006同地域的变化,而且可以反映不同地域的相关分布状况[6].2 空间变化特征2.1 EOF分析 通过对1960-2002年逐年江淮梅雨量资料采取标准化处理之后,再进行EOF分析,得到各个主成分,前7个主成分的主要结果见表1.由表1可知,第一主成分的方差贡献最大,第二主成分的方差贡献迅速降低,后面几个主成分方差贡献已经很小;解释方差也有同样的现象.前3个主成分的方差贡献几乎占90%,因而给出前3个主成分所对应的特征场,见图1.它反映出江淮梅雨量异常的几种主要的大范围空间分布特征.图la给出了江淮梅雨量第一特征场,全区一致为正,说明江淮梅雨量的干湿变化是一致的,具体是指某年淮河以南梅雨量或者普遍偏干,或者普遍偏湿,它显然是受大尺度梅雨锋系影响的缘故.但是在各地变化情况有这样的现象:0.155等值线呈现环状结构,主要在沿江中部,向南和向北逐步减少;总的来看,大致呈现南北向纬度地带性分布.载荷量大值区主要位于沿江地区,说明此地是江淮梅雨量变率最大的地区,也是旱涝异常的敏感区,由表1可知这种空间异常类型占整体方差的69.2%.由图1b可以看出,第二特征场则与第一特征场有着很大的差异,其分布有着南北反向变化的结构特点.正值中心位于皖南南部地区,而负值中心则位于沿淮地区,说明江淮梅雨量呈现南干北湿或南湿北干的格局特征,即南北差异是江淮梅雨量的第二空间异常类型.出现这种情况的原因是,随着每年6月以后西太平洋副热带高压北跳的不同,雨带长期维持在江南,则江淮地区雨量少;雨带长期维持在江淮地区,则江南雨量少.从第三特征场(图1c)可以看出合肥、巢湖地区、宣州部分地区的梅雨量表现出与周围地区相反的特征.这可能是因为这些地区多处在丘陵地区,在某些年份受副高控制晴热少雨,梅雨量偏少.表1 前7个E OF和RE OF分析对总方差的贡献和累积贡献T able1 contribution and accumulated contribution of front7E OF and RE OF with total squ are error序号EOF解释方差方差贡献/%累积方差贡献/%REOF方差贡献/%累积方差贡献/%11487.969.269.216.216.22348.916.285.415.631.8374.6 3.588.915.046.8447.3 2.291.113.360.1528.8 1.392.412.372.4621.4 1.293.612.284.6715.0 1.094.610.094.62.2 REOF分析 通过EOF展开方法的讨论可以看出,江淮梅雨量的降水空间格局既有全区一致的少雨或多雨现象,也存在区域内部南北的差异,但是其主要特点依然为纬向分布型,不能更为精细地描述不同地理区域的特征,因此在EOF分析的基础上,再进一步做最大正交方差旋转,进行REOF展开,可以得出非常细微的地理分区.由表1可以看出,前7个主成分的累积方差达到了94.6%,可以用此来代表原始的向量场.对前7个主成分进行方差最大旋转,并由前6个旋转载荷向量对江淮梅雨量进行分区.由表1可知旋转后载荷的贡献要比旋转前分布均匀.这是因为旋转后各主成分的意义着重表现空间的相关性分布特征,高载荷只集中在某一较小的区域,而使其它大部区域的载荷尽可能地接近0. 对REOF展开结果所绘出的图(略去)分别进行分析.第1旋转载荷向量场的高载荷区主要在大别山北部.这一地区是江淮丘陵区,对降水极其敏感,也是安徽少雨区.第2旋转载荷向量场的高载荷区主要位于宣郎广一带,以丘陵为主.第3旋转载荷向量场的高载荷区主要分布在本区东北,丘陵和河流较多.第4旋转载荷向量场的高载荷区大体分布在本区西北,以平原地貌为主,是安徽旱涝多发区.第5旋转载荷向量场的高载荷区多分布在江南南部,以山地地貌为主,是安徽降水最多的区域.第6旋转载荷向量场的高载荷区则主要分布在沿江西部,河流和平原地貌为主.按载荷绝对值>0.5的高载荷分布区域来考虑,梅雨量在淮河以南大致可分大别山、沿淮北部、东北部、沿江、江南西部和宣郎广6个区域(见图2).08安徽师范大学学报(自然科学版)2006年图1 EOF 第1-3特征向量场(a :第1,b :第2,c :第3)Fig.1 the first ,second and third eigenvector fields (a :first ,b :second ,c :third )图2 分区示意图Fig.2 the type sketch figure 由上面REOF 分析得出的江淮梅雨量分区较为清楚地反映出地理位置和地形对梅雨降水的影响,而且据此可以分为6个区域,这种江淮梅雨量异常分区与江淮梅雨分布存在着某种程度上的重合.因此在分析和研究江淮梅雨量及其异常变化时,须重点考察上述6个类型区域的梅雨气候及其预测.3 时间变化特征 EOF 分析能够反映江淮梅雨量随时间的变化规律.从前10个时间系数可以判断出,第一时间系数的变化幅度最大,介于27—18之间;第二时间系数变化幅度次之,介于210—8之间;第三时间系数变化幅度再次之,介于23—4之间;后面的每一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小.这里仅给出前4个时间系数所对应的曲线.图3为1960—2002年江淮梅雨量EOF 展开的时间系数变化,其中图3a 为第一时间系数和第二时间系数的变化曲线,分别以T1和T2表示;图4b 为第三时间系数和第四时间系数的变化曲线,分别以T3和T4表示. 由图3a 并与50个气象站梅雨的逐年平均值(曲线略)比较可知,第一时间系数的变化等同于各站平均梅雨量变化,第一时间系数越大,该年的平均梅雨量越大;第一时间系数越小,该年的平均梅雨量越小.1969年、1983年、1991年、1996年、1999年等年份的第一时间系数为极大值,分别是9.90、9.90、15.62、17.90和14.36,同时期的平均梅雨量分别为553mm 、559mm 、699mm 、805mm 、698mm ;多年平均50站的梅雨量是273mm ,可见以上各年梅雨量大约是平均值的2—3倍. 由图3a 和图3b 可以看出第二、第三、第四时间系数都有明显的逐年变化现象,有年际变化特征.第二时间系数正值越大,其所对应年份的梅雨量越接近于EOF 展开第二特征场的分布,即北少南多的梅雨;第二时1829卷第1期 周后福,陈晓红: 基于EOF 和REOF 分析江淮梅雨量的时空分布间系数负值越大,其所对应年份的梅雨量越接近于EOF 展开第二特征场的反向分布,即北多南少的梅雨.第三、第四时间系数值的变化,也有类似情况.图3 1960-2002年江淮梅雨量EOF 展开的时间系数变化(a :第1和第2,b :第3和第4)Fig.3 time coefficient variation of EOF on Jianghuai Meiyu precipitation (a :first and second ,b :third and fourth )4 结 语 基于安徽淮河以南地区50个气象站1960-2002年的梅雨量资料,利用EOF 、REOF 两种展开方法,分析了江淮梅雨量的空间分布及时间演变特征,重点在于空间地理分布.EOF 分析方法表明江淮梅雨前三个特征向量累积方差贡献比例高达88.9%,主要空间特征是三个特征向量场呈现纬向带状分布;第一特征向量场空间分布均为正值,说明江淮梅雨量的干湿变化具有极好一致性,但是各特征向量场之间的特点相差明显.REOF 分析方法表明江淮梅雨量场可以被分为6个主要的类型;主成分旋转后载荷要比旋转前分布均匀得多;后一个时间系数序列的变化幅度比前一个时间序列要小;第一时间系数的变化相当于各站平均梅雨量变化.参考文献:[1] 徐群.近46年江淮下游梅雨期的划分和演变特征[J].气象科学,1998,18(4):316-329.[2] 周曾奎.江淮梅雨[M].北京:气象出版社,1996.[3] 周后福,谢重阳.梅雨划分标准及安徽梅雨序列的确定[J].气象教育与科技,2004,(2):4-8.[4] 魏凤英.现代气候统计诊断预测技术[M].北京:气象出版社,1999.[5] 范丽军,韦志刚,董文杰.西北干旱区地气温差的时空特征分析[J].高原气象,2004,23(3):360-367.[6] 刘会玉,林振山,张明阳.湖南汛期降水异常的时空分布特征研究[J].热带气象学报,2004,20(4):409-418.T emporal and Spatial Distribution of JianghuaiMeiyu with EOF and REOF AnalysisZHOU Hou 2fu 1, CHEN Xiao 2hong 2(1.Anhui Meteorological Institute ,Hefei 230031,China ;2.Anhui Meteorological Station ,Hefei 230031,China )Abstract :Based on the data of Meiyu precipitation about 50weather stations from 1960to 2002,temporal and spatial distribution characteristics are analyzed with EOF and REOF methods.EOF analysis shows that the ratio of the front 3eigenvectors with total square error is 88.9%,and the front 3eigenvector fields present string distribution.The characteristic of each eigenvector field is different.REOF analysis manifests that Meiyu precipitation fields may be divided into 6types and the change of rotated eigenvector field is little.The change of the first temporal coefficient is analogous with the change of average Meiyu precipitation on all stations.K ey w ords :EOF ;REOF ;meiyu precipitation ;temporal and spatial distribution(责任编辑 巩 )28安徽师范大学学报(自然科学版)2006年。
气象中的统计方法总结
51气象中的统计方法总结2、判别分析；广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段；3、相关分析；近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（；奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关；4、气象场的分解及其应用；50年代中期由Loreng引入到大气科学研究中的；4．1经验正交函数（EOF）分解；章基嘉等[30]应用经验正交函数对亚洲500hP；4．2主成份（主分量）2、判别分析广东省徐闻气象局[20]用二级判别做台风登陆地段的预报。
Fisher、Bayes以及逐步判别等虽然在气象实际中广泛应用,但严格地说,这些方法仅当变量为正态分布时才可应用， Logistic判别对变量的基本假设条件较宽,对未经正态检验的变量应用本方法是可行的，且可用于既有连续变量又有多值离散变量的情形。
吕纯濂等[21] 将Logistic判别引入中国气象界,并研究了二次Logistic判别[22]分析及逐步判别[23]在气象中的应用。
3、相关分析近20年来在气象统计中用得较多的主要有典型相关（CCA）分析和奇异值分解（SVD）方法。
CCA是提取两个气象场的最大线性相关摸态的方法。
朱盛明、祝浩敏[24]在数值预报的解释应用中用典型相关分析提取有物理意义的预报因子作预报方程。
陈嘉玲、谢炯光[25]用典型相关分析作中期冷空气预报。
黄嘉佑[26]用典型相关分析作副高的统计动力预报。
近年来发展了一种新的CCA改进方法，称为典型相关分析的BP（Barnert 和Preisendorfer）方法,在气象统计中也得到了应用[27]。
奇异值分解（SVD）也是提取两个场的最大线性相关摸态的方法，SVD 方法可以变成是两个要素场关系的扩大EOF分析。
谢炯光等[28]用奇异值分解方法，求出了广东省前汛期（4-6月）西太平洋场海温与广东省降水场的6对奇异向量，来作汛期降水趋势预报。
江志红等[29]用SVD方法讨论了中国夏半年降水与北太平洋海温异常的关系。
经验正交函数分解
经验正交函数分解
一、什么是经验正交函数分解
经验正交函数分解(EOF分解）是一种数理统计的技术，它用于把复杂的的数据表达式分解成具有明显特征的区分度更高的函数组合，被称为经验正交函数系，是统计分析的一种有效方法。
经验正交函数分解是一种特殊的优化算法，被用于各种目的，主要是将高维度的数据降维。
二、经验正交函数分解的原理
经验正交函数分解的原理是将给定的函数用非线性的正交函数加以展开，并基于理论和经验确定函数中变量的权重系数，从而有效地减少数据集中潜在信息的维度。
经验正交函数分解是一种迭代分解技术，本质上可以看作一种数据聚类算法。
三、经验正交函数分解的应用
经验正交函数分解通常应用在数据挖掘和机器学习算法中，用于减少高维度的数据集合，使高维数据更容易理解，并且可以捕捉非线性的特征。
此外，经验正交函数分解还可以应用在实业考察、地理信息技术、生态模拟和“大数据”分析中。
四、总结
经验正交函数分解是一种重要的数理统计技术，它的原理是运用非线性正交函数展开，并基于理论和经验确定函数中变量的权重系
数，用于帮助用户数据减少维度，这样可以捕捉非线性特征。
它可以被用在数据挖掘、机器学习、实业考察、地理信息技术、生态模拟和“大数据”分析中，因此，它具有十分重要的意义。
复经验正交函数分解CEOF
Qk
(t
)
arctan
Im Pk (x) Re Pk (t)
（7）计算特征向量的方差贡献和累积方差贡献.
CEOF结果分析
对CEOF的结果进行分析,要具备很强的天气, 气候学知识,并根据所要解决的问题进行合理的分 析.
（1）通过空间振幅函数，分析气候变量场的空间分 布结构.根据空间相位函数分析波的传播方向;
构造Hermite矩阵的方法
（1）滤波. 生成一个与实数序列相正交的序列:
^
L
u j (t) u j (t l)h(l)
lL
h(l)
2 l
sin2 ( l ) 2
l 0
0 l 0
L为滤波器长度, 取7-25
（2）傅立叶变换.
uj (t) aj ()cost bj ()sint
a
若复数矩阵满足: (U*)' U 或
_
U U
则称U为Hermite矩阵;”*”表示复数共轭, ”’”表示转置，”-”表示转置共轭;
_
若 UU I
且
_
UU I
则称U为酉矩阵或正交矩阵.
Hermite矩阵的特征值为实数,存在一酉矩阵B,使
1 0 0
_
B
UB
0
2
0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
m
则B为 Hermite矩阵的特征向量
复经验正交函数(Complex Empirical Orthogonal Function, CEOF)
• CEOF主要针对气象变量场的特点设计的计算格式;
• 传统的EOF分离出的仅是空间驻波振动分布结构；
• CEOF分析气候变量场空间尺度行波分布结构及位 相变化;
1961—2018年新疆降水量时空变化特征
武夷学院学报JOURNAL OF WUYI UNIVERSITY第 40 卷 第 3 期2021 年 3 月Vol.40 No.3Mar. 20211961—2018年新疆降水量时空变化特征胡文峰1,2,3,姚俊强1,2*,张文娜4(1.中国气象局乌鲁木齐沙漠气象研究所，新疆乌鲁木齐830002； 2.阜阳师范大学历史文化与旅游学院，安徽阜阳236037；3.中亚大气科学研究中心，新疆乌鲁木齐830002；4.新疆建设职业技术学院，新疆乌鲁木齐830054)摘 要：利用1961—2018年新疆地区89个气象台站的逐月降水观测数据，采用M-K 突变检验、小波分析及EOF分析等方法，研究了新疆区域降水的时空变化规律。
结果表明：1961—2018年新疆降水量呈明显的增加趋势,21世纪以来降水量增加趋势放缓;降水量在1987年发生突变，但变化特征时间和空间上存在一定的差异;降水量存在着22〜30、 12〜18、6〜9和3~4 a 时间尺度的变化周期;从时空模态变化来看，新疆降水量在空间上具有全区一致性、东一西部反向变化、西北一东南部反向变化以及天山西部一周边地区反向变化等4个时空变化模态，时空模态在时间变化上也存在一定 的差异。
研究结果对于对新疆区域应对气候变化和区域水资源管理，以及“一带一路”核心区的战略规划有着一定的参考价值。
关键词：降水量;时空变化;时空模态;新疆中图分类号:P94文献标识码:A文章编号：1674-2109(2021)03-0045-07在全球变暖背景下，全球及区域尺度降水的时空布，构成典型的山-盆体系,形成“三山夹两盆”的独特分布及其变化特征研究受到学者们的关注。
研究表明陆地上的总降水量增加趋势不明显，但存在明显区域 差异，其中北半球中高纬度陆地上的降水量呈增加趋 势［1］,而其他地区呈现相反的趋势叫认为全球变暖会导致降水分布不平衡更显著，出现“干旱区越干，湿润区越湿”的趋势［1^°此外，也有学者研究指出“干旱区越干,湿润区越湿”并不适用于全球绝大部分地区［7-］°新疆地处亚欧大陆腹地,盆地和高大山脉交错分收稿时间：2020-04-29基金项目：中国博士后科学基金(2019M653905XB)曰中央级公益性科研院所基本科研业务费专项资金项目(IDM2018001)；荒漠与绿洲生态国家重 点实验室开放基金(G2018-02-02)；安徽省高校人文社科研究重点项目(SK2019A0335,SK2019A0306)°作者简介:胡文峰(1978-)，男，汉族，讲师，主要从事气候变化与环境研究。
【国家自然科学基金】_eof分解_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140730
科研热词 青藏高原 经验正交函数 气候变化 梅雨 大气热源 夏季降水 南亚 eof 青藏高原东部 雨季凝结潜热 降水距平 赤道潜流 西北太平洋 耦合模式 纬向平均 空间模态 积雪深度 潮流表示参数 海温数据补缺 模糊聚类 模拟 植被变化 最高气温 最低气温 时空演变特征 时空变化 斜压性 异常潜热通量场 异常感热通量场 奇异值分解 夏季风 垂向高密度潮流数据 地理因子 地形因子 南半球夏 华东地区 半日分潮 千年 动态植被模式 净初级生产力 全球海温异常 全日分潮 中国东部 两类enso事件 z指数 svd分解 svd分析 svd lanczos算子 eof插值 eof和svd分解 eof分解
1 1 1 1
53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
复经验正交函数分析方法 1 塔里木盆地 1 基函数拟合 1 周期 1 向量eof分解 1 可降水量 1 变化趋势 1 变化特征 1 南极涛动 1 南半球大气环流活动 1 华东地区 1 区域降水量指数 1 动力模型反演 1 冬季气温 1 内蒙古 气温 时空变化 eof(经验正交函数) 1 共同eof分解 1 低频位势波 1 交叉验证 1 云南汛期降水 1 主模态 1 主成分分析 1 中国近海 1 中国北方荒漠区 1 中国 1 东部季风区 1 θ -pvlat坐标 1 mm5模拟 1 kriging 1 hycom模式 1 eof/reof 1 eof 1
2010年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52
复变函数中的正交函数系统
复变函数中的正交函数系统复变函数是数学中的一个重要分支，而正交函数系统在复变函数中也起着重要的作用。
本文将深入探讨复变函数中的正交函数系统的概念、性质及应用。
正交函数系统是指在一定区间上互相正交的一组函数。
在复变函数中，我们常常需要寻找一组满足特定条件的函数，来表示给定的复变函数。
通过使用正交函数系统，我们可以将复变函数展开成一组函数的线性组合，从而方便地进行计算和分析。
首先，让我们来了解一下正交函数系统的具体定义和性质。
正交函数系统的第一个性质是正交性，即函数系统中的任意两个函数在一定区间上的内积等于零。
若函数系统为ψn(x)，其中n为正整数，则有∫ψm(x)ψn(x)dx=0，其中m≠n。
这个性质保证了函数系统中的函数相互垂直，没有冗余。
正交函数系统的第二个性质是完备性，即函数系统中的任意函数都可以用函数系统中的函数表示。
对于给定的复变函数f(x)，如果存在一组系数{an}，使得f(x)=∑anψn(x)，那么我们称正交函数系统ψn(x)在一定区间上是完备的。
通过适当选择系数，我们可以得到给定函数的最佳逼近。
正交函数系统的第三个性质是正规性，即函数系统中的每个函数的范数等于1。
范数是一个度量函数大小的概念，对于函数ψ(x)，其范数定义为∥ψ∥≡√∫|ψ(x)|^2dx=1。
正规性保证了函数系数的正交归一化，使得系数的表达更为简洁和统一。
正交函数系统在复变函数中有广泛的应用。
其中最重要的应用之一是函数展开，即将给定的复变函数表示成正交函数系数的线性组合。
通过选择适当的正交函数系数，我们可以得到函数的级数展开形式，进而进行计算和分析。
例如，在求解边界值问题和解析函数的性质时，正交函数展开是一种非常有效的方法。
另一个重要的应用是求解偏微分方程。
复变函数中的正交函数系统可以将给定的偏微分方程转化为一系列常微分方程，从而简化求解过程。
通过合适地选择正交函数系数和边界条件，我们可以得到偏微分方程的解析解或数值解。
经验正交函数
（2） 提供的资料为是 2013 年 7 月 1 日 00 时到 7 月 31 日 18 时逐 6 小时的 850hPa 高度场，时间序列长度为 124 次，
网格点为 1*1；经纬度范围：0N-90N,0E-180E
（3）EOF（经验正交函数分解）是针对气象要素场进行的，其基本原理是把包含 p 个空间点
k 1
p
EOF 功能是从一个气象场多次观测资料中识别出主要空间型及其时间演变规律。 EOF 展开就是将气象变量场分解为空间函数（V）和时间函数（T）两部分的乘积之和： X=VT。
二、实验目的：
经验正交函数分解（EOF）是统计天气分析中气象要素场最基础的研究模型，是必须理解和掌握的方法之一，是后续课程 中许多气象要素场的计算结果的理解的基础理论，也是毕业设计和论文中的基本分析方法。该方法用个数较少的几个空间分 布模态来描述环流形势，而且基本涵盖环流场的信息，既能作为天气分析模型，其方法的延拓又能作为天气预报模型，在实 际工作中也有极强的实用意义。通过该实验，深刻理解气象要素场的统计模型的意义，掌握气象要素场分析的基本方法，为 实际预报业务和科研工作打下一定的基础。
WRITE(*,*) write(*,*)' STEP 3 ' write(*,*)' caculating the eigenvalue and eigenvectors ' WRITE(*,*)' by using Jacob method !' CALL JCB(MNH,A,S,0.001) WRITE(*,*) write(*,*)' STEP 4' write(*,*)' arrange the eigenvalue and eigenvectors' WRITE(*,*)' by using ARRANG !' CALL ARRANG(MNH,A,ER,S) WRITE(*,*) write(*,*)' STEP 5' write(*,*)' the caculation of standard eigenvectors' WRITE(*,*)' by using TCOEFF !' CALL TCOEFF(KVT,N,Mt,MNH,S,F,V,ER) write(*,*) write(*,*)' STEP 6' write(*,*)' outputing eigenvalue and accumulation using OUTER !'
经验正交函数
48
(a) EOF1 90.7% 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02
(b) EOF1 15.8% 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1 −0.15 −0.2
对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度 很快。 两种方法对比练习。
显著性检验
(c) EOF1 13.4% 0.15 0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
(d) EOF1 11.3%
0.1 0.05 0 −0.05 −0.1
图 A.17: 我国东部地区夏季降水量EOF分析第一特征向量。(a)原始值，(b)距平 值，(c)距平百分率，(d)标准化值. 1951 − 2002资料.
-0.98 0.19
得到特征根E= 8.42 0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 094 -1.65
-0.62 1.10
%%check EOF*EOF’ % = I 检查EOF的正交性得到： 1.00 0 0 1.00 PC*PC’/5 % = lambda 检查PC的正交性得到： 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值： -1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40
A.7
EOF分 析
经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function, 缩写为EOF)，也称特征 向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis,缩 写PCA)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方 法。Lorenz在1950年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中 得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以 也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。因 此地学中也将EOF分析称为时空分解。
经验正交函数分解(EOF)
m是空间点，n是时间序列长度。
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气象场的自然正交展开，是将X分解为时间函 数Z和空间函数V两部分,即
X = VZ
或者
xit = ∑ vik z kt = vi1 z 1t +vi 2 z 2t + L + vip z pt
i
特征向量为
vi
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vi = Xu i
λi
V = v1 , v 2 ,L , v m
Z =V X
T
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EOF分析实例
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原 理，一定有 或者
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八、时空转换问题 当 m >> n 时，先求出 X T X 的特征值， 然后求
XX
T
的特征向量，这种方法叫时空转换。
令 X T X 的特征值为 λ i ，其特征向量 为 u ， XX T 的特征值也为 λ i ，其
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n
复变函数分解定理的新证明和唯一性
复变函数分解定理的新证明和唯一性1什么是复变函数分解定理复数变换（Complex Variable transforms）是在复数函数中定义和应用一系列变换的研究领域，而复变函数分解定理是其中的重要一环，它为我们提供了从一个原始函数结构到另一个函数结构的变换的计算方法。
而复变函数分解定理的唯一性也是极其重要的，可以帮助我们完成无穷多分部求和以及有限复杂度的计算，特别是在按照贝贝特定分量进行快速傅里叶变换（Fast Fourier transform）时，这种唯一性就变得尤为重要，也是其最大的优点。
2复变函数分解定理的新证明复振函数分解定理证明的新方法是把复变函数定义为傅里叶级数的级数表达式，并根据函数的复变析变角度以及傅里叶权角（Fourier Magnitude）的不变性做出新的探讨，证明原始函数变换到新函数的定理。
首先根据偶函数的定义。
把原函数可以分解成余弦和正弦两个部分，然后根据傅里叶定理把它们重新组合，最终证明定理的唯一性。
3复变函数分解定理的唯一性复变函数分解定理的唯一性是指复变函数分解的定理在原始函数的变换过程中的唯一性。
复变函数分解过程要求原函数可以被表示为一个由余弦和正弦组成的有限级数，而从复变函数中抽取的系数是共轭的，以便用于变换。
也就是说，每个原始函数都可以被变换成具有等量余弦和正弦值的新函数，而此变换唯一，不可互换。
通过复变函数分解定理，可以得出它是一种非常有用的数学方法，它可以用于求解不可结算的复数复变函数，且储存空间小但清晰可见，除此之外，它还能够提高计算效率，解决无限分部求和和有限复杂度的计算问题，极大地改善了我们的工作效率，为后续的复数变换研究提供更优的依据。
4结语综上所述，复变函数分解定理是定义和应用复数变换的重要节点，它提供了从一个原始函数结构到另一个函数结构的变换的计算方法，也为复数变换领域提供了一个新的证明起到重要的作用，使得复变函数分解定理具备了唯一性，也使得它更容易被应用于复数变换的各个领域，使我们的工作效率更上一层楼。
python 复经验正交函数方法
python 复经验正交函数方法1.引言1.1 概述概述部分的内容应对读者介绍本文将要讨论的主题，即复经验正交函数方法。
在这一部分，我们可以简要介绍什么是复经验正交函数方法以及它在实际问题中的重要性。
复经验正交函数方法是一种数学技术，通过寻找一组正交函数来描述已知数据集的特征。
与传统的经验正交函数方法不同，复经验正交函数方法可以同时处理实部和虚部的数据。
这使得它在分析涉及复数的领域中具有广泛的应用。
复经验正交函数方法在信号处理、图像处理、数据压缩和模式识别等领域中被广泛应用。
通过将复经验正交函数应用于信号或图像，我们可以提取出它们的频谱特征，从而实现信号分析、图像识别和压缩等任务。
复经验正交函数方法还可以用来建立模型和预测未知的数据，从而在科学研究和工程实践中发挥重要作用。
尽管复经验正交函数方法具有许多优点，但它也存在一些局限性。
这些局限性可能包括对数据的特定分布或结构的假设，以及计算复杂性方面的挑战。
因此，研究者们一直在探索如何克服这些局限性并提高复经验正交函数方法的性能。
通过本文的深入讨论，我们将更全面地了解复经验正交函数方法及其在实际应用中的潜力和限制。
接下来，我们将介绍本文的结构，以便读者能够更好地跟随和理解这一主题的讨论。
1.2 文章结构文章结构部分（1.2）：本文主要介绍Python中的复经验正交函数方法。
文章将分为三个主要部分进行讨论：引言、正文和结论。
在引言部分（1.1）中，我们将对复经验正交函数方法进行概述，介绍其基本概念和应用领域。
我们将探讨该方法在数据分析、信号处理和机器学习等领域的应用，以及它在解决实际问题中的优势和局限性。
正文部分（2）将详细介绍复经验正交函数方法的基本概念（2.1），包括其定义、性质和相关数学理论。
我们将探讨如何构建复经验正交函数和如何使用它们进行数据分析和信号处理。
此外，我们还将介绍该方法在机器学习模型中的应用实例，并探讨其在不同领域中的优势和局限性。
matlab经验正交函数EOF(转载)
练习：利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X 的特征向量和主成分%
X=[2 6 1 5 2; 9 4 0 5 4]; X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:)); X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:)); 得到X的距平值：X= -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40 %%% co-variance matrix C=X*X’/5; 协方差阵C= 3.76 0.92 0.92 8.24 [EOF,E]=eig(C); % V: eigenvectors; E: eigenvalues PC=EOF’*X; %% reverse the order E=fliplr(flipud(E)) lambda=diag(E); % retain eigenvalues only EOF=fliplr(EOF) PC=flipud(PC) 得到EOF= 0.19 0.98
对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度 很快。 两种方法对比练习。
显著性检验
-0.98 0.19
得到特征根E= 8.42 0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 0.15 2.07 -2.82
-4.74 1.31
0.94 -1.65
-0.62 1.10
%%check EOF*EOF’ % = I 检查EOF的正交性得到： 1.00 0 0 1.00 PC*PC’/5 % = lambda 检查PC的正交性得到： 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值： -1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40
经验正交函数分解
经验正交函数分解1. 定义：经验正交函数分解（Empirical Orthogonal Function Analysis, EOF）是一种利用主成分分析方法对多元时间序列数据进行处理的统计技术。
2. 统计背景：主成分分析是一种在多元数据中寻找统计相互关系的方法。
EOF 是通过将时间序列数据的空间变化分解成正交的空间模态（Empirical Orthogonal Functions, EOFs）来实现的。
3. 数据预处理：数据预处理是使用EOF分析的第一步。
首先，数据必须被不同时间上的样本所收集，且要求在不同的时间点上均匀分布。
这意味着，数据必须具有相同的时间跨度。
4. EOF分析步骤：a. 矩阵标准化：矩阵必须以相同的时间跨度进行标准化，以消除时间数据的影响并使数据更具可比性。
b. 协方差矩阵计算：协方差矩阵描述了变量之间的统计关系。
c. 特征值分解：特征值说明了矩阵的变化程度。
它们被用来确定EOFs的数量和关联的时间序列权重。
d. EOF计算：EOF是一组正交的空间模态。
这些模态是矩阵变化的主要部分。
e. 时间序列权重：时间序列权重描述了各个EOF与原始时间序列的相关性。
5. EOF分析应用：a. 气候学：EOF分析在气候学中广泛用于研究大气和海洋的变化。
b. 地球物理学：EOF分析在地球物理学中用于分析随时间变化的物理场。
c. 生态学：EOF分析可用于分析生态系统的时间序列数据。
d. 工程：EOF分析可用于检测和预测系统中的故障。
e. 经济学：EOF分析可用于对经济数据进行建模和预测。
6. EOF分析限制：a. 缺失值：EOF分析对数据集中的缺失值非常敏感。
b. 个体差异：EOF分析的结果可能因个体之间的差异而发生变化。
c. 数据时序：EOF分析要求数据在时间上均匀分布。
d. 信号噪音比：分析的信号噪音比越小，分析的结果准确度越高。
7. 结论：EOF分析是一种强大的统计技术，能够有效处理多变量时间序列数据。
EEOF和CEOF
4.2 扩展经验正交函数分解（EEOF ）经验正交函数的优点在于其能用相对少的函数及时间权重来描述复杂的气象场的变化。
然而，气象场不仅在空间上有高度的相关性，而且在时间上有自相关及交叉相关。
同时利用空间、时间上的相关性压缩资料可能比经典的EOF 分析更有效，也更利于物理解释。
Wear （1982）提出的扩展EOF 分析，其基本方法类似EOF 分析，但资料矩阵包含了几个时间上连续的值。
分解方法：设m 为空间点，n 为时间点。
EEOF(Extended Empirical Orthogonal Function)考虑了时间上的自相关和交叉相关，取1112121221213113(2)2311314134......................................................n m m mn n m n m m mn n m m mn x x x x x x x x x X x x x x x x x x x ---⨯--⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦上面矩阵实际上是由t ，t ＋1，t ＋2三个时刻的资料组成。
第一行到第m 行对应t 时刻的资料，第m ＋1行到第2m 行对应t ＋1时刻，第2m ＋1行到第3m 行对应t ＋2时刻。
T A X X =A 是一个后延相关矩阵，因为它既包含同时刻，又包含后延1个时刻和2个时刻的元素值相乘的和。
A 矩阵为3m 阶，可以求出3m 个特征值123,,...,m λλλ，以及3m 个特征向量123,,...,m v v v 。
其中，每一个特征向量都是3m 维列向量。
由此123(,,...,)m V v v v =T T V X =分解式为X V Z = 分析及应用：EEOF 分析方法与EOF 的分析略有不同。
其特征向量是3m 维，故有1212221223123(.........)t t t i i i im i m i m i m i m i m i m v v v v v v v v v v ++++=对应对应对应所以1v 所对应的m 个空间点上有3张特征向量图，分别对应123,,t t t 时刻。
EOF分析及其应用(教学课件)
第1 模态——降水量的突然增加。 第2 模态——从南向北的快速推进过程。 第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。 第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双
周振荡型态。
EOF分析及其应用
中国气象科学研究院
1
一、引 言 经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入 气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对 象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代 后期才在实际工作中得到广泛应用。 近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析 方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
z11 z12 z1n
V
v21
vm1
v22 vm2
v2m
vmm
Z
z 21
zm1
z 22 zm2
z2n
zmn
v j (v1j ,v2 j ,,vmj )T
是第j个典型场，只是空间的函数。
6
第t个空间场可表示为
x1t v11
v12
v1m
x2t
19
第1 模态——降水量的突然增加
20
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
21
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加 的过程
22
降水量的第4 模态 印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
23
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及 其与大尺度气候异常的关系
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Hermite矩阵和酉矩阵
若复数矩阵满足:
(U ) U
* '
或
U U
_
则称U为Hermite矩阵;”*”表示复数共轭, ”’”表示转置，”-”表示转置共轭;
_
_
若 UU I
且
UU I
则称U为酉矩阵或正交矩阵. Hermite矩阵的特征值为实数,存在一酉矩阵B,使
1 0 0 0 0 _ 2 BUB 0 0 m
应用实例[7.3]
选取1850-1991年我国东部25站旱涝百分 率资料做CEOF.用滤波变换的方法建立复数矩阵 进行分解,滤波器长度取7.计算出空间振幅函数, 空间位相函数,时间振幅函数,时间位相函数.
前3个复特征向量解释总方差的68%,普通 EOF前3个特征向量只解释36%的方差.
参考文献
（2）傅立叶变换.
u j (t ) a j ()cos t b j ()sin t
a j ( )
1 T
T
0
u j (t ) cos tdt
b j ( )
1 T
T
0
u j (t ) sin tdt
u j (t ) [a j ()cos(t 90 ) b j ()sin(t 90 )] [b j ()cos t a j ()sin t]
（7）计算特征向量的方差贡献和累积方差贡献.
CEOF结果分析
对CEOF的结果进行分析,要具备很强的天气, 气候学知识,并根据所要解决的问题进行合理的分 析. （1）通过空间振幅函数，分析气候变量场的空间分 布结构.根据空间相位函数分析波的传播方向;
（2）时间振幅函数反映空间结构随时间变化,由时 间相位函数分析波的传播速度.
^
CEOF计算步骤
（1）用滤波法或傅立叶变换法对一实数矩阵构造Hermite复矩阵; （2）计算Hermite复矩阵的协方差矩阵S;
（3）根据Hermite矩阵分解原理,分解复数矩阵:
U BP
（4）计算复时间系数矩阵:
P BU
（5）计算时间振幅函数和时间位相函数:
_
Sk ( x) [ Bk ( x) Bk* ( x)]1/2
复数和共轭复数
复数(虚数)的单位是i, 满足下列关系式:
每个复数可以表示为实数与虚数之和:
i 2 (i ) 2 1 i 1 i 1
b Im(C )
C a ib
C a ib * C a ib
a Re(C )
两个有相同实数部分和相反虚数部分的复数称为共轭复数:
魏凤英.《现代气候统计诊断与预测技 术》，气象出版社，2007.
Im Bk ( x) Qk ( x) arctan Re Bk ( x)
（6）计算空间振幅函数和空间位相函数:
Sk (t ) Pk (t ) P (t )
* k
1/ 2
Im P k ( x) Qk (t ) arctan k (t ) Re P
复经验正交函数(Complex Empirical Orthogonal Function, CEOF)
• CEOF主要针对气象变量场的特点设计的计算格式;
• 传统的EOF分离出的仅是空间驻波振动分布结构； • CEOF分析气候变量场空间尺度行波分布结构及位 相变化; • CEOF过程就是将一个标量场通过变换,构造出同时 含有实部和虚部的Hermite矩阵来分解.
则B为 Hermite矩阵的特征向量
构造Hermite矩阵的方法（1）滤波 生成一个与实数序列相正交的序列:
u j (t )
^
l L
u (t l )h(l )
j
L
2 2 l l 0 sin ( ) h(l ) l 2 0 l 0
L为滤波器长度, 取7-25