【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆

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【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆

典型例题(二)方阵可逆的判定

例1设A是n阶方阵,试证下列各式:

(1)若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T

(2)若A、B都是n阶可逆矩阵,则

(AB)*=B*A*

;(3)

(AT)*=(A*)T;(4)若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*

;(5)

(-A)*=(-1)n-1A*;(6)若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l (l为自然数);(7)

(kA)*=kn-1A*.证(1)因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1

=E两边同时取转置可得

(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E

故由可逆矩阵的定义可知

(A-1)T是AT的逆矩阵.即

(A-1)T=(AT)-1

(2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有

(AB)*(AB)=|AB|E

另一方面

(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B

=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E

比较式(2-7)、(2-8)可知

(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)

又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得

(AB)*=B*A*

(3)设n

阶方阵A为

?aa12a?11

1n?A=?a??21a22a2n???

??aa?

?n1n2ann?于是可得A的伴随矩阵A*

?AA?11

21An1?A*=?A??12A22An2???

???AA?1n2nAnn注意到?A的转置矩阵为

2-7)2-8)(

T

可推出A的伴随矩阵为

?a11??a12

AT=?

??a?1n

a21a22a2n

A12A22An2

an1??an2???ann??

*

比较A与(A)可知

T*

?A11??A21

(AT)*=?

??A?n1

*T

T*

A1n??A2n???Ann??

(A)=(A)

*-1|A|≠0AA(4)因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知

-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且

1

(A-1)*=A

|A|

另一方面,由

A*=|A|A-1

A*(A-1)*=|A|A-1

*

由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1

-1*

1

A=E|A|

(A)=(A)

(5)对于(3)给出的矩阵A,有-a12?-a11

?

-a22?-a21

-A=?

?

?-a-an2?n1

a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1

-anj-1

-a1n?

?-a2n?

??-ann??

-aij

的代数余子式为

(-1)

i+j

-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1

-anj+1

-a1n-ai-1n-ai+1n-ann

-ai-11-ai+11-an1

=(-1)

n-1

Aij(i,j=1,2,,n)

?(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1???n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2??(-1)A12n-1*

(-A)*=??=(-1)A

????n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn??(6)因为|A|≠0,故A可逆,并且

l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)

l个l个(7)对于(3)给出的矩阵A,有

ka11ka1n??ka11

??kakaka?21222n?kA=??

???kakan2kann?n1??

kaijkn-1Aij

类似于(5)可知的代数余子式为,故

例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有

*T

反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有

AA*=AAT=O(2-6)

设矩阵A为

a12a1n??a11

??aaa?21222n?A=??

???aan2ann?n1??

由式(2-6)可知

a12a1n??a11a21an1??a11

????aaaaaa?21222n??1222n2?

AAT=????

?????a?aan2ann?a2nann?n11n????

nn

?n2?

aaaaa?1i1i2i1ini?i=1i=1i=1??nnn??2

aaaaa2i1i2i2ini?=O=?i=1i=1i=1???n?nn?2?aaaaani1i ni2ini??i=1i=1i=1??

比较上式两边矩阵对角线上的元素有

AA*=A*A=|A|E

∑∑∑

∑∑∑

∑∑∑

∑a

i=1

n

2ji

=0(j=1,2,,n)

aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)

因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明:

(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA

-1

证必要性:因为(AB)

=A-1B-1=(BA)-1

(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此

AB=BA即

充分性:因为AB=BA,故

(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.

T-1

|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不

可逆.

T-1

证因为A=A,故

因此有

AAT=AA-1=E

所以

故E-A是不可逆矩阵.

-1

(E-A)求.

TT

|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|

T

=|A||(A-E)|=|A-E|

=(-1)n|E-A|=-|E-A|

|E-A|=0

k

例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并

证由于

k2k-1

1-x=(1-x)(1+x+x++x)

故对于方阵A的多项式,仍有

k

注意到A=O,故有

E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)

因此(E-A)可逆,并且

(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明:

例6设A是

n(n>2)阶方阵,

2

**n-2(A)=|A|A;(1)

**(n-1)

(2)|(A)|=|A|.

证(1)利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有

*

AA*=|A|E

A*(A*)*=|A*|E

AA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A

对AA=|A|E两边取行列式,有

*n-1

若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有

|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n

A(A)=|A|E两边取行列式,有(2)对

|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2

若A不可逆,则|(A)|=0=|A|

22

例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.

2

|A*|

(A)=A=|A|n-2A

A

**

22

A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于

2n2

|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0

所以|A|≠0,|A+B|≠0

因而有A,A+B可逆.

2-1

-(B)A(A+B)=E由

2-1

由-A(A+B)(B)=E

-12-1

(A+B)=-(B)A可知

-12-1

可知A=-(A+B)(B).

例8设A、B均是n阶方阵,且

-1

E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且

-1

(E+BA)=E-B(E+AB)A

因此(E+BA)可逆,并且

(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A

-1-1

=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]

-1

=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A

=E+BA-BA=E

例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明:

-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B(1)也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B(2)

(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A

证(1)因为

-1-1-1-1-1-1-1B

A+B=AA(A+B)BB=A(A+B)

两边取行列式有

-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|

-1

因为

-1-1

故A+B是可逆矩阵.

-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故

|A-1+B-1|≠0

|B-1|≠0

|A+B|≠0所以有

(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B

-1-1-1

=(E+BA)[B(A+B)]

(A+B)

-1

-1-1

=A(A+B)-1B

=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E

同理可证(2)因为

(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.

(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1

(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I

=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1

=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1

同理可证

(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.

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