【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
【可逆矩阵判定典型例题】矩阵可逆
典型例题(二)方阵可逆的判定
例1设A是n阶方阵,试证下列各式:
(1)若|A|≠0,则(AT)-1=(A-1)T
;
(2)若A、B都是n阶可逆矩阵,则
(AB)*=B*A*
;(3)
(AT)*=(A*)T;(4)若|A|≠0,则(A*)-1=(A-1)*
;(5)
(-A)*=(-1)n-1A*;(6)若|A|≠0,则(Al)-1=(A-1)l (l为自然数);(7)
(kA)*=kn-1A*.证(1)因为|A|≠0,故A是可逆矩阵,且AA-1
=E两边同时取转置可得
(AA-1)T=(A-1)TAT=(E)T=E
故由可逆矩阵的定义可知
(A-1)T是AT的逆矩阵.即
(A-1)T=(AT)-1
(2)利用方阵与其对应的伴随矩阵的关系有
(AB)*(AB)=|AB|E
另一方面
(B*A*)(AB)=B*(A*A)B=B*(|A|I)B
=|A|B*B=|A||B|E=|AB|E
比较式(2-7)、(2-8)可知
(AB)*(AB)=(B*A*)(AB)
又因为A、B均可逆,所以(AB)也可逆,对上式两端右乘(AB)-1可得
(AB)*=B*A*
(3)设n
阶方阵A为
?aa12a?11
1n?A=?a??21a22a2n???
??aa?
?n1n2ann?于是可得A的伴随矩阵A*
为
?AA?11
21An1?A*=?A??12A22An2???
???AA?1n2nAnn注意到?A的转置矩阵为
2-7)2-8)(
(
T
可推出A的伴随矩阵为
?a11??a12
AT=?
??a?1n
a21a22a2n
A12A22An2
an1??an2???ann??
*
比较A与(A)可知
T*
?A11??A21
(AT)*=?
??A?n1
*T
T*
A1n??A2n???Ann??
(A)=(A)
*-1|A|≠0AA(4)因为,故A可逆,A的逆矩阵为,并且由A=|A|E 可知
-1-1*-1-1|A|≠0A(A)=|A|E可得A由于,可逆且
1
(A-1)*=A
|A|
另一方面,由
A*=|A|A-1
A*(A-1)*=|A|A-1
*
由矩阵可逆的定义知,A可逆,并且*-1
-1*
1
A=E|A|
(A)=(A)
(5)对于(3)给出的矩阵A,有-a12?-a11
?
-a22?-a21
-A=?
?
?-a-an2?n1
即
a1j-1-ai-1j-1-ai+1j-1
-anj-1
-a1n?
?-a2n?
??-ann??
-aij
的代数余子式为
(-1)
i+j
-a1j+1-ai-1j+1-ai+1j+1
-anj+1
-a1n-ai-1n-ai+1n-ann
-ai-11-ai+11-an1
故
=(-1)
n-1
Aij(i,j=1,2,,n)
?(-1)n-1A11(-1)n-1A21(-1)n-1An1???n-1n-1n-1 (-1)A22(-1)An2??(-1)A12n-1*
(-A)*=??=(-1)A
????n-1n-1n-1(-1)A(-1)A(-1)A1n2nnn??(6)因为|A|≠0,故A可逆,并且
l-1-1-1-1-1-1l(A)=(AAA)=AAA=(A)
l个l个(7)对于(3)给出的矩阵A,有
ka11ka1n??ka11
??kakaka?21222n?kA=??
???kakan2kann?n1??
kaijkn-1Aij
类似于(5)可知的代数余子式为,故
例2设A是n阶非零矩阵,并且A的伴随矩阵A满足A=A,证明A 是可逆矩阵.证根据矩阵A与其对应的伴随矩阵的关系式,有
*T
反证,假设A不可逆,故有|A|=0,由上式及条件A=A,有
AA*=AAT=O(2-6)
设矩阵A为
a12a1n??a11
??aaa?21222n?A=??
???aan2ann?n1??
由式(2-6)可知
a12a1n??a11a21an1??a11
????aaaaaa?21222n??1222n2?
AAT=????
?????a?aan2ann?a2nann?n11n????
nn
?n2?
aaaaa?1i1i2i1ini?i=1i=1i=1??nnn??2
aaaaa2i1i2i2ini?=O=?i=1i=1i=1???n?nn?2?aaaaani1i ni2ini??i=1i=1i=1??
比较上式两边矩阵对角线上的元素有
AA*=A*A=|A|E
∑∑∑
∑∑∑
∑∑∑
∑a
i=1
n
2ji
=0(j=1,2,,n)
故
aj1=aj2==ajn=0(j=1,2,,n)
因此有A=O,与A是n阶非零矩阵矛盾,故A是可逆矩阵.例3设A、B都是n阶可逆矩阵,证明:
(AB)-1=A-1B-1的充要条件是AB=BA
-1
证必要性:因为(AB)
=A-1B-1=(BA)-1
(AB)(AB)-1(BA)=(AB)(BA)-1(BA)因此
AB=BA即
充分性:因为AB=BA,故
(AB)-1=(BA)-1=A-1B-1.
T-1
|A|=1,A=A例4设A是一个n阶方阵,n为奇数,且,证明(I-A)不
可逆.
T-1
证因为A=A,故
因此有
AAT=AA-1=E
所以
故E-A是不可逆矩阵.
-1
(E-A)求.
TT
|E-A|=|AA-A|=|A(A-E)|
T
=|A||(A-E)|=|A-E|
=(-1)n|E-A|=-|E-A|
|E-A|=0
k
例5设A是n阶方阵且对某个正整数k满足A=O,证明E-A是可逆矩阵,并
证由于
k2k-1
1-x=(1-x)(1+x+x++x)
故对于方阵A的多项式,仍有
k
注意到A=O,故有
E-Ak=(E-A)(E+A+A2++Ak-1)
因此(E-A)可逆,并且
(E-A)(E+A+A2++Ak-1)=E(E-A)-1=E+A+A2++Ak-1 (A*)*是A的伴随矩阵A*的伴随矩阵,证明:
例6设A是
n(n>2)阶方阵,
2
**n-2(A)=|A|A;(1)
**(n-1)
(2)|(A)|=|A|.
证(1)利用矩阵A与矩阵A的伴随矩阵的关系,有即从而有
*
AA*=|A|E
A*(A*)*=|A*|E
AA*(A*)*=|A|(A*)*=A[A*(A*)*]=|A*|A
对AA=|A|E两边取行列式,有
*n-1
若A可逆,|A|≠0,故|A|=|A|,于是有
|AA*|=|A||A*|=||A|E|=|A|n
A(A)=|A|E两边取行列式,有(2)对
|(A)|=|A|=(|A|)=|A|**(n-1)2
若A不可逆,则|(A)|=0=|A|
22
例7设A、B是同阶方阵,已知B是可逆矩阵,且满足A+AB+B=O,证明A和A+B都是可逆矩阵,并求它们的逆矩阵.
2
|A*|
(A)=A=|A|n-2A
A
**
22
A+AB=A(A+B)=-B证因为,由于
2n2
|A(A+B)|=|A||A+B|=|-B|=(-1)|B|≠0
所以|A|≠0,|A+B|≠0
因而有A,A+B可逆.
2-1
-(B)A(A+B)=E由
2-1
由-A(A+B)(B)=E
-12-1
(A+B)=-(B)A可知
-12-1
可知A=-(A+B)(B).
例8设A、B均是n阶方阵,且
-1
E+AB可逆,则E+BA也可逆,并且
-1
(E+BA)=E-B(E+AB)A
因此(E+BA)可逆,并且
(E+BA)(E-B(E+AB)-1A)=E+BA-B(E+AB)-1A-BAB(E+AB)-1A
-1-1
=E+BA-B[(E+AB)A+AB(E+AB)A]
-1
=E+BA-B(E+AB)(E+AB)A
=E+BA-BA=E
例9设n阶矩阵A、B和A+B均可逆,证明:
-1-1-1-1-1-1-1(A+B)=A(A+B)B=B(A+B)AA+B(1)也可逆,且-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1
(A+B)=A-A(A+B)A=B-B(A+B)B(2)
(E+BA)-1=E-B(E+AB)-1A
证(1)因为
-1-1-1-1-1-1-1B
A+B=AA(A+B)BB=A(A+B)
两边取行列式有
-1-1-1-1|A+B|=|A||A+B||B|
-1
因为
-1-1
故A+B是可逆矩阵.
-1|A|≠0A+BA、B、可逆,故
|A-1+B-1|≠0
|B-1|≠0
|A+B|≠0所以有
(A-1+B-1)[A(A+B)-1B]=(E+B-1A)(A+B)-1B
-1-1-1
=(E+BA)[B(A+B)]
故
(A+B)
-1
-1-1
=A(A+B)-1B
=(E+B-1A)(E+B-1A)-1=E
同理可证(2)因为
(A-1+B-1)-1=B(A+B)-1A.
(A+B)[A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1]=(A+B)[A-1-A-1A(A+B)-1BA-1] -1
(A+B)=(A+B-B)A-1=AA-1=I
=A-1-A-1(A-1+B-1)-1A-1
=(A+B)[I-(A+B)-1B]A-1
故
同理可证
(A+B)-1=B-1-B-1(A-1+B-1)-1B-1.