江苏省南通市2013届高三第一次调研测试数学试卷
江苏省南通市2013届高三第一次调研测试
数学I
(考试时间:120分钟满分:160分)
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案填写在答题卡相应的位
置上.
1.已知全集U=R,集合{}
10
A x x
=+>,则
U A=
e▲.
答案:(,1]
-∞-.
2.已知复数z=32i
i
-(i是虚数单位),则复数z所对应的点位于复平面的第▲象限.答案:三.
3.已知正四棱锥的底面边长是6
,这个正四棱锥的侧面积是▲.
答案:48.
4.定义在R上的函数()
f x,对任意x∈R都有(2)()
f x f x
+=,当(2,0)
x∈-时,()4x
f x=,
则(2013)
f=▲.
答案:1
4
.
5.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则p是q的▲.(从“逆命题、否命题、逆否命题、否定”中选一个填空)答案:否命题.
6.已知双曲线
2
2
22
1
y
x
a b
-=的一个焦点与圆x2+y2-10x=0的圆心重合,
,则该双曲线的标准方程为▲.
答案:
2
2
1 520
y
x-=.
7.若S n为等差数列{a n}的前n项和,S9=-36,S13=-104,则a5与a7的等比中项为▲.
答案
:±.
8.已知实数x∈[1,9],执行如右图所示的流程图,则输出的x不小于55的概率为▲.
答案:3
8
.
9.在△ABC 中,若AB =1,AC ||||AB AC BC += ,则||
BA BC BC ? = ▲ . 答案:
12
. 10.已知01a <<,若log (21)log (32)a a x y y x -+>-+,且x y <+λ,则λ的最大值为
▲ . 答案:-2. 11.曲线2(1)1
()e (0)e 2x f f x f x x '=
-+在点(1,f (1))处的切线方程为 ▲ . 答案:1
e 2
y x =-
. 12.如图,点O 为作简谐振动的物体的平衡位置,取向右方向为正方向,若振幅
为3cm ,周期为3s ,且物体向右运动到距平衡位置最远处时开始计时.则该物体5s 时刻的位移为 ▲ cm . 答案:-1.5.
13.已知直线y =ax +3与圆22280x y x ++-=相交于A ,B 两点,点00(,)P x y 在直线y =2x
上,且PA =PB ,则0x 的取值范围为 ▲ . 答案:(1,0)(0,2)- .
14.设P (x ,y )为函数21y x =-(x >图象上一动点,记3537
12
x y x y m x y +-+-=
+
--,则当m 最小时,点 P 的坐标为 ▲ . 答案:(2,3).
二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请把答案写在答题卡相应的位置上.解答时应
写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本题满分14分)
如图,在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,E 是侧面AA 1B 1B 对角线的交点,F 是侧面AA 1C 1C 对角线的交点,D 是棱BC 的中点.求证: (1)//EF 平面ABC ; (2)平面AEF ⊥平面A 1AD .
解:(1)连结11A B A C 和.
因为E F 、分别是侧面11AA B B 和侧面11AA C C 的对角线的交点,
(第12题)
A
B
C
D
E
F A 1
B 1
C 1
(第15题)
A 1
所以E F 、分别是11A B A C 和的中点.
所以//EF BC . ………………………………………………………3分 又BC ?平面ABC 中,EF ?平面ABC 中,
故//EF 平面ABC . ………………………………………………6分 (2)因为三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱, 所以1A A ⊥平面ABC ,所以1BC A A ⊥.
故由//EF BC ,得1EF A A ⊥. ………………………………………8分 又因为D 是棱BC 的中点,且ABC ?为正三角形,所以BC AD ⊥. 故
由
//EF BC ,得
EF AD ⊥. …………………………………………………………………10分
而
1A A AD A
= ,
1,A A AD ?
平面
1A AD
,所以EF ⊥平面
1A AD .…………………………………12分
又
EF ?平面AEF ,故平面AEF ⊥平面
1A AD .………………………………………………………14分
16.(本题满分14分)
在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,sin sin tan cos cos A B C A B +=+.
(1)求角C 的大小;
(2)若△ABC 的外接圆直径为1,求22a b +的取值范围. 解:(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+,即sin sin sin cos cos cos C A B C A B
+=+,
所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+, 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-, 得
sin()sin()C A B C -=-. ………………………………………………………………………
……4分
所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). 即
2C A B =+, 得
3
C π=. …………………………………………………………………7分
(2)由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333A B α<<<<知-.
因
2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, ……………………………………………………
……8分
故22221cos 21cos 2sin sin 22
A B a b A B --+=+=+
=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332??-++-=+????
ααα. …………………………
……………11分
ππ2π2π,2,
3333
αα<<<<由-知-1cos 21
2
α-<≤,故
223342a b <+≤.……………………………14分
17.(本题满分14分)
某公司为一家制冷设备厂设计生产一种长方形薄板,其周长为4米,这种薄板须沿其对角线折叠后使用.如图所示,()ABCD AB AD >为长方形薄板,沿AC 折叠后,AB '交DC 于点P .当△ADP 的面积最大时最节能,凹多边形ACB PD '的面积最大时制冷效果最好.
(1)设AB =x 米,用x 表示图中DP 的长度,并写出x 的取值范围; (2)若要求最节能,应怎样设计薄板的长和宽? (3)若要求制冷效果最好,应怎样设计薄板的长和宽?
解:(1)由题意,
AB x =,2BC x =-.因2x x >-,故
12x <<. ……………………………2分
设DP y =,则PC x y =-.
因△ADP ≌△CB P ',故PA PC x y ==-. 由
222
PA AD DP =+,得
2221()(2)2(1)x y x y y x
-=-+?=-,
12x <<.……………………5分
(2)记△ADP 的面积为1S ,则
11(1)(2)S x x
=-- …………………………………………………………………………
……………6分
23()2x x
=-+≤-
当且仅
当x =∈(1,2)时,
S 1
取得最大
值.…………………………………………………………8分
A
B
C
D
(第17题)
B '
P
故当薄板长为米,宽为2米时,节能效果最
好. ………………………………………9分
(3)记△ADP 的面积为2S ,则
221114(2)(1)(2)3(22S x x x x x x
=-+--=-+,
12x <<.……………………………………………10分
于
是
,
3
222142(202x S x x x x
-+'=--==?=11
分
关于x 的函数2S 在上递增,在上递减.
所
以
当
x =时,
2
S 取得最大
值. ……………………………………………………13分
故当薄板长为
米,宽为2米时,制冷效果最
好. ………………………………………14分
18.(本题满分16分)
已知数列{a n }中,a 2=1,前n 项和为S n ,且1()
2
n n n a a S -=. (1)求a 1;
(2)证明数列{a n }为等差数列,并写出其通项公式; (3)设1
lg 3n n n
a b +=
,试问是否存在正整数p ,q (其中1
解:
(1)
令
n =1
,
则
a 1=S 1=
111()
2
a a -=0. ………………………………………………………………3分 (2)由1()2n n n a a S -=
,即2n n na
S =, ① 得 1
1(1)2
n n n a S +++=
. ② ②-①,得 1(1)n n n a na +-=. ③ 于是,21(1)n n na n a ++=+. ④
③
+
④
,
得
21
2n n n na na na +++=,即
212n n n a a a +++=. ……………………………………………7分
又a 1=0,a 2=1,a 2-a 1=1,
所以,数列{a n }是以0为首项,1为公差的等差数列. 所
以
,
a n =n
-
1. ………………………………………………………………………………………9分
(3)假设存在正整数数组(p ,q ),使b 1,b p ,b q 成等比数列,则lg b 1,lg b p ,lg b q 成等差数列,
于
是
,
21333p q p q
=+. …………………………………………………………………………………11分
所以,21
3()33q p p q =-(☆). 易
知
(p
,
q )=(2
,
3)
为
方
程
(
☆
)
的
一
组
解. ……………………………………………………………13分
当p ≥3,且p ∈N *时,112(1)224333p p p p p p +++--=<0,故数列{23p
p
}(p ≥3)为递减数列, 于是
2133
p
p -≤323133?-<0,所以此时方程(☆)无正整数解. 综上,存在唯一正整数数对(p ,q )=(2,3),使b 1,b p ,b q 成等比数列. …………………………16分
注 在得到③式后,两边相除并利用累乘法,得通项公式并由此说明其为等差数列的,亦相应评分.但在做除法过程中未对n ≥2的情形予以说明的,扣1分.
19.(本题满分16分)
已知左焦点为F (-1,0)的椭圆过点E (1.过点P (1,1)分别作斜率为k 1,k 2的
椭圆的动弦AB ,CD ,设M ,N 分别为线段AB ,CD 的中点. (1)求椭圆的标准方程;
(2)若P 为线段AB 的中点,求k 1;
(3)若k 1+k 2=1,求证直线MN 恒过定点,并求出定点坐标. 解:依题设c =1,且右焦点F '(1,0).
所以,2a =EF EF '++=b 2=a 2-c 2=2,
故所求的椭圆的标准方程为
2
2132
y x +=. …………………………………………………………4分 (2)设A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),则2211132x y +=①,22
22
132
x y +=②.
②-①,得 21212121()()()()032
x x x x y y y y -+-++=.
所以,
k 1=212121212()423()63
P P y y x x x
x x y y y -+=-=-=--+. ………………………………………………………9分
(3)依题设,k 1≠k 2.
设M (M x ,M y ),直线AB 的方程为y -1=k 1(x -1),即y =k 1x +(1-k 1),亦即y =k 1x +k 2,
代入椭圆方程并化简得 222
1122
(23)6360k x k k x k +++-=. 于是,
12
2
1323M k k x k -=
+,
2
2
1223M k y k =
+. ……………………………………………………………11分
同理,1222323N k k x k -=
+,1
2
2
223N k y k =+. 当k 1k 2≠0时, 直
线
MN
的
斜
率
k =M N
M N y y x x -=
-222211212146()9()k k k k k k k k +++-+=2121
1069k k k k --.……………………………………13分 直线MN 的方程为22112
22
21
1121063(92323k k k k k y x k k k k ---=--++, 即 2121122
22
21211110610632()992323k k k k k k k y x k k k k k k --=
+?+--++,
亦即 21
21106293
k k y x k k -=--.
此
时直线过定点
2(0,3
-. ………………………………………………………………………………15分
当k 1k 2=0时,直线MN 即为y 轴,此时亦过点2(0,)3-.
综
上
,
直
线
MN
恒
过
定
点
,
且
坐
标
为
2(0,)3
-. ……………………………………………………16分
20.(本题满分16分)
已知函数()(0ln x f x ax x x
=->且x ≠1).
(1)若函数()f x 在(1,)+∞上为减函数,求实数a 的最小值;
(2)若212,[e,e ]x x ?∈,使f (x 1)≤2()f x a '+成立,求实数a 的取值范围.
解:(1)因f (x )在(1,)+∞上为减函数,故2
ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. ………………2分
所以当(1,)x ∈+∞时,max ()0f x '≤. 又()
2
2
ln 111()ln ln (ln )
x f x a a x x x -'=-=-+-()2
11
1ln 2
4
a x =--+-, 故当11ln 2x =,即2e x =时,max 1()4f x a '=-.
所
以
10,
4
a -≤于
是
1
4
a ≥,故a 的最小值为
14
. ……………………………………………………6分 (2)命题“若212,[e,e ],x x ?∈使()12()f x f x a '≤+成立”等价于 “
当
2[e,e ]
x ∈时,有
()m i n m a x ()f x f x a '≤+”. ……………………………………………………7分
由(1),当2[e,e ]x ∈时,max 1()4f x a '=-,∴()max 14f x a '+=.
问
题
等
价
于
:
“
当
2[e,e ]
x ∈时,有
min 1()4
f x ≤”. ……………………………………………………8分
01当14
a ≥时,由(1),()f x 在2[e,e ]上为减函数,
则
min
()f x =
22
2e 1(e )e 24f a =-≤,故
21124e
a ≥-. ……………………………………………10分
02当14
a <时,由于()f x '(
)2
111ln 2
4
a x =-
-+-在2
[e,e ]上为增函数, 故()f x '的值域为2[(e),(e )]f f '',即1[,]4
a a --. (i )若0a -≥,即0a ≤,()0f x '≥在2[e,e ]恒成立,故()f x 在2[e,e ]上为增函数, 于
是
,
min
()f x =
1
(e)e e e>4
f a =-≥,不
合. …………………………………………………12分
(ii )若0a -<,即104
a <<,由()f x '的单调性和值域知,
?唯一20(e,e )x ∈,使0()0f x '=,且满足:
当0(e,)x x ∈时,()0f x '<,()f x 为减函数;当20(,e )x x ∈时,()0f x '>,()f x 为增函数;
所以,min ()f x =00001()ln 4
x f x ax x =
-≤,2
0(e,e )x ∈. 所以,2001111111
ln 44e 244ln e a x x ≥->->-=,与1
04
a <<矛盾,不
合. ………………………15分
综
上
,得
21124e
a ≥-. ………………………………………………………………………………16分
A
B E
F D
C
O
(第21A 题)
南通市2013届高三第一次调研测试数学附加题
参考答案与评分标准
(考试时间:30分钟 满分:40分)
21.【选做题】本题包括A ,B ,C ,D 共4小题,请从这4题中选做2小题,每小题10分,
共20分.请在答题卡上准确填涂题目标记,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A .选修4-1:几何证明选讲
如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,若AD 是△ABC 的高,AE 是⊙O 的直
径,F 是 BC
的中点.求证: (1)AB AC AE AD ?=?; (2)FAE FAD ∠=∠.
证明:(1)连BE ,则E C ∠=∠,又Rt ABE ADC ∠=∠=∠,
所以△ABE ∽△ADC ,所以AB AE AD AC =.
∴
AB AC AE AD ?=?. ………………………………………………………………………………
……5分
(2)连OF ,∵F 是 BC
的中点,∴BAF CAF ∠=∠. 由
(1)
,
得
BAE CAD ∠=∠,∴
FAE FAD ∠=∠. …………………………………………………10分
B .选修4-2:矩阵与变换
已知曲线2:2C y x = ,在矩阵M 1002??
=????对应的变换作用下得到曲线1C ,1C 在矩阵N 0110-??=????
对应的变换作用下得到曲线2C ,求曲线2C 的方程. 解:设A =NM ,则
A 011002100210--??????==????????????
, ………………………………………………………3分 设()','P x y 是曲线C 上任一点,在两次变换下,在曲线2C 上的对应的点为(),P x y ,
则
02'2'10''x x y y y x --????????==??????
??????????
, 即
2',
',
x y y x =-??
=?∴
',1'.2
x y y x =???=-?? ……………………………7分 又点
()
','P x y 在曲线
2:2C y x
= 上,∴
21()22
x y
-=,即
218
y x =.………………………………10分
C .选修4-4:坐标系与参数方程
已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点,极轴与x 轴的正半轴重合.曲线C 的极坐标方程为2222cos 3sin 3+=ρθρθ,直线l
的参数方程为,
1x y t ?=??=+??
(t 为参数,t ∈R ).试
在曲线C 上求一点M ,使它到直线l 的距离最大. 解
:
曲
线
C
的
普
通
方
程
是
2
213
x y +=. …………………………………………………………………2分 直线l 的普通方程
是
0x +=. ………………………………………………………………4分
设点M
的直角坐标是,sin )θθ,则点M 到直线l 的距离是
d
……………………………………
……………7分
因为)4
≤+
≤π
θ
当πsin(14θ+=-,即ππ2π(42k k θ+=-∈Z ),即3π
2π(4k k θ=-∈Z )时,d 取得最大值.
==θθ. 综上,点M 的极坐标
为7π
)6
时,该点到直线l 的距离最大. ………………………10分
注 凡给出点M
的直角坐标为(,不扣分.
D .选修4-5:不等式选讲
已知0,0,a b >>且21a b +=
,求224S a b =--的最大值. 解:0,0,21,a b a b >>+=
∴
2224(2)414a b a b ab ab +=+-=-, …………………………………………………………
……2分
且
12a b =+≥,
即
≤,
18
ab ≤, ……………………………………………………5分
∴224S a b =
-(14)ab =-
-41ab =+
-≤,
当
且
仅
当
11
,42
a b ==时,等号成
立. …………………………………………………………………10分
22.(本小题满分10分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
如图,已知定点R (0,-3),动点P ,Q 分别在x 轴和y 轴上移动,延长PQ
至点M ,使12PQ QM =
,且
0PR PM ?= . (1)求动点M 的轨迹C 1;
(2)圆C 2: 2
2
(1)1x y +-=,过点(0,1)的直线l 依次交C 1于A ,D 两点
(从左到右),交C 2于B ,C 两点(从左到右),求证:AB CD ?
为定值.
解:(1)法一:设M (x ,y ),P (x 1,0),Q (0,y 2),则由10,2PR PM PQ QM ?==
及R (0,-
3),得
111
22()(3)0,1,211.22
x x x y x x y y y ?
?--+-=?
?-=??
?=-??化简,得
24x y =. ……………………………………………………………4分
所以,动点
M
的轨迹
C 1是顶点在原点,开口向上的抛物
线. ………………………………………5分
法二:设M (x ,y ).
由12PQ QM = ,得 (,0),(0,)23
x y P Q -.
(第22题)
所以,3(,3),(,)22
x
x PR PM y =-= .
由0PR PM =
,得 3(,3)(,)022x x y -?=,即23304
x y -=.化简得 24x y =. …………………4分
所以,动点
M
的轨迹
C 1是顶点在原点,开口向上的抛物
线. ………………………………………5分 (2)证明:由题意,得 AB CD AB CD ?=?
,⊙C 2的圆心即为抛物线C 1的焦点F .
设
11(,)
A x y ,
22(,)
D x y ,则
1111AB FA FB y y =-=+-=. ……………………………………7分
同理 2CD y =.
设直线的方程为 (1)x k y =-.
由2(1),
1,4
x k y y x =-???=??得22
1(1)4y k y =-,即2222(24)0k y k y k --+=.
所以,
121AB CD AB CD y y ?=?==
. ………………………………………………………………10分
23.(本小题满分10分).解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知数列{a n }满足:1*1122,1()n a n a a a a n -+=-=+∈N . (1)若1a =-,求数列{a n }的通项公式;
(2)若3a =,试证明:对*n ?∈N ,a n 是4的倍数. 解:(1)当1a =-时,1114,(1)1n a n a a -+=-=-+.
令1n n b a =-,则115,(1)n b n b b +=-=-. 因15b =-为奇数,n b 也是奇数且只能为1-, 所
以
,
5,1,1,2,
n n b n -=?=?
-≥?即
4,1,
0, 2.n n a n -=?=?
≥?
………………………………………………………3分 (2)当3a =时,
1114,31n a n a a -+==+. ………………………………………………………………4分
下面利用数学归纳法来证明:a n 是4的倍数.
当1n =时,1441a ==?,命题成立;
设当*()n k k =∈N 时,命题成立,则存在t ∈N *,使得4k a t =,
1414(1)1313127(41)1k a t t k a ---+∴=+=+=?-+27(41)14(277)m m =?++=+,
其中,4(1)1454443
4(1)4(1)4(1)44C 4(1)C 4C 4t t r r t r t t t t m --------=-?++-?+-? ,
m ∴∈Z ,∴当1n k =+时,命题成立.
∴
由数学归纳法原理知命题对*n ?∈N 成
立. …………………………………………………10分
南通市2013届高三第一次调研测试
数学Ⅰ讲评建议
第1题 考查集合运算.注意集合的规范表示法,重视集合的交并补的运算.
第2题 考查复数的基本概念及几何意义.对复数的概念宜适当疏理,防止出现知识盲点. 第3题 考查常见几何体的表面积与体积的计算.应熟练掌握常见几何体的表面积的计算,
灵活应用等体积法计算点面距.
第4题 本题考查一般函数的性质——周期性在解题中的应用.
第5题 本题考查简易逻辑的知识.应注意四种命题及其关系,注意全称命题与特称性命题
的转换.
第6题 本题考查双曲线的标准方程、简单性质与圆的有关知识.对双曲线的讲评不宜过分
引申.
第7题 本题主要考查等差数列的基本概念及其简单运算.
法一 用性质.S 9=9a 5= -36,S 13= 13a 7= -104,于是a 5= -4,a 7= -8,等比中项为
±.
法二 用基本量.S 9=9a 1+36d = -36,S 13=13a 1+78d = -104,解得a 1=4,d = -2.下同
法一.
第8题 本题主要考查算法及几何概型等知识.
法一 当输入x =1时,可输出x =15;当输入x =9时,可输出y =79.于是当输入x
的取值范围为[1,9]时,输出x 的取值范围为[15,79],所求概率为
79553
79158
-=-.
法二 输出值为87x +.由题意:8755x +≥,故69x ≤≤. 第9题 本题主要考查向量与解三角形的有关知识.
满足||||AB AC BC +=
的A ,B ,C 构成直角三角形的三个顶点,且∠A 为直角,于
是BA BC ? =2
BA =1.
第10题 本题主要考查对数与线性规划的基础知识及简单运算.讲评时应强调对数的真数
应大于0.强调对数函数的单调性与底数a 之间的关系.
第11题 本题主要考查基本初等函数的求导公式及其导数的几何意义. (1)()e (0)e x f f x f x ''=
-+1
(1)(1)e (0)1e
f f f ''?=-+(0)1f ?=. 在方程2(1)1
()e (0)e 2
x f f x f x x '=
-+中,令x =0,则得(1)e f '=. 讲评时应注意强调“在某点处的切线”与“过某点处的切线”的区别. 第12题 本题主要考查三角函数及其应用.考题取自教材的例题.教学中应关注课本,以及
有关重要数学模型的应用,讲评时还要强调单位书写等问题.
S (t )=103sin(32t π
π+,求S (5)= -1.5即可.
第13题 本题主要考查直线与圆的有关知识. 圆心C (-1,0)到直线l :y =ax +3的距离为
3d =
<,解得a >0或a <3
4
-
. 由PA =PB ,CA =CB ,得PC ⊥l ,于是1
PC k a =-,进而可求出x 0的取值范围.
第14题 考查灵活运用所学知识分析问题与解决问题的能力,考查运用基本不等式解决问
题.讲评时应注意加强对学生运用整体法观察问题解决问题能力的培养.
法一 2223631013x x x x m x x +-+-=+--2231
613
x x x x --=++
--. 当且仅当22
31
13
x x x x --=--,即2x =时m 取得最小,此时点P 的坐标为(2,3). 法二 33213612x y x y m x y -+--+-=+--21
612
y x x y --=++--.
当且仅当
2112
y x x y --=--时m 取得最小值.下略. 第15题 本题主要考查空间点线面的位置关系,考查逻辑推理能力以及空间想象能力.讲
评时应注意强调规范化的表达.注意所用解题依据都应来自于课本的有关定义、公理、定理等.
第16题 本题主要考查三角函数及解三角形的有关知识,涉及两角和与差的三角公式、正
余弦定理等.讲评时,应适当渗透切化弦、化同名、边角互化、减少变量等策略,同时注意三角形内本身一些关系在解决问题时的应用,例如两边之和大于第三边,sin (A +B )=sinC ,面积公式及等积变换等.
(2)法一:由πππ,,,333C A B αα==+=-设2πππ0,,333
A B α<<<<知-.
因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====, 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+
=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332ααα??-++-=+????
.
ππ2π2π,2,3333
αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤,故223342a b <+≤.
法二:由正弦定理得:2sin c R C ==.
由余弦定理得:2222cos c a b ab C =+-,故2234a b ab +=+.
因为0,0a b >>,所以2234
a b +>.
又222a b ab +≤,故22
22342
a b a b +++≤,得2232a b +≤.
因此,223342
a b <+≤.
第17题 本题主要考查应用所学数学知识分析问题与解决问题的能力.试题以常见的图形
为载体,再现对基本不等式、导数等的考查.讲评时,应注意强调解决应用问题的一般步骤与思维规律,教学中应帮助学生克服解决应用题时的畏惧心理,在学生独立解决应用问题的过程中不断增强他们的自信心.
在使用基本不等式应注意验证取等号的条件,使用导数时应谨慎决断最值的取值
情况.
第18题 本题主要考查等差数列与等比数列的基础知识及基本运算,考查创新能力.两个
基本数列属C 能要求,属高考必考之内容,属各级各类考试之重点.
第(3)问中,若数列{a n }为等差数列,则数列{n a k }(k >0且k ≠1)为等比数列;反之
若数列{a n }为等比数列,则数列{log a n a }(a >0且a ≠1)为等差数列.
第(3)问中,如果将问题改为“是否存在正整数m ,p ,q (其中m
b q 成等比数列?若存在,求出所有满足条件的数组(m ,p ,q );若不存在,说明理由.”那么,答案仍然只有唯一组解.此时,在解题时,只须添加当m ≥2时,说明方程组无解即可,其说明思路与原题的解题思路基本相同.
对于第(2)问,在得到关系式:1(1)n n n a na +-=后,亦可将其变形为
1
1
n n a n a n +=-,并进而使用累乘法(迭乘法),先行得到数列{a n }的通项公式,最后使用等差数列的定义证明其为等差数列亦可.但需要说明n ≥2.
考虑到这是全市的第一次大考,又是考生进入高三一轮复习将近完成后所进行的
第一次大规模的检测,因而在评分标准的制定上,始终本着让学生多得分的原则,例如本题中的第(1)问4分,不设置任何的障碍,基本让学生能得分.
第19题 本题主要考查直线与椭圆的基础知识,考查计算能力与独立分析问题与解决问题
的能力.讲评本题时,要注意对学生耐挫能力的培养.
第(2)问,亦可设所求直线方程为y -1=k 1(x -1),与椭圆方程联立,消去一个变
量或x 或y ,然后利用根与系数的关系,求出中点坐标与k 1的关系,进而求出k 1的值.
第(3)问,可有一般的情形:过定椭圆内的定点作两条斜率和为定值的动弦,则
两动弦的中点所在直线过定值.此结论在抛物线中也成立.另外,也可以求过两中点所在直线的斜率的最值.
近几年江苏高考解析几何大题的命题趋势:多考一点“算”,少考一点“想”. 第20题 本题主要考查函数与导数的知识,考查运用所学数学知识分析问题与解决问题的
能力.
第(2)可另解为:
命题“若212,[e,e ],x x ?∈使()12()f x f x a '+≤成立”等价于
“21[e,e ]x ?∈,使()1max ()f x f x a '+≤”.
由(1),当2[e,e ]x ∈时,max 1()4f x a '=-,于是()max 14f x a '+=.
故21[e,e ]x ?∈,使11111()ln 4
x f x ax x =-≤,即2
1[e,e ]x ?∈,使1111ln 4a x x -≥.
所以当2[e,e ]x ∈时,()
min
11ln 4a x x -≥
.
记211(),[e,e ]ln 4g x x x x =-∈,则22222
4(ln )11()(ln )44(ln )x x g x x x x x x -+-'=+=
?. 因2[e,e ]x ∈,故224[4e,4e ],(ln )[1,4]x x ∈∈,于是2()0,[e,e ]g x x '∈恒成立. 所以,11()ln 4g x x x =-在2[e,e ]上为减函数,
所以,min 2221111()2ln e 4e 4e g x =-=-.
所以,21124e
a -≥.
2015年江苏省高考数学试题及答案(理科)【解析版】
2015年江苏省高考数学试卷 一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共计70分) 1.(5分)(2015?江苏)已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为5. 考点:并集及其运算. 专题:集合. 分析:求出A∪B,再明确元素个数 解答:解:集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5}; 所以A∪B中元素的个数为5; 故答案为:5 点评:题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题 2.(5分)(2015?江苏)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为6. 考点:众数、中位数、平均数. 专题:概率与统计. 分析:直接求解数据的平均数即可. 解答:解:数据4,6,5,8,7,6, 那么这组数据的平均数为:=6. 故答案为:6. 点评:本题考查数据的均值的求法,基本知识的考查. 3.(5分)(2015?江苏)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为. 考点:复数求模. 专题:数系的扩充和复数. 分析:直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可. 解答:解:复数z满足z2=3+4i, 可得|z||z|=|3+4i|==5, ∴|z|=. 故答案为:. 点评:本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力. 4.(5分)(2015?江苏)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为7.
考点:伪代码. 专题:图表型;算法和程序框图. 分析:模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的I,S的值,当I=10时不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7. 解答:解:模拟执行程序,可得 S=1,I=1 满足条件I<8,S=3,I=4 满足条件I<8,S=5,I=7 满足条件I<8,S=7,I=10 不满足条件I<8,退出循环,输出S的值为7. 故答案为:7. 点评:本题主要考查了循环结构的程序,正确判断退出循环的条件是解题的关键,属于基础题. 5.(5分)(2015?江苏)袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2 只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为. 考点:古典概型及其概率计算公式. 专题:概率与统计. 分析:根据题意,把4个小球分别编号,用列举法求出基本事件数,计算对应的概率即可.解答:解:根据题意,记白球为A,红球为B,黄球为C1、C2,则 一次取出2只球,基本事件为AB、AC1、AC2、BC1、BC2、C1C2共6种, 其中2只球的颜色不同的是AB、AC1、AC2、BC1、BC2共5种; 所以所求的概率是P=. 故答案为:. 点评:本题考查了用列举法求古典概型的概率的应用问题,是基础题目. 6.(5分)(2015?江苏)已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m, n∈R),则m﹣n的值为﹣3. 考点:平面向量的基本定理及其意义. 专题:平面向量及应用.
高三年级数学高三第一次调研测试
南通市高三第一次调研测试 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分. 1. 已知集合U ={1, 2, 3, 4},M ={1, 2},N ={2, 3},则U (M ∪N ) = ▲ . 2.复数 2 1i (1i)-+(i 是虚数单位)的虚部为 ▲ . 3.设向量a ,b 满足:3||1,2 =?= a a b ,22+=a b ,则||=b ▲ . 4.在平面直角坐标系xOy 中,直线(1)2x m y m ++=-与直线28mx y +=-互相垂直的充要条件是 m = . 5.函数()cos (sin cos )()f x x x x x =+∈R 的最小正周期是 ▲ . 6.在数列{a n }中,若对于n ∈N *,总有 1 n k k a =∑=2n -1,则 21 n k k a =∑= ▲ . 7.抛掷甲、乙两枚质地均匀且四面上分别标有1,2,3,4的正四面体,其底面落于桌面,记所得的数字分别为x ,y ,则 x y 为整数的概率是 ▲ . 8.为了解高中生用电脑输入汉字的水平,随机抽取了部分学生进行每分钟输入汉字个数测试,下图是根 据抽样测试后的数据绘制的频率分布直方图,其中每分钟输入汉字个数的范围是[50,150],样本数据分组为[50,70),[70,90), [90,110),[110,130),[130,150],已知样本中每分钟输入汉字个数小于90的人数是36,则样本中每分钟输入汉字个数大于或等于70个并且小于130个的人数是 ▲ . 9.运行如图所示程序框图后,输出的结果是 ▲ . 10.关于直线, m n 和平面,αβ,有以下四个命题: ∈若//,//,//m n αβαβ,则//m n ;∈若//,,m n m n αβ?⊥,则αβ⊥; ∈若,//m m n α β=,则//n α且//n β;∈若,m n m αβ⊥=,则n α⊥或n β⊥. 其中假命题的序号是 ▲ . (第8题字数/分 频率 组距 0.005 0.0070.0100.0120.015 50 70 90 110 130 150 k ≥-3 开始 k 1 S S S – 2k k k -1 结束 输出S Y N (第9题图)
历年高考真题(数学文化)
历年高考真题(数学文化) 1.(2019湖北·理)常用小石子在沙滩上摆成各种形状研究数, 如他们研究过图1中的1, 3, 6, 10, …, 由于这些数能表示成三角形, 将其称为三角形数;类似地, 称图2中的1, 4, 9, 16…这样的数为正方形数, 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1024 C.1225 D.1378 2.(2019湖北·文)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 A .1升 B .6667升 C .4447升 D .3337 升 3.(2019湖北·理)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面4节的容积共3升, 下面3节的容积共4升, 则第5节的容积为 升. 4.(2019?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径, “开立圆术”相当于给出了已知球的体 积V , 求其直径d 的一个近似公式 3 916V d ≈.人们还用过一些类似的近似公式.根据π =3.14159…..判断, 下列近似公式中最精确的一个是( ) A. 3 916V d ≈ B.32V d ≈ C.3157300V d ≈ D.31121V d ≈ 5.(2019?湖北)在平面直角坐标系中, 若点P (x , y )的坐标x , y 均为整数, 则称点P 为格点.若一个多边形的顶点全是格点, 则称该多边形为格点多边形.格点多边形的面积记为S , 其内部的格点数记为N , 边界上的格点数记为L .例如图中△ABC 是格点三角形, 对应的S=1, N=0, L=4. (Ⅰ)图中格点四边形DEFG 对应的S , N , L 分别是________; (Ⅱ)已知格点多边形的面积可表示为c bL aN S ++=其中a , b , c 为常数.若某格点多边形对应的N=71, L=18, 则S=________(用数值作答). 6.(2019?湖北)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土, 这是我国现存最早的有系统的数学典籍, 其中记载有求“囷盖”的术:置如其周, 令相乘也, 又以高乘之, 三十六成一, 该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h , 计算其体积
2020届山东省高三数学模拟测试(五)数学试题(解析版)
2020届山东省高三数学模拟测试(五)数学试题 一、单选题 1.已知集合{ } 2 |20A x x x =--≤,{|21}B x x =-<≤,则A B =U ( ) A .{|12}x x -剟 B .{|22}x x - C .{|21}x x - D .{|22}x x -≤≤ 【答案】B 【解析】化简集合A ,按照并集定义,即可求解. 【详解】 }{|12},{|21A B x x x x =-≤≤=-<≤, {|22}A B x x ?=-<≤. 故选:B. 【点睛】 本题考查集合间的运算,属于基础题. 2.i 是虚数单位,21i z i =-则||z =( ) A .1 B .2 C D .【答案】C 【解析】由复数除法的运算法则求出z ,再由模长公式,即可求解. 【详解】 由2 2(1) 1,||1i i z i z i += =-+=-. 故选:C. 【点睛】 本题考查复数的除法和模,属于基础题. 3.1777年,法国科学家蒲丰在宴请客人时,在地上铺了一张白纸,上面画着一条条等距离的平行线,而他给每个客人发许多等质量的,长度等于相邻两平行线距离的一半的针,让他们随意投放.事后,蒲丰对针落地的位置进行统计,发现共投针2212枚,与直线相交的有704枚.根据这次统计数据,若客人随意向这张白纸上投放一根这样的针,则针落地后与直线相交的概率约为( )
A . 12π B . 3π C . 2π D . 1π 【答案】D 【解析】根据统计数据,求出频率,用以估计概率. 【详解】 7041 2212π ≈. 故选:D. 【点睛】 本题以数学文化为背景,考查利用频率估计概率,属于基础题. 4.函数1 ()f x ax x =+ 在(2,)+∞上单调递增,则实数a 的取值范围是( ) A .1,4??+∞ ??? B .1 ,4??+∞???? C .[1,)+∞ D .1,4 ??-∞ ?? ? 【答案】B 【解析】对a 分类讨论,当0a ≤,函数()f x 在(0,)+∞单调递减,当0a >,根据对勾函数的性质,求出单调递增区间,即可求解. 【详解】 当0a ≤时,函数1 ()f x ax x =+ 在(2,)+∞上单调递减, 所以0a >,1 ()f x ax x =+ 的递增区间是?+∞?? , 所以2 ≥1 4 a ≥. 故选:B. 【点睛】 本题考查函数单调性,熟练掌握简单初等函数性质是解题关键,属于基础题. 5.已知1 5 455,log log 2a b c ===,则,,a b c 的大小关系为( ) A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >> D .c b a >> 【答案】A 【解析】根据指数函数的单调性,可得1 551a =>,再利用对数函数的单调性,将,b c 与
最新江苏省高考数学试卷及解析
2017年江苏省高考数学试卷 一.填空题 1.(5分)已知集合A={1,2},B={a,a2+3}.若A∩B={1},则实数a的值为.2.(5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是.3.(5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取件. 4.(5分)如图是一个算法流程图:若输入x的值为,则输出y的值是. 5.(5分)若tan(α﹣)=.则tanα=. 6.(5分)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上、下底面及母线均相切,记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是. 7.(5分)记函数f(x)=定义域为D.在区间[﹣4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是.
8.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线﹣y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是. 9.(5分)等比数列{a n}的各项均为实数,其前n项为S n,已知S3=,S6=,则a8=.10.(5分)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是. 11.(5分)已知函数f(x)=x3﹣2x+e x﹣,其中e是自然对数的底数.若f(a﹣1)+f(2a2)≤0.则实数a的取值范围是. 12.(5分)如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°.若=m+n(m,n∈R),则m+n=. 13.(5分)在平面直角坐标系xOy中,A(﹣12,0),B(0,6),点P在圆O:x2+y2=50上.若≤20,则点P的横坐标的取值范围是. 14.(5分)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=, 其中集合D={x|x=,n∈N*},则方程f(x)﹣lgx=0的解的个数是. 二.解答题 15.(14分)如图,在三棱锥A﹣BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E、F(E与A、D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD. 求证:(1)EF∥平面ABC; (2)AD⊥AC.
历年全国高考数学试卷附详细解析
2015年高考数学试卷 一、选择题(每小题5分,共40分) 1.(5分)(2015?原题)复数i(2﹣i)=() A.1+2i B.1﹣2i C.﹣1+2i D.﹣1﹣2i 2.(5分)(2015?原题)若x,y满足,则z=x+2y的最大值为() A.0 B.1 C.D.2 3.(5分)(2015?原题)执行如图所示的程序框图输出的结果为() A.(﹣2,2)B.(﹣4,0)C.(﹣4,﹣4)D.(0,﹣8) 4.(5分)(2015?原题)设α,β是两个不同的平面,m是直线且m?α,“m∥β“是“α∥β”的() A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(5分)(2015?原题)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的表面积是()
A.2+B.4+C.2+2D.5 6.(5分)(2015?原题)设{a n}是等差数列,下列结论中正确的是() A.若a1+a2>0,则a2+a3>0 B.若a1+a3<0,则a1+a2<0 C.若0<a 1<a2,则a2D.若a1<0,则(a2﹣a1)(a2﹣a3)>0 7.(5分)(2015?原题)如图,函数f(x)的图象为折线ACB,则不等式f(x)≥log2(x+1)的解集是() A.{x|﹣1<x≤0} B.{x|﹣1≤x≤1} C.{x|﹣1<x≤1} D.{x|﹣1<x≤2} 8.(5分)(2015?原题)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程,如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况,下列叙述中正确的是() A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米 B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多 C.甲车以80千米/小时的速度行驶1小时,消耗10升汽油
2019-2020年高三第一次诊断性测试数学(理)试题
山东省实验中学 2019-2020年高三第一次诊断性测试 数学(理)试题说明:本试卷分第I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)共两卷.其中第l 卷共60分,第II 卷共90分,两卷合计I50分.答题时间为120分钟. 第1卷(选择题 共60分)一、选择题:(本大题共12小题,每小题 5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.如果命题“(p 或q)”为假命题,则 ( )A .p ,q 均为真命题 B .p ,q 均为假命题 C .p ,q 中至少有一个为真命题 D .p, q 中至多有一个为真命题 2.下列函数图象中,正确的是 ()3.不等式3≤l5 - 2xl<9的解集是 ( )A .(一∞,-2)U(7,+co) B .【1,4】 C .[-2,1】U 【4,7】 D .(-2,l 】U 【4,7) 4.已知向量(3,1),(0,1),(,3),2,a b c k a b c k 若与垂直则()A .—3 B .—2 C .l D .-l 5.一已知倾斜角为的直线与直线x -2y 十2=0平行,则tan 2a 的值为()A . B . C . D .6.在各项均为正数的等比数列中,则()A .4 B .6 C .8 D .7.在△ABC 中,内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,且,则△ABC 是( ) A .钝角三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .等边三角形8.设x 、y 满足则()A .有最小值2,最大值 3 B .有最小值2,无最大值 C .有最大值3,无最大值 D .既无最小值,也无最大值9.已知双曲线的两条渐近线均与相切,则该双曲线离心率等于( )A .B .C .D .
历年高考数学真题全国卷版
历年高考数学真题全国 卷版 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】
参考公式: 如果事件A 、B 互斥,那么 球的表面积公式 如果事件A 、B 相互独立,那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 普通高等学校招生全国统一考试 一、 选择题 1、复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ={1.3. m },B ={1,m} ,A B =A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点,焦距为 4 一条准线为x=-4 ,则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24 y =1 D 212x +2 4y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ,AB=2,CC 1=22 E 为CC 1的中点,则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 (5)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,a 5=5,S 5=15,则数列的前100项 和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 (6)△ABC 中,AB 边的高为CD ,若 a ·b=0,|a|=1,|b|=2,则
高三数学模拟试题及答案word版本
高三数学模拟试卷 选择题(每小题5分,共40分) 1.已知全集U ={1,2,3,4,5},集合M ={1,2,3},N ={3,4,5},则M ∩(eU N )=( ) A. {1,2} B.{4,5} C.{3} D.{1,2,3,4,5} 2. 复数z=i 2(1+i)的虚部为( ) A. 1 B. i C. -1 D. - i 3.正项数列{a n }成等比,a 1+a 2=3,a 3+a 4=12,则a 4+a 5的值是( ) A. -24 B. 21 C. 24 D. 48 4.一组合体三视图如右,正视图中正方形 边长为2,俯视图为正三角形及内切圆, 则该组合体体积为( ) A. 23 B. 43 π C. 23+ 43 π D. 5434327π+ 5.双曲线以一正方形两顶点为焦点,另两顶点在双曲线上,则其离心率为( ) A. 22 B. 2+1 C. 2 D. 1 6.在四边形ABCD 中,“AB u u u r =2DC u u u r ”是“四边形ABCD 为梯形”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设P 在[0,5]上随机地取值,求方程x 2+px +1=0有实根的概率为( ) A. 0.2 B. 0.4 C. 0.5 D. 0.6 8.已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ,A >0,ω>0,|φ|<2 π ) 的图象(部分)如图所示,则f (x )的解析式是( ) A .f (x )=5sin( 6πx +6π) B.f (x )=5sin(6πx -6π) C.f (x )=5sin(3πx +6π) D.f (x )=5sin(3πx -6 π ) 二、填空题:(每小题5分,共30分) 9.直线y =kx +1与A (1,0),B (1,1)对应线段有公 共点,则k 的取值范围是_______. 10.记n x x )12(+ 的展开式中第m 项的系数为m b ,若432b b =,则n =__________. 11.设函数 3 1 ()12 x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、,则 1234()f x x x x =+++ ; 12、设向量(12)(23)==,,,a b ,若向量λ+a b 与向量(47)=--,c 共线,则=λ 11.2 1 1 lim ______34 x x x x →-=+-. 14. 对任意实数x 、y ,定义运算x *y =ax +by +cxy ,其中 x -5 y O 5 2 5
2019年江苏省高考数学试卷以及答案解析
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷) 数学 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1.(5分)已知集合A={﹣1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B=.2.(5分)已知复数(a+2i)(1+i)的实部为0,其中i为虚数单位,则实数a的值是.3.(5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是. 4.(5分)函数y=的定义域是. 5.(5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是. 6.(5分)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是. 7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,若双曲线x2﹣=1(b>0)经过点(3,4),则该双曲线的渐近线方程是. 8.(5分)已知数列{a n}(n∈N*)是等差数列,S n是其前n项和.若a2a5+a8=0,S9=27,则S8的值是. 9.(5分)如图,长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120,E为CC1的中点,则三棱锥E﹣BCD的体积是.
10.(5分)在平面直角坐标系xOy中,P是曲线y=x+(x>0)上的一个动点,则点P到直线x+y=0的距离的最小值是. 11.(5分)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=lnx上,且该曲线在点A处的切线经过点(﹣e,﹣1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是. 12.(5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若?=6?,则的值是. 13.(5分)已知=﹣,则sin(2α+)的值是. 14.(5分)设f(x),g(x)是定义在R上的两个周期函数,f(x)的周期为4,g(x)的 周期为2,且f(x)是奇函数.当x∈(0,2]时,f(x)=,g(x)= 其中k>0.若在区间(0,9]上,关于x的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根,则k的取值范围是. 二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值; (2)若=,求sin(B+)的值. 16.(14分)如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1∥平面DEC1; (2)BE⊥C1E.
2020-2021学年高三数学(理科)第一次质量调研测试及答案解析
2018学年高三年级第一次质量调研 数学试卷(理) 考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有23道试题,满分150分,考试时间120分钟. 一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对4分,否则一律得零分. 1.=+-+∞→2 21 lim 22n n n n ____________. 2.设集合},02{2R ∈>-=x x x x A ,? ?? ???∈≤-+=R x x x x B ,011, 则=B A I __________. 3.若函数x a x f =)((0>a 且1≠a )的反函数的图像过点)1,3(-,则=a _________. 4.已知一组数据6,7,8,9,m 的平均数是8,则这组数据的方差是_________. 5.在正方体1111D C B A ABCD -中,M 为棱11B A 的中点,则异面直线AM 与C B 1所成的 角的大小为__________________(结果用反三角函数值表示). 6.若圆锥的底面周长为π2,侧面积也为π2,则该圆锥的体积为______________. 7.已知 3 1 cos 75sin sin 75cos = ? -?α α,则=+?)230cos(α_________. 8.某程序框图如图所示,则该程序运行后 输出的S 值是_____________. 9.过点)2,1(P 的直线与圆42 2 =+y x 相切,且与直线01=+-y ax 垂直,则实数a 的值 为___________. 10.甲、乙、丙三人相互传球,第一次由甲将球传出,每次传球时,传球者将球等可能地传 给另外两人中的任何一人.经过3次传球后,球仍在甲手中的概率是__________. 11.已知直角梯形ABCD ,AD ∥BC ,?=∠90BAD .2=AD ,1=BC ,P 是腰AB 上的动点,则||PD PC +的最小值为__________. 12.已知* N ∈n ,若4022221123221=+++++---n n n n n n n C C C C Λ,则=n ________. 13.对一切实数x ,令][x 为不大于x 的最大整数,则函数][)(x x f =称为取整函数.若
2011到2016历年高考数学真题
参考公式:如 果事件A、B互斥,那么球的表面积公式P(A B ) P(A)P(B) S 4R2 如果事件A、B相互独立,那么P(A B)P(A)P(B) 其中R表示球的半径球的体积公式 如果事件A在一次试验中发生的概率是p,那么V 3 4 R3 n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率其中R表示球的半径 P(k)C n k n p k(1p)n k(k 0,1,2,…n) 2012年普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、复数 13i 1i = A2+I B2-I C1+2i D1-2i 2、已知集合A={1.3.m},B={1,m},A B=A,则m= A0或3B0 或3C1或3D1或3 3椭圆的中心在原点,焦距为4一条准线为x=-4,则该椭圆的方程为x2y2x2y2 A+=1 B+=1 1612128 x2y2x2y2 C+=1D+=1 84124 4已知正四棱柱ABCD-A B C D中,AB=2,CC= 11111与平面BED的距离为22E为CC的中点,则直线AC 1 1 A2B3C2D1 (5)已知等差数列{a}的前n项和为S,a =5,S=15,则数列 n n55 的前100项和为 (A)100 101 (B) 99 101 (C) 99101 (D) 100100 (6)△ABC中,AB边的高为CD,若a·b=0,|a|=1,|b|=2,则
(A) (B ) (C) (D) 3 (7)已知α 为第二象限角,sin α +sin β = ,则 cos2α = (A) - 5 3 (B ) - 5 5 5 9 9 3 (8)已知 F1、F2 为双曲线 C :x 2-y 2=2 的左、右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=|2PF2|,则 cos ∠F1PF2= 1 3 3 4 (A) 4 (B ) 5 (C) 4 (D) 5 1 (9)已知 x=ln π ,y=log52, ,则 (A)x <y <z (B )z <x <y (C)z <y <x (D)y <z <x (10) 已知函数 y =x 2-3x+c 的图像与 x 恰有两个公共点,则 c = (A )-2 或 2 (B )-9 或 3 (C )-1 或 1 (D )-3 或 1 (11)将字母 a,a,b,b,c,c,排成三行两列,要求每行的字母互不相同,梅列的字母也互不相同, 则不同的排列方法共有 (A )12 种(B )18 种(C )24 种(D )36 种 7 (12)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上,AE =BF = 。动点 P 从 E 出发沿直线喜爱那个 F 运动,每当碰到正方形的方向的边时反弹,反弹时反射等于入 射角,当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 (A )16(B )14(C )12(D)10 二。填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上。 (注意:在试题卷上作答无效) (13)若 x ,y 满足约束条件 (14)当函数 则 z=3x-y 的最小值为_________。 取得最大值时,x=___________。 (15)若 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中 的系数为 _________。 (16)三菱柱 ABC-A1B1C1 中,底面边长和侧棱长都相等, BAA1=CAA1=50° 则异面直线 AB1 与 BC1 所成角的余弦值为____________。 三.解答题: (17)(本小题满分 10 分)(注意:在试卷上作答无效) △ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ,已知 cos (A-C )+cosB=1,a=2c ,求 c 。 3 (C) (D) z=e 2 3
(完整)2018高考数学模拟试卷(衡水中学理科)
2018年衡水中学高考数学全真模拟试卷(理科) 第1卷 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.(5分)(2018?衡中模拟)已知集合A={x|x2<1},B={y|y=|x|},则A∩B=()A.?B.(0,1)C.[0,1)D.[0,1] 2.(5分)(2018?衡中模拟)设随机变量ξ~N(3,σ2),若P(ξ>4)=0.2,则P(3<ξ≤4)=() A.0.8 B.0.4 C.0.3 D.0.2 3.(5分)(2018?衡中模拟)已知复数z=(i为虚数单位),则3=()A.1 B.﹣1 C.D. 4.(5分)(2018?衡中模拟)过双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一个焦点F作两渐近线的垂线,垂足分别为P、Q,若∠PFQ=π,则双曲线的渐近线方程为() A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x 5.(5分)(2018?衡中模拟)将半径为1的圆分割成面积之比为1:2:3的三个扇形作为三个圆锥的侧面,设这三个圆锥底面半径依次为r1,r2,r3,那么r1+r2+r3的值为() A.B.2 C.D.1 6.(5分)(2018?衡中模拟)如图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是() A.2 B.3 C.4 D.5 7.(5分)(2018?衡中模拟)等差数列{a n}中,a3=7,a5=11,若b n=,则数列{b n} 的前8项和为() A.B.C.D. 8.(5分)(2018?衡中模拟)已知(x﹣3)10=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a10(x+1)10,则a8=() A.45 B.180 C.﹣180 D.720
全国高考江苏省数学试卷及答案【精校版】
江苏高考数学试题 数学Ⅰ试题 参考公式: 圆柱的侧面积公式:S 圆柱=cl , 其中c 是圆柱底面的周长,l 为母线长. 圆柱的体积公式:V 圆柱=Sh ,其中S 是圆柱的底面积,h 为高. 一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置.......上. . 1.已知集合{2134}A =--,,,,{123}B =-,,,则A B =I . 【答案】{13}-, 2.已知复数2(52)z i =+(i 为虚数单位),则z 的实部为 . 【答案】21 3.右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 . 【答案】5 4.从1236,,,这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的 概率是 . 【答案】13 5.已知函数cos y x =与sin(2)(0)y x ??=+<π≤,它们的图象有一个横坐标为 3 π 的交点,则?的值是 . 【答案】 6 π 6.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm ),所得数据均在区间[80130],上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株 树木的底部周长小于100 cm . 【答案】24 7.在各项均为正数的等比数列{}n a 中,若21a =,8642a a a =+, 则6a 的值是 .
【答案】4 8.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为12S S ,,体积分别为12V V ,,若它们的侧面积相等,且 1294S S =,则12V V 的值是 . 【答案】32 9.在平面直角坐标系xOy 中,直线230x y +-=被圆22(2)(1)4x y -++=截得的弦长为 . 255 10.已知函数2()1f x x mx =+-,若对任意[1]x m m ∈+,,都有()0f x <成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】202?? ??? 11.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2b y ax x =+(a b ,为常数)过点(25)P -,,且该曲线在 点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b +的值是 . 【答案】3- 12.如图,在平行四边形ABCD 中,已知,85AB AD ==,, 32CP PD AP BP =?=u u u r u u u r u u u r u u u r ,,则AB AD ?u u u r u u u r 的 值是 . 【答案】22 13.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数,当[03)x ∈,时,21 ()22 f x x x =-+.若函 数()y f x a =-在区间[34]-,上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 . 【答案】() 102 , 14.若ABC ?的内角满足sin 22sin A B C =,则cos C 的最小值是 . 62-二、解答题:本大题共6小题, 共计90 分. 请在答题卡指定区域内........ 作答, 解答时应写出文字
高三数学上学期第一次诊断测试试题文
达州市2017届高三上学期第一次诊断测试 数学试卷(文科) 第Ⅰ卷(选择题 共60分) 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的. 1.已知集合{1,1,2}A =-,集合{10}B x x =->,集合A B 为( ) A .φ B .{1,2} C .{1,1,2}- D .{2} 2.已知i 是虚数单位,复数21i i =+( ) A .1i - B .i C .1i + D .i - 3.将函数sin()3y x π=+的图象向x 轴正方向平移 6 π个单位后,得到的图象解析式是( ) A .sin()6y x π=+ B .sin()6y x π=- C .2sin()3y x π=- D .2sin()3y x π=+ 4.已知AB 是直角ABC ?的斜边,(2,4)CA =,(6,)CB x =-,则x 的值是( ) A .3 B .-12 C .12 D .-3 5.已知,x y 都是实数,命题:0p x =;命题22:0q x y +=,则p 是q 的( ) A .充要条件 B .必要不充分条件 C .充分不必要条件 D .既不充分又不必要条件 6.抛物线24y x =的焦点坐标是( ) A .(0,2) B .(2,0) C .(1,0) D .(0,1) 7.已知直线l ?平面α,直线m ?平面α,下面四个结论:①若l α⊥,则l m ⊥;②若//l α,则//l m ;③若l m ⊥,则l α⊥;④若//l m ,则//l α,其中正确的是( ) A .①②④ B .③④ C .②③ D .①④ 8.已知344π πα<<,4sin()45 πα-=,则cos α=( ) A 2 B .272 D .2 9.一几何体的三视图如图所示,三个三角形都是直角边为2的等腰直角三角形,该几何体的顶点都在球O 上,球O 的表面积为( )
历年全国卷高考数学真题大全解析版
全国卷历年高考真题汇编 三角 1(2017全国I 卷9题)已知曲线1:cos C y x =,22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ,则下面结论正确的是() A .把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度,得到曲线2C B .把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度,得到曲线2C C .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12 倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线2C D .把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度,得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =,22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名,可将1:cos C y x =用诱导公式处理. 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x .横坐标变换需将1=ω变成2=ω, 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x . 【解析】注意ω的系数,在右平移需将2=ω提到括号外面,这时π4+ x 平移至π 3 +x , 【解析】根据“左加右减”原则,“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12,即再向左平移π 12 2 (2017全国I 卷17题)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知ABC △的 面积为2 3sin a A . (1)求sin sin B C ; (2)若6cos cos 1B C =,3a =,求ABC △的周长. 【解析】本题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】(1)∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A =
高三数学高考模拟测试卷及答案
-南昌市高三测试卷数学(五) 命题人:南昌三中 张金生 一、 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合{}{} M x x y y N M ∈==-=,cos ,1,0,1,则N M 是 ( ) A .{}1,0,1- B. { }1 C. {}1,0 D.{}0 2.(文)在数列{n a }中,若12a =-,且对任意的n N *∈有1221n n a a +-=,则数列{}n a 前15项的和为( ) A . 105 4 B .30 C .5 D . 452 (理) 若复数i i a 213++(a R ∈,i 为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为 ( ) A. 13 B.13 C. 3 2 D. -6 3.若0< B .||||b a > C .a b a 1 1>- D .22b a > 4.设,,a b c 分别ABC △是的三个内角,,A B C 所对的边,若1,3060A a b ==则是B =的 ( ) A.充分不必要条件; B.必要不充分条件; C.充要条件; D.既不充分也不必要条件; 5.设a ,b ,c 是空间三条直线,α,β是空间两个平面,则下列命题中,逆命题不成立的是( ) A 当c α⊥时,若c β⊥,则α∥β B 当α?b 时,若b β⊥,则βα⊥ C 当α?b ,且c 是a 在α内的射影时,若b c ⊥,则a b ⊥ D 当α?b ,且α?c 时,若//c α,则//b c 6.设n x x )5(3 12 1-的展开式的各项系数之和为M ,而二项式系数之和为N ,且M -N=992。则展开式中x 2项的系数为( ) A .150 B .-150 C .250 D .-250 7.将A 、B 、C 、D 四个球放入编号为1,2,3的三个盒子中,每个盒子中至少放一个球且A 、B 两个球不能放在同一盒子中,则不同的放法有( ) A .15 B .18 C .30 D .36 8.(文)已知=(2cos α,2sin α), =(3cos β,3sin β),与的夹角为60°,则直线 x cos α-ysin α+2 1 =0与圆(x -cos β)2+(y+sin β)2=1的位置关系是( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .不能确定 (理)统计表明,某省某年的高考数学成绩2(75,30)N ξ,现随机抽查100名考生的数学试卷,则 成绩超过120分的人数的期望是( ) (已知(1.17)0.8790,(1.5)0.9332,(1.83)0.9664φφφ===) A. 9或10人 B. 6或7人 C. 3或4人 D. 1或2人 9.设}10,,2,1{ =A ,若“方程02=--c bx x 满足A c b ∈,,且方程至少有一根A a ∈”,就称 该方程为“漂亮方程”。则“漂亮方程”的个数为( ) A .8 B .10 C .12 D .14 10.已知12 1(0,0)m n m n +=>>,则当m+n 取得最小值时,椭圆22221x y m n +=的离心率为( ) A. 1 2 B. C. D. 11.关于函数()cos(2)cos(2)36 f x x x ππ =- ++有下列命题: ①()y f x = ;②()y f x =是以π为最小正周期的周期函数; ③()y f x =在区间13[,]2424 ππ 上是减函数; ④将函数2y x = 的图象向左平移 24 π 个单位后,与已知函数的图象重合. 其中正确命题的序号是( ) A .①②③ B .①② C .②③④ D .①②③④ 12. 以正方体的任意三个顶点为顶点作三角形,从中随机地取出两个三角形,则这两个三角形不共面的概率为 ( ) A .367385 B . 376385 C .192385 D .18 385