第1讲：菱形的性质与判定_教案

概述

【教学建议】

菱形这种图形在生活中也比较常见，在教学过程中，结合现实生活中的菱形物体给学生讲解，必能收到事半功倍的效果.

【知识导图】

教学过程

、导入

教学建议】

在这一部分知识的学习中，要重视学生灵活运用所学知识点的能力培养.

在七八年级的学习中我们已经学习过了平行四边形的性质和判定，在本讲中我们将会学习平行四边形

中的特殊图形之一——菱形，它在初中数学四边形题型中占据了非常重要的位置.

、知识讲解

考点 1 菱形的定义和性质

定义：一组邻边对应相等的平行四边形叫做菱形．

性质：除具备一般平行四边形的性质外，还具备四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．

考点 2 菱形的判定让学生拿出准备好的长方形纸片，剪出一个四边都相等的四边形，根据这个条件首先证它是平行四边形，再由一组邻边相等，依定义即知为菱形．

菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形

1、已知：如图，在ABCD 中，BD⊥AC，O 为垂足．

求证：ABCD 是菱形.

启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一

组邻边相等．

证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，

∴AO ＝CO（平行四边形的对角线互相平分）∵BD ⊥AC ，∴AD ＝CD

∴ ABCD 是菱形（菱形的定义）．结论：菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

2、猜想：对角线互相垂直平分的四边形是不是菱形？

启发：通过四个直角三角形的全等得到四条边相等．

结论：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．

三、例题精析

类型一菱形的定义与性质

例题 1

如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连接OE，则线段OE的长等

B.4cm

C.2.5cm

D.2cm

解析】A.

∵菱形ABCD的周长为24cm，∴边长AB=24÷4=6cm.

∵对角线AC、BD相交于O点，∴ BO=DO.

又∵E是AD的中点，∴ OE是△ ABD的中位线. ∴OE=1 AB=1×6=3（cm） 2

总结与反思】此题运用了菱形的定义与性质：四边相

等、

类型二菱形的轴对称性（最值问题）和面积

例题 1

. 故选 A.

对角线相互平分

如图，已知菱形ABCD中，∠ ABC=60°，AB=8，过线段BD上的一个动点P（不与B、 D 重合）分别向直线A.3cm

AB、AD作垂线，垂足分别为E、F．

（1）BD的长是___

（2）连接PC，当PE+PF+PC取得最小值时，此时PB的长是___ 【解析】8 3；4 3．

（1）连接AC，交BD与点O，

∵四边形ABCD是菱形，∠ ABC=60°，

【解析】 A

首先根据平移的性质得出 AB 平行且等于 CD ，得出四边形 ABCD 为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形 是菱形可得添加条件 AB=BC 即可即可．

试题解析：∵将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ，

∴AB 平行且等于 CD ，

∴四边形 ABCD 为平行四边形，

当 AB=BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．

∴△ ABC 为等边三角形， AC=AB=8，

1

根据菱形性质得： AO=CO= AC=4，OB=O ，D AC ⊥ BD ，

2

根据勾股定理得： BD=2OB=×2 82 -42 =8 3 ； （2）延长

FP 交 BC 于点 M ，则 FM ⊥ BC ．

∴PE+PF=PF+PM=F ，M

又∵ S 菱形 ABCD =AC?BD=BC?FM ，

∴ 1 ×8×8 3 =8?FM ，即 FM=4 3 ，

2

∴要使 PE+PF+PC 取最小值，只要 PC 取最小值． 当

CP ⊥ BD ，即点 P 与点 O 重合时， PE+PF+PC 的值最

小．

1

此时 PB=BO=DO= BD=4 3 ．

2

总结与反思 】 此题是对菱形定义和性质的灵活运用，通过菱形性质求出了最值

类型三 菱形的判定

例题 1

如图，将△ ABC 沿 BC 方向平移得到△ DCE ，连接 AD ，下列条件能够判定四边形 ABCD 为菱形的是（ ） A 、 AB=BC B 、AC=BC C 、∠ B=60° D 、∠ ACB=60°

故选A．

总结与反思】先证明四边形是平行四边形，再由邻边相等证明四边形是菱形

四、课堂运用

基础

1. 在菱形ABCD中，若∠ ADC=120°，对角线AC=6，则菱形的周长是（）A．4 3 B ．24 C ．8 3 D ．24 3

2. 如图，菱形ABCD中，P为对角线AC上一动点，E,F 分别为AB、BC中点，若AC=8，BD=6，则PE+PF的最设AC交BD于O，作E 关于AC 的对称点N，连接NF，交AC 于P，则此时EP+FP的值最小，

∴PN=PE，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ DAB=∠BCD，AD=AB=BC=C，DOA=OC，OB=OD，AD∥BC，

∵E 为AB的中点，

∴N 在AD上，且N为AD的中点，

∵AD∥CB，

∴∠ ANP=∠CFP，∠ NAP=∠ FCP，

∵AD=BC，N为AD中点，F为BC中点，

答案与解析

1. 【答案】 C

【解析】试题分析：先根据菱形的性质求得∠

角形可得AB的长，从而求得结果.

∵菱形ABCD，∠ ADC=120°，AC=6，

∴AB=AD，∠ BAD=60°，AO=3，∠

AOB=90° ∴△ ABD为等边三角形，∠

BAO=30°，∴AB=2BO，

∵ AB2AO2BO2，解得AB 2 3，

∴菱形的周长是8 3 ，

故选 C.

2. 【答案】1、5

BAD=60°，AO=3，即可得到△ ABD为等边三角形，根据等边三

【解析】设AC交BD于O，作 E 关于AC的对称点N，连接NF，交AC于P，则此时EP+FP的值最小，

根据菱形的性质推出N是AD中点，P 与O重合，推出PE+PF=NF=A，B根据勾股定理求出AB的长即

小值为__________