整群抽样

第六章 整群抽样

一、作业要求：对整群抽样的复习资料整理

二、小组成员：吴茜梦、马鑫芮、林旭、李健、项尚、张哲夫

三、作业内容：关于整群抽样的概念、估计量的构造以及群内相关系数的构造及证明，并附有例题。

整群抽样的概念、估计量的构造

整群抽样的概念

若总体可分为N 个初级单元（称为群），每个初级单元包含若干次级单元。按照某种方式从总体中抽取n 个初级单元，对这些单元中所有次级单元全部进行调查。这种抽样方法称为整群抽样。

应用整群抽样时，要求各群有较好的代表性，即群内各单位的差异要大，群间差异要小。

整群抽样的特点

1） 抽样框的编制简单 2） 实施便利，节省费用 3） 抽样误差相对比较大些

整群抽样的研究（从目标量的估计方面）

第一种途径：将整群抽样看作二阶抽样，第二级的组内抽样为普查。因而组内估计量有

i i G g =,而相应的均方偏差02=i σ。

第二种途径：将进行普查的单元看作基本单元，单级对}{K

G G G ,...,,21进行抽样调查。

整群抽样估计量的构造

现在将整群抽样看作是二阶抽样的特例，在第一阶抽样后，对抽中的第一阶样本单元进行普查。假定第一阶抽中的号码为k θθ,...,1，在

i θ第一阶样本单元普查到的指标数为

{}i

i i N Y Y

θθ,...,1

。

⑴ 对简单随机抽样的整群抽样（第一阶段采用简单随机抽样），对总体总数Y 的估计有:

① Y 的无偏估计：

∑∑===k N

j C S E i

Y k Y 1i 1

j ^

i K θθ

② CSE

Y ?的均方偏差： ∑∑==???

? ????? ??=??? ??K

1i 2

1j 2

^

K -1-K 1K -1K i N ij CSE Y Y k k Y V ③)?(CSE

Y V 的一个无偏估计： 2

11

2

)?(1

1)

1()?(∑∑==---=

k

i CSE N j j

CSE K Y Y k K k k

K Y v j

i i θθ

◆第一阶段采用简单随机抽样，第二阶段为普查

Y

? ∑=k i i Y k K 11θ ∑∑==k i N

j j i

i

Y k K 11

θθ

()

CSE

Y V ? = 2211w S K k k K ??? ??- = 2

1121111∑∑==???

? ??--??? ??-K i N j ij i K Y Y K K k k K

()

CSE

Y v ? = 2211w s K k k K ??? ??- = 2

112?1111∑∑==???

? ??--??? ??-k

i N j CSE j i i

K Y Y k K k k K θθ

第一阶段简单随

第二阶段普查 目标量与估计量相等 简单随抽样部分

总量估计

组内方差

样本方差

⑵ 对有放回PPS 整群抽样的整群抽样（第一阶段采用PPS ），对总体总数Y 的估计有:

① Y 的无偏估计：

∑∑===k N

j CPPS

i i Y p k Y 1i 1

j ^

)(11i θθθ ② CPPS Y ?的均方偏差：

∑∑==???

?

??=??? ??K 1i 2

1j ^

Y -11

i

N ij i

i CPPS Y p p k Y V

③)?(CSE

Y V 的一个无偏估计： ∑∑==--=k

i N j C P P S j

C P P S

i

i

i

Y Y p k k Y v 1

21

)?1(

)

1(1

)?(θθ

θ

◆第一阶段采用有放回PPS 抽样，第二阶段为普查

Y ? ∑=k i i i g p k 111θθ ∑∑==k

N

j i i Y p k 1i 1

j )(11i θθθ

2

1

K

1i 2

1j ^

11Y -11

i K

i i

N ij i

i CPPS p K

Y p p k Y V i

σ∑

∑∑===+???

? ??=??? ??

=∑∑==???

?

??K 1i 2

1j Y -11

i

N ij i

i Y p p k

∑=???

? ??--?=k

i CPPS i CPPS

Y p g k k Y v i 12

?)1(11)?(θ=2

11?1)1(1∑∑==???

?

??--k i N j CPPS j i

i i Y Y p k k θθθ

第一阶段有放回PPS 抽样 第二阶段普查 普查02

=i σ

第一阶段有效放回PPS 抽样

个体总量

有放回PPS 抽样部分

有关符号的涵义： 总体

样本

第i 群的个体均值N

Y Y i

i =

群均值K

Y

Y K

i i

∑==

1

个体均值N

Y

Y =

方差∑∑==--=K i N

j ij Y Y KN S 11

22

)(11

群间方差21

2)(1Y Y K N S K

i i b --=∑=

群内方差211

2

)()1(1

∑∑==--=K i N

j i ij Y y N K S ω

N

y y i

i =

k

y

y k

i i

∑==

1

N

y y =

2112

)(11

y y kN s k i N

j ij --=∑∑== 21

2)(1y y k N s k

i i b

--=∑= 2112

)()1(1

i K i N

j ij y y N k s --=∑∑==ω K 为总体群数；N 为各群所含次级单元数；ij y 为第i 群中第j 个次级单元的观则值；

),,...3,2,1;,...,3,2,1(N j K i ==

KN 为总体所含次级单元总数；

kN 为样本所含次级单元总数；

整群抽样群内相关系数

1、整群抽样群内相关系数的计算公式：

其中：

k 为第一级抽样单元的总数； i 为代表第i 个第一级抽样单元；

i N 为第i 个第一级抽样单元内的第二级抽样单元的总数；

Y 为所有抽样单元的平均值；

ij Y 代表第i 个第一级抽样单元内的第j 个第二级抽样单元。

考虑列其中有如下特殊情形：

⑴、每一单元内的第二级抽样单元数量相等，即021...N N N N K ====

()()

()()

()()

∑∑===≠----=

--∑∑-∑-=

∑∑∑∑∑=

===≠K

i N j ij

K

i N l

j il N ij Y Y N Y Y Y Y C Y

N

Y S N N Y

Y Y Y k

i N j ij K

i N l

j il N ij 1

1

2

01

10

00

10

1

2

01

1)1)(1(其中

ρ()()

;)1)(1(2

01

00

S N N Y Y Y Y C K

i N l

j il N ij --=∑∑-∑-∴

=≠ρ

()()

()()∑∑

∑∑∑=

==≠=----Ni

j i j i K

i Ni i l Ni

i j K i Y Y N Y Y Y Y C 1

2

1

j 1

1ι

ρ

()[]

C N S N C w N S N N N S N N S K ρρ)1(1)1)(1(1)1(11012

02

2202

20

2

-+=

--+-=

--）（

[]2

2

2

0)1(1)1(1S N N S K N w C --=

-+）（其中ρ

⑵、当群内各单元指标均相等，即()l j Y Y ij il

≠=

()()()

()达最大值故12

=-=--C ij il ij

P Y

Y Y Y Y Y

⑶、C ρ还有其他的表达式：

()()()2

2

1S 1K -1s 112

2

02

2

20s

S N KN S

N S S K N C 内

内内外-≈-==

---ρ()

();

)1(11202

02

11

20

总方差的分解式）其中（→-+-=-=-∑∑==b w K

i N j ij KS N S K N Y Y S N

()

()()

()()

∑∑∑∑∑∑∑≠======--+-=???

?????-=-=-l

j il ij

K

i K i N j ij

K

i N j ij K

i i w Y Y Y Y

N Y Y

N Y Y N Y Y S K 1

20

12

1

2

121202

1

2

11

1

10

0）（

2、 (1)设k ：第一级抽样单元的个数；

i N ：第i 个单元内第二级抽样单元的个数

∑∑===

k 1i 1

j ij 0

1N Y N Y

则群内相关系数：

()()()

()()()

()

∑∑∑∑∑==≠=-=

=

k 1i 1

h 2ih 0l

j il ij k

1

i 002

ih

il

ij

00

-k 1--11

k

1---N N N C

Y Y N Y Y Y Y N N Y Y E Y Y Y Y E ρ

(2) 对简单随机抽样的整群抽样（第一阶段采用简单随机抽样），对总体总数

Y 的估计有:

∑∑===k N C S E Y k Y 1i 1

j ij ^

K :Y 总体总数 ()

()()()

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑=≠=======??

????+=

???

?

??=?????←???

? ??≈???

? ????? ??=??? ??K 1i l j il ij 1j 2ij K

1i 2

1j ij K

1i 2

1j ij K

1i 2

1j ij 2

^

00

---K Y -k K K -K

K -1-K 1K -1K N N N N K N N CSE Y Y Y Y Y Y k Y Y Y k Y Y k k Y V 足够大时

当

[]

()

2

K

1

i 1

j ij

2

K 1i 1j ij 02

y

20

02^0

^

-K

-11K 1K 11∑∑∑∑=====≈

-??? ?

?

-=

???

←???

? ??-

=??? ??N N N Y Y

Y

k

Y Y N k kN N S N kN N Y V

Deff =()()

()()

11---10K 1i 1j 2

ij l

j il

ij

K

1i ^^0

00

-+=+=???

? ?????? ??∑∑∑∑∑==≠=N Y Y Y Y Y Y Y V Y V C N N N CSE ρ

由公式可知：整群抽样的设计效应，当群内相关系数C ρ较大，群内单元个数0N 较多时，估计的精度小于简单随机抽样。

3、例题1：

调查一片荒地上蝗蝻的数量，以一平米为单位进行调查，计算蝗蝻数，该荒地有5000平方米，现为方便调查，将其划分为每10平方米一块的地块，从500个地块中简单随机地抽取20个作为一级样本单元，然后对抽中的地块调查每一平方米的蝗蝻数，作整群抽样。每一块地有十个二级抽样单元，调查所得全部数据列于表6.1，以此估计整块荒地蝗蝻数。（表见书P126）

解：根据资料计算

∑==10

1

j i i j Y Y θθ，

i=1,2 (20)

得下表中得各数值：

1θY

2θY

3θY

4θY

5θY

6θY

7θY

8θY

9θY

10θY

11θY

12θY

13θY

14θY

15θY

16θY

17θY

18θY

19

θY

20

θY

153 197 205 214 288 256 250 221 173 112 246 228 102 141 101 197 178 104 92

49

∑∑∑=====201

1

1

^

20500i

i N j j

k

i CSE

i

i

Y Y k

K Y θθ

θ()8780049 (19715320)

500

=+++=

故每平方米平均有蝗蝻数的估计为

N

Y Y CSE

^

^

=

=87800/5000=17.56 这一估计的均方偏差的估计为

∑=---=k

i CSE CSE K Y Y k k R K

N K Y V N i 12

^

2

2^

2)(11)1()(1θ ()()[]

065.26.17549...6.17515319

15002012015000500222

=-++-???

?? ??-?????

??=根据这批样本值，可计算这批样本的群内相关系数

∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑========≠=???? ??-????

? ??--???? ?????? ??-=---???? ??-=20110

12^20

12011012

^

101^20110

1

2

^10

10

^

^20

1^

9)()110()(i j j i i j j j j i j j l i l j i C Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y P i i i i i i θθθθθθ =0.37

以此作为这一总体的的群内相关系数。这一整群抽样的设计效应估算为

()33.4937.01110=?+=-+N P c

解析：

① ∑==10

1j j Q Qi i Y Y 指在20个一级样本单元中得十个二级单元样本总数，如1θY 指在

第一个样本单元的十个二级单元的蝗蝻数目。

② 定理6.1.1：对简单随机的整群抽样，总体总数Y 的无偏估计为

∑∑==?=k 1i 1

j ^

i

θθN j CSE

i Y r k Y ③ 本题中K 指的是将5000平方米的总体分成若干互不相交的500块子总体数，k 指的是简单随机抽样中抽取的一级样本单元数（采用整群抽样，当各个群内包含的次级抽样单元个数比较接近时，常用简单随机抽样），则荒地蝗蝻总数Y 的

估计为 ?r

k

（20个一级样本单元中的十个二级单元样本总数的总和），即500/20

（153+…+49）=87800,每平方米的平均数目为87800/5000=17.56 个/平方米

④ 对估计^

Y 的均偏方估计，根据方差的计算公式

2

R 1i ^

22^2^

11111∑=????

? ??--??? ??-=??? ??=????? ?

?k Y Y k k R R k N Y V N N Y V CSE CSE CSE i θ代入数据，可得结果

例题2：

假设总体容量为N=6，其标志值为1,2,3,5,6,7.若分为两个群（1,2,3）和（5,6,7），计算群内相关系数。求出的群内相关系数能说明什么问题。又若分为（1,5,7）和（2,3,6），计算群内相关系数。求出的群内相关系数又能说明什么问题。

解:①若分为两个群（1, 2, 3）和（5, 6, 7），

从该总体可以算出总体均值

.41

3

1

21

==∑∑==j ij

i Y

NK

Y

()

()

,

289612446)9...21(12

22211

22

2

=-=?-+++=-=-∑∑==K

i N j ij Y N Y S N ）（

()()()[]().

7857.02838131)1(1)1(18464216

,

22

2

2

2

02

2

2

1

2

21=∴

?=

-+?--=

-+∴

=-+-=-=-==∑=C C w C K

i i w S N N S K N Y Y S K Y Y ρρρ）（，

）（其中：

②若分为两个群（1, 5, 7）和（2, 3, 6），

().

4643.028

39

2131,

9

213

11

,

313,281,42

2

212-=∴?=-+∴=-===-=C C w S K Y Y S N Y ρρ）（）（