求解偏微分方程的几种特殊方法

求解偏微分方程的几种特殊方法

程哲 PB06001070

（中国科学技术大学数学系， 合肥， 230026）

摘要：经过一个学期偏微分方程课程的学习，我们掌握了几种求解初等拟（半）线性方程，特别是三种典型方程的方法，如特征曲线法、反射法、降维法、分离变量法、特征函数展开法、求解非齐次方程的Duhamel 原理等。此外，我们通过学习还掌握了求解波动方程的D＇Alembert 公式，求解高维波动方程的Kirchhoff 公式和Poisson 公式，求解位势方程的Green 公式等等。这些经典方法的综合运用可以求解很多初等偏微分方程，故而是基本而重要的。本文还将总结作者了解的几种求解偏微分方程的特殊方法，它们是：级数法，Laplace 变换法，Fourier 变换法。

关键词：偏微分方程 级数法Laplace 变换 Fourier 变换

1. 级数法求解偏微分方程

1.1 波动方程Cauchy 问题的级数解法

1.1.1 问题引入

我们以三维波动方程的初值问题(P)为例：

2()0,(1)()(,,,0)(,,),(,,,0)(,,)

tt xx yy zz t u a u u u P u x y z x y z u x y z x y z ??++=??=Φ=Ψ?? 由叠加原理易知问题(P)可分解为两个问题的叠加：

2()0,()(,,,0)0,(,,,0)(,,)

tt xx yy zz t u a u u u I u x y z u x y z x y z ??++=??==Ψ?? 2()0,()(,,,0)(,,),(,,,0)0

tt xx yy zz t u a u u u II u x y z x y z u x y z ??++=??=Φ=??

首先，受一维波动方程的D＇Alembert 公式启发，我们可以假设问题()I 有如下形式的解：

221

(,,,)(,,)(2)4at w x y z t t dS a t ξηζπ=?Ψ∑∫∫

其中球面22222:()()()at

x y z a t ξηξ?+?+?=∑。dS 为关于变量(,,)ξηζ的面积元。解（2）的正确性可以直接验证，此处从略。

文[3]介绍了求解问题 （P）的级数方法，即假设问题有形如下列形式的解：

0(,,,)(,,)(3)k

k k u x y z t u x y z t ∞==∑

代入方程确定系数(,,)k u x y z 即可得到光滑初值条件下问题(P)的解：

2222100(,,)(,,)(,,,)(4)(2)!(21)!k k k k k k k k a x y z a x y z u x y z t t t k k ∞

∞+==ΔΦΔΨ=++∑∑ 这里1()(0,1,2,)k k k ?Δ=ΔΔ=

1.1.2 三种典型方程的级数解

先来看与问题(P)对应的N 维非齐次方程Cauchy 问题（所论及的()x Φ,()x Ψ,(,)f x t 充分光滑）：

2(,),(,)(0,)()(5)(,0)(),(,0)(),N tt N t u a u f x t x t R Q u x x u x x x R

??Δ=∈×∞??=Φ=Ψ∈?? 由于可以利用叠加原理将问题(Q)分解，故不妨只看齐次初值条件(()()0x x Φ≡Ψ≡)

的情况。运用Duhamel 原理，此时问题的解为0(,,)t

v x t d ττ∫

，(,,)v x t τ是下列初值问题的唯

一解：

20,(,)(,)(6)(,)0,(,)(,),N tt N t v a v x t R v x v x f x x R

ττττ??Δ=∈×∞??==∈?? 则我们可得到问题(Q)的解为：

222221210000()()(,)(,)()(7)(2)!(21)!(21)!t

k k k k k

k k k k k k k a x a x a u x t t t f x t d k k k τττ∞∞∞++===ΔΦΔΨ=++Δ?++∑∑∑∫

定理1 假设()x Φ,()x Ψ,(,)f x i 0()N C R ∞∈，(,)f x t 关于t 解析。则问题(Q)有唯一

的解析解(7)，此解与使用波动方程的球面平均法得到的解是一致的。

证明：在此只给出一个N=3 时的简单证明。 对式(7)作Fourier 变换（123(,,)ξξξξ=）

： 222

2222212100000

()()()(,)()()(,)()(2)!(21)!(21)!sin sin ()()cos ()(,)sin sin sin ()()()(,)k k k k k k t k k k k k k t a a a u t t t f t d k k k a t a t a t f d a a a t a t a t f t a a ξξξξξξξτττξξτξξξξττξξξξξτξξξτξξ∞∞∞++===???=Φ+Ψ+?++?=Φ+Ψ+??=Φ+Ψ+?∑∑∑∫∫0

t d a τξ∫

注意到最后一式中的三项恰好为下式的Fourier 变换：

()220111(,)(,)()()(8)444()at at

a t t

f u x t dS dS dSd t a t a t a a t τητηητπππτ????=Φ+Ψ+??∑∑∑????∫∫∫∫∫∫∫ 而上式恰为用球面平均法得到的解的表达式。这样就证明了三维情况下解的一致性。#

我们还应注意，问题(Q)的级数解表达式(7)与空间维数无关，而利用球面平均方法得到的解的表达式与空间维数相关。

1.2 热传导方程和位势方程Cauchy 问题的级数解法

用同样的方法可以讨论热传导方程和位势方程的Cauchy 问题的级数形式的解表达式。对热传导方程，我们不加证明的给出如下定理（证明过程与波动方程的情况是类似的）：

定理2 考虑热传导方程的初值问题

2(,),(,)(0,)(9)(,0)(),N t N u a u f x t x t R u x x x R ??Δ?∈×∞??=Φ∈??

设()x Φ，0(,)()N f x C R ∞∈i ，(,)f x t 关于t 解析，则问题(9)存在唯一的解析解

22000()(,)(,)()(10)!!t k k k

k k k k k a x a u x t t f x t d k k τττ∞∞==ΔΦ=+Δ?∑∑∫

而且上式表示的解与用Fourier 变换法得到的解是一致的。

下面讨论Laplace 方程的级数解。我们用两个定理来说明。

定理3 考虑上半平面Laplace 方程的Dirichlet 问题：

0,(,)(11)()y u x y R R u x +=Δ=∈×???=Φ?? 设0()()x C R ∞Φ∈，则问题（11）存在唯一解析解：

(2)(21)2210()()(,)(1)(12)(2)!(21)!k k k

k k k x x u x y y y k k +∞+=??ΦΦ=??????+??∑ 证明：假设问题(11)存在形如0(,)()k k

k u x y u x y ∞

==∑的解，将其求导后代入方程，得：

''200

(()(2)(1)())0,()()k k k k u x k k u x y u x x ∞+=?+++=???=Φ?∑ 逐项计算系数，注意到u 具有紧支集，得：

2(1)122221()(1),0,1,2,,,0,1,2,(22)!(21)!

k k k k k u x u k u k k k ++++Φ=?==?=++ 所以问题（11）的解为（12）。

下面对解的表达式（12）作Fourier 变换，得：

222210(,)()()(13)(2)!

(21)!k k k k y k y y u y e k k ξξξξξξ+∞?=??=Φ?=Φ???+??∑ 上式中的 u

恰好是问题(11)的用Poisson 积分公式表达的解(14)的Fourier 变换。 22()(,)(14)()y u x y d x y ηηπη∞

?∞Φ=?+∫ 定理4 考虑圆盘22

:1x y Ω+<中的Dirichlet 问题： 221,(,),0(,)(15)x y x y u u x y +=∈ΩΔ==Φ

问题(15)有级数形式解（16）：

2210011(,)()()cos ()(16)2k k u d k d ππθγηηηηθγ

ηππ∞==Φ+Φ?∑∫∫

且（16）式中的解与用Poisson 积分公式表达的解是一致的。

证明：设问题(15)有级数形式的解，利用逐项求导和边界条件易得式（16），且易验证它与用Poisson 积分公式表达的解是一致的。 #

2. 用Laplace 变换求解偏微分方程

2.1 Laplace 变换的定义

设函数f(t)当0t ≥时有定义，而且积分0()st f t e

dt ∞

?∫（s 是一个复参量）在s 的某一区

域内收敛，则由此积分所确定的函数可记为0()()st F s f t e dt ∞

?=∫，

称它为函数f(t)的Laplace 变换，记为()[()]F s L f t =，此时称f(t)为F(s)的Laplace 逆变换，记为1

()()f t L F s ?=。 2.2 Laplace 变换的简单性质

2.2.1 线性性质

设a, b 是常数，11[()]()L f t F s =，22[()]()L f t F s =，则有：

1212[()()]()()L af t bf t aF s bF s +=+

11212[()()]()()L aF s bF s af t bf t ?+=+

2.2.2 微分性质

若 11[()]()L f t F s =，则有

()12'(1)[()]()(0)(0)(0)n n n n n L f t s F s s f s f f ???=????

()()(1)[()],Re()n n n F s L t f t s c =?>

上述性质通过定义可直接证明，在此略去。

2.3 Laplace 变换法在求解二阶线性偏微分方程Cauchy 问题中的应用 考虑二阶线性偏微分方程的初边值问题：

2212345622000

,(0,0)(17)()(,0)(),()(18)(0,)(),(,)()(19)t t x x l u u u u k k k k k u k x l t t t x x u R u u x x x t u u t g t u u l t h t ====?????+=+++<<>????????==Φ=Ψ????====??

其中123456,,,,,k k k k k k 为常数，且1234,,,k k k k 不全为0。

将式（17）两边同时作Laplace 变换，有

2212345622[[]u u u u L k k L k k k u k t t x x

????+=+++???? 记()L u U =，由Laplace 变换的线性性质和微分性质整理得：

2251264112233333

()()k k s k s k k k k s k d U dU U x x dx k dx k k s k k ??+++=??Ψ?Φ 对式（18）、（19）两边同时作Laplace 变换，记L[g]=G，L[h]=H，经过整理得：

0(),()x x l U G s U H s ==== 记25126411233333

,,()()()k k s k s k k k k s k p q v x x x k k k s k k ??+===??Ψ?Φ，由以上各步将问题(M)化为含参变量s 的二阶常系数非齐次方程的Cauchy 问题：

220()()(),()

x x l d U dU p qU v x N dx dx

U G s U H s ==?++=???==? 求解问题(N)得到解U=U(x, s)，对其作Laplace 逆变换得1

(,)[(,)]u x t L U x s ?=，就得到问题(M)的解。

2.4 举例

例：求解如下偏微分方程的Cauchy 问题

22200,(0,0)(20)0,0(21)6sin (22)

2x x l t u u a x l t t x u u x

u π===???=<<>?????==???=?? 解：对（20）-（22）三式关于t 取Laplace 变换，记

2222[(,)](,),

[

](,)6sin ,2(,)[L u x t U x s u x L sU x s t

u d U x s L x dx π=?=???=? 原问题化为含参变量s 的二阶常系数线性偏微分方程的边值问题：

22206sin 20,0

x x l d U x a sU dx

U U π==??=????==? 易知上述问题的解为226(,)sin 24

x U x s a s ππ=+，对此取Laplace 逆变换，得到原问题的解为：22

4(,)6sin 2

a x

u x t e ππ?=。 3. Fourier 变换法在PDE 中的应用

我们知道Fourier 变换可以将求导运算化为代数运算，从而可以把微分方程转化为代数方程。此外，速降函数空间 S 和相应的缓增广义函数空间'S 在 Fourier 变换下分别构成拓扑自同构空间。这使得 Fourier 变换不仅可以用于偏微分方程的求解，还可以利用其进行理论上的分析。在定理1的证明中我们使用了Fourier 变换进行求解，此外在课程的学习中，我们也主要将Fourier 变换作为求解方程的工具。下面将给出一个简单的定理来说明Fourier 变换可以有效的用于偏微分方程的理论分析。

定理5 设()m P x a x ααα≤=∑，取线性偏微分算子为()m

P D a ααα≤=?∑，()'f x ∈S 。则

()P D g f =有解存在的充要条件是F[f]与()P ix 有相同的零点且零点的阶数相同，并且[][]()

F f F g P ix =。 证明：对()P D g f =两边同时作Fourier 变换，由广义函数Fourier 变换的定义知，对任意的?∈S ，根据广义函数的运算法则可得：

[()],(),[],()[],[()][],()()[],[],F P D g P D g F g P D F g F P ix F g P ix P ix F g F f ???????<>=<>=

=<>=<>

=<>=<> 于是有：[]()[][],[]()

F f P ix F g F f F g P ix ==，从而得到： ()P D g f =有解?[][]()

F f F g P ix =解析?[]F f 与()P ix 有相同的零点，且零点的阶数相同。 # 参考文献：

[1] 陈恕行. 偏微分方程概论. 人民教育出版社，1981

[2] FOLLAND G. Fourier Analysis and its Applications. 机械工业出版社，2005

[2] Hongwei Chen. The Poisson formula revisited. SIAM Rev, 1998, 40(2):353-355

Some Special Methods in Solving Partial Differential Equations

Zhe Cheng PB06001070

(Dept. of Mathematics, USTC, Hefei 230026)

Abstract : After a semester’s study of PDE, the writer gives a brief summary and discussion of some special methods in solving PDEs, which are useful in many occasions but not given much

attention in class. These methods are: series method, Laplace transformation method, and Fourier transformation method.

Key Words: PDE, Series method, Laplace transformation, Fourier transformation