7年级春季班01-实数的概念及数的开方学生版

知识点1：实数的概念

1、无限不循环的小数叫做无理数．

注意：

1)整数和分数统称为有理数； 2)圆周率π是一个无理数． 2、无理数也有正、负之分．

如2、π、0.101001000100001L 等这样的数叫做正无理数； 2-、π-、0.101001000100001-L 这样的数叫做负无理数；

只有符号不同的两个无理数，如2与2-，π与π-，称它们互为相反数．

实数、数的开方

知识结构

模块一 实数的概念和分类

知识精讲

3、有理数和无理数统称为实数． （1）按定义分类

???????????

?

→?整数有理数有限小数或无限循环小数

实数分数无理数无限不循环小数

（2）按性质符号分类

0????

??

???

??????

正有理数正实数正无理数实数负有理数负实数负无理数

【例1】 写出下列各数中的无理数：

3.1415926，2

π，16，.0.5，0，2

3-，0.1313313331…（两个1之间依次多一个3），

0.2121121112． 【难度】★ 【答案】 【解析】

【例2】 判断正误，在后面的括号里对的用“√”，错的记“×”表示．

（1）无限小数都是无理数． （ ） （2）无理数都是无限小数．

（ ） （3）带根号的数都是无理数．

（ ） （4）不带根号的数一定不是无理数． （

）

【难度】★ 【答案】 【解析】

例题解析

【例3】a是正无理数与a是非负无理数这两种说法是否一样?为什么．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例4】若a+bx=c+dx（其中a、b、c、d为有理数，x为无理数），则a=c，b=d，反之，亦成立，这种说法正确吗?说明你的理由．

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例5】?请说明理由．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

一、开平方：

1、定义：求一个数a 的平方根的运算叫做开平方．

2、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．这个数a 叫做被开方数．

如21x =，1x =±，1的平方根是1±． 说明：

1)只有非负数才有平方根，负数没有平方根； 2)平方和开平方互为逆运算． 3、算术平方根：

正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根（又叫算术平方根），读 作“根号a ”；a -表示a 的负平方根，读作“负根号a ”． ★注意：

1）一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数；零的平方根是0；

2）2a a =，2是被开方数的根指数，平方根的根指数为2，书写上一般平方根的根指数2略写；

3）一个数的平方根是它本身，则这个数是0． 二、开立方：

1、定义：求一个数a 的立方根的运算叫做开立方．

2、如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，用“3a ”表示，读作“三次根号a ”，3a 中的a 叫做被开方数，“3”叫做根指数． ★注意：

1）任意一个实数都有立方根，而且只有一个立方根；负数有立方根； 2）零的立方根是0；

3）一个数的立方根是它本身，则这个数是0，1和-1． 三、开n 次方：

1、求一个数a 的n 次方根的运算叫做开n 次方．a 叫做被开方数，n 叫做根指数．

2、如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根．

3、当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根． ★注意：

模块二：数的开方

知识精讲

1）实数a的奇次方根有且只有一个，用“n a”表示．其中被开方数a是任意一个数，根指数n是大于1的奇数；

2）正数a的偶次方根有两个，它们互为相反数，正次方根用“n a”表示，负n次方根用“n a

-”表示．其中被开方数0

a>，根指数n是正偶数（当2

n=时，在n a

±中省略n）；3）负数的偶次方根不存在；

4）零的n次方根等于零，表示为00

n=．

【例6】写出下列各数的平方根：

（1）

9

121

；（2）2

(9)

-．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例7】写出下列各数正的平方根：

（1）225；（2）9．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例8】下列各式是否正确，若不正确，请说明理由．（1）1的平方根是1；

（2）9是2

(9)

-的算术平方根；

（3）π

-是2

π-的平方根；

（4）81的平方根是9

±．

【难度】★

【答案】

【解析】

例题解析

【例9】写出下列各数的立方根：

（1）216；（2）0；（3）-1；

（4）

343

8

-；（5）27．

【难度】★

【答案】

【解析】

【例10】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：

（1）一个数的偶次方根总有两个；（）

（2）1的奇次方根是1

±；（）

（3）7

=±；（）（4）2

±是16的四次方根；（）（5）a的n次方根的个数只与a的正负有关．（）【难度】★★

【答案】

【解析】

【例11】写出下列各数的整数部分和小数部分：

（1（2（3）9

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例12】求值：

（1（2）；（3）2；（4）2

(．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例13】求值：

（1（2；（3；（4

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例14】求值：

（1（2（3；（4

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例15】求值：

（1；；（2）；（3．【难度】★★

【答案】

【解析】

【例16】小明的房间面积为17.62

m，房间的地面恰好由110块大小相同的正方形地砖铺成，问：每块地砖的边长是多少?

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例17】已知2a-1的平方根是3

±，3a+b-1的算术平方根是4

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例18】若a的平方根恰好是方程3x+2y=2的一组解，求x y

+的值．

a a

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例19】3，3

x y

+的值．

()n

x y

+=-，求2

(43)8

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例20】用“>”把下列各式连接起来：

【难度】★★

【答案】

【解析】

【例21】 1.732 5.477

≈，利用以上结果，求下列各式的近似值．

（1≈_______；（2≈____________；

（3≈_________；（4≈______________；

（5≈___________；（6_____________．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

（1）数a?

（2）0.1738 1.738

=，求a的值．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

【例23】阅读下面材料并完成填空：

你能比较两个数20162017和2001720016的大小吗？为了解决这个问题先把问题一般化，要比较n n＋1和（n＋1）n的大小（的整数），先从分析n＝1，＝2，＝3，……这些简单的情况入手，从中发现规律，经过归纳，猜想出结论.

通过计算，比较下列①—⑦各组中两个数的大小（在横线上填“＞、＝、＜”号

①12______21；②23______32；③34______43；④45______54；⑤56______65；

⑥67______76；⑦78______87．

对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出n n＋1和（n＋1）n的大小关系: ______

根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：20162017_____2001720016．

【难度】★★★

【答案】

【解析】

数的方根运算：方根的混合运算，根据方根性质判断取值范围； 应用：与整式、分式的综合应用．

【例24】 当x 取何值时，下列各式有意义：

（1）31

x

； （2）51x -；

（3）424x -； （4）()3

4x -；

（5）24n x -；

（6）n a ．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例25】 若x x +-有意义，则1x +=__________． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例26】 332145x y --与互为相反数，求2x -5y 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

知识精讲

例题解析

模块三：数的方根的非负性

【例27】 已知10a b -++，求2017()a b -的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例28】 已知y 1，求xy 的平方根． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【例29】 已知24|2|41a b c a +=- 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例30】 当x <0时，求||x 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例31】 设=a 、x 、y 是 两两不相等的实数，求2222

3x xy y x xy y +--+的值．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【例32】 已知2017332()43a a

a x a a

-+--=-

+-，求x 的个位数字.

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

一、填空题：

【习题1】 若x -是有理数，则下列说法中正确的是（

）

A . x 一定是0 B. x 是任意一个负数 C. x 是一个有理数的平方 D. -x 是一个有理数的平方 【难度】★ 【答案】 【解析】

【习题2】 填空：

（1）()2

3-的算术平方根是 ，36的平方根是

； （2）38-的立方根是

，231

()8

-的立方是

；

（3）256的四次方根是___________． 【难度】★ 【答案】 【解析】

随堂检测

【习题3】 判断正误，在后面的括号里对的用 “√”，错的记“×”表示，并说明理由．

（1）无理数都是无限小数 ( ) （2）无理数的平方是有理数 ( ) （3）有理数都是有限小数

(

) （4）实数可分为正实数和负实数 ( ) （5）

2

π

是分数

(

)

【难度】★ 【答案】 【解析】

【习题4】 求值：

（1） （2）

（3

（4）

【难度】★ 【答案】 【解析】

【习题5】 求值：

（1）

（2 （3【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题6】 比较下列各式的大小：

（1和8

9；

（2

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题7】 写出下列各数的整数部分和小数部分

（1 （2； （34．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题8】 根据开n 次方根的意义，求下列x 的值． （1）38(2)270x +-=； （2）4(2)64x +=．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题9】 0.6127≈ 1.320≈ 2.844≈ 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题10】 已知y =x +y 的值．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题11】 已知实数a 满足2|2016|2016a a a -=-，

求的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【习题12】 已知00x y >>，，且150x y --=的值．

【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【习题13】 若x 、y 是有理数，且x 、y 满足22323x y ++-，求x y +的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【作业1】 在数

2

π

、3.1010010001、3.1415926、2.1234567891011理数的个数为（ ） A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【难度】★ 【答案】 【解析】

【作业2】 估计68的立方根的大小在（ ）

A ．2与3之间

B .3与4之间

C .4与5之间

D .5与6之间

【难度】★ 【答案】 【解析】

【作业3】 （1）如果2180a -=，那么a 的算术平方根是___________；

（2）如果6-是某数的平方根，那么这个数是_______． 【难度】★

【答案】

【解析】

【作业4】若，则估计的值所在的范围是（）

A．B．C．D．

【难度】★

【答案】

【解析】

【作业5】判断下列说法是否正确；若不正确，请说明理由：

（1）如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是0；（）（2）如果一个数的平方根等于它本身，那么这个数是0；（）（3）6a的立方根是2a；（）（4）6a的平方根是3a．（）【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业6】（1）已知：｜x|＝4，y2＝1

49且x>0，y<0，求x－y的值；

（2

）4a，小数部分为b，求

b

a

的值.

【难度】★★

【答案】

【解析】

【作业7】求值：

（1

）；（2

4

40-

=

m m

2

1<

2<

3<

4<

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【作业8】 填空：

（1）12

36-=

，=

；

（2）

81

625的四次方根是

，的六次方根是 ；

（3）奇次方根是本身的实数有

．

【难度】★★ 【答案】 【解析】

【作业9】 已知a 、b |0b -=，解关于x 的方程2(2)1a x b a ++=-. 【难度】★★ 【答案】 【解析】

【作业10】 计算：已知：a b =，求2221a ab b +++的值． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】

【作业11】 已知|2|a b +-=236a b +的算术平方根． 【难度】★★★

【答案】【解析】

【作业12】设x、y都是有理数，且满足方程11

+()40 2332

x y

ππ

π

++--=

（），求x y

-的值．【难度】★★★

【答案】

【解析】