八年级数学竞赛讲座四边形

八年级数学竞赛讲座四边形（2）

一、知识要点：

1、梯形的定义、判定；

2、等腰梯形的定义、性质、判定；

3、三角形、梯形的中位线定理；

二、例题：

1、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，求其中面积最小的那个梯形的两条对角线的长度之和；

2、已知：如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，且AB＞CD，两对角线AC、BD相互垂直，若BC=2

13，AB+CD=34，求AB，CD的长；

3、如图：在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAC=90°，AB=AC，BD=BC，AC 与BD相交于点E，求∠DCE的度数；

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别

是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别与EF的延长线交于点M、N 求证：∠AMF=∠CNE

5、已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是

1（BC－AD），

两底AD、BC的中点，且EF=

求证：∠B+∠C=90°；

6、已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，

G 为AD 的中点，CG 的延长线交AB 于点E ，EF ∥AC 交AD 于点F ，求证：BE=2CF ；

7、已知：如图，M 是AB 的中点，C 是AB 上任意一点，N 、P 分别是DC 、DB 的中点，Q 是MN 的中点，PQ 的延长线交AC 于点E ，

求证：E 是AC 的中点；

8、如图：四边形ABCD 中，∠BAD=∠BCD ，∠ABC ≠∠ADC ，

∠ABC ，∠BCD ，∠CDA ，∠DAB 的平分线两两相交于E 、F 、G 、H ，求证：四边形EFGH 为等腰梯形；

9、已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＜BC ，E 为AB 的中点，DE ⊥CE ，求证：AD+BC=DC ；

10、已知，如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 中点， EF ⊥AB 于F ，

求证：AB EF S ABCD ?=梯形

11、在直角梯形ABCD 中，AB ⊥AD ，CD ⊥AD ，将BC 按逆时针方向绕点B 旋转90°，得到线段BE ，连接AE 、CE ，（如图（1））。

①若AB=2厘米，DC=3厘米，求证：1=?ABE S 平方厘米；

②在图（1）中，将线段DC 向上平行移动（其他条件不变），梯形ABCD 和△ABE 的形状就会变化，如图（2）所示，如果DC 一直移动到AB 的 A D

上方，得到图（3），请你在上图的基础上将图（3）画完整（不需画出表示BC 旋转方向的虚线）

12、如图：在直角梯形ABCD 中，∠B=∠C=90°，AB=BC ，M 为BC 上的一点，且∠DMC=45°，求证：AD=AM 13、如图：在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD=BC ，BD=DC ，AC ⊥BD 于M ，

求证：)(21

DC AB CM += 14、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，记21,,S S S S S S DOC AOB BCD ===???，试判断21S S +与S 的大小，并说明理由； 15、如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，CD 平分∠ACB ，P 是DE 的中点，

过P 向AB 、BC 、CA 作垂线，垂足分别为B 、M 、Q 、N ，求证：PQ=PM+PN ；

作业题：

1、如图：在△ABC 中，AD 、BE 都是中线，MN 平分BE 且平行于AD ，已知AD 、BE 、MN 将△ABC 分成六部分的面积依次记为a 、b 、c 、d 、e 、f ，当f=18时，求a 、b 、c 、d 、e 的值；

2、在梯形ABCD 中，已知AC=BC ，M 是底边AB 的中点，

L 是DA 延长线上一点直线LM 交BD 于点N ，

求证：∠ACL=∠BCN

3、在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB=2CD ，M 、N 分别是对角线AC 、BD 的中点，设梯形ABCD 的周长为1l ，四边形CDMN 的周长为2l ，求1l 与2l 满C

D A B

EA N D C

M N

足的关系式；

4、在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=a，CD=b(a>b)，M是DC延长线上一点，如果AM把梯形分成面积相等的两部分，求CM的长；

5、△ABC中，M是AB的中点，P是AC的中点，D是MB的中点，N是CD的中点，Q是MN的中点，直线PQ交MB于K，求证：KB=KD；

6、直角梯形ABCD中，AB∥CD，E是AD上一点，△BCE是等腰直角三

D C

角形，∠CEB=90°，M是BC的中点，求证：△ADM是等腰直角三角形；

七年级数学竞赛讲座：时间、时刻、时钟

时刻、时间与钟表同学们，你一定知道钟表是用来记时的，爸爸妈妈当你很小时就会教你如何看钟表、报时间，可钟表里有许多有趣的数学问题。什么叫“时间”它有两层意思： 1.表示某一种特定时候。如：北京时间八点整。每天早上六点起床等等，为了区别别一种含义，我们把表示某一种特定的时候，叫时刻。（也叫点） 2.表示两个不同时刻的间隔。如：从早上8时到10时，花了2个小时的时间写作业，从杭州到上海火车运行的时间是2小时30分。这叫做时间。我们可以从单位名称上来区分时刻与时间的差异。时刻，一般用“时”如：飞机上午8时起航，指飞机离开机场时刻。时间一般用“小时”共飞行了8小时，指飞机从上午8时起飞到下午4时降落，在空中飞行了8个小时。同学们不仅要会读钟面上显示的时刻，还要学会观察钟面所表示的不同的时刻之间的时间关系。找出规律。如：长短针位置的判断时刻，确定长，短针互换位置后的时刻，反射到镜面上的钟面的时刻等等。有利于培养自己观察能力。例1根据前3个钟面的规律，画出第4个钟面的长、短针。 3 分析：前面三个钟表所表示的时刻分别是1时，3时30分，6时，相邻两个钟的时间差都是2小时30分。因此第4个钟也应是在第3个钟6点的基础上增加2小时30分，应显示出的时刻是8点30分

例2按次序观察图中各钟面所表示的时刻，找出各种钟面所表示的时间规律，请在第5只钟面上标出符合规律的时刻分析：把各钟面表示的时刻依次排列起来 11点30分→12点5分→12点40分→1点15分→（）→2点25分发现它们相邻两钟的间隔时间都是35分钟，因此第5个钟面的时刻应是1点50分。例3见图：是反射在镜面上的两只钟面的长针和短针的位置，请说出各钟面的时刻？分析：同学们我们只要用镜子实践一下，就会发现任何物体经过镜面反射，它的位置发生了

分数运算的技巧——小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座

小学数学奥林匹克竞赛辅导讲座——分数运算的技巧分数的四则混合运算，与整数四则混合运算一样，按先乘除后加减有顺序进行，整数四则混合运算中的定律和性质，在分数运算中同样适用。但是，要提高分数运算的速度和正确率，除了掌握这些常规的运算法则外，我们还应该掌握一些特殊的运算技能和技巧，常用的分数运算技巧和方法，主要有凑整法、裂项法、约分法等。【例1】计算2002× ［分析］本题可以按照整数乘以分数的计算法则计算，但这样做很显然比较麻烦，可以根据题中数的特点，合理灵活地选择计算方法，把题目中的因数拆成两数和或两数差的形式。［解］方法—：2002×＝2002×（1－）＝2002×1－2002× ＝2002－1 方法二：2002×＝（2001＋1）× ＝2001×＋1× ＝2000 点评：在一些分数乘法计算中，可根据数字的特点，合理地把参加运算的数拆成两数和或两数差的形式，在拆数时要注意：一要使参加运算的数变形不变值，二要达到便于简化计算目的。【例2】计算3×25＋37.9×6

［分析］注意观察3和6，它们的和为10，但是，只有当分别与它们相乘的另一个因数相同时，才能运用乘法分配律来进行简算，因此不难想到把37.9分拆成25.4和12.5两部分。当12.5与6.4相乘时，又可以将6.4看成8×0.8，这样计算就简便多了。［解］3×25＋37.9＋6 ＝3＋25＋（25.4＋12.5）×6.4 ＝3.6×25.4＋25.4×6.4＋12.5×6.4 ＝（3.6＋6.4）×25.4＋12.5×8×0.8 ＝254＋85 ＝334 点评：有时可以结合题中数字可以凑整的特点，来对数进行合理的分拆。【例3】× ［分析］可以发现181818，818181都是两位数连写三遍得到的六位数，所以分别有约数18与81，同样，218218和182182分别有约数218与182，所以先把各分子、分母写成乘积的形式，把相同因数约分后再计算。［解］×＝× ＝＝点评：本题所用的方法为约分法，可以把分子分母中相同的因数通过约分来化简运算。同样，如果分子分母含有相同的因式，也可把它直接约去进行化简。【例4】计算＋＋＋＋……＋

初一数学竞赛系列讲座9

初一数学竞赛系列讲座(9) 应用题（一）一、一、知识要点 1、 1、应用题是中学数学的重要内容之一，它着重培养学生理解问题、分析问题和解决问题的能力，解应用题最主要的方法是列方程或方程组。 2、 2、列方程(组)解应用题的一般步骤是： (1) (1) 弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知数； (2) (2) 找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系； (3) (3) 根据这个相等关系列出方程； (4) (4) 解这个方程，求出未知数的值； (5) (5) 写出答案(包括单位名称)。 3、行程类问题行程类问题讨论速度、时间和路程之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：速度?时间=路程 4、数字类问题数字类问题常用十进制来表示数，然后通过相等关系列出方程。解数字类问题应注意数字间固有的关系，如：连续整数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-1、x+1；连续奇(偶)数，一般设中间数为x ，则相邻两数分别为x-2、x+2。二、二、例题精讲例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需21 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 2172035(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数351 也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+217

九年级数学(上)竞赛试题及答案

九年级数学（上）竞赛试题一. 选择题(每小题3分,共36分) 1．一元二次方程的解是 A ． B ．1203x x ==， C ．12 10,3 x x == D ． 2．顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 3. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图分别是三角形、三角形、圆，则这个几何体可能是 A ．球 B ．圆柱 C ．圆锥 D ．棱锥 4. 在同一时刻，身高1.6m 的小强，在太阳光线下影长是1.2m ，旗杆的影长是15m ，则旗杆高为 A 、22m B 、20m C 、18m D 、16m 5. 下列说法不正确的是 A ．对角线互相垂直的矩形是正方形 B ．对角线相等的菱形是正方形 C ．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D ．一组邻边相等的矩形是正方形 6. 直角三角形的两条直角边分别是6和8，则这三角形斜边上的高是 A ．4.8 B ．5 C ．3 D ．10 7. 若点（3,4）是反比例函数221m m y x +-=图像上一点，则此函数图像必经过点 A ．(3,-4) B ．(2,-6) C ．(4,-3) D ．（2，6） 8. 二次三项式2 43x x -+配方的结果是（） A ．2(2)7x -+ B ．2 (2)1x -- C ．2(2)7x ++ D ． 2(2)1x +- 9．如图，在矩形ABCD 中，AB=2，BC=3．若点E 是边CD 的中点，连接AE ，过点B 作BF ⊥AE 交AE 于点F ，则BF 的长为（）第9题图 A ． 3√10 2 B ． 3√105 C ．√10 5 D ．3√55 10. 函数x k y =的图象经过（1，-1），则函数2-=kx y 的图象是 11．如图，矩形ABCD ，R 是CD 的中点，点M 在BC 边上运动，E 、F 分别是AM 、MR 的中点，则EF 的长随着M 点的运动 A ．变短 B ．变长 C ．不变 D ．无法确定 12．如图，点A 在双曲线6 y x = 上，且OA ＝4，过A 作AC ⊥x 轴，垂足为C ，OA 的垂直平分线交OC 于B ，则△ABC 的周长为 A ．47 B ．5 C ．27 D ．22 二：填空题.(每小题3分,共12分) 13.如图，△ABC 中，∠C=090，AD 平分∠BAC ，BC=10，BD=6，则点D 到AB 的距离是。 14.如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若反比例函数的图象过点P ，则此反比例函数的解析式是。 2 30x x -=0x =1 3x = 2 2 2 2 -2 -2 -2 -2 O O O O y y y y x x x x A ． B ． C ． D ． A B C R D M E F 第11题图

数学竞赛专题讲座七年级第讲计算工具与算法的变迁含答案

第五讲计算——工具与算法的变迁研究数学、学习数学总离不开计算，随着时代的变迁，计算工具在不断地改变，从中国古老的算盘、纸笔运算发展到利用计算器、计算机运算．初中代数中运算贯穿于始终，运算能力是运算技能与逻辑能力的结合，它体现在对算理算律的理解与使用，综合运算的能力及选择简捷合理的运算路径上，这要求我们要善于观察问题的结构特点，灵活选用算法和技巧，有理数的计算常用的方法与技巧有： 1．巧用运算律； 2．用字母代数； 3．分解相约； 4．裂项相消； 5．利用公式； 6．加强估算等． “当今科学活动可以分成理论、实验和计算三大类，科学计算已经与理论研究、科学实验一起，成为第三种科学方法．——威尔逊注：威尔逊，著名计算物理学家，20世纪80年代诺贝尔奖获得者．【例1】现有四个有理数3，4，6-，l0，将这4个数(每个数用且只用一次)进行加、减、乘、除四则运算，使其结果等于24，其三种本质不同的运算式有： (1) ；(2) ；(3) ． (浙江省杭州市中考题) 思路点拨从24最简单的不同表达式人手，逆推，拼凑．链接：今天，计算机泛应用于社会生活各个方面，计算机技术在数学上的应用，不但使许多繁难计算变得简单程序化，而且还日益改变着我们的观念与思维．著名的计算机专家沃斯说过：“程序=算法十数据结构”．有理数的计算与算术的计算有很大的不同，主要体现在： (1)有理数的计算每一步要确定符号；（2）有理数计算常常是符号演算； (3)运算的观念得以改变，如两个有理数相加，其和不一定大于任一加数；两个有理数相减，其差不一定小于被减数．程序框图是一种用规定、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形，能清晰地展现算法的逻辑结构，常见的逻辑结构有：顺序结构、条件结构和循环结构．【例2】如果4个不同的正整数q p n m 、、、满足4)7)(7)(7)(7(=----q p n m ，那么，q p n m +++等于( )． A ．10 B ．2l C ．24 D ．26 E ．28 (新加坡数学竞赛题) 思路点拨解题的关键是把4表示成4个不同整数的形式．【例3】计算： (1)100 321132112111+++++++++++ ； (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)19492 —19502 +19512 —19522 +…+19972 —19982 +19992 (北京市竞赛题) (3)5+52+53+…十52002 ．思路点拨对于(1)，首先计算每个分母值，则易掩盖问题的实质，不妨先从考察一般情形人手；(2)式使人易联想到平方差公式，对于(3)，由于相邻的后一项与前一项的比都是5，可从用字母表示和式着手．

浙江省九年级数学竞赛辅导系列讲座九圆练习

数学竞赛辅导系列讲座九——圆 1、如图，已知P 是边长为a 的正方形ABCD 内一点，△PBC 是等边三角形，则△PAD 的外接圆半径是（） A 、a B 、 2 a C 、 3 2 a D 、12 a 2、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，以BC 为直径在矩形内作半圆，自点A 作半圆的切线AE ，则Sin ∠CBE=（） A 、63 B 、2 3 C 、1 3 D 、 1010 3、如图，圆心在原点，半径为2的圆内有一点P （22 ，22 ），过P 点作弦AB 与劣弧AB 组成一个弓形，则该弓形面积的最小值为（） A 、π－1 B 、π－2 C 、4 3 π－1 D 、4 3 π－ 3 4、如图，在平面直角坐标系中，点P 在第一象限，⊙P 与x 轴切与点Q ，与y 轴交于点M （0，2），N （0，8），则点P 的坐标是（） A 、（5，3） B 、（3，5） C 、（5，4） D 、（4，5） 5、在底面直径是2，母线长为4的圆锥，若一只小虫子以点A 出发，绕侧面一周又回到点A ，则它爬行的最短路线长是（） A 、2π B 、 4 2 C 、4 3 D 、5 6、如果一个三角形的面积和周长都被一直线所平分，则这条直线必经过这个三角形的（） A 、内心 B 、外心 C 、重心 D 、垂心 7、如图，⊙O 与Rt △ABC 的斜边AB 切于点D ，与直角边AC 交于点E 且，DE ∥BC ，已知AE=2 2 ，AC=3 2 ，BC=6，则⊙O 的半径是（） A 、3 B 、4 C 、4 3 D 、2 3 D A C P D E Y X A O P B y x N M O P Q

初一数学竞赛系列讲座解一次方程(组)与一次不等式(组)教师版

初一数学竞赛系列讲座解一次方程（组）与一次不等式（组）一、知识要点 1．一次方程组解一次方程组的基本思想是“消元”，常用方法有“代入消元法”和“加减消元法” 2．不定方程不定方程(组)是指未知数的个数多于方程个数的方程(组)。它的解往往有无穷多个，不能唯一确定，对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解或正整数解。定理：若整系数不定方程ax+by=c (a 、b 互质)有一组整数解为x 0，y 0，则此方程的全部整数解可表示为：???-=+=)k ( 00为任意整数这里ka y y kb x x 3.一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式，叫做一元一次不等式。它的标准形式：ax+b ＜0或ax+b ＞0（a ≠0）解不等式的根据是不等式的同解原理。 4．不等式的基本性质和同解原理不等式的基本性质 (1)反身性如果a ＞b ，那么b ＜a (2)传递性如果a ＞b ，b ＞c ，那么a ＞c (3)平移性如果a ＞b ，那么a+c ＞b+c (4)伸缩性如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc 如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc 不等式的同解原理1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，所得的不等式与原不等式是同解不等式。不等式的同解原理3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，并把不等号改变方向后，所得的不等式与原不等式是同解不等式。 5．解一元一次不等式的步骤（1）去分母（根据不等式性质2或3）；（2）去括号（根据整式运算法则）；（3）移项（根据不等式基本性质1）；（4）合并同类项（根据整式的运算法则）；（5）将x 项系数化为1（根据不等式性质2或3）； 6．不等式组及其解集几个一元一次不等式合在一起，就成了一元一次不等式组；几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做由它们组成的一元一次不等式组的解集。 7．解一元一次不等式组的方法和步骤：

2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题

2019-2020学年九年级数学上学期知识竞赛试题（时间：100分钟满分：100）一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共计20分，请将唯一正确答案填入下表中） 1的结果是（） A 、6 B C 、2 D 2．如图所示，其中是中心对称图形的是（） 3．下列各组二次根式化简后，被开方数相同的一组是（） A 、93和 B 、31 3 和 C 、318和 D 、2412和 4．下列解方程中，解法正确的是（） A 、，两边都除以2x ，可得 B 、 C 、(x －2)2＝4，解得x －2＝2，x －2＝－2，∴x 1＝4，x 2＝0 D 、，得x ＝a 5．某商品原价200元，连续两次降价a ％后售价为148元，下列所列方程程正确的是（） A 、200(1+a%)2=148 B 、200(1－a%)2=148 C 、200(1－2a%)=148 D 、200(1+2a%)=148 6．下列命题是假命题的是（） A 、三点确定一个圆 B 、三角形的内心到三角形各边的距离都相等 C 、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等 D 、垂直于弦的直径平分弦 7、如上图、一只小虫子欲从A 点不重复的经过图中的每一个点或每一条线段而最终到达目的地E ，试问这只小虫子沿 E P A →→行走的概率是（） A 、31 B 、61 C 、91 D 、121 8．中心角90AOB ∠=的扇形面积为24πcm ，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面半径为（） A ．1cm B ．2cm C D ．4cm 9.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，以C 为圆心，2.5cm 长为半径的圆与 AB 的位置关系是（）（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不能确定 10.如图所示,EF 为⊙O 的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,那么E 、F 两点到直线MN 的距离之和等于 ( ) A. 12cm B. 8cm C. 6cm D.3cm 二、填空题（每小题2分，共计20分）

七年级数学竞赛讲座：第四讲一元一次方程

第四讲一元一次方程方程是中学数学中最重要的内容．最简单的方程是一元一次方程，它是进一步学习代数方程的基础，很多方程都可以通过变形化为一元一次方程来解决．本讲主要介绍一些解一元一次方程的基本方法和技巧．用等号连结两个代数式的式子叫等式．如果给等式中的文字代以任何数值，等式都成立，这种等式叫恒等式．一个等式是否是恒等式是要通过证明来确定的．如果给等式中的文字(未知数)代以某些值，等式成立，而代以其他的值，则等式不成立，这种等式叫作条件等式．条件等式也称为方程．使方程成立的未知数的值叫作方程的解．方程的解的集合，叫作方程的解集．解方程就是求出方程的解集．只含有一个未知数(又称为一元)，且其次数是1的方程叫作一元一次方程．任何一个一元一次方程总可以化为ax=b(a≠0)的形式，这是一元一次方程的标准形式(最简形式)．解一元一次方程的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项，化为最简形式ax=b；(5)方程两边同除以未知数的系数，得出方程的解．一元一次方程ax=b的解由a，b的取值来确定： (2)若a=0，且b=0，方程变为0·x=0，则方程有无数多个解； (3)若a=0，且b≠0，方程变为0·x=b，则方程无解．例1解方程解法1从里到外逐级去括号．去小括号得去中括号得

去大括号得解法2按照分配律由外及里去括号．去大括号得化简为去中括号得去小括号得例2已知下面两个方程 3(x+2)=5x，① 4x－3(a－x)=6x－7(a－x) ② 有相同的解，试求a的值．分析本题解题思路是从方程①中求出x的值，代入方程②，求出a的值．解由方程①可求得3x－5x=－6，所以x=3．由已知，x=3也是方程②的解，根据方程解的定义，把x=3代入方程②时，应有

《小学数学竞赛辅导》教学大纲

《小学数学竞赛辅导》教学大纲课程编号：12307057 总学时： 14 课程学分：1 开课对象：小学教育专业本科学生课程类别：专业任选课课程英文译名：Tutorship of Mathematics Competition in Primary School 一、课程任务和目的任务：使学生了解小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略，了解小学数学竞赛题型，掌握小学数学竞赛题的解题规律，培养学生研究小学数学的兴趣，提高学生的解题能力和数学思维能力。目的：小学数学竞赛辅导是为将来从事小学数学教学打下坚实基础。二、课程教学内容与要求 (一)绪论（2学时）教学要求：明确开设小学数学竞赛辅导课程的意义，教学的方式和要求，了解小学数学竞赛的内容，发展趋势，以及小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。教学重点：小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略。教学难点：数学竞赛的题型教学内容： 1.课程的意义 2.小学数学竞赛的教学内容，发展趋势 3.小学数学竞赛选手的选拔与培养的方式、途径和策略 4.小学数学竞赛的题型介绍 (二) 假设法问题（２学时）教学要求：掌握假设法解题的方法、步骤，了解应用假设法解决的典型题型及基本解法。教学重点：假设法解题的方法、步骤。教学难点：假设法解题。教学内容： 1.假设法解题的方法、步骤 2.鸡免同笼问题的解决方法及推广 3.分数应用题应用假设法解题举例 (三) 盈亏、还原问题（2学时）

教学要求：掌握盈亏、还原问题的类型，解法，介绍应用方程思想解决此类问题的方法及典型题的介绍。教学重点：掌握盈亏、还原问题的类型，解法。教学难点：确定类型教学内容： 1.盈亏、还原问题的类型 2.盈亏、还原问题的解题思想、方法 3.典型题的介绍，应用方程思想解决的方法 (四)相遇和追及问题（2学时）教学要求：掌握相遇和追及问题的类型，解法，以及变异问题。教学难点：较难相遇与追及问题的解法。教学重点：变异问题—追及问题在钟面上数学问题中的应用。 1.相遇和追及问题的类型，求解的方法 2.典型题的介绍 3.钟面上的数学问题 (五) 整除问题（2学时）教学要求：深刻理解整除的概念、性质、数的整除特征，以及整除问题的具体应用实例。教学重点：数的整除特征及其应用。教学难点：数的整除特征。教学内容： 1.整除的概念、性质 2.数的整除特征 3.整除问题的应用实例 4.典型题的介绍 (六) 工程问题（2学时）教学要求：掌握工程问题的类型、计算公式，解法。教学重点：工程问题的分数应用题。教学难点：工程问题的分数应用题。教学内容： 1.工程问题的类型 2.工程问题的计算公式、解法 3.工程问题的分数应用题 4.典型题的介绍 (七) 抽屉原理（2学时）

初一数学竞赛讲座.

初一数学竞赛讲座(三) 数字、数位及数谜问题一、知识要点 1、整数的十进位数码表示一般地，任何一个n 位的自然数都可以表示成： 122321*********a a a a a n n n n +?+?++?+?---Λ 其中，a i (i=1，2，…，n)表示数码，且0≤a i ≤9，a n ≠0. 对于确定的自然数N ，它的表示是唯一的，常将这个数记为N=121a a a a n n Λ- 2、正整数指数幂的末两位数字 (1) (1) 设m 、n 都是正整数，a 是m 的末位数字，则m n 的末位数字就是a n 的末位数字。 (2) (2) 设p 、q 都是正整数，m 是任意正整数，则m 4p+q 的末位数字与m q 的末位数字相同。 3、在与整数有关的数学问题中，有不少问题涉及到求符合一定条件的整数是多少的问题，这类问题称为数迷问题。这类问题不需要过多的计算，只需要认真细致地分析，有时可以用“凑”、“猜” 的方法求解，是一种有趣的数学游戏。二、例题精讲例1、有一个四位数，已知其十位数字减去2等于个位数字，其个位数字加上2等于其百位数字，把这个四位数的四个数字反着次序排列所成的数与原数之和等于9988，求这个四位数。

分析：将这个四位数用十进位数码表示，以便利用它和它的反序数的关系列式来解决问题。解：设所求的四位数为a ?103+b ?102+c ?10+d ，依题意得： (a ?103+b ?102+c ?10+d)+( d ?103+c ?102+b ?10+a)=9988 ∴ (a+d) ?103+(b+c) ?102+(b+c) ?10+ (a+d)=9988 比较等式两边首、末两位数字，得 a+d=8，于是b+c18 又∵c-2=d ，d+2=b ，∴b-c=0 从而解得：a=1，b=9，c=9，d=7 故所求的四位数为1997 评注：将整数用十进位数码表示，有助于将已知条件转化为等式，从而解决问题。例2 一个正整数N 的各位数字不全相等，如果将N 的各位数字重新排列，必可得到一个最大数和一个最小数，若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ，则称N 为“新生数”，试求所有的三位“新生数”。分析：将所有的三位“新生数”写出来，然后设出最大、最小数，求差后分析求出所有三位“新生数”的可能值，再进行筛选确定。解：设N 是所求的三位“新生数”，它的各位数字分别为a 、b 、c(a 、b 、c 不全相等)，将其各位数字重新排列后，连同原数共得6个三位数：cba cab bca bac acb abc ,,,,,，不妨设其中的最大数为abc ，则最小数为 cba 。由“新生数”的定义，得 N=()()()c a a b c c b a cba abc -=++-++=-991010010100

人教版九年级数学上册 2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解

2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试 (3月20日上午8:30 - 9:30) 一、选择题（本题满分42分，每小题7分） (本题共有6个小题，每题均给出了代号为A ,B ,C ,D 的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内. 每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.) 1.用[]x 表示不超过x 的最大整数，把[]x x -称为x 的小数部分.已知 t =a 是t 的小数部分，b 是t -的小数部分，则 11 2b a -= （） .A 1 2 .B 2 .C 1 .D 2.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图书30本，那么不同的购书方案有（） .A 9种 .B 10种 .C 11种 .D 12种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.如： 33 3 321(1),26 31,=--=- 2和 26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为（） .A 6858 .B 6860 .C 9260 .D 9262 3(B ）.已知二次函数2 1(0)y ax bx a =++≠的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当a b -为整数时，ab = （） .A 0 . B 14 . C 3 4 - .D 2- 4.已知 O 的半径OD 垂直于弦AB ,交AB 于点C ，连接AO 并延长交O 于点E ,若8,AB =2CD =,则BCE ?的面积为（） .A 12 .B 15 .C 16 .D 18 5.如图，在四边形ABCD 中，0 90BAC BDC ∠=∠=，AB AC == 1CD =,对角线的交点为M ，则DM = ( ) . A 2 . B 3 . C 2 . D 12 6.设实数,,x y z 满足1,x y z ++= 则23M xy yz xz =++的最大值为 ( )

数学竞赛专题讲座七年级第1讲_跨越—从算术到代数(含答案)

第一讲跨越——从算术到代数 “加里宁曾经说过：数学是锻炼思维的体操，体操能使你身体健康，动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷，有了正确的思想，你们才有可能爬上科学的大山．” _______华罗庚。华罗庚，我国现代有世界声誉的数学家，初中毕业后，靠自学成才，在数论、矩阵几何等许多领域中做出过卓越贡献．纵观历史，数学的发展创造了数学符号，新的数学符号的使用又反过来促进了数学的发展．历史是这样一步一步走过来的，并将这样一步一步地继续走下去，数学的每一个进步都必须伴随着新的数学符号的产生．在文明和科学的发展过程中，人类创造用符号代替语言、文字的方法，这是因为符号比语言、文字更简练、更直观、更具一般性．“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．” 用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．例题讲解【例1】观察下列等式9—l=8，16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，…… 这些等式反映出自然数间的某种规律，设n表示自然数，用关于n的等式表示出来：．(河南省中考题) 思路点拨在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．链接：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础．【例2】某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )． A．涨价3％B．涨价1．64％C涨价1．2％D．降价1．2％思路点拨设此商品2001年的价格为a元，把相应年份的价格用a的代数式表示，由计算作出判断．

【重磅】初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范 1、数轴与大小例1、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、将99 98 ,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？

提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧例6、计算-1-2-3-…-20KK -20KK -20KK 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。例7、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK 提示：仿例5，造零。结论：20KK 。例8、计算 9 9 9 9991999999个个个n n n +? 提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n +99…9，99…9=10n -1。例9、计算 -+++?----)20021 3121()2001131211( )2001 13121()2002131211(+++?---- 提示：字母代数，整体化：令2001 1 3121,2001131211+ ++=----= B A ，则例10、计算（1）100991 321211?++?+? ；（2）100981421311?+ +?+? 提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）n m mn n m 1 1+=+；（2）111)1(1+-=+n n n n ；（3）)11(1)(1m n n m m n n +-=+；（4） ]) 2)(1(1 )1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n 。例11计算n +++++ ++++++ 3211 32112111（n 为自然数）例12、计算1+2+22+23+…+220KK 提示：1、裂项相消：2n =2n+1-2n ；2、错项相减：令S=1+2+22+23+…+220KK ，则S=2S -S=220KK -1。例13、比较20002 2000 164834221+++++= S 与2的大小。提示：错项相减：计算S 2 1 。第二讲绝对值一、知识要点

初一数学竞赛讲座特殊的正整数

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初一数学竞赛讲座(二) 特殊的正整数一、知识要点 1、完全平方数及其性质定义1 如果一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数。如：1、4、9、…等都是完全平方数，完全平方数有下列性质：性质1 任何完全平方数的个位数只能是0，1，4，5，6，9中的一个。性质2 奇完全平方数的十位数一定是偶数。性质3 偶完全平方数是4的倍数。性质4 完全平方数有奇数个不同的正约数。性质5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数，完全平方数与非完全平方数的积是非完全平方数。 2、质数与合数定义2 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数，那么a 叫做质数。定义3 一个大于1的整数a,如果只有1和a 这两个约数外，还有其他正约数，那么a 叫做合数。 1既不是质数也不是合数。 3、质数与合数的有关性质 (1) 质数有无数多个 (2) 2是唯一的既是质数，又是偶数的整数，即是唯一的偶质数。大于2的质数必为奇数。 (3) 若质数p ?a ?b ，则必有p ?a 或p ?b 。 (4) 若正整数a 、b 的积是质数p ，则必有a=p 或b=p. (5) 唯一分解定理：任何整数n(n>1)可以唯一地分解为：k a k a a p p p n 2121=,

其中p 1

七年级数学竞赛讲座10 应用题2

七年级数学竞赛系列讲座(10) 应用题（二）一、一、知识要点 1、工程类问题工程类问题讨论工作效率、工作时间和工作总量之间的相互关系。它们满足如下基本关系式：工作效率?工作时间=工作总量解工程问题时常将工作总量当作整体“1” 2、溶液类问题溶质：能溶解到溶剂中的物质。如盐、糖、酒精等。溶剂：能溶解溶质的物质。如水等。溶液：溶质和溶剂的混合体。如盐水、糖水、酒精溶液等。溶液的浓度：指一定量溶液中所含溶质的量，经常用百分数表示。浓度的基本算式是： %100?=溶液量溶质量浓度二、二、例题精讲例1江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用两台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完，如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台。(1999年全国初中数学联合竞赛试题) 解：设开始抽水前管涌已经涌出的水量为a 立方米，管涌每分钟涌出的水量为b 立方米，又设每台抽水机每分钟可抽水c 立方米，由条件可得： ????=+?=+c b a c b a 1641640240 解得?? ???==c b c a 323160 如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机的台数为： 6103203 1601010=+=+c c c c b a 评注：本题设了三个未知数a 、b 、c ，但只列出两个方程。实质上c 是个辅助未知数，在解方程时把c 视为常数，解出a ，b(用c 表示出来)，然后再代入求出所要求的结果。例2 甲、乙、丙三队要完成A 、B 两项工程。B 工程的工作量比A 工程的工作量多25%，甲、乙、丙三队单独完成A 工程所需的时间分别是20天、24天、30天。为了共同完成这两项工程，先派甲队做A 工程，乙、丙二队做B 工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A 工程。问乙、丙二队合作了多少天？(第十四届迎春杯决赛试题) 解：设乙、丙二队合作了x 天，丙队与甲队合作了y 天。将工程A 视为1，则工程B 可视为1+25%=5/4，由题意得：

-初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套) 第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算： 1、善于观察数字特征； 2、灵活运用运算法则； 3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范 1、数轴与大小例1、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于多少？满足条件的点B 有多少个？例2、将99 98,19991998,9897,19981997----这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a 、b 、c 依次表示点A 、B 、C 对应的数。试确定三个数c a b ab 1,1,1-的大小关系。分析：由点B 在A 右边，知b-a >0，而A 、B 都在原点左边，故ab >0,又c >1>0,故要比较c a b ab 1,1,1-的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a 与b(b >a)之间找出无数个有理数。提示：P=n a b a -+（n 为大于是的自然数）注：P 的表示方法不是唯一的。 2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“ —”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0 注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。 3、算对与算巧例6、计算 -1-2-3-…-2000-2001-2002 提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)?项数÷2。例7、计算 1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002

初一数学竞赛系列讲座容斥原理

初一数学竞赛系列讲座容斥原理集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#

初一数学竞赛系列讲座(15) 容斥原理一、知识要点 1、容斥原理在计数时，常常遇到这样的情况，作合并运算时会把重复的部分多算，需要减去；作排除运算时会把重复部分多减，需要加上，这就是容斥原理。它的基本形式是：记A 、B 是两个集合，属于集合A 的东西有A 个，属于集合B 的东西有B 个，既属于集合A 又属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个；属于集合A 或属于集合B 的东西记为B A ，有B A 个，则有：B A =A +B -B A 容斥原理可以用一个直观的图形来解释。如图，左圆表示集合A ，右圆表示集合B ，两圆的公共部分表示B A ，两圆合起来的部分表示B A ，由图可知：B A =A +B -B A 容斥原理又被称作包含排除原理或逐步淘汰原则。二、例题精讲例1 在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数有多少个分析：根据容斥原理，应是200减去能被2整除的整数个数，减去能被3整除的整数个数，还要加上既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数。解：在1到200的整数中，能被2整除的整数个数为：2?1，2?2，…，2?100，共100个；在1到200的整数中，能被3整除的整数个数为：3?1，3?2，…，3?66，共66个；在1到200的整数中，既能被2整除又能被3整除，即能被6整除的整数个数为： 6?1， 6?2，…，6?33，共33个；所以，在1到200的整数中，既不能被2整除，又不能被3整除的整数个数为：

九年级数学竞赛

九年级数学抽测试题一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分． ) 1．下列一元二次方程没有实数根的是( ) A ．x 2＋6x ＋9＝0 B ．x 2－5＝0 C ．x 2＋x ＋3＝0 D ．x 2－2x －1＝0 2．用配方法解方程x 2＋1＝8x ，变形后的结果正确的是( ) A ．(x ＋4)2＝15 B ．(x ＋4)2＝17 C ．(x －4)2＝15 D ．(x －4)2＝17 3．把抛物线y ＝－1 2x 2向下平移1个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线解析式为( ) A ．y ＝－12(x ＋1)2＋1 B ．y ＝－1 2(x ＋1)2－1 C ．y ＝－12(x －1)2＋ 1 D ．y ＝－1 2 (x －1)2－1 4．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转60°得到△AED.若线段AB ＝3，则BE ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 5．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上.若?=∠55ABD ，则BCD ∠的度数为（） A ．?25 B ．?30 C ．?35 D ．?40 6．如图，以AB 为直径，点O 为圆心的半圆经过点C ，若AC ＝BC ＝2，则图中阴影部分的面积是( ) A.π4 B.12＋π4 C.π2 D.12＋π2 7．如图，点O 为平面直角坐标系的原点，点A 在x 轴上，△OAB 是边长为4的等边三角形，以O 为旋转中心，将△OAB 按顺时针方向旋转60°，得到△OA′B′，那么点A′的坐标为 C A O B D

( ) A．(2，23) B．(－2，4) C．(－2，22) D．(－2，23) 8．关于抛物线y＝x2－4x＋4，下列说法错误的是( ) A．开口向上B．与x轴有两个重合的交点 C．对称轴是直线x＝2 D．当x＞2时，y随x的增大而减小 9．如图，一边靠墙(墙有足够长)，其它三边用12 m长的篱笆围成一个矩形(ABCD)花园，这个花园的最大面积是( ) A．16 m2B．12 m2C．18 m2D．以上都不对 10.函数y＝mx＋n与y＝n mx，其中m≠0，n≠0，那么它们在同一直角坐标系中的图象可能是() 二、填空题(每小题3分，共15分) 11．在国家政策的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年10月份的7 000元/m2下降到12月份的5 670元/m2，则11、12两月平均每月降价的百分率是。 12．一个不透明的袋中装有除颜色外均相同的9个红球，3个白球，若干个绿球，每次摇匀后随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，经过大量重复实验后，发现摸到绿球的频率稳定在0.2，则袋中约有绿球个． 13. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数 6 y x （x＞0）的图象上，则点C的坐标为。