常微分方程课程教学大纲
常微分方程课程教学大纲
一、课程说明
1、课程性质
本课程及大纲适用于数学与应用数学、数学教育专业、信息与计算科学等专业，为4学分，总学时为68学时，包括讲课及习题课。
常微分方程是数学各专业必修的基础课之一，它是数学分析，高等代数和解析几何的应用和发展。微分方程是数学理论联系实际的重要渠道之一，也是其它数学分支的一个综合应用场所，我们所研究的方程多数是由其它学科（如物理、气象、生态学、经济学）推导而来，通过本课程的学习不仅使学生了解到微分方程和其它数学分支的联系及其在其它自然科学学科中的应用，使学生进一步了解到数学的重要性和广泛的应用背景，提高应用能力，而且为后继的数学和应用数学各课程准备解决问题的方法和工具，更是通向物理，力学，经济等学科和工程技术的桥梁。
通过对微分方程发展史的回顾，让学生从一个侧面了解人类对自然界的认识过程和科学研究的探索过程，逐步培养学生的活学活用能力和创造发展的能力。
通过本课程的学习，使学生熟练掌握各类方程的判别与求解，掌握基本理论的基本思想和证明方法，了解定性和稳定性的初步理论和方法。并简要介绍一些其它学科需要我们解决而目前我们尚不能解决的问题，为其它后续课程留下引子，并通过一些例子让学生知道目前这个学科的最新研究动态。
2、教学目的要求
目的是要学习和逐步掌握常微分方程的基本理论和方法，学习建立和解决确定性数学模型的思想方法，把数学理论和方法运用到解决实际问题中去。
本课程要求学生能熟练掌握各类微分方程的基本解法，理解和掌握常微分方程的基本理论：存在唯一性定理和线性常微分方程的基本理论。了解常微分方程稳定性理论和定性理论初步。
3、先行或后继课程
先行课程：数学分析、高等代数、解析几何，普通物理等。
后继课程：数理方程、微分几何、泛函分析等。
微分方程的发展也离不开实变函数论、复变函数论、拓扑学与代数几何的支援。
4、教学时数分配表
5、使用教材
王高雄等编《常微分方程》（第二版式），高等教育出版社，1982。
6、教学方法与手段
本课程以黑板讲授、学生自学、精讲精练相结合的教学方法为主，适当安排习题课与讨论课（主要是对存在唯一性定理以及定性与稳定性理论简介部分）。适当组织1—2个大型的有应用背景的微分方程模型，从建模、求解、到解释，让学生在教师指导下，自己动手，通过讨论，经历全过程，得到一定训练。个别章节辅之以多媒体教学手段或数学实验手段。
在教学过程中，应当积极开展对教学内容与课程体系、教学方法与教学手段的改革，认真总结经验，并将教学改革的成果逐步吸收到教学中来，不断提高教学质量。要不断更新教学内容，逐步实现教学内容的现代化；要加强不同数学分支间的相互结合和相互渗透，进行课程和内容的重组；要突出数学思想方法的教学，加强数学应用能力的培养，注重运算技巧的训练；要尊重个性，发挥特长，探索现阶段因材施教的新方法、新模式；要不断探索以学生为主体有利于调动学生自主学习积极性的启发式、讨论式、研究式的教学方法；要积极采用现代教育技术手段，使传统的教学手段与现代教学手段相互结合，取长补短。应努力创造条件，尽快开设或引入与理论教学相配套的数学实验课，使学生学会使用常用的数学软件，逐步培养和提高学生用数学软件解决问题的意识和能力。
7、考核方式
本课程为专业必修课，采取闭卷方式进行考试。
8、主要参考书目
常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
常微分方程讲义，王柔怀、伍卓群编，高教出版社。
常微分方程讲义，叶彦谦编，人教出版社。
微分方程，Л.Э.艾利斯哥尔兹著，人教出版社。
常微分方程稳定性理论，许松庆编，上海科技出版社。
常微分方程定性理论，张芷芬等编，科学出版社。
常微分方程，林武忠等编，科学出版社；
差分方程和常微分方程，阮炯编，复旦大学出版社；
常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社；
常微分方程习题集，周尚仁，权宏顺编，人民教育出版社。
二、课程内容
第一章绪论（4课时）
第一节微分方程：某些物理过程的数学模型（2课时）
1、教学目的和要求
了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型，如冷却过程、质点运动(自由落体，数学摆)、R-L-C回路等。
2、教学要点与知识点
教学要点：某些物理过程的数学模型的思想和例子；
知识点：把实际问题抽象为常微分方程。
3、教学重点与难点
建立微分方程模型的思想、方法和例子。
第二节基本概念（2课时）
1、教学目的和要求
理解常微分方程、偏微分方程、常微分方程的阶、线性、非线性、解、隐式解、通解、特解、定解问题、积分曲线、方向场、等斜线等基本概念。
2、教学要点与知识点
教学要点：微分方程基本概念。
知识点：常微分方程的解；线性、非线性概念。
3、教学重点与难点
微分方程的基本概念。
第二章一阶微分方程的初等解法（12+4课时）第一节变量分离方程与变量变换（4课时）
1、教学目的和要求：
熟练掌握变量可分离方程、齐次方程、可化为齐次方程的一阶微分方程的解法（包括通解和满足初始条件的特解），对一些简单的实际问题会建立相应的微分方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：变量分离方程的基本解法与运用变量变换法求解齐次方程。
知识点：变量分离方程；齐次方程。伯努利方程；恰当方程与积分因子；一阶隐方程的解法与解的参数表示法
3、教学重点与难点
重点：变量分离方程、两类可化为变量分离方程的方程的求解。
难点：利用变量替换思想将某些方程转化为已知类型求解。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练掌握变量分离方程的求解方法。注意强调求解过程中可能遗漏的特解，并让学生初步体会到某些方程的初值解未必唯一存在。
第二节线性方程与常数变易法（4+2课时）
1、教学目的和要求：
掌握一阶齐线性微分方程的基本解法及基本公式；掌握运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；掌握运用变量变换法化伯努利方程为一阶线性微分方程；记住一阶非齐线性方程的通解表达式.
2、教学要点与知识点：
教学要点：一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程与常数变易法、伯努利方程的解法。
知识点：一阶非齐线性微分方程与常数变易法；
3、教学重点与难点
重点：掌握一阶齐线性微分方程；一阶非齐线性微分方程的求解方法与常数变易法。
难点：方程类型的判断
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练运用常数变易法求解一阶非齐线性微分方程；对一些简单的实际问题会建立相应的微分方程。
第三节恰当方程与积分因子（2+2课时）
1、教学目的和要求：
掌握恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法；会用变量代换法、交换x 与y的位置、微分与微商转换和寻找积分因子等方法求解非典型的一阶微分方程。掌握一阶隐方程的解法和其参数表示。会求解几种可降阶的高阶方程。了解黎卡蒂方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法；
知识点：恰当方程的求解方法；积分因子的求法。
3、教学重点与难点
重点：恰当方程的判别法与非恰当方程的积分因子的求法。
难点：判断方程类型采用正确解法求解；恰当方程判定条件的证明；积分因子的寻求。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练判断方程类型采用正确解法求解。
第四节一阶隐方程与参数表示（2课时）
1、教学目的和要求：
掌握一阶隐方程的解法和其参数表示；会求解几种可降阶的高阶方程；了解黎卡蒂方程。
2、教学要点与知识点：
教学要点：掌握一阶隐方程的解法和其参数表示；
知识点：一阶隐方程的解法。
3、教学重点与难点
重点：一阶隐方程的解法和其参数表示
难点：不显含x或y的一阶隐方程的求解，参数表示法中参数变换的适当选择
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
要求能熟练掌握一阶隐方程的解法和其参数表示
第三章一阶微分方程的解的存在定理（10课时）第一节解的存在与唯一性定理与逐步逼近法（4课时）
1、教学目的和要求：
⑴掌握解的存在唯一性定理，该定理是微分方程中的基本定理，同时也是微分方程近似计算的前提和根据.
⑵理解近似计算和误差估计.
[3] 熟练掌握运用逐步逼近法这一重要的分析方法，运用该定理证明解的存在唯一性定理.
2、教学要点与知识点：
教学要点：掌握存在唯一性定理及证明方法—逐次逼近法；
知识点：存在唯一性定理及逐次逼近法。
3、教学重点与难点
重点：存在唯一性定理；会求方程的近似解和误差估计。
难点：存在唯一性定理的证明方法—逐次逼近法
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟记初值问题的存在唯一性条件。
第二节解的延拓（2课时）
1、教学目的和要求：
理解解的延拓定理，此定理揭示了微分方程解的重要性质.
2、教学要点与知识点：
教学要点：有界及无界区域中解的延拓定理；
知识点：解的延拓。
3、教学重点与难点
重点：解的延拓定理，结合解的存在唯一性和延拓定理会初步应用于讨论某些方程解的最大存在区间。
难点：解的延拓定理结论的准确含义。
第三节解对初值的连续性和可微性定理（2课时）
1、教学目的和要求：
理解解对初值的连续性和可微性定理.
2、教学要点与知识点：
教学要点：解对初值的连续性和可微性定理；
知识点：解对初值的可微性定理。
3、教学重点与难点
解对初值的连续性和可微性定理
第四节奇解（2课时）
1、教学目的和要求：
理解奇解的概念并会求方程的奇解及克莱罗方程.
2、教学要点与知识点：
教学要点：奇解的概念；求奇解的方程及克莱罗方程的求法；
知识点：奇解；克莱罗方程。
3、教学重点与难点
求奇解的方程及克莱罗方程的求法
第四章高阶微分方程（12课时）
第一节线性微分方程的一般理论（4课时）
1、教学目的和要求：
（1）了解n阶线性方程的解的存在唯一性定理的条件、结论；
（2）掌握齐线性方程的解的性质和结构
叠加原理，纯量函数线性相关/线性无关的概念，利用纯量函数组的Wronsky行列式判定齐线性方程的解的线性关系，n阶齐线性方程通解结构定理，基本解组的概念。
（3）掌握n阶非齐线性方程的解的性质和通解结构，以二阶非齐线性方程为主要对象介绍n阶非齐线性方程的常数变易法。
2、教学要点与知识点：
教学要点：掌握齐（非齐）线性方程的解的性质和通解结构，二阶非齐线性方程的常数变易法。
知识点：基本解组；通解结构。
3、教学重点与难点
重点：齐线性方程解的线性关系的判定，齐（非齐）线性方程的通解结构，二阶非齐线性方程的常数变易法。
难点：函数的线性相关、无关与Wronsky行列式的关系。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟记齐（非齐）线性微分方程解的性质与结构；伏朗斯基行列式与齐线性微分方程的基本解组；非齐线性微分方程与常数变易法
第二节常系数线性方程的解法（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]理解复值函数与复值解的概念和性质；并能运用复数法求解非齐线性微分方程的特解.
[2]熟练掌握常系数齐线性微分方程的基本解组的特征根法（或欧拉待定指数函数法）
[3]掌握常系数非齐线性微分方程的特解的待定系数法及运用常数变易法求出一般非齐线性微分方程的特解.
[4]熟练掌握常系数线性微分方程与欧拉方程
2、教学要点与知识点：
教学要点：掌握常系数齐（非齐）线性方程的解法。
知识点：常系数齐（非齐）线性方程的求解。
3、教学重点与难点
重点：待定指数函数法求解常系数齐线性方程，比较系数法求解带特殊自由项的常系数非齐线性方程。
难点：各解法的推理过程。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
能熟练求常系数齐（非齐）线性微分方程的解
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法（2课时）
1、教学目的和要求：
熟练掌握高阶方程中的可降阶的一些方程类型的解法；理解一般二阶齐线性方程的特解的幂级数解法；理解n阶贝塞耳方程概念及其解法.
2、教学要点与知识点：
教学要点：降阶法求高阶方程的解；
知识点：降阶法
3、教学重点与难点
重点：高阶方程中的可降阶的一些方程类型的解法
难点：各解法的区别
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
高阶方程的降阶；二阶线性方程的幂级数解法
第五章线性微分方程组（16课时）
第一节存在唯一性定理（4课时）
1．教学目的和要求
了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。理解线性微分方程组解的结构，通解基本定理，掌握常数变易法和刘维尔公式。熟练掌握常系数线性微分方程组的解法（单特征根情形）。
1、教学目的和要求：
了解线性微分方程组的有关概念，解的存在唯一性定理及证明。
2、教学要点与知识点：
教学要点：矩阵表示下线性微分方程组的解、初值问题的定义，n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
知识点： n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
3、教学重点与难点
重点：线性微分方程组的相关概念在矩阵范畴下的表达方式；n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
难点：n阶线性微分方程与某类一阶n维线性微分方程组的等价转化。
第二节线性微分方程组的一般理论（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]会利用向量函数组的Wronsky行列式判定齐线性方程的解的线性关系；
[2]掌握齐线性方程组的通解结构，基本解组的概念，齐线性方程组的解结构理论在n阶齐线性方程中的推论，解结构理论的矩阵表述（包括：解矩阵、基解矩阵的概念及基解矩阵的关系）；
[3]掌握非齐线性方程组的通解结构，非齐线性方程组的常数变易法及其在n阶非齐线性方程中的推论。
2、教学要点与知识点：
教学要点：解矩阵、基解矩阵的概念及基解矩阵的关系
知识点：基解矩阵
3、教学重点与难点
重点：齐线性方程组的解向量线性关系的判定，齐（非齐）线性方程的通解结构。
难点：向量函数的线性相关、无关其与Wronsky行列式的关系。线性方程组的通解结构理论与n阶线性方程相关结论的关系。
第三节常系数线性微分方程组（4+2课时）
1、教学目的和要求：
[1]了解待定指数向量函数法求解方程组的非零解的思想，常系数齐线性方程的特征方程、特征根的概念与计算。
exp、实值基解矩阵的计算
[2]熟练掌握基解矩阵、At
[3]掌握常系数线性微分方程组的基本解法；掌握运用常数变易法求解非齐线性微分方程组，记住常数变易公式
[4]理解拉普拉斯变换的一些应用，它往往能简化常系数线性微分方程组的初值问题的求解.
[5]掌握高阶线性方程与线性微分方程组的关系，懂得将线性微分方程组的有关结果推论到高阶线性方程上去.
2、教学要点与知识点：
exp的计算；常系数线性微分方程组的基本解法教学要点：基解矩阵、At
知识点：常系数线性微分方程组的基本解法
3、教学重点与难点
重点：求解常系数齐线性方程组的实基解矩阵。
难点：矩阵A任意时的基解矩阵求法及计算原理。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
熟练掌握求解常系数齐线性方程组的实基解矩阵方法；常数变易法和刘维尔公式。
第六章非线性微分方程和稳定性（10课时）
1、教学内容
第一节引言（2课时）
第二节相平面（2课时）
第三节按线性近似决定微分方程组的稳定性（2课时）
第四节李雅普诺夫第二方法；（2课时）
第五节周期解和极限环（2课时）
2、教学目的和要求：
⑴理解相平面、相空间、（渐近）稳定域（或吸引域）、（不）稳定、渐近稳定、全局稳定等概念; 掌握按线性近似决定非线性微分方程组的稳定性.
⑵了解奇点的定义、各种类型的奇点及其相应的稳定性态，理解鞍点、结点的概念及其分类（（不）稳定（退化）结点）.
⑶掌握李雅普诺夫第二方法，包括V函数的定号性概念及用V函数判别稳定性的基本定理；理解周期解、极限圈及其稳定、半稳定、不稳定的定义，掌握相平面极限圈的存在性判断方法.
⑷理解二次型V函数的构造与控制系统的（全局）绝对稳定性.
3、教学要点与知识点：
教学要点：相平面;按线性近似决定微分方程组的稳定性；李雅普诺夫第二方法；周期解和极限环；二次型V函数的构造与控制系统的绝对稳定性
知识点：按线性近似决定微分方程组的稳定性；
3、教学重点与难点
重点：平面自治系统的奇点分析。
难点：稳定性有关定理的证明。
4、教学内容的深度、广度和熟练程度
了解环域定理，知道平面定性理论的研究目的；知道简单的李雅普诺夫函数的构造方法。
常微分方程知识点总结
常微分方程知识点总结 常微分方程知识点你学得怎么样呢？下面是的常微分方程知识 点总结，欢迎大家阅读！ 微分方程的概念 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的；在初等数学中 就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和数之间的关系找出来，列出包含一个数或几个数的一个或者多个方程式，然后取求方程的解。 但是在实际工作中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的 问题。比如：物质在一定条件下的运动变化，要寻求它的运动、变化的规律；某个物体在重力作用下自由下落，要寻求下落距离随时间变化的规律；火箭在发动机推动下在空间飞行，要寻求它飞行的轨道，等等。 物质运动和它的变化规律在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个函数。也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求一个或者几个的函数。 解这类问题的基本思想和初等数学解方程的基本思想很相似， 也是要把研究的问题中已知函数和函数之间的关系找出来，从列出的包含函数的一个或几个方程中去求得函数的表达式。但是无论在方程
的形式、求解的具体方法、求出解的性质等方面，都和初等数学中的解方程有许多不同的地方。 在数学上，解这类方程，要用到微分和导数的知识。因此，凡是表示函数的导数以及自变量之间的关系的方程，就叫做微分方程。 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布?贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常 有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星 的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。
2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。 解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=， 即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21
即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1
常微分方程练习题及答案复习题)
常微分方程练习试卷 一、 填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是 阶 （线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有 个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的 条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为 ． 9.可用变换 将伯努利方程 化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件 的唯一解. 11.方程 的待定特解可取 的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是 二、 计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.
(完整版)常微分方程的大致知识点
= + ?x = + ?x = + ?x 常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有 x 或 y 的项） y x 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或 y = e ? a ( x )dx [? b (x )e -? a ( x )dx dx + C ] 5、伯努力方程 令 z = y 1-n ，则 dz = (1 - n ) y -n dy ，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 dx 6、全微分方程 若?M ?y 若 ?M ?y dx = ?N ，则u (x , y ) = C ，（留意书上公式） ?x ≠ ?N ，则找积分因子，（留意书上公式） ?x f (x f ( y , （二）毕卡序列 x y 1 y 0 0 x f (x , y 0 )dx ， y 2 y 0 0 x f (x , y 1 )dx ， y 3 y 0 0 f (x , y 2 )dx ，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次L (D ) y = 0 方法：特征方程 7、可降阶的二阶微分方程 d 2 y = , dy ) ，令 dy = d 2 y p ,则 = dy dx 2 d 2 y = dx dy ) ，令 dx dy = p ,则 dx 2 d 2 y dx = p dp dx 2 dx dx dx 2 dy 8、正交轨线族
? ? dy 单的实根, ， y = C e 1x + C e 2 x 1 2 1 2 单的复根1, 2 = ± i ， y = e x (C cos x + C 2 sin x ) 重的实根 = = ， y = (C + C x )e x 1 2 1 2 重的复根1, 2 = ± i ，3, 4 = ± i ， y = e x [(C + C 2 x ) c os x + (C 3 + C 4 x ) sin x ] 2、常系数非齐次L (D ) y = 方法：三部曲。 f (x ) 第一步求L (D ) y = 0 的通解Y 第二步求L (D ) y = f (x ) 的特解 y * 第三步求L (D ) y = f (x ) 的通解 y = Y + y * 如何求 y * ？ 当 f (x ) = P m (x )e x 时， y * = x k Q (x )e x 当 f (x ) = P m (x )e ux cos vx + Q (x )e ux sin vx 时， y * = x k e ux (R (x ) cos vx + S m (x ) sin vx ) 当 f (x ) 是一般形式时， y * = ? x W (x ,) f ()d ，其中 W(.)是郎斯基行列式 x 0 W () （四）常系数方程组 方法：三部曲。 第一步求 dX dt = A (t ) X 的通解， Φ(t )C 。利用特征方程 A - I = 0 ，并分情况讨论。 第二步求 dX dt 第三步求 dX dt = A (t ) X + f (t ) 的特解， Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds ，（定积分与不定积分等价） = A (t ) X + f (t ) 的通解， Φ(t )C + Φ(t )?Φ-1 (s ) f (s )ds （五）奇点与极限环 ? dx = ax + b y dt ? ? = cx + dy 1、分析方程组? dt 的奇点的性质，用特征方程： A - I = 0 特征方程的根有 3 种情况：相异实根、相异复根、相同实根。第一种情况：相异实根，1 ≠ 2 1 1 m m m
常微分方程和偏微分方程的数值解法教学大纲
上海交通大学致远学院 《常微分方程和偏微分方程的数值解法》教学大纲 一、课程基本信息 课程名称（中文）：常微分方程和偏微分方程的数值解法 课程名称（英文）：Numerical Methods for Ordinary and Partial Differential Equations 课程代码：MA300 学分 / 学时：4学分 / 68学时 适用专业：致远学院与数学系相关专业 先修课程：偏微分方程，数值分析 后续课程：相关课程 开课单位：理学院数学系计算与运筹教研室 Office hours: 每周二19：00—21：00，地点：数学楼1204 二、课程性质和任务 本课程是致远学院和数学系应用数学和计算数学方向的一门重要专业基础课程，其主要任务是通过数学建模、算法设计、理论分析和上机实算“四位一体”的教学方法，使学生掌握常微分方程与偏微分方程数值解的基本方法、基本原理和基本理论，进一步提升同学们利用计算机解决实际问题的能力。在常微分方程部分，将着重介绍常微分方程初值问题的单步法，含各类Euler方法和Runge-Kutta方法，以及线性多步法。将简介常微分方程组和高阶常微分方程的数值方法。在偏微分方程部分，将系统介绍求解椭圆、双曲、抛物型方程的差分方法的构造方法和理论分析技巧，对于椭圆型方程的边值问题将介绍相应变分原理与有限元方法。将在课堂上实时演示讲授的核心算法的计算效果，以强调其直观效果与应用性。本课程重视实践环节建设，学生要做一定数量的大作业。 三、教学内容和基本要求 第一部分：常微分方程数值解法 1 引论 1.1回顾：一阶常微分方程初值问题及解的存在唯一性定理
常微分方程教案(王高雄)第二章
第二章目录 内容提要及其它 (1) 第二章一阶微分方程的初等解法（初等积分） (2) 第一节变量分离方程与变量变换 (2) 一、变量分离方程 (2) 二、可化为变量分离方程的类型 (6) 1、齐次方程 (6) 2、可化为变量分离方程 (7) 三、应用例题选讲 (10) 第二节线性方程与常数变易法 (11) 第三节恰当方程与积分因子 (15) 一、恰当方程 (15) 二、积分因子 (20) 第四节一阶隐含方程与参数表示 (23) 一、可以解出y（或x）的方程 (24) 二、不显含y（或x）的方程 (25) 本章小结及其它 (27)
内容提要及其它 授课题目 （章、节） 第二章：一阶微分方程的初等解法 教材及主要参考书（注明页数）教材：常微分方程（第三版），王高雄等，高等教育出版社，2006年,p30-74 主要参考书： [1]常微分方程，东北师范大学微分方程教研室编，高等教育出版社，2005， p1-70 [2]常微分方程教程，丁同仁等编，高等教育出版社，1991，p1-20 [3]偏微分方程数值解法（第2版），陆金甫关治，清华大学出版社，2004， p1-12 [4]常微分方程习题解，庄万主编，山东科学技术出版社，2003，p28-169 [5]微分方程模型与混沌，王树禾编著，中国科学技术大学出版社，1999， p15-158 [6]差分方程和常微分方程，阮炯编著，复旦大学出版社，2002，p38-124 目的与要求： 掌握变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程和恰当方程的解法．理解变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程．掌握四类典型的一阶隐方程的解法． 能熟练求解变量分离方程、齐次方程、线性方程、伯努利方程、恰当方程和四类典型的一阶隐方程．领会变量变换思想方法和积分因子方法，并能应用于求解一些特殊的常微分方程． 教学内容与时间安排、教学方法、教学手段： 教学内容： 第1节变量分离方程与变量变换； 第2节线性方程与常数变易法； 第3节恰当方程与积分因子； 第4节一阶隐方程与参数表示：可以解出（或 y x）的方程、不显含（或 y x）的方程．时间安排：8学时 教学方法：讲解方法 教学手段：传统教学方法与多媒体教学相结合。 教学重点分析： 熟悉各种类型方程的初等解法，并且能正确而又敏捷地判断方程的类型，从而用初等方法求解。 教学难点分析： 本章的教学难点是判断微分方程的类型，以及方程的转化（即把能转化为用初等方法求解的方程）。
常微分方程的大致知识点
常微分方程的大致知识点Last revision on 21 December 2020
常微分方程的大致知识点 （一）初等积分法 1、线素场与等倾线 2、可分离变量方程 3、齐次方程（一般含有x y y x 或的项） 4、一阶线性非齐次方程 常数变易法，或])([)()(?+??=-C dx e x b e y dx x a dx x a 5、伯努力方程 令n y z -=1，则dx dy y n dx dz n --=)1(，可将伯努力方程化成一阶线性非齐次或一阶线性齐次 6、全微分方程 若x N y M ??=??，则C y x u =),(，（留意书上公式） 若 x N y M ??≠??，则找积分因子，（留意书上公式） 7、可降阶的二阶微分方程 ),(22dx dy x f dx y d =，令dx dy dx y d p dx dy ==22,则 ),(22dx dy y f dx y d =，令dy dp p dx y d p dx dy ==22,则 8、正交轨线族 （二）毕卡序列 ?+=x x dx y x f y y 0),(001，?+=x x dx y x f y y 0),(102，?+=x x dx y x f y y 0),(203，其余类推 （三）常系数方程 1、常系数齐次0)(=y D L 方法：特征方程 单的实根21,λλ，x x e C e C y 2121λλ+= 单的复根i βαλ±=2,1，)sin cos (21x C x C e y x ββα+= 重的实根λλλ==21，x e x C C y λ)(21+= 重的复根i βαλ±=2,1，i βαλ±=4,3，]sin )(cos )[(4321x x C C x x C C e y x ββα+++=
常微分方程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲 课程代码： 090131009 课程英文名称：Ordinary Differential Equations 课程总学时：48 讲课：48 实验：0 上机：0 适用专业：信息与计算科学 大纲编写（修订）时间：2017.11 一、大纲使用说明 （一）课程的地位及教学目标 本课程是信息与计算科学专业的一门专业基础课，通过本课程的学习，可以使学生获得关于常微分方程的基本理论知识，掌握普通的线性微分方程的求解办法，为对非线性微分方程的求解打下一定的基础，同时，使学生能够简单地利用数学手段去研究自然现象和社会现象，或解决工程技术问题, 是进一步学习偏微分方程、微分几何、泛函分析等后继课程的基础。 通过本课程的学习，学生将达到以下要求： 1. 掌握一阶线性微分方程的初等解法及理论、高阶线性微分方程的解法及理论，线性微分方程组理论，着重培养学生解决问题的基本技能。 2. 熟悉和掌握本课程所涉及的现代数学中的重要思想方法，提高其抽象思维、逻辑推理和代数运算的能力。 （二）知识、能力及技能方面的基本要求 1.基本知识：要求学生掌握一阶微分方程的初等解法；一阶微分方程解的存在唯一性定理、解对初值的连续性和可微性定理及解的延拓；高阶微分方程理论、常系数线性微分方程的解法、以及高阶微分方程的降阶和幂级数解法；求矩阵指数，求解常系数线性微分方程组；非线性微分方程的稳定性、V函数方法。 2.基本理论和方法：掌握一阶和高阶线性微分方程以及方程组的求解方法，理解解的存在唯一性定理及解的延拓、解对初值的连续依赖定理等理论，并能应用到具体的证明题中。了解非线性微分方程的基本理论，会对稳定性等做出讨论。培养学生逻辑推理能力和抽象思维能力；对微分方程的建模、求解的分析能力；利用微分方程理论解决实际问题的能力。 3.基本技能：使学生获得求解一阶和高阶微分方程、线性微分方程组的运算技能。 （三）实施说明 1．教学方法：课堂讲授中要重点对基本概念、基本方法和解题思路的讲解；采用启发式教学，培养学生思考问题、分析问题和解决问题的能力；引导和鼓励学生通过实践和自学获取知识，培养学生的自学能力；讲课要联系实际并注重培养学生的创新能力。 2．教学手段：本课程属于专业基础课，在教学中采用多媒体教学系统等先进教学手段，以确保在有限的学时内，全面、高质量地完成课程教学任务。 （四）对先修课的要求 本课程的教学必须在完成先修课程之后进行。本课程主要的先修课程有数学分析3、高等代数2。 （五）对习题课、实践环节的要求 1. 至少两章安排一次习题课，总学时在6学时左右。 2. 习题课的教学内容要配合主讲课程的教学进度，由老师和同学在课堂上通过讲、练结合的方式进行。主讲教师通过批改学生的作业，将作业情况反馈给学生，要补充有一定难度和综合度的练习题，以拓宽同学们的思路。
2018年电大第三版常微分方程答案知识点复习考点归纳总结参考
习题1.2 1．dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2x +e c =cex 2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。 解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-11+x dx 两边积分: -y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=|)1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31x x + y y 21+dy=31x x +dx 两边积分：x(1+x 2)(1+y 2)=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1+dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为：
dx dy =- y x y x +- 令x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1 dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x ||-2)(1x y - 则令x y =u dx dy =u+ x dx du 211u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny=x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2e x 3 2 e x 3-3e 2y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y 令 x y =u ,则dx dy =u+ x dx du
偏微分方程课程教学大纲
《概率论与数理统计选讲》课程教学大纲 适用专业：数学与应用数学 执笔： 审定： 批准执行： 南京财经大学应用数学系
《概率论与数理统计选讲》教学大纲 课程代码：120012 英文名：Selected Topics in Probability and Mathematical Statistics 课程类别：专业限定选修课 适用专业：数学与应用数学 前置课：数学分析，高等代数，概率论，数理统计，常微分方程 学分：3学分 课时：54课时 主讲老师：万树文等 选定教材：茆诗松等，概率论与数理统计教程（第二版） 北京：高等教育出版社，2011 课程概述： 《概率论与数理统计选讲》课程主要是针对数学与应用数学专业的重要专业课概率论和数理统计进行全面复习。复习的主要内容有随机事件和概率，随机变量及其分布，多维随机变量及其分布，大数定律与中心极限定理，统计量及其分布，参数估计，假设检验等。 教学目的： 通过本课程的学习，使学生进一步了解概率论与数理统计的基本原理和方法，强化学生解决问题的能力，更熟练地掌握概率论与数理统计各种问题的解决，为学生的考研和深造提供帮助。 教学方法： 以课堂讲述为主，适当辅以多媒体教学，安排课堂讨论和习题课，课后学生做练习题。
每讲教学要求及教学要点 第一讲概率的定义与性质 课时分配：3课时 教学要求： 掌握概率的不同定义与计算 教学内容： 概率的公理化定义，古典概型，几何概型以及相关计算 第二讲概率的基本公式与计算 课时分配：3课时 教学要求： 掌握概率论的一些基本公式与计算 教学内容： 概率的加法公式，概率的乘法公式，条件概率，事件之间的关系和运算 第三讲全概率和贝叶斯公式 课时分配：3课时 教学要求： 掌握全概率和贝叶斯公式 教学内容： 全概率和贝叶斯公式以及相关的不同难度的题型分析 第四讲随机变量的概念与分类 课时分配：3课时 教学要求： 掌握变量的准确定义和分类 教学内容： 变量的定义，变量的分类，变量的概率分布，变量的分布函数与性质
常微分方程期末复习提要(1)
常微分方程期末复习提要 中央电大 顾静相 常微分方程是广播电视大学本科开放教育数学与应用数学专业的统设必修课程．本课程的主要任务是要使学生掌握常微分方程的基本理论和方法，增强运用数学手段解决实际问题的能力．本课程计划学时为54，3学分，主要讲授初等积分法、基本定理、线性微分方程组、线性微分方程、定性理论简介等内容。本课程的文字教材是由潘家齐教授主编、中央电大出版社出版的主辅合一型教材《常微分方程》．现已编制了28学时的IP 课件供学生在网上学习． 一、复习要求和重点 第一章 初等积分法 1．了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程类型的判别方法． 常微分方程与解的基本概念主要有：常微分方程，方程的阶，线性方程与非线性方程，解，通解，特解，初值问题。 2．了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法． （1）显式变量可分离方程为： )()(d d y g x f x y = ； 当0≠g 时，通过积分??+=C x x f y g y d )()(d 求出通解。 （2）微分形式变量可分离方程为： y y N x M x y N x M d )()(d )()(2211=； 当0)()(21≠x M y N 时，通过积分 ??+=C x x M x M y y N y N d ) ()(d )()(2112求出通解。 3．了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法． 第一类可化为变量可分离方程的一阶齐次微分方程为： )(d d x y g x y = ； 令x y u =，代入方程得x u u g x u -=)(d d ，当0)(≠-u u g 时，分离变量并积分，得?=-u u g u x C )(d 1e ，即)(e u C x ?=，用x y u =回代，得通解)(e x y C x ?=. 4．了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法． （1）一阶线性齐次微分方程为： 0)(d d =+y x p x y 通解为：?=-x x p C y d )(e 。 （2）一阶线性非齐次微分方程为： )()(d d x f y x p x y =+； 用常数变易法可以求出线性非齐次方程的通解：??+?=-]d e )([e d )(d )(x x f C y x x p x x p 。 （3）伯努利方程为：)1,0()()(d d ≠=+n y x f y x p x y n ，
常微分方程解题方法总结.doc
常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx
伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]
常微分方程期末试题知识点复习考点归纳总结参考
期末考试 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．方程22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y '连续是保证方程),(d d y x f x y =初值唯一的 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 5．方程2)(2 1y y x y '+'=的通解是 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 8．方程440y y y '''++=的基本解组是 二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程 d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ ）． （A ）?=x x p d )(e μ （B ）?=x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ ）． (A) 1±=x (B)1±=y
(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-='x y y （ ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分）。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 15．求方程0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 16．求方程2 221)(x y x y y +'-'=的通解
数学物理方法 课程教学大纲
数学物理方法课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称：数学物理方法 所属专业：物理、应用物理专业 课程性质：数学、物理学 学分：5 （二）课程简介、目标与任务 这门课主要讲授物理中常用的数学方法，主要内容包括线性空间和线性算符、复变函数、积分变换和δ-函数、数学物理方程和特殊函数等，适当介绍近年来的新发展、新应用。本门课程是物理系学生建立物理直观的数学基础，其中很多内容是为后续物理课程如量子力学、电动力学等服务，是其必需的数学基础。 这门课中的一些数学手段将在今后的基础研究和工程应用中发挥重要的作用，往往构成了相应领域的数学基础。一般来讲，因为同样的方程有同样的解，掌握和运用这些数学方法所体现的物理内容将更深入，更本质。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接 本课程以普通物理、高等数学和部分线性代数知识为基础，为后继的基础课程和专业课程研究有关的数学问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题求解提供基础。 （四）教材：《数学物理方法》杨孔庆编 参考书：1. 《数学物理方法》柯朗、希尔伯特著 2. 《特殊函数概论》王竹溪、郭敦仁编著 3. 《物理中的数学方法》李政道著 4. 《数学物理方法》梁昆淼编 5. 《数学物理方法》郭敦仁编 6. 《数学物理方法》吴崇试编 二、课程内容与安排 第一部分线性空间及线性算子 第一章R3空间的向量分析 第一节向量的概念 第二节R3空间的向量代数
第三节R3空间的向量分析 第四节R3空间的向量分析的一些重要公式 第二章R3空间曲线坐标系中的向量分析 第一节R3空间中的曲线坐标系 第二节曲线坐标系中的度量 第三节曲线坐标系中标量场梯度的表达式 第四节曲线坐标系中向量场散度的表达式 第五节曲线坐标系中向量场旋度的表达式 第六节曲线坐标系中Laplace（拉普拉斯）算符▽2的表达式第三章线性空间 第一节线性空间的定义 第二节线性空间的内积 第三节Hilbert（希尔伯特）空间 第四节线性算符 第五节线性算符的本征值和本征向量 第二部分复变函数 第四章复变函数的概念 第一节映射 第二节复数 第三节复变函数 第五章解析函数 第一节复变函数的导数 第二节复变函数的解析性 第三节复势 第四节解析函数变换 第六章复变函数积分 第一节复变函数的积分 第二节Cauchy（柯西）积分定理 第三节Cauchy（柯西）积分公式 第四节解析函数高阶导数的积分表达式 第七章复变函数的级数展开
常微分方程课后答案(第三版)王高雄
习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*） 将x y u =带入 （*）中 得：3433cx x y =-是原方程的解.
常微分方程基本知识点
常微分方程基本知识点 第一章 绪论 1. 微分方程的概念（常微分与偏微），什么是方程的阶数，线性与非线性，齐次与非齐次，解、特解、部分解和通解的概念及判断！ （重要） 例：03)(22=-+y dx dy x dx dy （1阶非线性）； x e dx y d y =+22sin 。 2.运用导数的几何意义建立简单的微分方程。（以书后练习题为主） （习题1，2，9题） 例：曲线簇cx x y -=3满足的微分方程是：__________. 第二章 一阶方程的初等解法 1.变量分离方程的解法（要能通过适当的变化化成变量分离方程）；（重要） 2.齐次方程的解法（变量代换）；（重要） 3.线性非齐次方程的常数变易法； 4.分式线性方程、贝努利方程、恰当方程的概念及判断（要能熟练的判断各种类型的一阶方程）（重要）； 例题：(1).经变换_____y c u os =___________后， 方程1cos sin '+=+x y y y 可化为___线性_____方程； (2).经变换_____y x u 32-=____________后， 方程1 )32(1 '2+-=y x y 可化为____变量分离__方程； (3).方程0)1(222=+-dy e dx ye x x x 为：线性方程。
(4).方程221 'y x y -=为：线性方程。 5.积分因子的概念，会判断某个函数是不是方程的积分因子； 6.恰当方程的解法（分项组合方法）。（重要） 第三章 一阶方程的存在唯一性定理 1.存在唯一性定理的内容要熟记，并能准确确定其中的h ； 2.会构造皮卡逐步逼近函数序列来求第k 次近似解！（参见书上例题和习题 3.1的1，2，3题） 第四章 高阶微分方程 1.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的概念，解的概念，基本解组，解的线性相关与线性无关，齐次与非齐次方程解的性质； 2.n 阶线性方程解的Wronskey 行列式与解的线性相关与线性无关的关系； 3.n 阶线性齐次（非齐次）微分方程的通解结构定理！！（重要） 4.n 阶线性非齐次微分方程的常数变易法（了解）； 5.n 阶常系数线性齐次与非齐次微分方程的解法（Eurler 待定指数函数法确定基本解组），特解的确定（比较系数法、复数法）；（重要） 例题：t te x x 24=-''，确定特解类型？ （习题4.2相关题目） 6.2阶线性方程已知一个特解的解法（作线性齐次变换）。（重要） 7.其他如Euler 方程、高阶方程降阶、拉普拉斯变换法等了解。
《复变函数》教学大纲
《复变函数》教学大纲 说明 1．本大纲适用数学与应用数学本科教学 2．学科性质： 复变函数论是成人高等师范数学专业基础课程之一，它在微分方程、概率论、力学等学科中都有应用，复变函数论方法是工程、科技的常用方法之一。复变函数论主要研究解析函数。解析函数定义的几种等价形式，表现了解析函数这一概念在不同方面的特性。复变函数论的基本理论以柯西定理为主要定理，柯西公式为重要公式，留数基本定理是柯西定理的推广。保形映照是复变函数几何理论的基本概念。；留数理论和保形映照也为实际应用提供了特有的复变函数论方法。 3．教学目的： 复变函数论是微积分学在复数域上的推广和发展，通过复变函数论的学习能使学生对微积分学的某些内容加深理解，提高认识。复变函数论在联系和指导中学数学教学方面也有重要的作用，学生通过复变函数论的学习对中学数学的某些知识有比较透彻的理解与认识，从而增加做好中学数学教育工作的能力。 4．教学基本要求： 通过本课程的学习，要求学生达到： 1．握基本概念和基本理论； 2．熟练的引进基本计算（复数、判断可导性及解析性、复积分、函数 的展式、孤立奇点的判断、留数的计算及应用、求线性映照及简单映 照等）； 2．固和加深理解微积分学的有关知识。 5．教学时数分配： 本课程共讲授72学时（包括习题课），学时分配如下表： 教学时数分配表
以上是二年制脱产数学本科的教学时数。函授面授学时不低于脱产的40%，可安排28~30学时。 教学内容 第一章复数与复变函数 复变函数的自变量和因变量都是复数，因此，复数和平面点集是研究复变函数的基础。复变函数及其极限理论与微积分学的相应内容类似，但因复变函数是研究平面上的问题，因此有其新的含义与特点。 （一）教学内容
常微分方程王高雄第三版答案
习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.
5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*） 将 x y u =带入 （*）中 得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.
常微分方程初值问题的数值解法
第七章 常微分方程初值问题的数值解法 --------学习小结 一、本章学习体会 通过本章的学习，我了解了常微分方程初值问题的计算方法，对于解决那些很难求解出解析表达式的，甚至有解析表达式但是解不出具体的值的常微分方程非常有用。在这一章里求解常微分方程的基本思想是将初值问题进行离散化，然后进行迭代求解。在这里将初值问题离散化的方法有三种，分别是差商代替导数的方法、Taylor 级数法和数值积分法。常微分方程初值问题的数值解法的分类有显示方法和隐式方法，或者可以分为单步法和多步法。在这里单步法是指计算第n+1个y 的值时,只用到前一步的值，而多步法则是指计算第n+1个y 的值时，用到了前几步的值。通过对本章的学习，已经能熟练掌握如何用Taylor 级数法去求解单步法中各方法的公式和截断误差，但是对线性多步法的求解理解不怎么透切，特别是计算过程较复杂的推理。 在本章的学习过程中还遇到不少问题，比如本章知识点多，公式多，在做题时容易混淆，其次对几种R-K 公式的理解不够透彻，处理一个实际问题时，不知道选取哪一种公式，通过课本里面几种方法的计算比较得知其误差并不一样，，这个还需要自己在往后的实际应用中多多实践留意并总结。 二、本章知识梳理 常微分方程初值问题的数值解法一般概念 步长h ，取节点0,(0,1,...,)n t t nh n M =+=，且M t T ≤，则初值问题000 '(,),()y f t y t t T y t y =≤≤?? =?的数值解法的一般形式是 1(,,,...,,)0,(0,1,...,)n n n n k F t y y y h n M k ++==-