偏微分方程数值解
第一章概述
1．1 偏微分方程工具箱的功能
偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)提供了研究和求解空间二维偏微分方程问题的一个强大而又灵活实用的环境。PDE Toolbox的功能包括：
(1) 设置PDE (偏微分方程)定解问题，即设置二维定解区域、边界条件以及方程的形式和系数；
(2) 用有限元法(FEM) 求解PDE数值解；
(3) 解的可视化。
无论是高级研究人员还是初学者，在使用PDE Too1box时都会感到非常方便。只要PDE定解问题的提法正确，那么，启动MATLAB 后，在MATLAB工作空间的命令行中键人pdetool，系统立即产生偏微分方程工具箱(PDE Toolbox)的图形用户界面(Graphical User Interface，简记为GUI)，即PDE解的图形环境，这时就可以在它上面画出定解区域、设置方程和边界条件、作网格剖分、求解、作图等工作，详见1．4节中的例子。我们将在第二章详细介绍GUI的使用，在第二章给出大量典型例子和应用实例。除了用GUI求解PDE外，也可以用M文件的编程计算更为复杂的问题，详见第三章和第四章的内容。
1．2 PDE Toolbox求解的问题及其背景
1．2．1 方程类型
PDE Toolbox求解的基本方程有椭圆型方程、抛物型方程、双曲
型方程、特征值方程、椭圆型方程组以及非线性椭圆型方程。
椭圆型方程： (), c u a u f i n -???+=Ω，
椭圆型方程：(),,c u au f in -???+=Ω
其中Ω是平面有界区域，c ,a ,f 以及未知数u 是定义在Ω上的实（或复）函数。 抛物型方程：(), .u d c u au f in t
?-???+=Ω? 双曲型方程：22(), u c u au f in t
??-???+=Ω?. 特征值方程：(), ,c u au du in λ-??+=Ω
其中d 是定义在Ω上的复函数，λ是待求特征值。在抛物型方程和双曲型方程中，系数c ,a ,f 和d 可以依赖于时间t 。
可以求解非线性椭圆型方程：
()()()(), ,c u u a u f u in -???+=Ω
其中c ,a ,f 可以是未知函数u 的函数。
还可以求解如下PDE 方程组；
()()()()11112211112212112222112221()(),()()c u u c u u a u a u f c u u c u u a u a u f -???-???++=???-???-???++=??
利用命令行可以求解高阶方程组。对于椭圆型方程，可以用自适应网格算法，还能与非线性解结合起来使用。
另外，对于Poission 方程还有一个矩形网格的快速求解器。
1．2．2 边界条件
（1）Dirichlet 条件 ： h u r =
( 2 ) Neumann 条件： ()n c u qu g ??+=
其中n
是Ω的边界?Ω上的单位外法向量，,,g q h 和r 是定义在?Ω上的函数。对于特征值问题仅限于齐次条件：0,g =和0r =。对于非线性情形．系数,,g q h 和r 可以依赖于u ；对于抛物型方程和双曲型方程，系数可以依赖于时间t 。
对于方程组情形，边界条件为
( 1 ) Dirichlet 条件： 111
122h u h u r += 2112222h u h u r += ( 2 ) Neumann 条件： 1111221111221()()n c u n c u q u q u g ??+??++=
2112222112222()()n c u n c u q u q u g ??+??++= ( 3 ) 混合边界条件为: 1111221h u h u r +=
111122*********()()n c u n c u q u q u g h μ??+??++=+
211222*********()()n c u n c u q u q u g h μ??+??++=+ 其中μ的计算要使得Dirichlet 条件满足。在有限元法中，Dirichlet 条件也称为本质边界条件，Neumann 条件称为自然边界条件。
1.3 如何使用FDE Toolbox
1.3.1 定解问题的设置
员简单的办法是在PDE Tool 上直接使用图形用户界面(GUl)。设置定解问题包括三个步骤：
(1)Draw 模式：使用CSG(几何结构实体模型)对话框画几何区域，包括矩形、圆、椭圆和多边形，也可以将它们组合使用。
(2)Boundary 模式：在各个边界段上给出边界条件，
(3)PDE 模式：确定方程的类型、系数c ，a ，f 和d c 。也能够在不同子区域上设置不同的系数(反映材料的性质)。
1.3.2 解PDE问题
用GUI解PDE问题主要经过下面两个过程（模式）
(1)Mesh模式；生成网格．自动控制网格参数。
(2)Solve模式：对于椭圆型方程还能求非线性和自适应解。对于抛物型和双曲型力程．设置初始边值条件后能求出给定t时刻的解。对于特征值问题，能求出给定区间内的特征值；求解后可以加密网格再求解。
1.3.3 使用Toolbox求解非标准的问题
对于非标准的问题。可以用PDE Too1box的函数。或者用FEM(有限元法)求解更为复杂的问题。
1.3.4 计算结果的可视化
从GUI能够使用Plot模式实现可视化。可以使用Color, Height 和Vector等作图。对于抛物型和双曲型方程，还可以生成解的动画。这些操作通过命令行都很容易实现。
1.3.5 应用领域
在应用界面提供了丁如下应用领域
．结构力学——平面应力问题
．结构力学——平面应变问题
．静电场问题
．静磁场问题
．交流电磁场问题
．直流导体介质问题
．热传导问题
．9‘散问题
这些界面都有对话框，它包括PDE的系数、边界条件、解的性质等。
1. 4 解偏微分方程的一个例子
解Poisson方程u f
-?=，边界条件为齐次Dirichlet类型。
第一步：启动MATLABl, 键入pdetool，按回车键确定便可启动GUI，然后在Options菜单下选择Grid命令，打开栅格, 栅格的使用，能使用户容易确定所绘图形的大小，如图1—1
1--1
第二步：分步完成平面几何造型：R1-C1-E1+R2+C2。用菜单或快捷工具，分别画矩形R1、矩形R2、椭圆E1、圆C1、圆C2。画圆时，首先选中椭圆工具，按鼠标右键并拖动即可、或者在按ctrI的同时，拖动鼠标也可绘制圆。然后在Set formula栏，进行编辑并用算术运算将将图形对象名称连接起来，删除默认的表达式键入R1-C1-E1+R2+C2，按等号健得到所需图形。若需要，还可进行储存．
形成M文件。
选择Boundary菜单中Boundary Mode命令，进入边界模式。单击Boundary菜单中Remove A11 Subdomain Borders选项，去除子域边界。如果想将几何信息和边界信息进行存储，应选择Boundary菜单中的ExPort Decomposed Geometry．Boundary Cond’s…命令，将它们分别储存于g,b变量中, 通过MATLAB形成M文件。
第三步：选取边界．单击Boundary菜单中Specify Bounddy Conditions…选项，打开Boundary conditlons对话框，输入边界条件，如图1—4。本例取缺省条件。即将全部边界设为齐次Dirichlet条件，边界颜色显示为红色。
第四步：选择PDE菜单中PDE Mode命令，进入PDE模式。单击PDE菜单中PDE Specification…选项，打开PDE对话框，设置方程类型。本例取缺省设置，类型为椭圆型，参数c,a,f分别为1，0，10。
第五步：选择Mesh菜单中Initialize Mesh命令，进行网格剖分。
第六步：选择Mesh菜单中Refine Mesh命令，对网格加密。
第七步：选择Solve菜单中So1ve PDE命令，解偏微分方程并显示图形解。
第八步：单击Plot菜单中Parameters…选项，打开Plot selection 对话框，选中Color, Height (3—D Plot)和Show mesh三项。然后单击Plot按钮，显示三维图形解。
第九步：如果要画等值线图和矢量场图，单击Plot菜单中Parameters…选项，打开Plot Selection对话框．选中Contour和Arrows 两项。然后单击P1ot按钮，可显示解的等值线图和矢量场图。
第二章PDE图形用户界面
2.1 PDE Toolbox菜单
File菜单（如图1-1）
图1-1
New新建一个几何结构实体模型（Constructive Solid Geomery,简记为CSG），默认文件名为“Untitled”。Open…从硬盘装载M文件
Save将在GUI内完成的成果储存到一个M文件中。Save As…将在GUI内完成的成果储存到另外一个M文件中。Print…将PDE工具箱完成的图形送到打印机内进行硬拷贝。Exit退出PDE工具图形用户界面。
2 Edit菜单（如图1-2）
图1-2
Undo 在绘制多边形时退回到上一步操作。
Cut 将已选实体剪切到剪贴板上。
Copy 将已选实体拷贝到剪贴板上。
Paste…将剪贴板上的实体粘贴到当前几何结构实体模型中。
Clear 删除已选的实体。
Select All 选择当前几何结构实体造型CSG中的所有实体及其边界和字域。
3 Options菜单（如图1-3）
图1-3
Grid 绘图时打开或关闭栅格。
Grid Spacing…调整栅格的大小。
Snap 打开或关闭捕捉栅格功能。
Axes Limits…设置绘图轴的坐标范围。
Axes Equal 打开或关闭绘图方轴。
Turn off Toolbar Help 关闭工具栏按钮的帮助信息。
Zoom 打开或关闭图形缩放功能。
Application 选择应用的模式。
Refresh 重新显示PDE工具箱中的图形实体。
4 Draw菜单（如图1-4）
图1-4
Draw Mode 进入绘图模式。
Rectangle/square 以角点方式画矩形/方行（Ctrl+鼠标）。
Rectangle/square（centered）
以中心方式画矩形/方行（Ctrl+鼠标）。
Ellipse/circle 以矩阵角点方式画椭圆/圆（Ctrl+鼠标）。
Ellipse/circle（centered）以中心方式画椭圆/圆（Ctrl+鼠标）。Polygon 画多边形，单击鼠标右键可封闭多
边形。
Rotate…旋转已选的图形。
Export Geometry Description,Set Formula，Labels…
将几何描述矩阵gd、公式设置字符sf
和标识空间矩阵ns输出到主工作空间
去。
单击Draw菜单中Rotate…选项，可打开Rotate比对活框，通过输入旋转的角度，可使选择的物体按输入的角度逆时针旋转。旋转中心的选择如果缺省，则为图形的质心，也可以输入旋转中心坐标。
5 Boundary菜单（如图1-5）
图1-5
Boundary Mode 进入边界模式。
Specify Boundary Conditions…对于已选的边界输入条件，如果没有
选择边界，则边界条件适用于所有的边界。Show Edge Labels 显示边界区域标识开关，其数据是分解几何矩阵
的列数。
Show Subdomain Labels 显示子区域标识开关，其数据是分解几何
矩阵中的子域数值。
Remove Subdomain Border 当图形进行布尔运算时，删除已选取的子
域边界。
Remove All Subdomain Borders 当图形进行布尔运算时，删除所有的
子域边界。
Export Decomposed Geometry，Boundary Cond’s…
将分解几何矩阵g、边界条件矩阵b输
出到主工作空间。
选择Boundary菜单中Specify Boundary Conditions．命令可定义边界条件。在打开的Boundary condition对话框，可对已选的边界输入边界条件。共有如下三种不同的条件类型：
NeMmann条件这里边界条件是由方程系数q和g确定的，在方程组的情况下(换成方程组模式)，q是2ⅹ2矩阵，g是2x1矢量。
Dirichlet条件u定义在边界上，边界条件方程是价h*u=r，这里h是可以选样的权因子(通常为1)。在方程组情况下，h是2x2矩阵，r是2x l矢量，
混合边界条件(仅适合于方程组情形) 它是Dirichlet和Neumann 的混合边界条件，q是2x 2矩阵，g是2x1矢量，h是1x 2矢量，r
是一个标量。
6 PDE菜单（如图1-6）
图1-6
PDE Mode 进入偏微分方程模式。
Show Subdomain Labels 显示子区域标识开关。
PDE Specification…调整PDE参数和类型。
Export PDE Coefficients…将当前PDE参数c,a,f,d输出到主工作
空间，其参数变量为字符类型。
7 Mesh菜单（如图1-7）
图1-7
Mesh Mode 输入网格模式。
Initialize Mesh 建立和显示初始化三角形网格。
Refine Mesh 加密当前三角型网格。
Jiggle Mesh 优化网格。
Undo Mesh Change 退回上一次网格操作。
Display Triangle Quality 用0~1之间数字化的颜色显示三角形网
格的质量，大于0.6的网格可接受的。
Show Node Labels 显示网格节点标识开关，节点标识数据是点矩阵
p的列。
Show Triangle Labels 显示三角形网格标识开关，三角形网格标识
数据是三角形矩阵t的列。
Parameters…修改网格生成参数。
Export Mesh 输出节点矩阵p、边界矩阵e和三角形矩阵t到
主工作空间。
8 Solve菜单（如图1-8）
图1-8
Solve PDE 对当前的几何结构实体CSG、三角形网格和图形
解偏微分方程。
Parameters…调整PDE的参数。
Export Solution…输出PDE的解矢量u。如果可行，将计算的特征
值1输出到主工作空间。
1.1.9 Plot菜单（如图1-9）
图1-9
Plot Solution 显示图形解。
Parameters…打开绘图方式对话框。
Export Movie…如果动画被录制了，则动画矩阵M将输出到主工
作空间。
10 Window菜单
从Window菜单项，可选择当前打开的所有的MATLAB图形窗口，被选择的窗台移至前台。
11 Help菜单
Help…显示帮助信息
About…显示版本信息
1．2 PDE工具栏
主菜单下是工具栏，工具栏中喊有许多工具图标按钮，可提供快速、便捷的操作方式。从左到右5个按钮为绘图模式按钮，紧接着的6个为边界、网格、解方程和图形显示控制功能按钮，最右边的为图形缩放功能键。（如图1-10）
图1-10
以角点方式画矩形/方行（Ctrl+鼠标）。
以中心方式画矩形/方行（Ctrl+鼠标）。
以矩形角点长轴方式画椭圆/圆（Ctrl+鼠标）。
以中心方式画椭圆/圆（Ctrl+鼠标）。
画多边形，按右键可封闭多边形。
进入边界模式。
打开PDE Specification（偏微分方程类型）对话框。
初始化三角形网格。
加密三角形网格。
解偏微分方程。
打开Plot Selection对话框，确定后给出解的三维图形。
为显示缩放切换按钮。
第三章 典型方程及其应用实例
求解PDE 问题主要有两种方法，一种是使用图形用户界面，另一种是采用命令行编程。前者直观简便，而后者更为灵活。
2．1 求解椭圆方程的例子
例：单位圆上的Poisson 方程边值问题：
(){}221,,|1|0u x y x y u ?Ω?-?=Ω=+
这一问题的精确解为：
()()
221,.4x y u x y --=
若使用图形用户界面（Graphical User Interface,简记为GUI ），则首先在MATLAB 的工作窗口中键入pdetool ，按回车键确定，于是出现PDE Toolbox 窗口。如果需要坐标网格，单击Options 菜单下的Grid 选项即可。下面分步进行操作。
（i ）画区域圆 单击工具，大致在（0，0）位置单击鼠标右键同时拖拉鼠标到适当位置松开，绘制圆。为了保证所绘制的圆是标准的单位圆，在所绘圆上双击，打开Object Dialog 对话框，精确地输入圆心坐标X-center 为0、Y-cebter 为0及半径Radius 为1，然后单击OK 按钮，这样单位远已画好。
（ii ）设置边界条件 单击工具，图形边界变红，逐段双击边界，打开Boundary Condition 对话框，输入边界条件。对于同一类型的边界，可以按Shift 键，将多个边界同时选择，统一设置边界条件。本题选择Dirichlet 条件，输入h 为1，r 为0，然后单击OK 按钮。
也可以单击Boundary菜单中Specify Boundary Conditions…选项，打开Boundary Condition对话框输入边界条件，如图2-1。
（iii）设置方程单击PDE菜单中PDE Specification…选项，打开PDE Specification对话框，选项方程类型。本题单击Elliptic，输入c为1，a为0，f为1，然后单击OK按钮，如图2-2。
图2-1
图2-2
（iv）网格剖分单击工具，或者单击Mesh菜单中Initialize Mesh选项，可进行初始网格剖分，这时在PDE Toolbox窗口下方的状态栏内显示初始问网格的节点数和三角形单元数。本题节点数为144个，三角形单元数为254个。如果需要网格加密，再单击，或者单击Mesh菜单中Refine Mesh选项，这时节点数变为541个，三角形单元数为1016个，如此还可继续加密。
（v）解方程单击工具，或者单击Solve菜单中Solve菜单中Solve PDE选项，可显示方程色彩解。如果单击Plot菜单中
Parameters…选项，出现Plot Selection对话框，如图2-3，从中可以选择Color，Contour，Arrows,Deformed mesh，Height（3-D polt），还可以设置等值线的数目等。本例中选择Color，Contour，Height（3-D polt）和Show mesh四项，然后单击Plot按钮，方程的图形解如图2-4所示。除了作定解问题解u的图形外，也可以作|grad u|，|cgrad u|等图形。
图2-3
图2-4
（vi）与精确解作比较单击Plot菜单中Parameters…选项，打开Plot Selection对话框，在Height（3-D plot）行Property下拉框中选user entry，且在该行的User entry输入框中键入u-（1-x.^2-y.^2）
/4,单击Ｐlot按钮就可以看到解的绝对误差图形，如图２-５．可见在边界处误差为０。
图2-5
（vii）输出网格节点的编号、单元编号以及节点坐标单击Mesh 菜单中Show Node Labels选项，再单击工具或，即可显示节点编号。若要输出节点坐标，只需单击Mesh菜单中Export Mesh…选项，这时打开的Export对话框中默认值为p，e，t，这里p，e，t分别表示points（点）、edges（边）、triangles（三角形）数据的变量，单击OK按钮。然后在MATLAB命令窗口键入p，按回车键确定，即可显示出节点按编号排列的坐标（二维数组）；键入e，按回车键，则显示边界线段数据矩阵（7维数组）；输入t，按回车键，则显示三角形单元数据矩阵（4维数组）。
（viii）输出解的数值单击Solve菜单中Export Solution…选项，在打开的Export对话框中输入u，单击OK按钮确定。再在MATLAB 命令窗口中输入u，按回车确定，即显示按节点编号排列的解的数值。
我们也可以用MATLAB程序求解PDE问题，同时显示解的图形：
[p,e,t]=initmesh(‘circleg’,’hmax’,1);
Error=[];err=1;
While err>0.001,
[p,e,t]=refine mesh(‘circleg’,p,e,t);
U=assempde(‘circleb1’,p,e,t,,1,0,1);
Exact=(1-p(1,:).^2-p(2,:).^2)’/4;
Err=norm(u-exact,’inf’);
Error=[error err];
End
Pdemesh(p,e,t)
Pdesurf(p,t,u)
Pdesurf(p,t,u-exact)
通过命令行键入help+命令函数，如help pdemesh，按回车键，可以调入有关命令函数的定义、参数格式等帮助信息。
2．2 求解抛物型方程的例子
例：考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。板的左边保持在100c ，板的右边热量从板向环境空气定常流动，其他边及内孔边界
t t 时板的温度为0，于是概括为如下定解问题：保持绝缘。初始0
偏微分方程数值解期末试题及标准答案
偏微分方程数值解试题(０6B ） 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一(10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1)(n R x x b x Ax x J ∈-=，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?，则称称0x 是)(x J 的驻点(或稳定点).矩阵A 对称(不必正定)，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是:0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点，对于任意的n R x ∈,令 ),(2),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+-+=+=, （3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0，则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ，得到b Ax =0． (3分) 反之,若n R x ∈0满足b Ax =0,则对于任意的x ,)(),(2 1)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (４分） 评分标准：)(λ?的展开式3分, 每问3分，推理逻辑性１分 二（10分）、 对于两点边值问题:?????==∈=+-=0 )(,0)(),()('b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ],[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11=∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间．取),(1b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (３分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. （3分)
偏微分方程数值解法试题与答案
一．填空（1553=?分） 1．若步长趋于零时，差分方程的截断误差0→lm R ，则差分方程的解lm U 趋近于微分方 程的解lm u . 此结论_______（错或对）； 2．一阶Sobolev 空间{} )(,,),()(21 Ω∈''=ΩL f f f y x f H y x 关于内积=1),( g f _____________________是Hilbert 空间； 3．对非线性（变系数）差分格式，常用 _______系数法讨论差分格式的_______稳定性； 4．写出3 x y =在区间]2,1[上的两个一阶广义导数：_________________________________， ________________________________________； 5．隐式差分格式关于初值是无条件稳定的. 此结论_______（错或对）。 二．（13分）设有椭圆型方程边值问题 用1.0=h 作正方形网格剖分 。 （1）用五点菱形差分格式将微分方程在内点离散化； （2）用截断误差为)(2 h O 的差分法将第三边界条件离散化； （3）整理后的差分方程组为 三．（12）给定初值问题 x u t u ??=?? ， ()10,+=x x u 取时间步长1.0=τ，空间步长2.0=h 。试合理选用一阶偏心差分格式（最简显格式）, 并以此格式求出解函数),(t x u 在2.0,2.0=-=t x 处的近似值。 1．所选用的差分格式是： 2．计算所求近似值： 四．（12分）试讨论差分方程 ()h a h a r u u r u u k l k l k l k l ττ + - = -+=++++11,111 1 逼近微分方程 0=??+??x u a t u 的截断误差阶R 。 思路一：将r 带入到原式，展开后可得格式是在点（l+1/2,k+1/2）展开的。 思路二：差分格式的用到的四个点刚好是矩形区域的四个顶点，可由此构造中心点的差分格 式。
偏微分方程数值解
偏微分方程数值解 偏微分方程地构建科学、工程学和其他领域的数学模型的主要手段。一般情况下,这些模型都需要用数值方法去求解。本书提供了标准数值技术的简明介绍。借助抛物线型、双曲线型和椭圆型方程的一些简单例子介绍了常用的有限差分方法、有限元方法、有限体方法、修正方程分析、辛积分格式、对流扩散问题、多重网络、共轭梯度法。利用极大值原理、能量法和离散傅里叶分析清晰严格地处理了稳定性问题。本书全面讨论了这些方法的性质,并附有典型的图像结果,提供了不同难度的例子和练习。 本书可作为数学、工程学及计算机科学专业本科教材,也可供工程技术人员和应用工作者参考。 偏微分方程数值解---学习总结(2) 关于SobolveSobolve空间的几个重要定理 迹定理 : ΩΩ是 RdRd 的一个有界开子集，具有李普希茨连续边界?Ω?Ω, s>12s>12, 则 a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v ∣∣?Ω,?v∈Hs(Ω)∩C0(Ωˉˉˉˉ), b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω).(1)(2)(1)a.存在唯一的连续线性映射γ0:Hs(Ω)→Hs?12(?Ω),满足γ0v=v|?Ω,?v∈
Hs(Ω)∩C0(Ωˉ),(2)b.存在唯一的连续映射R0：Hs?12(?Ω)→Hs(Ω),满足γ0°R0°φ=φ,?φ∈Hs?12(?Ω). 迹定理把区域内部与边界联系起来. 上面定理中边界?Ω?Ω当被它的一个子集ΣΣ代替时，结论依然成立. S=1时， γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)?L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||?v||0).γ0:H1(Ω)→H12(?Ω)? L2(?Ω)||γ0v||0,?Ω≤||γ0v||2,?Ω≤C||v||1=C(||v||0+||? v||0). 注意几个范数 ||?||k||?||0||?||1||??||0=||?||k,2=||?||L2=||?||1,2=(||?||20+||??||20)12=|?|1.(3)(4)(5)(6)(3)||?||k=||?||k,2(4)||? ||0=||?||L2(5)||?||1=||?||1,2=(||?||02+||??||02)12(6)||?? ||0=|?|1. 庞加莱不等式(Poincare inequality): 假设ΩΩ是 RdRd 的一个有界联通开子集，ΣΣ是边界?Ω?Ω的一个非空的李普希茨连续子集. 则存在一个常数 CΩ>0CΩ>0满足 ∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈H1Σ(Ω),其中H1Σ(Ω)={v ∈H1(Ω),γΣv=v∣∣Σ=0}.∫Ωv2(x)dx≤CΩ∫Ω|?v(x)|2dx,?v∈HΣ1(Ω),其中HΣ1(Ω)={v∈H1(Ω),γΣv=v|Σ=0}.
偏微分方程数值解试题及答案
偏微分方程数值解试题(06B) 参考答案与评分标准 信息与计算科学专业 一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，)()(0x x J λλ?+=.若0)0('=?,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有 0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的 x ,)(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、 对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(' b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)(),,(|{11 =∈=a u b a H u u H E 为求解函数空间,检验函数空间.取),(1 b a H v E ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(1 b a H v E ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 令?-+=-=b a dx fu qu dx du p u f u u a u J ])([21),(),(21)(22,则变分问题的Ritz 形式
偏微分方程数值解实验报告
偏微分方程数值解实验报告
1、用有限元方法求下列边值问题的数值解：''()112x -y +y =2s i n ,0
1、 %Ritz Galerkin方法求解方程 function u1=Ritz(x) %定义步长 h=1/100; x=0:h:1; n=1/h; a=zeros(n-1,1); b=zeros(n,1); c=zeros(n-1,1); d=zeros(n,1); %求解Ritz方法中内点系数矩阵 for i=1:1:n-1 b(i)=(1/h+h*pi*pi/12)*2; d(i)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2+h*pi*pi/2*sin(pi/2*x(i+1))/2; end %右侧导数条件边界点的计算 b(n)=(1/h+h*pi*pi/12); d(n)=h*pi*pi/2*sin(pi/2*(x(i)+h))/2; for i=1:1:n-1 a(i)=-1/h+h*pi*pi/24; c(i)=-1/h+h*pi*pi/24; end %调用追赶法 u=yy(a,b,c,d) %得到数值解向量 u1=[0,u] %对分段区间做图 plot(x,u1) %得到解析解 y1=sin(pi/2*x); hold on plot(x,y1,'o') legend('数值解','解析解') function x=yy(a,b,c,d) n=length(b); q=zeros(n,1); p=zeros(n,1); q(1)=b(1); p(1)=d(1); for i=2:1:n
偏微分方程数值解复习题(2011硕士)
偏微分方程数值解期末复习（2011硕士） 一、考题类型 本次试卷共六道题目，题型及其所占比例分别为： 填空题20%；计算题80% 二、按章节复习内容 第一章 知识点：Euler法、向前差商、向后差商、中心差商、局部截断误差、整体截断误差、相容性、收敛性、阶、稳定性、显格式、隐格式、线性多步法、第一特征多项式、第二特征多项式、稳定多项式、绝对稳定等； 要求: 会辨认差分格式, 判断线性多步法的误差和阶; 第二章 知识点：矩形网格、(正则,非正则)内点、边界点、偏向前(向后,中心)差商、五点差分格式、增设虚点法、积分插值法、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和、稳定性等； 要求: 建立椭圆型方程边值问题的差分格式, 极值原理; 第四章 知识点：最简显格式、最简隐格式、CN格式、双层加权格式、Richardson 格式、网格比、传播因子法(分离变量法) 、传播因子、传播矩阵、谱半径、von Neumann条件、跳点格式、ADI格式、线性椭圆型差分格式、极值原理、比较定理、五点差分格式的相容收敛和稳定性等； 要求: 建立抛物型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第五章 知识点：左偏心格式、右偏心格式、中心格式、LF格式、LW格式、Wendroff 格式、跳蛙格式、特征线、CFL条件等； 要求: 建立双曲型方程边值问题的差分格式, 计算局部截断误差; 第七章 要求: 会用线性元(线性基)建立常微分方程边值问题的有限元格式
三 练习题 1、 已知显格式21131()22 n n n n u u h f f +++-=-，试证明格式是相容的，并求它的阶。 P39+P41 2、用Taylor 展开原理构造一元函数一阶导数和二阶导数的数值微分公式。 提示：向前、向后和中心差商与一阶导数间关系，二阶中心差商与二阶导数 之间的关系 课件 3、用数值微分方法或数值积分方法建立椭圆型方程 2222(,),(,),u u f x y x y x y ??--=?∈Ω?? :01,01x y Ω≤≤≤≤ 内点差分格式。 P75+课件 4、构造椭圆型方程边值问题的差分格式. P101 (4)题 5、构建一维热传导方程220,(0)u u Lu a a t x ??=-=>??的数值差分格式(显隐格式等)。 参考P132-135相关知识点 6、设有逼近热传导方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的带权双层格式 ()()1111111122(1)2k k j j k k k k k k j j j j j j u u a u u u u u u h θθτ++++-+-+-??=-++--+?? 其中[0,1]θ∈，试求其截断误差。并证明当2 1212h a θτ=-时，截断误差的阶最 高阶为24()O h τ+。 P135+P165+课件 7、传播因子法证明抛物型方程22(0)u u Lu a f a const t x ??≡-==>??的最简显隐和六点CN 格式稳定性。 P156+课件 8、对一阶常系数双曲型方程的初边值问题 0,0,0,0,(,0)(),0,(0,)(),0, u u a t T x a t x u x x x u t t t T φψ???+=<≤<<∞>?????=≤<∞??=≤≤?
偏微分方程数值解试题06B答案
专业班级 姓名 学号 开课系室数学与计算科学学院 考试日期
偏微分方程数值解试卷 一（15分）、（1）简述用差分方法求解抛物型方程初边值问题的数值解的一般步骤.(2)写出近似一阶偏导数 n m x u |??的三种有限差分逼近及其误差阶,写出近似 n m x u |22 ??的差分逼近及其误差阶. 评分标准： （1） 7分，三个离散4分，其他步骤3分 （2） 8分，每个格式及误差2分。 二（15分）、（1）以抛物型方程的差分格式为例，解释差分格式的相容性,稳定性和收敛性概念,分析相容性,稳定性和收敛性与误差的关系，简述 Lax 等价性定理。(2) 简述差分格式稳定性分析的Fourier 级数法（或称为Neumann Von 方法，分离变量法）的一般步骤。 （1）8分，解释概念6分，等价关系2分 （2）7分，典型波2分，放大因子与条件3分，其他2分 三（20分）、对于边值问题 ?? ???=?=∈=??+???0 |) 1,0()1,0(),(,92 222G u G y x y u x u （1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截 断误差的阶。 （2）取3/1=h ，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式并求解） （3）就取5/1=h 的情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。 解：（1）7分，离过程与格式
第二页（共五页） 四（20分）、对于初边值问题??? ????≤≤==<<=≤<<
偏微分方程数值解课程设计
课程设计报告 课程：偏微分方程数值解学号： 姓名： 班级： 教师：
《偏微分方程数值解》 课程设计指导书 一.课程设计的目的 1.帮助掌握偏微分方程数值解相关知识。 2.理解偏微分方程数值解差分隐格式解决自由振动方程问题的方法。 3.锻炼编写程序代码的能力。 二.设计名称 差分法求自由振动问题的周期解。 三.设计要求 1.要求写出差分隐格式的理论方法。 2.要求编写matlab 程序，画出函数图形。 3.要求写出实验总结及心得体会。 四.设计题目 用差分法求自由振动问题的周期解： 2222000,,0|0,|sin (0,)(2,)t t u u x t t x u u x t u t u t π==???-=-∞<<∞>???? ??==??? =??? 要求用差分隐格式求解，其中14 θ= 。 五.设计细则 1.区域剖分： 构造上式的差分逼近，取空间步长h 和时间步长τ，用两族平行直线 ?? ?===±±=== ,2,1,0,, ,2,1,0,n n t t j jh x x n j τ 作矩形网格。 2.离散格式： 显格式： 于网点),(n j t x 用Taylor 展式，并整理方程得： ??? ?? ??--++=+-++==-+-++-121121102 10102100 )1(2)(),()()1()]()([2),(n j n j n j n j n j j j j j j j j u u r u u r u x x r x x r u x u τ?????
隐格式： 上述显格式并不是绝对稳定的差分格式，为了得到绝对稳定的差分格式，用第1-n 层、 n 层、1+n 层的中心差商的权平均去逼近xx u ，得到下列差分格式： ? ??? ?? ???+-++--++-=+-+-++==----+-++-+++-++-]22)21(2[2), ()()1()]()([2),(2111112112111112 211102 10102100h u u u h u u u h u u u a u u u x x r x x r u x u n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j j j j j j θθθττ?????其中10≤≤θ是参数。当0=θ时就是显格式，而当4 1 =θ时可以证明该格式绝对稳定。 隐格式的矩阵形式是： ??? ???????? ???????????=??????????????????????????????????????????????? ?-+-+-+-+--+-+-+++122111121121 12222 222 2222221212121J J j n J n J n j n n z z z z z u u u u u r r r r r r r r r r r r θθθθ θθθθθ θ θθ 其中： 1 111111122]2()2)(21[(-----+-+-++-++--=n j n j n j n j n j n j n j n j j u u u u u u u u r z θθ 3.格式稳定性： 1）显格式： 显格式稳定的充分必要条件是：网格比1 引言 偏微分方程定解问题有着广泛的应用背景。人们用偏微分方程来描述、解释或者预见各种自然现象，并用于科学和工程技术的各个领域fll。然而，对于广大应用工作者来说，从偏微分方程模型出发，使用有限元法或有限差分法求解都要耗费很大的工作量，才能得到数值解。现在，MATLAB PDEToolbox已实现对于空间二维问题高速、准确的求解过程。 偏微分方程 如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程叫做常微分方程，也简称微分方程；如果一个微分方程中出现多元函数的偏导数，或者说如果未知函数和几个变量有关，而且方程中出现未知函数对几个变量的导数，那么这种微分方程就是偏微分方程。 常用的方法有变分法和有限差分法。变分法是把定解问题转化成变分问题，再求变分问题的近似解；有限差分法是把定解问题转化成代数方程，然后用计算机进行计算；还有一种更有意义的模拟法，它用另一个物理的问题实验研究来代替所研究某个物理问题的定解。虽然物理现象本质不同，但是抽象地表示在数学上是同一个定解问题，如研究某个不规则形状的物体里的稳定温度分布问题，由于求解比较困难，可作相应的静电场或稳恒电流场实验研究，测定场中各处的电势，从而也解决了所研究的稳定温度场中的温度分布问题。 随着物理科学所研究的现象在广度和深度两方面的扩展，偏微分方程的应用范围更广泛。从数学自身的角度看，偏微分方程的求解促使数学在函数论、变分法、级数展开、常微分方程、代数、微分几何等各方面进行发展。从这个角度说，偏微分方程变成了数学的中心。 一、MATLAB方法简介及应用 1.1 MATLAB简介 MATLAB是美国MathWorks公司出品的商业数学软件，用于算法开发、数据可视化、数据分析以及数值计算的高级技术计算语言和交互式环境，主要包括MATLAB和Simulink两大部分。 1.2 Matlab主要功能 数值分析 数值和符号计算 工程与科学绘图 控制系统的设计与仿真 数字图像处理 数字信号处理 通讯系统设计与仿真 财务与金融工程 1.3 优势特点 1) 高效的数值计算及符号计算功能，能使用户从繁杂的数学运算分析中解脱出来； 2) 具有完备的图形处理功能，实现计算结果和编程的可视化； 3) 友好的用户界面及接近数学表达式的自然化语言，使学者易于学习和掌握； 4) 功能丰富的应用工具箱(如信号处理工具箱、通信工具箱等) ， 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0,], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-= ?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1) (0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈? ==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 2 25, (0,1) (0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈? ==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 01(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=???? ? =∈?? =??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式； 精品文档 偏微分方程数值解 上 机 实 验 报 告 （一）实验一 一、上机题目： 用线性元求解下列边值问题的数值解： 精品文档 ′′22?? ?? ??，0 精品文档 （二）实验二 四、上机题目： 求解 Helmholtz 方程的边值问题： u k 2u 1 ，于(0,1)*(0,1) u0，于1{ x0,0y1} U{0x1, y 1} 1{ x0,0y1} U{0x1, y1} u 0,于2{0x1, y 0} U { x1,0y1} n 其中 k=1,5,10,15,20 五、实验程序： 1 / 7 偏微分方程数值解试题 1、考虑一维的抛物型方程： 2200, [0, ], 0t T (,), (,)(,0)() x x u u x t x u x t u u x t u u x x ππνπ?==??=∈≤≤??=== （1）导出时间离散是一阶向前Euler 格式，空间离散是二阶精度的差分格式； （2）讨论（1）中导出的格式的稳定性； （3）若时间离散为二阶精度的蛙跳格式， 11 2n n n t t u u u t t +-=?-=?? 空间离散是二阶精度的中心差分，问所导出的格式稳定吗？为什么？ 2、考虑Poission 方程 2(,)1, (,)0, in AB and AD (,)0, in BC and CD u x y x y u n u x y -?=∈Ω ?=?= 其中Ω是图1中的梯形。 使用差分方法来离散该方程。由于梯形的对称性，可以考虑梯形的一半，如图2， 图2 从物理空间到计算区域的几何变换 图1 梯形 2 / 7 为了求解本问题，采用如下方法：将Ω的一半投影到正方形区域?Ω ，然后在?Ω上使用差分方法来离散该方程。在计算区域?Ω 上用N N ?个网格点，空间步长为1/(1)N ξη?=?=-。 （1）引入一个映射T 将原区域Ω（带有坐标,x y ）变换到单位正方形?Ω（带有坐标,ξη）。 同时导出在新区域上的方程和边界条件。 （2）在变换区域，使用泰勒展开导出各导数项在区域内部和边界点上的差分格式。 3、对线性对流方程 0 constant >0u u a a t x ??+=??，其一阶迎风有限体积法离散格式为 1?n j u +=?n j u a t x ?-?（?n j u 1?n j u --） （1）写出0a <时的一阶迎风有限体积法的离散格式； （2）写出a 为任意符号的常数的一阶迎风有限体积法的守恒形式。 （3）使用0 u u u t x ??+=??说明一阶迎风有限体积法不是熵保持的格式。 4、对一维Poission 方程 , (0,1)(0)(1)0 x xx u xe x u u ?-=∈?==? 将[]01，分成(1)n +等分，写出用中心差分离散上述方程的差分格式，并问： （1）该差分格式与原微分方程相容吗？为什么？ （2）该差分格式稳定吗？为什么？ （3）该差分格式是否收敛到原微分方程的解？为什么？ （4）取(1)6n +=，写出该差分格式的矩阵表示。 5、叙述二重网格方法的执行过程，并对一维常微分方程边值问题 225, (0,1)(0)(1)0 xx u x x x u u πππ?-=∈?==?（sin(5)+9sin(15)） 给出限制算子和延拓算子矩阵（以细网格h ：7n =，粗网格2h ：3n =为例）。 6、对一阶波动方程 1(,0)sin(), (0,1)2(0,)(1,)u u t x u x x x u t u t π???+=?????=∈??=??? （1）写出用中心差分进行空间离散，用一阶向后Euler 进行时间离散的差分格式； 一、 问题 用有限元方法求下面方程的数值解 2 u u u f t ?-?+=? in (]0,T Ω? 0u = on []0,T ?Ω? ()00,u x u = in Ω 二、 问题分析 第一步 利用Green 公式，求出方程的变分形式 变分形式为：求()()21 00,;u L T H ∈Ω，使得 ()())(2 ,,,,u v u v u v f v t ???+??+= ???? ()10v H ?∈Ω （*） 以及 ()00,u x u =. 第二步 对空间进行离散，得出半离散格式 对区域Ω进行剖分，构造节点基函数，得出有限元子空间：()12,,,h NG V span ???=???，则（*）的Galerkin 逼近为： []0,t T ?∈，求()()1 0,h h u t x V H ∈?Ω，使得 ()()()()() () )(2 ,,,,h h h h h h h d u t v u t v u t v f v dt +??+= h h v V ?∈ （**） 以及()0,0h h u u =，0,h u 为初始条件0u 在h V 中的逼近，设0,h u 为0u 在h V 中的插值. 则0t ?≥，有()()1 N G h i i i u t t ξ? == ∑，0,h u =01 N G i i i ξ?=∑，代人（**）即可得到一常微分方程组. 第三步 进一步对时间进行离散，得到全离散的逼近格式 对 du dt 用差分格式.为此把[]0,T 等分为n 个小区间[]1,i i t t -，其长度1i i T t t t n -?=-= ,n t T =. 这样把求i t 时刻的近似记为i h u ，0 h u 是0u 的近似.这里对（**）采用向后的欧拉格式，即 ()()() () )(2 11 11 1 ,,,,i i i i h h h h h h h i h u u v u v u v f v t ++++-+??+ = ? h h v V ?∈ (***) i=0,1,2…,n-1. 0 h u =0,h u 由于向后欧拉格式为隐式格式且含有非线性项，故相邻两时间步之间采用牛顿迭代，即： 偏微分方程数值解 一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2 1 )(n R x x b x Ax x J ∈-= ，证明下列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使)(min )(0x J x J n R x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax = 解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令 ),(2 ),()()()(2 000x Ax x b Ax x J x x J λλλλ?+ -+=+=, (3分) 因此0=λ是)(λ?的极小值点,0)0('=?,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反之,若 n R x ∈0满足 b Ax =0,则对于任意的x , )(),(2 1 )0()1()(00x J x Ax x x J >+ ==+??,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λ?的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分 二（10分）、对于两点边值问题：????? ==∈=+-=0 )(,0)() ,()(b u a u b a x f qu dx du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ] ,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解: 设}0)()(),,(|{11 0==∈=b u a u b a H u u H 为求解函数空间,检验函数空间.取),(10b a H v ∈,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3分) )().(),(v f fvdx dx quv dx dv dx du p v u a b a b a ==+=??,),(10 b a H v ∈? 即变分问题的Galerkin 形式. (3分) 二、改进的Euler 方法 梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法: 预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正 : )].,(),([2 111+++++=n n n n n n y x f y x f h y y (1.15) 这个计算公式也可以表示为 11(,), (,), 1(). 2p n n n c n n p n p c y y hf x y y y hf x y y y y ++?=+??=+?? ?=+??? 例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题 d (1),01, d (0) 1. y y xy x x y ?=-+≤≤???=? 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x y x e x =--. 根据题设知 ).1(),(xy y y x f +-= (1) Euler 方法的计算式为 )],1([1.01n n n n n y x y y y +?-=+ 由1)0(0==y y , 得 ,9.0)]101(1[1.011=?+??-=y ,8019.0)]9.01.01(9.0[1.09.02=?+??-=y 这样继续计算下去，其结果列于表9.1. (2) 改进的Euler 方法的计算式为 110.1[(1)],0.1[(1)], 1(), 2p n n n n c n p n p n p c y y y x y y y y x y y y y ++?=-?+?=-?+??? ?=+??? 由1)0(0==y y ，得 x ∈R n 2 ( Ax, x) , J ( x + x) = ? (1) = ? (0) + ( Ax, x) > J ( x ) ,因此 x 是 J ( x ) 的最小值点. (4 分) 2 二（10 分）、对于两点边值问题： ? dx dx a(u , v) = ?b ( p . + q u v)dx = ?b fvdx = f (v) , ? v ∈ H 1 (a , b ) dx dx a a 偏微分方程数值解 一（10 分）、设矩阵 A 对称正定，定义 J ( x ) = 1 ( Ax , x ) - (b , x ) ( x ∈ R n ) ，证明下 2 列两个问题等价：(1)求 x ∈ R n 使 J ( x ) = min J ( x ) ;(2)求下列方程组的解：Ax = b 解: 设 x ∈ R n 是 J ( x ) 的最小值点,对于任意的 x ∈ R n ,令 ?(λ) = J ( x + λx) = J ( x ) + λ( Ax - b , x) + λ2 (3 分) 因此 λ = 0 是 ?(λ) 的极小值点 , ? ' (0) = 0 ,即对于任意的 x ∈ R n , ( Ax - b , x) = 0 ,特 0 别取 x = Ax - b ,则有 ( Ax - b , Ax - b ) =|| Ax - b || 2 = 0 ,得到 Ax = b . (3 分) 0 0 反 之 , 若 x ∈ R n 满 足 Ax = b , 则 对 于 任 意 的 x , 1 0 0 0 评分标准: ?(λ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分 ? d du ?Lu = - ( p ) + qu = f x ∈ (a, b ) ?? u (a) = 0, u (b ) = 0 其中 p ∈ C 1 ([a , b ]), p ( x ) ≥ min p ( x ) = p x ∈[a,b ] min > 0, q ∈ C ([a , b ]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a , b ]) 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和 Galerkin 形式的变分方程。 解 : 设 H 1 = {u | u ∈ H 1 (a , b ), u (a ) = u (b ) = 0} 为求解函数空间 , 检验函数空间 . 取 v ∈ H 1 (a, b ) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到 (3 分) du dv 即变分问题的 Galerkin 形式. (3 分) 第十章 偏微分方程数值解法 偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝 大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1 差分方法的基本概念 1.1 几类偏微分方程的定解问题 椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson ）方程 ),(22 2 2y x f y u x u u =??+??=? 特别地，当 0),(≡y x f 时，即为拉普拉斯（Laplace ）方程，又称 为调和方程 22 22 =??+??=?y u x u u Poisson 方程的第一边值问题为 ?? ?? ?Ω ?=Γ=Ω∈=??+??Γ∈),(),(),(),(),(22 22y x y x u y x y x f y u x u y x ? 其中 Ω为以Γ为边界的有界区域，Γ为分段光滑曲线， ΓΩY 称为定解区域，),(y x f ，),(y x ?分别为Ω，Γ上的已知连 续函数。 第二类和第三类边界条件可统一表示为 ),(),(y x u u y x ?α=??? ? ??+??Γ∈n 其中n 为边界Γ的外法线方向。当0=α时为第二类边界条件， 0≠α时为第三类边界条件。 抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程 2 20(0)u u a a t x ??-=>?? 方程可以有两种不同类型的定解问题： 初值问题 ?? ???+∞ <<∞-=+∞<<-∞>=??-??x x x u x t x u a t u )()0,(,00 22 ? 初边值问题 2 212 00,0(,0)()0(0,)(),(,)()0u u a t T x l t x u x x x l u t g t u l t g t t T ????-=<<<(完整版)偏微分方程的MATLAB解法
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