2017届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试

揭阳一中92届高三第二次段考理科数学试卷

—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

1、设不等式2

0x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ?为 （ ）

A ． [0，1）

B ．（0，1）

C ．[0，1]

D ．（-1，0]

2、已知a 是实数，i

1i

a +-是纯虚数，则a 等于（ ）

A 1

B 1- D

3、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=

，则（ ）

A.0PA PB +=

B.0PC PA +=

C.0PB PC +=

D.0PA PB PC ++=

4.已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42

=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0

与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ．

2564

)1(22=

+-y x

B ．

2564)1(22=

-+y x

C ．1)1(2

2=+-y x

D ．

1)1(2

2=-+y x 5．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移

2

π

个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标

缩短 到原来的2

1

倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2x

B ．y ＝－2cosx

C ．y ＝－2sin4x

D ．y ＝－2cos4x

6. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据

一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为

y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )

A.y 与x 具有正的线性相关关系

B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）

C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kg

D.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg

7. 已知函数

2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵

坐标的最大值为( )

B.2

C.4

D.－2

8、如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin ((0,))f x x x π=∈

及直线((0,))x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一

点，若落在阴影部分的概率为16

3

，则a 的值为（ ）

A ．π31

B ．π32

C ．π43

D ．π6

5

二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．

每小题5分, 满分30分）

（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．

9、若函数))(2()(2

c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线

的斜率为 。

10、 若关于x 的不等式2

|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 。

11. 设向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且0=?b a

，则||3,||4a c == ，则

||b

=_____________．

12．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真命题的是 。

13．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果k 的值是

（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。

14. （坐标系与参数方程选做题）设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4

in πρθ+=

上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是

15. （几何证明选做题）如图，圆O

是ABC ?的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线

于点D ，CD =，3AB BC ==。则BD 的长___________(2

AC 的长______________(3分)．

三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要过程或演算步骤）

16.（本小题满分14分）函数R x Z k x

k x x f ∈∈-++-=,,)2

214cos()2cos()(π。

（1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在),0[π上的减区间；

（3）若=

)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)4

2tan(π

α+的值。

17. （本小题满分12分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如

图所示，规定85分及其以上为优秀.

（1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b 的值；

（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；

（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与 数学期望.

18. （本小题满分12分） 已知几何体A BCED -的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰 直角三角形，正视图为直角梯形．

（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小

19.（本小题满分14分）

已知数列}{n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,2

1

成等差数列.

（I ）求数列}{n a 的通项公式；

（II ）数列满足)(log )(log 322122++?=n n n a a b ，求证：2

11111321<++++n b b b b

20. （本小题满分14分）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点

M(x ，y)满足|MA ＋MB

|＝OM ·(OA ＋OB )＋2. (1)求曲线C 的方程；

(2)点Q(x 0，y 0)(－2

21．(本小题满分14分) 已知函数x x x g x x f 22

1)(,ln )(2

-=

=． （Ⅰ）设)()1()('x g x f x h -+=（其中)('x g 是)(x g 的导函数），求)(x h 的最大值；

（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有a

a

b a f b a f 2)2()(-<-+；

（Ⅲ）设Z k ∈,当1>x 时,不等式4)(3)()1('++<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.

揭阳一中92届高三第二次段考理科数学答案

一 、 AABCDDBB

9. -5 10.）（），（∞+∞01-- 11.7 12. ②④ 13.7 14. 1-2 15. 4,

72

3

16.解：（1）)2

22cos(2cos )2214cos(

)2cos()(x

k x x k x

x f -++=-++-=πππ )4

2(sin 22cos 2sin

π

+=+=x x x ，

（Z k ∈）… 3分

所以，)(x f 的周期2412

T π

π=

=。 …… 4分 （2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,2234222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,42

5

42ππππ。… 6分

又),0[π∈x ， 令0=k ，得

ππ

252

≤

≤x ；令1-=k ，得ππ2

3

27-≤≤-x （舍去）

∴ )(x f 在),0[π上的减区间是),2

[

ππ

。 …… 8分

（3）由=)(αf 5102，得51022cos 2sin =+αα， ∴ 58sin 1=

+α， ∴5

3

sin =α… 10分 又)2

,

0(π

α∈，∴5

4

2591sin 1cos 2=-

=-=αα… 11分 ∴ 4

3

cos sin tan ==

ααα，∴72416

9143

2tan 1tan 22tan 2=-?

=

-=ααα… 13分 ∴)4

2tan(π

α+

17317

2411

7244

tan

2tan 14

tan

2tan -=-

+=-+=

π

απ

α。 ……14分

17.解：解：（1）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =??==??=. ……………4分

（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则

350300100

401000

x ++=

，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………6分

（3）依题意，X 的取值为0，1，2，

2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，2302

4029

(2)52

C P X C ===，

所以X 的分布列为