北航数值分析考点
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2012-11-25
1.矩阵的谱半径的定义是什么？（34页）加没有加绝对值符号？？
2.矩阵的三种范数分别是怎样定义的？（10页）注意，第二种特别容易记错（注意没有加绝对值符号）！还有特别要注意绝对值符号是在哪个位置~
3.矩阵的条件数是怎么定义的？与什么有关？（30页）
4.亲手写下三阶差商的公式！掌握差商的求法。（96页）
5.再顺便写下一阶差商怎么求吧！（95页）
6.可见计算结果与h，n并无关系，故取h=1，n=0,计算第二小空（作业本）
7.正交多项式的定义是什么？（119页）
8.由施密特产生正交化方法产生正交多项式系的方法？（121页）
2012-11-26
9.矩阵能进行LU分解的充要条件是什么？（19页）
10．Hermite插值的具体步骤是什么？（102页）要把其中的每一个表达式的具体表达式都能写出来哦~
11.Newtow插值多项式是怎样的？（103页例3）
12. Hermite插值多项式的余项是怎样的（103页）
2012-12-23 看到这里
13.余项是开区间还是闭区间？开区间!
14.非线性方程组不动点迭代法的收敛性判据是什么？（68页）
15.非线性方程组在迭代过程中如何根据所给的精度来确定迭代次数？（68页）（注意没有括号，全是绝对值符号）
16.怎样判断简单迭代法是线性收敛的?(71页)
17.高斯型求积公式中n从哪个值开始取？（164页）
18.高斯型求积公式怎样求？（168页）
19.高斯型求积公式求得积点后，怎么求积系数呢？（168页）
20.高斯型求积公求的求积系数满足怎样的方程关系（168页）
2012-11-29
21.局部截断误差的级数展开式中，关于h 的3次方的项系数为零 ，则具有三阶精度。
22.线性多布法去构造微分方程的解，怎么做，核心在谁身上。（192页）
23.用迭代法解线性方程，迭代法收敛的充分必要条件是什么？（34页）
24.直接使用原方程组的系数矩阵判断Jacobi 迭代法的条件是什么？（36页） 2012-12-24日看到这里！
25.Jacobi 迭代法和Gauss-Sidel 迭代法共有的判别收敛性的方法是？（39页）
26.近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；
27. 设)(x f 可微，求方程)(x f x =根的牛顿迭代格式是_______________________________________________；(75页 怎么记呢？用图记，图在76页)
28.差商的分母可不是函数值，而是自变值哈~
29.事实证明，计算差商的最好方法绝对是列差商表。
30.向量的1范数，2范数，∞是怎样的？注意加绝对值。（7页）
31.（30页）矩阵的条件数是怎样的，再次加强记忆。
32．（67页）对分法解非线性方程的过程是怎样的？
33.（33页——39页）会推导Jacobi 和Gauss-Seidel 迭代法的迭代格式，明白D+L+U 的含义。
34.（168页）记住168页例7的Gauss 型求积公式的标准形式，关键是i 的起点和正交多项式要求到几次。
35.（122页）施密特求正交多项式中的j 的起点是？
36. 求积公式)]2()1([23)(30f f dx x f +≈?是否是插值型的__________，其代数精度为___________。
2012-12-25看到这里~
2012-12-1
37．QR 解法是解决什么问题用的？其中Q 是指怎样的矩阵？R 又是指怎样的矩阵？（56页）
38.LU 分解法怎么做，这个直接看自己的本子吧~（本子38页）做这种题检查是必不可少的一步。从这个过程中我们可以看出要求u_ij 或l_ij ，只需利用a_ij 便个等式便可以算出。
39. 设函数)(x f 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试确定一个次数不超过3的多项式)(x H 注意不超过3次是指最终得到的多项式最高次数为三，显然这个三是由n 决定的，n 为多少最终得到的多项式的最高次数就为几。这个在103页例3的过程是完全体现的，但也要注意H 的下标是m+n+1,其中m 表示有m+1个导数点；n 表示有n+1个插值点。
40.Hermite 插值多项式的余项是？（103页）怎样检验自己是否做对了？（把已知点代入撒~）
2012-12-2
41 记住，Seidel 迭代法是Seidel 迭代法，SOR 方法是SOR 方法。
42 迭代法解线性方程组最终要写成分量形式哈。
43 SOR 迭代法的必要条件是？注意是必要条件哈，即参数ω的值的范围应该是？（42页） 44 SOR 方法的推导是怎样的？（41页）
45 迭代法解非线性方程，收敛的四个条件是什么？（68）
46（7分）证明解方程0)(23=-a x 求3a 的牛顿迭代法仅为线性收敛。(作业本47页一定去看看)
48 插值型求积公式已给定求积积点怎么构造？显然是不能使用高斯型求积公式了撒！ 2012-12-26看到这里~
49 若i n x x x x x x x x f ),())(()(10---= 互异，求],,,[10p x x x f 的值，这里.1+≤n p 50设,0)(,0)(**≠'=x f x f 要使求*x 的Newton 迭代法至少三阶收敛，)(x f 需要满足 ； （注意: ,0)(,0)(**≠'=x f x f ）
2012-12-5
51 再次提醒在求矩阵的范数时对每个元素都是要加绝对值符号的，而不是说求完和之后再加绝对值符号。
52若1>>x ，改变计算式1lg lg 2
--x x =___________________，使计算结果更为精确； 53.Newton 插值多项式，你还别说，你脑子里只有个大概印象，可真叫你写出来，你还真写不出来。
54.梯形公式和Simpon 公式是怎样的，其实很好记的。（153页）
提示：2=1+1
6=1+4+1
55.A 不能进行LU 分解的充分必要条件是什么？注意是充分必要条件哈~（19页）
56.A 能进行选主元的LU 分解的充分必要条件是什么？（22页）
57.选主元的Dollittle 分解法具体是怎样操作的，一定看23页我打红圈的两部分，其实一点也不难，实在不行就看本子52页我对一个三阶矩阵的操作吧！
58.选主元的Dollittle 分解法最终是怎样把方程解出来的,这个也要知道哈~
50.迭代法收敛性的判断(68页,定理4.1)
2012-12-6
51.怎样判断迭代法是否收敛（68页4条）？又怎样判断迭代法是线性收敛的？（71页），还有怎样判断是高阶收敛的？(72页)
52.何谓最佳平方逼近？最佳平方逼近中平方二字来自于何处？最佳平方逼近中元素所含的系数
c满足的条件是什么？
k
2012-12-11
从这里开始是为2009年真题：
53 （3页例3）要知道怎样根据绝对误差限判断有效数字？
此题的错误之处在于只能根据绝对误差限判断有效数字位数，而不能根据有几位有有效数字去判断绝对误差限！
54
注意：m重情况下只有线性收敛速度
55.请问样条插值的思路？样条函数需要满足哪两个条件？
答：样条插值的核心思想是用分段低次多项式作为插值函数，而样条函数就是其中一类。样条函数满足的条件详见105页。（要记住这个条件要从样条插值的核心思想入手哈），有了这个，来判断一道题目：
56.Householder矩阵的一整套要知道，理解的关键是Householder矩阵又称为什么？（57页）求出来之后怎样检查这个结果是正确的（答：该矩阵是对称正交阵）
要知道求Hoseholder矩阵的方法~
不要看到过程比较繁琐，但是做起来还是比较简单的。
57 牛顿迭代法和割线法要掌握哈~至少公式要记住嘛~（分别在75页和80页）
58.幂法求的是哪个特征值？反幂法又求的是哪个特征值？怎样根据迭代公式判断使用的是幂法还是反幂法？带原点平移的反幂法的原理式是哪个（52页）？
59.
这道题是绝对的纸老虎啊！
60这道题对于记忆局部截断误差和整体截断误差的概念有不少帮助。
2012-12-27 记到这里
61.概念题，看看就OK了！
2012-12-19
继续做2009年的题
62 高斯型求积公式的代数精度为？（164页）
63 高斯型求积公式最后求出来的求积公式中i的取值范围是？（168页）而正交函数系的k 值范围为？（168页）还有求积积点的起点是1还是0？（168页）
64 求正交函数系最容易忘记的是把正交化的系数求出来了，但是低次多项式却忘了，经常犯这种错误啊。
65 以后遇到用R-K方法求解的题目咱就不做这一问，因为不知道h怎么选，就只做第2问，即对步长的限制。
66 208页例13一定要要理解并且会做啊。要注意以下几点：
⑴对h的限制实际上就是h不能太大，使|1+hλ|控制在1的范围内，知道了这个在判断边界t值该用最大还是最小时就好判断了
⑵h始终是大于0的
67 数值积分和插值的余项的截断误差的下标为n，甚至可以不写哈。而常微分方程的截断误差的下标为n+1,这一点还是要注意下。
68
的截断误差为多少？我写在书上（153页）的。注意和梯形积分公式对比记忆哈。特别注意截断误差为负的哈。
69
这道题只有死记了啊，怎么也不会想到这种方法，呵呵，看来泰勒展式真的很重要啊。
70 看来有效数字就是扣除最后一位的非零数字啊，比如：
1. 近似数231.0=*x 关于真值229.0=x 有____________位有效数字；
前者是填2，后者是填4，这就充分应证了我总结的规律，哈哈哈！
71靠，矩阵的二范数还真心需要记一记啊！居然考到了哎~
72高斯选主元的过程还是要记住，注意已经选过的行就不参与选主元了哈。
2012-12-28 记到这里
73牛顿迭代法解非线性方程组的方法要记住啊（91页）~
74什么叫主对角线严格占优，注意可不是那行中最大的始终在主对角线就可以的哈。
75.Jacobi 迭代法和G-S 迭代法都有相同的判别收敛的定理，只是G-S 迭代法多一个什么而已？（39页）
76．以后遇到问Steffense 迭代法的收敛速度就写二阶收敛速度哈！
2012-12-20
77.Hermite 插值的次数是由什么决定？（答：m+n+1）,其中m 是从0开始取还是从1开始取？n 又是从0开始取还是从1开始取？
78.f[x0,x1,x2]居然不知道具体计算式是怎样的了!尤其是分子上不知道是减还是加了！还有不知道是谁加谁或谁减睡了~（练习本第二本64页）
79.一次样条函数的图形要记住，根据此写出一次样条函数的解析表达式哈。（106页到107页）
80．k 步线性法的相容条件是？（196页）
81.k 步线性法的局部截断误差的表达式（请注意R 的下标）？其中的系数怎么算（一定要与相容性条件结合着记，特别是前两阶的C ，关系大着呢 ）？已知一种差分格式怎么判断最高精度？（如果列写出的关于C=0的方程已经能把差分格式中的所有未知参数解出，则此时达到了最高精度，再写一项再加上再写的这一个项的高阶无穷小就是真正的截断误差了）
当然如果题目中α和β的系数已经知道了，要判断精度则只要一个个的C 去算了，直到算到C 不为0时就可判断精度了。比如：
此题算到C4不为0，为-1/16，所以可以得出精度为3阶。顺便还可以写出截断误差。
82.线性多步法怎样算稳定区域？（197页）
83.分段线性插值的基函数是怎样的？截断误差是？（作业本79页）
84.在线性方程组的解法选择题中，一看到A A T 就要想到正定阵，一看到正定阵，则超松弛迭代法（S0R ）方法的参数w 就可以取0到2都是收敛的。而如果只是主对角线按行或按列
严格占阵，则参数w 只能取0到1才是收敛的。
2012-12-30 看到这里
85.Oh,my god!带双步位移的QR 法也要考！明白s1,s2，Mk ，t1,t2的来历吧！
2012-12-21
86 线性多步法 局部截断误差 中 C 的下标是从0开始还是从1开始？
87 a^5-b^5的分解式为？本子第二本82页
88 Doolittle 选主元分解法中，M 数组的具体含义是什么？（23页）
89 Hermite 插值的余项是？怎样根据余项判断这个插值式算出来的数具有多少位有效数字？（08年的第二道大题）
90 非线性方程组的迭代法判断收敛速度，最后得出以多少阶收敛速度，那么迭代函数在这阶导数上根代入是否为零？（72页）
91.看来说明迭代法收敛的只需要说明迭代函数的导数的绝对值是小于1的即可。
92.这道题有点神，当然只要明白它实质上要证是的什么就好办了。
93．
这道题记忆量很大啊，所以每次都要亲自写一次。书上206页，当然第2问也要写下思路哈。 94
=∞||||Ax ________________，=)(1A Cond ______________________ ；