曲线的一般方程化为参数方程
曲线的一般方程化为参数方程
曲线是数学中的重要概念之一，我们可以通过数学公式来表达曲线的形式。一般来说，曲线的方程可分为两种形式：一种是直角坐标系下的方程，另一种则是参数方程。本文将为大家介绍如何将曲线的一般方程化为参数方程。
一、什么是参数方程
参数方程又叫向量函数，是用向量的方式来描述直线、曲线或曲面的方程。参数方程通常表示为：
x = f(t)
y = g(t)
其中，x、y表示坐标，t表示参数。通过不断改变参数t的值，我们可以得到一些点的坐标值，进而组成曲线或者图形。
二、曲线的一般方程
假设我们有一条曲线，它的一般方程形式为：
f(x, y) = 0
其中，f表示一个函数，x、y则是曲线上的点的坐标。一般方程最常见的例子便是圆的一般方程：
x^2 + y^2 = r^2
其中，r为圆的半径。如果想将这个方程式化为参数方程，我们需要进行以下步骤：
1. 通过任意曲线上的一个点P(x,y)，假设P在纵坐标上，即y≠0。
现在我们将P点移动到原点O，即平移(-x, -y)。
2. 在新的坐标系下，求出曲线上一点(x1, y1)和原点O的连线与x轴
正方向的夹角θ。这里我们可以通过三角函数求出：
θ = arctan(y1 / x1)
3. 我们可以将曲线分为若干小部分，每一部分的长为ds，曲线上的点距离P点的距离为s。
4. 我们假设P点到曲线上的每一个点的距离为t，即
t = s = ∫ds
5. 最后，我们得到的参数方程为：
x = tcos(θ) + x
y = tsin(θ) + y
至此，我们已经将曲线的一般方程化为了参数方程。在实际的应用中，参数方程可以更加灵活地展现出曲线的形态，为我们的研究提供更多
的参考。
总结：
本文介绍了如何将曲线的一般方程化为参数方程，主要包括寻找曲线上的一点，求出曲线上任意一点和原点的夹角以及计算曲线长度的几个步骤。通过这些步骤，我们可以将曲线更加方便地描述出来，并展现出更加精美的形式。
高中数学公式——极坐标与参数方程
极坐标与参数方程 一、参数方程 1.参数方程的概念 重点体会参数t 与点M （x ，y ）的一 一对应关系。 2.参数方程和普通方程的互化 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数得到普通方程.注意互化过程中必须使x 、y 的取值范围保持一致。 3．利用22cos sin 1θθ+=将圆、椭圆的普通方程化为参数方程 如，圆229x y +=化为参数方程：x y =⎧⎨= ⎩ 圆22 (1)(2)5x y -++=化为：x y =⎧⎨=⎩ ，椭圆22143x y +=化为：x y =⎧⎨=⎩ 4．直线的参数方程 （1）经过点M 00(,)x y ，倾斜角为α的直线l 的参数方程为: x y =⎧⎨= ⎩ （2）参数t 的几何意义：直线l 上的点P 对应的参数为t ，则||t =||PM 。 注：①P 必须是直线l 上的点，很多时候是l 与其他曲线的交点，M 必须是建立参数方程时使用的点M 00(,)x y ； ②当点P 在M 的上方是0t >，当点P 在M 的下方是0t <，当点P 与M 重合时0t =。 （3）弦长与中点：直线l 上的点,A B 对应的参数分别为12,t t ， 则12||||AB t t =-= ， __________AB t =的中点所对应的参数 （4） 1212||||||||||MA MB t t t t =⋅= ||||MA MB +=1212121212 ||,0||||||,0t t t t t t t t t t +>⎧+=⎨-<⎩, （此处不能死记结论，要明白原因） 要通过图像或者韦达定理判断12,t t 的符号。
高考数学专题—参数方程
高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
高中数学同步备课 曲线的参数方程 3参数方程和普通方程的互化
3．参数方程和普通方程的互化 参数方程和普通方程的互化 (1)将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线类型,曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地,可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程． (2)在参数方程与普通方程的互化中,必须使x,y 的取值范围保持一致． 把曲线的普通方程化为参数方程 [例1] 根据所给条件,把曲线的普通方程化为参数方程． (1)(x －1)2 3＋(y －2)2 5＝1,x ＝3cos θ＋1,(θ为参数)； (2)x 2 －y ＋x －1＝0,x ＝t ＋1,(t 为参数)． [解] (1)将x ＝3cos θ＋1代入(x －1)2 3＋(y －2)2 5 ＝1,得y ＝2＋5sin θ. ∴⎩⎨ ⎧ x ＝3cos θ＋1， y ＝5sin θ＋2 (θ为参数)． 这就是所求的参数方程． (2)将x ＝t ＋1代入x 2 －y ＋x －1＝0, 得y ＝x 2 ＋x －1＝(t ＋1)2 ＋t ＋1－1＝t 2 ＋3t ＋1, ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ＋1，y ＝t 2 ＋3t ＋1 (t 为参数)． 这就是所求的参数方程． 普通方程化为参数方程时的注意点 (1)选取参数后,要特别注意参数的取值范围,它将决定参数方程是否与普通方程等价． (2)参数的选取不同,得到的参数方程是不同的．如本例(2),若令x ＝tan θ(θ为参数),则参数方程 为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝tan θ，y ＝tan 2 θ＋tan θ－1 (θ为参数)．
1.如图,以过原点的直线的倾斜角θ为参数,则圆x 2＋y 2 －x ＝0的参数方程为 ______________． 解析：由题意得圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14,圆心⎝ ⎛⎭ ⎪⎫12，0在x 轴上, 半径为1 2 , 则该圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos α，y ＝1 2sin α(α为参数),注意α为圆心角,θ为圆弧所对的圆周角, 则有α＝2θ,故⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝12＋1 2 cos 2θ，y ＝1 2sin 2θ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos 2 θ，y ＝sin θcos θ (θ为参数)． 答案：⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝cos 2 θ， y ＝sin θcos θ(θ为参数) 将参数方程化为普通方程 [例2] 将下列参数方程化为普通方程： (1)⎩⎨ ⎧ x ＝1－t ， y ＝1＋2t (t 为参数)； (2)⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1(θ为参数)． [思路点拨] (1)可采用代入法,由x ＝1－t 解出t,代入y 的表达式； (2)采用三角恒等变换求解． [解] (1)由x ＝1－t 得 t ＝1－x,将其代入y ＝1＋2t 得y ＝3－2x.因为t ≥0,所以x ＝1－t ≤1, 所以参数方程化为普通方程为y ＝3－2x(x≤1)． 方程表示的是以(1,1)为端点的一条射线(包括端点)． (2)由⎩⎪⎨ ⎪⎧ x ＝5cos θy ＝4sin θ－1 得⎩⎪⎨⎪ ⎧ cos θ＝x 5 ① sin θ＝y ＋1 4 ②, ①2 ＋②2 得x 225＋(y ＋1) 2 16 ＝1(－5≤x≤5,－5≤y≤3)． 将参数方程化为普通方程的三种方法 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数；
常见曲线的参数方程
2.2 常见曲线的参数方程 第一节 圆锥曲线的参数方程 一椭圆的参数方程 1、中心在坐标原点，焦点在x 轴上，标准方程是22 221(0)x y a b a b +=>>的椭圆的参数方程 为cos (sin x a y b ? ??=??=? 为参数） 同样，中心在坐标原点，焦点在y 轴上，标准方程是22 221(0)y x a b a b +=>>的椭圆的参 数方程为cos (sin x b y a ? ??=??=? 为参数） 2、椭圆参数方程的推导 如图，以原点O 为圆心，,()a b a b o >>为半径分别作两个同心圆，设A 为大圆上的任一点，连接OA ，与小圆交于点B ，过点,A B 分别作x 轴，y 轴的垂线，两垂线交于点M 。 设以Ox 为始边，OA 为终边的角为?，点M 的坐标是(,)x y 。那么点A 的横坐标为x ，点B 的纵坐标为y 。由于点,A B 都在角?的终边上，由三角函数的定义有 cos cos ,sin sin x OA a y OB b ????==== 3 当半径OA 绕点O 旋转一周时，就得到了点M 的轨迹，它的参数方程是cos (sin x a y b ? ?? =??=?为 参数） 这是中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆的参数方程。 3、椭圆的参数方程中参数?的意义 圆的参数方程cos (sin x r y r θ θθ =?? =?为参数）中的参数θ是动点(,)M x y 的旋转角，但在椭圆 的参数方程cos (sin x a y b ? ?? =?? =?为参数）中的参数?不是动点(,)M x y 的旋转角，它是动点 (,)M x y 所对应的圆的半径OA （或OB ）的旋转角，称为点M 的离心角，不是OM 的旋 转角，通常规定[)0,2?π∈ 4、椭圆参数方程与普通方程的互化
第2章 1 参数方程的概念
§1 参数方程的概念 1.参数方程的概念 (1)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x ，y )都是某个变数t 的函数 ???x ＝f （t ）， y ＝g （t ）， ① 并且对于t 取的每一个允许值，由方程组①所确定的点P (x ，y )都在这条曲线上，那么方程组①就叫作这条曲线的参数方程，联系x ，y 之间关系的变数t 叫作参变数，简称参数. 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x ，y )表示的曲线方程f (x ，y )＝0叫作曲线的普通方程. (2)在参数方程中，应明确参数t 的取值范围.对于参数方程x ＝f (t )，y ＝g (t )来说，如果t 的取值范围不同，它们表示的曲线可能是不相同的.如果不明确写出其取值范围，那么参数的取值范围就理解为x ＝f (t )和y ＝g (t )这两个函数的自然定义域的交集. 2.参数方程和普通方程的互化 (1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式. (2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致. 【思维导图】 【知能要点】 1.参数方程的概念. 2.求曲线的参数方程. 3.参数方程和普通方程的互化.
题型一 参数方程及其求法 1.曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的联系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x 、y 间的间接联系.在具体问题中的参数可能有相应的几何意义，也可能没有什么明显的几何意义.曲线的参数方程常常是方程组的形式，任意给定一个参数的允许取值就可得到曲线上的一个对应点，反过来对于曲线上任一点也必然对应着其中的参数的相应的允许取值. 2.求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M (x ，y )是轨迹上任意一点的坐标.画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以利于发现变量之间的关系. 第二步，选择适当的参数.参数的选择要考虑以下两点：一是曲线上每一点的坐标x ，y 与参数的关系比较明显，容易列出方程；二是x ，y 的值可以由参数惟一确定. 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略. 【例1】 设质点沿以原点为圆心，半径为2的圆作匀角速度运动，角速度为π60 rad/s.试以时间t 为参数，建立质点运动轨迹的参数方程. 解 如图所示，运动开始时质点位于点A 处，此时t ＝0，设动点M (x ，y )对应时刻t ，由图可知???x ＝2cos θ，y ＝2sin θ， 又θ＝π 60t (t 的单位：S)，故参数方程为?????x ＝2cos π 60t ，y ＝2sin π 60t . 【反思感悟】 以时间t 为参数，在图形中分别寻求动点M 的坐标和t 的关系. 1.已知定直线l 和线外一定点O ，Q 为直线l 上一动点，△OQP 为正三角形(按逆时针方向转，如图所示)，求点P 的轨迹方程. 解 以O 点为原点，过点O 且与l 垂直的直线为x 轴，过点O 与l 平行的直线为y 轴建立直角坐标系.设点O 到直线l 的距离为d (为定值，且d >0)，
曲线的参数方程知识讲解
曲线的参数方程 编稿：赵雷审稿：李霞 【学习目标】 1. 了解参数方程，了解参数的意义。 2. 能利用参数法求简单曲线的参数方程。 3. 掌握参数方程与普通方程的互化。 4. 能选择适当的参数写出圆和圆锥曲线的参数方程 【要点梳理】 要点一、参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x,都是某个变数t的函数， 即 () ........... () x f t y g t = ? ? = ? ①， 并且对于t的每一个允许值，方程组①所确定的点(,) M x y都在这条曲线上，那么方程组①就叫做这条曲线的参数方程，联系y x,间的关系的变数t叫做参变数（简称参数）. 相对于参数方程来说，直接给出曲线上点的坐标关系的方程(,)0 F x y=，叫做曲线的普通方程。 要点诠释： （1）参数是联系变数x，y的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数． （2）一条曲线是用直角坐标方程还是用参数方程来表示，要根据具体情况确定． （3）曲线的普通方程直接地反映了一条曲线上的点的横、纵坐标之间的关系，而参数方程是通过参数反映坐标变量x、y间的间接联系。 要点二、求曲线的参数方程 求曲线参数方程的主要步骤： 第一步，画出轨迹草图，设M（x，y）是轨迹上任意一点的坐标．画图时要注意根据几何条件选择点的位置，以便于发现变量之间的关系． 第二步，选择适当的参数．参数的选择要考虑以下两点： 一是曲线上每一点的坐标（x，y）都能由参数取某一值唯一地确定出来； 例如，在研究运动问题时，通常选时间为参数；在研究旋转问题时，通常选旋转角为参数．此外，离某一定点的有向距离、直线的倾斜角、斜率、截距等也常常被选为参数． 有时为了便于列出方程，也可以选两个以上的参数，再设法消去其中的参数得到普通方程，或剩下一个参数得到参数方程，但这样做往往增加了变形与计算的麻烦，所以参数个数一般应尽量少．二是曲线上每一点的坐标x，y与参数的关系比较明显，容易列出方程； 第三步，根据已知条件、图形的几何性质、问题的物理意义等，建立点的坐标与参数的函数关系式，证明可以省略． 要点诠释： 普通方程化为参数方程时，（1）选取参数后，要特别注意参数的取值范围，它将决定参数方程是否与
参数方程普通方程互化
参数方程普通方程互化 参数方程和普通方程是描述曲线的两种常用方式。参数方程以参数的 形式给出曲线上的点的坐标，而普通方程则以变量的形式给出曲线上的点 的坐标。这两种表达方式之间的互化可以通过代数的方法实现。下面将对 参数方程和普通方程之间的互化进行详细的说明。 首先，我们来讨论如何从参数方程转换为普通方程。假设有一个参数 方程： x=f(t) y=g(t) 要将其转换为普通方程，我们需要将参数t消去。为此，我们可以将 x和y用t的形式表示出来，然后将它们代入到一个合适的方程中。首先，将x用t表示为： t=f^(-1)(x) 其中，f^(-1)表示函数f的反函数。然后，将y用t表示为： y=g(f^(-1)(x)) 这样，通过将x和y用t表示，并将它们代入到一个关系式中，我们 就可以得到一个普通方程。 举个例子来说明。假设有一个参数方程： x=2t+1 y=t^2-3
我们需要将其转换为普通方程。首先，将x用t表示： t=(x-1)/2 然后，将y用t表示： y=((x-1)/2)^2-3 这样，我们就得到了一个普通方程。 接下来，我们来讨论如何从普通方程转换为参数方程。假设有一个普通方程： F(x,y)=0 要将其转换为参数方程，我们需要引入一个参数，通常用t表示。然后，我们将x和y表示为t的函数，并将它们代入到方程F(x,y)=0中。这样，我们就可以通过确定参数t来得到曲线上的点的坐标。 举个例子来说明。 x^2+y^2=1 我们需要将其转换为参数方程。首先，引入参数t，并将x和y表示为t的函数： x = cos(t) y = sin(t) 然后，将x和y代入到方程x^2+y^2=1中： cos^2(t) + sin^2(t) = 1 由于三角函数的性质，上述等式恒成立，因此得到了一个参数方程。
参数方程和普通方程的互化
参数方程和普通方程的互化 教学目标 1．理解参数方程和消去参数后所得的普通方程是等价的． 2．基本掌握消去参数的方法． 3．培养学生观察、猜想和灵活地进行公式的恒等变形的能力．即在“互化”训练中，提高学生解决数学问题的转化能力． 教学重点与难点 使学生掌握参数方程与普通方程之间的互化法则，明确新旧知识之间的联系，掌握消去参数的基本方法． 教学过程 师：前面的课程里，我们学习了参数方程，下面请看这样一个问题：(放投影片) 由圆外一点Q(a，b)向圆x2+y2=r2作割线，交圆周于A、B两点，求AB中点P 的轨迹的参数方程(如图3-5)． 分析割线过点Q(a，b)，故割线PQ方程为： 此斜率k可作为参数．(投影) 解设过点Q的直线方程是y-b=k(x-a)，则圆心O与AB中点P的
即为所求点P的轨迹的参数方程． 师：你能根据点P的参数方程说出点P的轨迹吗？ 生：(无言以对)看不出来． (启发学生猜想，培养参与意识．) 师：你通过题目中点P符合的条件，多画几个点，猜想一下它的形状． (学生在纸上画，讨论．) 生：点P的轨迹(1)过坐标原点，也就是已知圆的圆心．(2)轨迹不是直线． 师：参数方法是研究曲线和方程的又一种方法，是一种利用参数建立两个变量之间的间接联系的方法．也就是说，参数方程里的参数可以协调x、y的变化．基于这点理论，有时为了判定曲线的类型、研究曲线的几何性质，需要把参数方程化为普通方程．即想办法消去参数k，把参数方程转化为我们熟知的普通方程，再去研究它的几何性质就容易了． 把(3)代入(2)得：x2-ax+y2-by=0．(4) 方程(4)证实了我们的猜想是正确的，具体地说：点P的轨迹是一个过圆心的圆弧(在圆x2+y2=r2的内部)．
曲线的参数方程
曲线的参数方程 曲线是数学中的一种图形，通常可以由一个或多个方程表示。在某些情况下，使用参数方程可以更加方便地描述曲线的特征和性质。参数方程通过引入一个或多个参数，将曲线上的点表示为参数的函数。本文将介绍曲线的参数方程的概念、应用和一些常见的参数方程示例。 参数方程的概念 参数方程通常表示为以下形式： x = f(t) y = g(t) 其中，x和y是曲线上的点的坐标，t是参数。通过给定不同的t值，可以得到曲线上不同的点。参数方程提供了一种曲线上每个点的坐标的参数化表示方法。 与直角坐标系方程不同，参数方程可以描述一些非常复杂的曲线，如椭圆、双曲线、螺线等。通过选择合适的参数函数和参数范围，可以细致地刻画曲线的形状和特性。 参数方程的应用 参数方程在许多领域具有广泛的应用，尤其是在计算机图形学、物理学和工程学中。以下是几个参数方程的应用示例： 1. 计算机图形学 在计算机图形学中，参数方程常用于描述二维和三维图形的轨迹。例如，在绘制动画和游戏中，可以使用参数方程来表示粒子、动画角色的路径等。参数方程提供了一种简洁的方式来生成复杂的图形效果。 2. 物理学 在物理学中，参数方程用于描述质点在空间中运动的路径。例如，当质点沿着曲线运动时，可以使用参数方程来确定质点在每个时刻的位置。参数方程还可以应用于描述粒子在电磁场中的运动、弹道轨迹等。
3. 工程学 在工程学中，参数方程常用于描述各种曲线和曲面。例如，工程师可以使用参数方程来描述曲线的轮廓、曲线的弯曲性质以及曲线上不同点的坐标。参数方程还可以用于描述曲线的焦点、渐近线等重要属性。 常见的参数方程示例 以下是几个常见的参数方程示例： 1. 二维直线方程 对于二维直线，可以使用如下的参数方程： x = at + b y = ct + d 其中a、b、c和d为常数，代表直线的斜率和截距。 2. 圆的参数方程 对于圆，可以使用如下的参数方程： x = r * cos(t) y = r * sin(t) 其中r为半径，t为参数，可以取0到2π之间的值。 3. 椭圆的参数方程 对于椭圆，可以使用如下的参数方程： x = a * cos(t) y = b * sin(t) 其中a和b分别代表x轴和y轴的半径。 4. 螺线的参数方程 对于螺线，可以使用如下的参数方程： x = a * cos(t) y = a * sin(t) z = b * t 其中a和b为常数，控制螺线的形状。 上述示例只是参数方程的一小部分应用，实际上参数方程还可以适用于更多的曲线类型和几何形状。通过选择不同的参数函数和参数范围，可以创造出无限多种形状和轨迹。
曲线的参数方程
曲线的参数方程
曲线的参数方程 教学目标： 1 ．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体 会参数的意义。 2．分析圆的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。 3．会进行参数方程和普通方程的互化。 教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。参数方程和普通方程的互化。 教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。参数方程和普通方程的等价互化。 教学过程 一．参数方程的概念 1．探究： 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 的高处以100m/s 的速度作水平直线飞行，为使投放的救援物资准确落于灾区指定的地面（不计空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？ （1）平抛运动： 为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩ ⎪⎨⎧-== 一、方程组有3个变量，其中的x,y 表示点的坐标，变量t 叫做参变量，而且x,y 分别是t 的函数。 二、由物理知识可知，物体的位置由时间t 唯一决定，从数学角度看，这就是点M 的坐标x,y 由t 唯一确定，这样当t 在允许值范围内连续变化时，x,y 的值也随之连续地变化，于是就可以连续地描绘出点的轨迹。 三、平抛物体运动轨迹上的点与满足方程组的有序实数对（x,y ）之间有一一对应关系。 练习：斜抛运动： 为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα 2．参数方程的概念 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x y O v=v 0 α )2.....(....................)()({t g y t f x ==
参数方程与普通方程的互化
4.4.2 参数方程与普通方程的互化 【教学目标】 能通过消去参数将参数方程化为普通方程，并能选择适当的参数将普通方程化成参数方程。 【教学重点】 参数方程与普通方程相互转化。 【教学过程】 一、问题情境 你能求出弹道曲线的普通方程吗？ 二、讲授新课 弹道曲线的参数方程是⎩⎨⎧x = v t cos α (1) y = v t sin α − 12 g t 2 (2)，由⑴式可得 t = x vcos α ， 代入⑵：得 y = t an α·x − g 2v 2cos 2α·x 2， 由于 y > 0，得 0 ≤ t ≤ 2vsin αg ， 代入⑴整理：得 0 ≤ x ≤ v 2sin 2αg 。 故弹道曲线的普通方程为 y = t an α·x − g 2v 2cos 2α·x 2（0 ≤ x ≤ v 2sin 2αg ）。 回答问题： 1．从上转化过程中，你能归纳出其一般步骤吗？ 2．上面是采用的什么处理手法？ 3．v 2sin 2αg 的实际意义是什么？
三、例题选讲 【例1】已知抛物线的方程是 x 2 = 2py ，设P(x ，y)是曲线上的一点，根据以下条件，写出它的参数方程。 ⑴ y = kx ； ⑵ 设∠Pox = θ 。 【例2】将下列参数方程化为普通方程，并指出它表示的是何曲线： ⑴ ⎩⎨⎧x = sin θ +cos θ，y = sin 2θ； ⑵⎩ ⎪⎨⎪⎧x = e t +e −t ，y = e t −e −t 。 【例3】设圆C 的方程为x 2 +y 2 −6xsin θ +10ycos θ +8 +16cos 2 θ = 0，当θ 在区间[0，2π)内变化时，求圆C 的圆心的轨迹方程，化成普通方程。 【例4】正方形ABCD 的顶点A(0，2)，顶点B 在x 轴上运动，且顶点A ，B ，C ，D 的顺序是逆时针方向，求顶点C 的轨迹。
参数方程(有答案)
A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝t B.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－2t y ＝t C.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2t y ＝－t D.⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝－2t y ＝－t 5. 已知动圆x 2＋y 2－2ax cos θ－2by sin θ＝0(a ，b 是正常数，且a ≠b ，θ为参数)，求圆心的轨迹方程． 二、圆的参数方程 (1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ， 那么由三角函数定义，有cos ωt ＝x r ，sin ωt ＝y r ，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝r cos ωt y ＝r sin ωt (t 为 参数)．其中参数t 的物理意义是：______________________________ (2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为 (θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O____时针旋转到_____的位置时，OM 0转过的角度． (3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝x 0＋R cos θ y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)． 求圆的参数方程 [例1] 圆(x －r )2＋y 2＝r 2(r ＞0)，点M 在圆上，O 为原点，以∠MOx ＝φ为参数，求圆的参数方程． (1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成 ⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ. (2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程． 1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程．
空间曲线方程不同形式间的转化技巧
空间曲线方程不同形式间的转化技巧 晶晶 摘要：空间曲线的参数方程和一般方程是空间曲线方程的两种非常重要的形 式，它们表示同一条曲线，因此可以相互转化．两种形式相互转化的方法有很多，本 文主要介绍了常用的几种．在转化的过程中要保证方程的等价性和同解性．关键词：一般方程；参数方程；互化；等价性；同解性 Transformation Techniques for Different Forms of Inter-space Curve Equation Li Jingjing (20102112052, Class 4 Grade 2010, Mathematics & Applied Mathematics ,School of Mathematics & Statistics) Abstract:Space curve parameter equation and general equation are two very important form of the equation of space curve．They represent the same curve, so they can be transformed into each other．There are many methods for the conversion between these two kinds of forms．This paper mainly introduces several methods commonly used．During the transformation process to ensure that equation equivalence and the same solution． Key words: The general equation; parameter equation; interaction; equivalence; the same solution 1引言 空间解析几何的首要问题是空间曲线的方程的求解．空间曲线方程主要包含两种形式，即一般方程（普通方程）与参数方程．空间曲线的一般方程反映的是空间曲线上点的坐标x,y,z之间的直接关系．空间曲线的参数方程是通过参数反应坐标变量之间的间接关系．在求空间曲线的弧长以及空间曲线上的第一类与第二类曲线积分等方面都用到了空间曲线的参数方程．由于任何一种曲线方程的求解方法都不能适用于所有方程的求解，因此如何完成空间曲线方程不同形式的互化便成了一个基本问题.[1] 空间曲线的方程是建立在平面曲线方程的基础之上的，研究空间曲线方程不同形式之间的转化依赖于平面曲线不同形式之间的转化．我们首先回顾之前所学的平面曲线方程的形式以及不同形式间的相互转化．