二_2013考研数学高数中值定理公开课讲义(汤家凤)
中值定理及应用
一、预备知识
1、极值点与极值—设连续))((D x x f y ∈=，其中D x ∈0。若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f <，称0x x =为)(x f 的极大点；若存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，有)()(0x f x f >，称0x x =为)(x f 的极小点，极大点和极小点称为极值点。
2、极限的保号性定理
定理 设)0(0)(lim 0
<>=→A x f x x ，则存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，)0(0)(<>x f ，即函数极限大于零则邻域大于零；极限小于零则邻域小于零。
【证明】设0)(lim 0>=→A x f x x ，取02
0>=A ε，因为A x f x x =→)(lim 0，由极限的定义，存在0>δ，当δ<-<||00x x 时，2|)(|A A x f <-，于是02
)(>>A x f 。 3、极限保号性的应用 【例题1】设2|1|)(lim
,0)1(1=-''='→x x f f x ，讨论1=x 是否是极值点。 【例题2】（1）设0)(>'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点；
（2）设0)(<'a f ，讨论a x =是否是)(x f 的极值点。
【解答】（1）设0)(>'a f ，即0)()(lim >--→a
x a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(>--a
x a f x f 。当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f <；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f >。 显然a x =不是)(x f 的极值点。
（2）设0)(<'a f ，即0)()(lim <--→a
x a f x f a x ，由极限的保号性，存在0>δ，当δ<-<||0a x 时，有0)()(<--a
x a f x f 。当),(a a x δ-∈时，)()(a f x f >；当),(δ+∈a a x 时，)()(a f x f <。显然a x =不是)(x f 的极值点。
【结论1】设连续函数)(x f 在a x =处取极值，则0)(='a f 或)(a f '不存在。
【结论2】设可导函数)(x f 在a x =处取极值，则0)(='a f 。
二、一阶中值定理
定理1（罗尔中值定理）设函数)(x f 满足：（1）],[)(b a C x f ∈；（2）)(x f 在),(b a 内可导；（3）)()(b f a f =，则存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。
定理2（Lagrange 中值定理）设)(x f 满足：（1）],[)(b a C x f ∈；（2）)(x f 在),(b a 内可导，则存在),(b a ∈ξ，
使得a
b a f b f f --=')()()(ξ。 【注解】
（1）中值定理的等价形式为：
))(()()(a b f a f b f -'=-ξ，其中),(b a ∈ξ；
))](([)()(a b a b a f a f b f --+'=-θ，其中10<<θ。
（2）ξ对端点b a ,有依赖性。
（3）端点b a ,可以是变量，如))(()()(a x f a f x f -'=-ξ，其中ξ是介于a 与x 之间的x 的函数。
定理3（Cauchy 中值定理）设)(),(x g x f 满足：（1）],[)(),(b a C x g x f ∈；（2）)(),(x g x f 在),(b a 内可导；（3）),(,0)(b a x x g ∈≠'，则存在),(b a ∈ξ，使得
)
()()()()()(ξξg f a g b g a f b f ''=--。 题型一：证明0)()(=ξn f
【例题1】设]3,0[)(C x f ∈，1)3(,3)2()1()0(==++f f f f ，证明：存在)3,0(∈ξ使得0)(='ξf 。
【例题2】设曲线)(:x f y L =]),[(b a x ∈，],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内二阶可导，连接端点))(,(a f a A 与))(,(b f b B 的直线与曲线L 交于内部一点)))((,(b c a c f c C <<，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(=''ξf 。
【例题3】设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且0)()(<''-+b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf 。
题型二：结论中含一个中值ξ，不含b a ,，且导出之间差距为一阶
【例题1】设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，0)()(==b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)()(=+'ξξξf f 。
【例题2】设],[)(),(b a C x g x f ∈，在),(b a 内可导，0)()(==b f a f ，证明：存在),(b a ∈ξ，使得0)()()(='+'ξξξg f f 。
【例题3】设]1,0[)(C x f ∈，在)1,0(内二阶可导，且)1()0(f f =，证明：存在)1,0(∈ξ，使得ξ
ξξ-'=
''1)(2)(f f 。 题型三：含中值ηξ,
情形一：含中值ηξ,的项复杂度不同
【例题1】设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导，且1)()(==b f a f ，证明：存在),(,b a ∈ηξ，使得
1)]()([='+-ηηξηf f e 。
【例题2】设],[)(b a C x f ∈，在),(b a 内可导)0(>a ，证明：存在),(,b a ∈ηξ，使得
η
ηξ2)()()(f b a f '+='。 情形二：含中值ηξ,的项复杂度相同
【例题1】设]1,0[)(C x f ∈，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f 。
（1）证明：存在)1,0(∈c ，使得c c f -=1)(。
（2）证明：存在)1,0(,∈ηξ，使得1)()(=''ηξf f 。
【例题2】设]1,0[)(C x f ∈，在)1,0(内可导，且1)1(,0)0(==f f ，证明：存在)1,0(,∈ηξ，使得3)
(1)(2='+'ηξf f 。 三、高阶中值定理—泰勒中值定理 背景：求极限30sin lim x
x x x -→。 定理4（泰勒中值定理）设函数)(x f 在0x x =的邻域内有直到1+n 阶导数，则有
)()(!
)()(!2)()()()(00)(20000x R x x n x f x x x f x f x f x f n n n +-++-''+'+= ， 且n n n x x n f x R )()!
1()()(0)1(-+=+ξ，其中ξ介于0x 与x 之间，称此种形式的余项为拉格郎日型余项，若])[()(0n n x x o x R -=，称此种形式的余项为皮亚诺型余项。
特别地，若00=x ，则称
)(!
)0()(!2)0()0()0()()(20x R x n f x x f f f x f n n n +++-''+'+= ， 为马克劳林公式，其中)10()!
1()()(1)1(<<+=++θθn n n x n x f x R 。 【注解】常见函数的马克劳林公式
1、)(!1n n
x
x o n x x e ++++= 。
2、)()!
12()1(!3sin 12123++++-++-=n n n
x o x n x x x 。 3、)()!
2()1(!21cos 222n n n
x o x n x x +-++-= 。 4、
)(111n n x o x x x
++++=- 。 5、)()1(111n n n x o x x x +-++-=+ 。 6、)()1(2)1ln(1
2n n n x o x n
x x x +-++-=+- 专题一：泰勒公式在极限中的应用 【例题】求极限30sin lim x
x x x -→。 专题二：二阶保号性问题
设函数)(x f 的二阶导数)0(0)(<>''x f ，这类问题主要有两个思路：
思路一：设0)(>''x f ，则)(x f '单调增加
【例题1】设)(x f 在),0[+∞上满足0)(>''x f 且0)0(=f ，证明：对任意的0,0>>b a 有)()()(b a f b f a f +<+。
【例题2】设)(x f 在),[+∞a 上满足0)(>''x f 且1)(,2)(='-=a f a f ，证明：)(x f 在),(+∞a 内有且仅有一个零点。
思路二：重要不等式
设0)(>''x f ，因为20000)(!2)())(()()(x x f x x x f x f x f -''+
-'+=ξ， 所以有
))(()()(000x x x f x f x f -'+≥，
其中等号成立当且仅当0x x =。
【例题1】设),()(+∞-∞∈C x f ，0)(>''x f ，且1)(lim 0=→x
x f x ，证明：x x f ≥)(。 【例题2】设)(0)(b x a x f ≤≤>''，证明：对任意的),,2,1](,[n i b a x i =∈及),,2,1(0n i k i =>且121=+++n k k k ，证明：
)()()()(22112211n n n n x f k x f k x f k x k x k x k f +++≤+++ 。
【例题3】设]1,0[)(C x f ∈且0)(>''x f ，证明：
)31()(102f dx x f ≥?。