函数的概念和性质高考真题

函数的概念和性质

2019年

1.（2019江苏4）函数

2

76y x x =+-的定义域是 .

2.（2019全国Ⅱ理14）已知()f x 是奇函数，且当0x <时，()e ax f x =-.若(ln 2)8f =，则a =__________.

3.（2019全国Ⅲ理11）设

()f x 是定义域为R 的偶函数，且在

()

0,+∞单调递减，则

A ．

f （lo

g 3

14

）＞f （3

22

-）＞

f

（2

32

-） B ．

f

（log 3

14

）＞f （2

32

-）＞

f

（3

22

-）

C ．

f

（3

22

-）＞f

（2

32

-）＞

f

（log 3

14

） D ．f （2

32

-）＞

f

（3

22

-）＞f

（log 3

14

） 4.（2019北京理13）设函数

()e x x f x e a -=+ (a 为常数)，若()f x 为奇函数,则a =______； 若()f x 是R 上的增函

数，则a 的取值范围是 ________. 5.（2019全国Ⅰ理11）关于函数

()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：

①f (x )是偶函数

②f (x )在区间（

2

π,π）单调递增

③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2

其中所有正确结论的编号是 A ．①②④

B ．②④

C ．①④

D ．①③

6.（2019全国Ⅰ理5）函数f (x )=

2

sin cos ++x x x x 在[,]-ππ的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

7.（2019全国Ⅲ理7）函数3222x x

x y -=

+在

[]6,6-的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

8.（2019浙江6）在同一直角坐标系中，函数y =

1

x

a

，y =log a (x +12)，(a >0且a ≠1)的图像可能是

A. B.

C. D.

2015年----2018年

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅱ)函数

2

()--=

x x

e e

f x x 的图像大致为

2．(2018全国卷Ⅲ)函数

422y x x =-++的图像大致为

3．(2018浙江)函数

||2sin 2x y x =的图象可能是

A ．

B ．

C ．

D ．

4．(2018全国卷Ⅱ)已知

()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)-=+f x f x ．

若

(1)2=f ，则(1)(2)(3)(50)++++=…f f f f

A ．

50-

B ．0

C ．2

D ．50

5．（2017新课标Ⅰ）函数

()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(1)1f =-，则满足1(2)1f x --≤≤

的

x 的取值范围是

A ．

B ．

C ．

D ．

6．（2017浙江）若函数

2()f x x ax b =++在区间[0，1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -

A ．与a 有关，且与b 有关

B ．与a 有关，但与b 无关

C ．与a 无关，且与

b 无关 D ．与a 无关，但与b 有关

7．（2017天津）已知奇函数

()f x 在R 上是增函数，()()g x xf x =．若2(log 5.1)a g =-，0.8(2)b g =，(3)c g =，

则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c << B ．c b a <<

C ．b a c <<

D ．b c a <<

8．（2017北京）已知函数

1

()3()3

x x f x =-，则()f x

A ．是奇函数，且在R 上是增函数

B ．是偶函数，且在R 上是增函数

C ．是奇函数，且在R 上是减函数

D ．是偶函数，且在R 上是减函数

9．(2016山东)已知函数f (x )的定义域为R ．当x <0时，

3()1f x x =- ；当11x -≤≤ 时，

()()f x f x -=-；当12x >

时，11

()()22

f x f x +=-，则f (6)= A ．?2

B ．?1

C ．0

D ．2

10．(2016全国I) 函数

2||2x y x e =

-在[–2,2]的图像大致为

A ．

B ．

C ．

D ．

11．(2016全国II) 已知函数

()()f x x ∈R 满足()()2f x f x -=-，若函数1

x y x

+=

与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，…，()m m x y ，，则()1

m

i i i x y =+=∑

A ．0

B ．m

C ．2m

D ．4m

12．(2015福建)下列函数为奇函数的是

A ．

y x =

B ．sin y x =

C ．cos y x =

D ．x x y e e -=-

13

．(2015广东)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是

A ．

2

1y x =+ B ．

1y x x =+

C ．122x x

y =+ D ．

x y x e =+

14．(2015湖南)设函数

()ln(1)ln(1)f x x x =+--，则()f x 是

A ．奇函数，且在(0,1)上是增函数

B ．奇函数，且在(0,1)上是减函数

C ．偶函数，且在(0,1)上是增函数

D ．偶函数，且在(0,1)上是减函数

15．(2015湖北)已知符号函数1,0,sgn 0,0,1,0.x x x x >??

==??-

()f x 是R 上的增函数，()()g x f x =-

()f ax (1)a >，则

A ．sgn[()]sgn g x x =

B ．sgn[()]sgn g x x =-

C ．sgn[()]sgn[()]g x f x =

D ．sgn[()]sgn[()]g x f x =-

16．(2015安徽)函数

()()

2

ax b

f x x c +=

+的图象如图所示，则下列结论成立的是

A ．0a >，0b >，0c <

B ．0a <，0b >，0c >

C ．

0a <，0b >，0c < D ．0a <，0b <，0c <

二、填空题 17．(2018江苏)函数

2()log 1f x x =-的定义域为 ．

18．(2018江苏)函数

()f x 满足(4)()()f x f x x +=∈R ，且在区间(2,2]-上，

cos ,02,2

()1||,20,2

x x f x x x π?

?+

11

{2,1,,,1,2,3}22

α∈---，若幂函数()α=f x x 为奇函数，且在

0+∞（，）上递减，则α

=_____

20．(2018北京)能说明“若

()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，则()f x 在[0,2]上是增函数”为假命题的一个

函数是__________．

21．（2017新课标Ⅲ）设函数

1,0()2,0

x

x x f x x +?=?>?≤，则满足1

()()12f x f x +->的x 的取值范围是___． 22．（2017江苏）已知函数

31

()2x x

f x x x e e =-+-，其中e 是自然数对数的底数，若

2(1)(2)0f a f a -+≤，

则实数a 的取值范围是 ． 23．（2017山东）若函数e

()x

f x (e=2．71828L

，是自然对数的底数)在

()f x 的定义域上单调递增，则称函数()f x 具

有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ①

()2x

f x -=

②

()3x

f x -=

③

3

()=f x x

④

2()2=+f x x

24．（2017浙江）已知

a ∈R ，函数4

()||f x x a a x

=+-+在区间[1，4]上的最大值是5，则a 的取值范围是 ．

25．(2016天津)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(,0)-∞上单调递增.若实数a

满足

1

(2

)(a f f ->，

则a 的取值范围是______.

26．(2016江苏)设

()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[)1,1-上，

(),10,

2,01,

5x a x f x x x +-

=?-

≤≤其中a ∈R ，若59()()22f f -=，则()5f a 的值是 ．

27．(2015新课标Ⅰ)

若函数

()ln(f x x x =为偶函数，则a =

28．(2015浙江)已知函数

223,1()lg(1),1x x f x x

x x ?+-?

=??+≠ 的定义域和值域都是[1,0]-，则a b += ．

函数的概念和性质参考答案

1. C 【解析】

()f x 是定义域为R 的偶函数，所以331

(log )(log 4)4

f f =，

因为33log 4log 31>=，

230

3

2

02

2

21

-

-

<<<=，所以233

2

302

2

log 4-

-

<

<<，

又

()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以233

2

31

(2)(2)(log )4

f f f -->>. 故选C ．

2. C 【解析】

()sin sin |i |sin s n f x x x x x f x -=-+-=+=（）（），则函数()f x 是偶函数，

故①正确.当π,π2x ??

∈ ???

时， sin sin sin sin x x x x ==，

， 则

sin sin 2sin f x x x x =+=（）为减函数，故②错误.

当0πx ≤≤，sin sin sin sin 2sin f x x x x x x =+=+=（

）， 由0f x =（）得2sin 0x =,得0x =或πx =，

由

()f x 是偶函数，得在[π0-，）上还有一个零点πx =-，即函数()f x 在[]ππ-，上有3个零点，

故③错误. 当sin

1sin 1x x ==，时，()f x 取得最大值2，故④正确，故正确的结论是①④. 故选C ．

3.D 【解析】： 因为

()f x =

π[]πx ∈-，，所以

()()()22

sin sin cos cos x x x x

f x f x x x x x

--+-=

==--++， 所以()f x 为[ππ]-，上的奇函数，因此排除A ；

又

()22

sin πππ

π0cos ππ1π

f +=

=>+-+，因此排除B ，C ；故选D ． 4. B 【解析】 因为

33

2()2()()2222

x x x x

x x f x f x ----==-=-++， 所以

()f x 是[]6,6-上的奇函数，因此排除C ，又

11

82(4)721

f =>+，因此排除A ，D ．故选B ．

5. D 【解析】由函数

1x

y a =

，

1log 2a y x ??=+ ???，单调性相反，且函数1log 2a y x ?

?=+ ??

?图像恒过

1,02?? ???

可各满足要求的图象为D .故选D ．

6．B 【解析】当

0

e e ，所以此时

2

()0--=

e e

f x x ，故排除

A ．D ；又

1

(1)2=->f e e

，故排除C ，选B ．

7．D 【解析】当0x

=时，2y =，排除A ，B ．由3420y x x '=-+=，得0x =或

2

x =±

，结合三次函数的图象特征，知原函数在(1,1)-上有三个极值点，所以排除C ，故选D ．

8．D 【解析】设

||()2sin 2x f x x =，其定义域关于坐标原点对称，

又||()2sin(2)()x f x x f x --=?-=-，所以()y f x =是奇函数，故排除选项A ，B ；

令

()0f x =，所以sin 20x =，所以2x k π=(k ∈Z )，所以2

k x π

=

(k ∈Z )，故排除选项C ．故选D ． 9．C 【解析】解法一 ∵

()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()()-=-f x f x ．

且(0)0=f ．∵(1)(1)-=+f x f x ，∴()(2)=-f x f x ，()(2)-=+f x f x

∴

(2)()+=-f x f x ，∴(4)(2)()+=-+=f x f x f x ，∴()f x 是周期函数，且一个周期

为4，∴

(4)(0)0==f f ，(2)(11)(11)(0)0=+=-==f f f f ，

(3)(12)(12)(1)2=+=-=-=-f f f f ，

∴

(1)(2)(3)(50)120(49)(50)(1)(2)2+++???+=?++=+=f f f f f f f f ，

故选C ． 解法二 由题意可设

()2sin(

)2

f x x π

=，作出()f x 的部分图象如图所示．

由图可知，()f x 的一个周期为4，所以(1)(2)(3)(50)+++???+f f f f ，

所以

(1)(2)(3)(50)120(1)(2)2+++???+=?++=f f f f f f ，故选C ．

10．D 【解析】由函数

()f x 为奇函数，得(1)(1)1f f -=-=，

不等式1(2)1f x --≤

≤即为(1)(2)(1)f f x f --≤≤，

又

()f x 在(,)-∞+∞单调递减，所以得121x --≥≥，即13x ≤≤，选D ．

11．B 【解析】函数

()f x 的对称轴为2

a x =-

， ①当02a

-

≤，此时(1)1M f a b ==++，(0)m f b ==，1M m a -=+； ②当12

a

-≥，此时(0)M f b ==，(1)1m f a b ==++，1M m a -=--；

③当012

a

<-<，此时2()24a a m f b =-=-

，(0)M f b ==或(1)1M f a b ==++，

2

4a M m -=

或2

14

a M m a -=++

．综上，M m -的值与a 有关，与b 无关．选B ．

12．C 【解析】由题意()g x 为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，所以22(log 5.1)(log 5.1)a

g g =-=

又2222log 4log 5.1log 83=<<=，0.8122<<，

所以0.8

22

log 5.13<<，故b a c <<，选C ．

13．A 【解析】

11

()3()(3())()33

x x x x f x f x ---=-=--=-，得()f x 为奇函数，

()(33)3ln 33ln 30x x x x f x --''=-=+>，所以()f x 在R 上是增函数．选A ．

14．D 【解析】当11x

-剟时，()f x 为奇函数，且当1

2

x >

时，(1)()f x f x +=， 所以(6)(511)(1)f f f =?+=．而3(1)(1)[(1)1]2f f =--=---=， 所以

(6)2f =，故选D ．

15．D 【解析】当0x ?

时，令函数2()2x f x x e =-，则()4x f x x e '=-，易知()f x '在[0，ln 4）

上单调递增，在[ln 4，2]上单调递减，又

(0)10f '=-<，1

()202f '=>，

(1)40f e '=->，

2(2)80f e '=->，所以存在01

(0,)2

x ∈是函数()f x 的极小值点，即函

数

()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(,2)x 上单调递增，且该函数为偶函数，符合条件的图像为D ．

16．B 【解析】由()()2f x f x -=-得

()()2f x f x -+=，可知()f x 关于()01，

对称， 而

11

1x y x x

+=

=+也关于()01，

对称， ∴对于每一组对称点0i i x x '+= =2i i y y '+，

∴

()1

1

1

022

m m m

i

i

i

i

i i i m

x y x y

m ===+=+=+?

=∑∑∑，故选B ． 17．B 【解】 由

()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可

知B ，D 符合；由

(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周

期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ． 18．A 【解析】因为3

11x

+>，所以()()22log 31log 10x f x =+>=，故选A ．

19．C 【解析】∵

()21200=+=f ，∴()()()a a f f f 2422202+=+==．于是，

由

()()a f f 40=得2424=?=+a a a ．故选C ．

20．B 【解析】()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．

21

．

A

【

解

析

】

∵

()

f x 是

R

上周期为5的奇函数，∴

(3)(4)(2)(1)(2)(1)211f f f f f f -=---=-+=-+=-．

22. [1,7]-【解析】 由2760x x +-…，得2670x x --…，解得17x

-剟．所以函

数

y =[1,7]-．

23. 3a

=-【解析】解析：ln 2(ln 2)e (ln 2)8a f f --=-=-=-，得28a -=，3a =-.

24. 0]-∞（，【解析】①根据题意，函数

e e x x

f x a -=+（），

若

f x （）

为奇函数，则f x f x -=-（）（），即=e e e e x x

x x a a --+-+（） ，所以()()+1e e 0x x a -+=对x ∈R 恒成立.又e e 0x x -+>，所以10,1a a +==-.

②函数e e x x f x a -=+（），导数e e x x f x a -'=-（

）. 若

()f x 是R 上的增函数，则()f x 的导数e 0e x x f x a -'-≥=（）在R 上恒成立，即2e x a ≤恒

成立，而2e >0x

，所以a ≤0，即a 的取值范围为0]-∞（，.

25．[2,)+∞【解析】要使函数

()f x 有意义，则2log 10x -≥，即2x ≥，则函数()f x 的定义域

是[2,)+∞．

26．

2

【解析】因为函数()f x 满足(4)()f x f x +=(x ∈R )，所以函数()f x 的最小正周期是4．因

为在区间(2,2]- 上，

cos ,02,2()1||,20,2

x x f x x x π?

?+

所以1((15))((1))()cos 2

4

f f f f f π=-===

． 27．1-【解析】由题意()f x 为奇函数，

所以α只能取1,1,3-，又

()f x 在(0,)+∞上递减，

所以1α=-． 28．

sin y x =（不答案不唯一）

【解析】这是一道开放性试题，答案不唯一，只要满足()(0)f x f >对任意的(0,2]x ∈都成立，且函数()f x 在[0,2]上不是增函数即可，如，()sin f x x =，答案不

唯一．

29．1(,)4-+∞【解析】当12

x >时，不等式为1

2221x x

-+>恒成立；

当102x <

≤

，不等式12112

x

x +-+>恒成立； 当0x ≤时，不等式为11112x x ++-+>，解得14x >-，即1

04

x -<≤；

综上，x 的取值范围为1

(,)4

-+∞．