2019-2020学年广东省广州市天河区高二上学期期末数学试

2019-2020学年广东省广州市天河区高二上学期期末数

学试题

一、单选题 1．数列12-

，14

，18-，1

16，L 的一个通项公式是（ ）

A ．12

n -

B ．(1)2

n n -

C ．1(1)2

n n

+- D ．1(1)2

n n --

【答案】B

【解析】从前4项找出规律，即可得出该数列的通项公式. 【详解】

()111122-=-?，()2211142-?=，()3311182--=?，()4

4111162

=-? 所以其通项公式是：(1)2

n n -

故选：B 【点睛】

本题主要考查了利用观察法求数列通项公式，属于基础题.

2．某个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天它飞出去带回了五个伙伴，第二天六只蜜蜂飞出去各自带回五个伙伴，如果这个过程继续下去，那么第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是（ ） A ．65只 B ．56只 C ．55只 D ．66只

【答案】D

【解析】根据题意得出第n 天和第1n -天蜜蜂只数的关系，得出数列{}n a 为等比数列，根据通项公式求出即可. 【详解】

设第n 天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂n a 只，16a = 由题意可得：115n n n a a a --=+，即1

6n

n a a -=，所以数列{}n a 为等比数列 即6n

n a =

所以第六天所有的蜜蜂归巢后蜂巢中共有蜜蜂的数量是6

66a =

故选：D 【点睛】

本题主要考查了等比数列的应用，属于中档题.

3．已知命题p:?,ln 20x R x x ∈+-=,命题q:?2

,2x x R x ∈≥,则下列命题中为真命

题的是（） A ．p ∧q B ．?p ∧q C ．p ∧?q D ．?p ∧?q

【答案】C

【解析】【详解】试题分析：由已知可构造函数()ln 2f x x x =+-，因为

()1ln11210f +-=-<=，()2ln 222ln 2ln10f =+-==＞，所以存在()1,2x ∈，

使方程

成立，即命题p 为真命题；又因为3x =时，有328=，239=，

此时3223<，所以命题q 为假命题，则q ?为真，故正确答案为C. 【考点】函数零点、常用逻辑用语.

4．（2017新课标全国I 理科）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，

648S =，则{}n a 的公差为

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

【答案】C

【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，

61165

6615482S a d a d ?=+=+=，联立11

2724,61548a d a d +=??

+=?解得4d =，故选C. 点睛:求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.

5．ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，

c ，若sin sin 2

A C

a b A +=，则cos B =（ ） A ．12

-

B ．

12

C ．3

D 3【答案】B

【解析】由诱导公式得sin

cos 22

A C B

+=，利用正弦定理的边化角公式以及二倍角的

正弦公式得出1

sin 22

B =，结合二倍角的余弦公式计算即可. 【详解】

sin

sin =cos 2222A C B B π+??

=- ???

又sin

sin 2A C

a b A +=，所以sin cos sin sin 2

B A B A = 0,sin 0A A π<<∴≠Q ,则1

cos sin cos 2sin cos sin 222222

B B B B B B =?=?= 2

11

cos 12sin 1222

B B =-=-= 故选：B 【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式，涉及诱导公式，二倍角公式，属于中档题. 6．直线1l ，2l 互相平行的一个充分条件是（ ） A ．1l ，2l 都平行于同一个平面 B ．1l ，2l 与同一个平面所成的角相等 C ．1l 平行于2l 所在的平面 D ．1l ，2l 都垂直于同一个平面

【答案】D

【解析】由题意下列哪个选项可以推出直线1l ，2l 互相平行即可，选项A 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项B 中1l 与2l 不仅可以平行还可能相交或异面直线；选项C 中1l 与2l 不仅可以平行还可能异面直线；故选D

7．如图所示，一艘海轮从A 处出发，测得B 处的灯塔在海轮的正北方向20海里处，海轮按西偏南15%的方向航行了10分钟后到达C 处，此时测得灯塔在海轮的北偏东30°的方向，则海轮的速度为（ ）

A ．22/分

B ．2海里/分

C ．3海里/分 D

．2海里/分

【答案】D

【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】

由题意可得：90301545BCA ∠=?-?-?=? ，180(45105)30B ∠=?-?+?=?

由正弦定理可得：

sin sin AB AC

BCA B

=∠∠，即1

20sin 2102

sin 2

2

AB B AC BCA ??∠=

==∠

海轮的速度为102

2=海里/分 故选：D 【点睛】

本题主要考查了正弦定理的应用，属于中档题.

8．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（ ）

A ．158

B ．162

C ．182

D ．32

【答案】B

【解析】本题首先根据三视图，还原得到几何体—棱柱，根据题目给定的数据，计算几何体的体积.常规题目.难度不大，注重了基础知识、视图用图能力、基本计算能力的考

查. 【详解】

由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

264633616222++???+??=

???

. 【点睛】

易错点有二，一是不能正确还原几何体；二是计算体积有误.为避免出错，应注重多观察、细心算.

9．过抛物线2

2(0)y px p =>的焦点F 的直线l 交抛物线于A 、B 两点，交其准线于点C ，若4AF =，，2BC BF =，且AF BF >，则此抛物线的方程为（ ） A ．2y x = B ．2

2y x =

C ．2

4y x =

D ．2

8y x =

【答案】C

【解析】根据直角三角形的边角关系以及抛物线的性质求得60AFM ∠=?，利用直角三角形的边角关系得出A 的坐标，代入抛物线方程，即可求出p . 【详解】

过点A 作x 轴的垂线，垂足于点M ，过点B 作准线的垂线交准线于点N

由抛物线的定义可知：1

2

BN FB BC == 在直角CNB ?中，1

cos 2

BN CBN BC ∠==，则60CBN ∠=? 所以60AFM ∠=?

又4AF =，所以sin 6023,cos602AM AF FM AF =?==?=

则(

2

p

A + 由22122p p ??

+=

???

，解得：6p =-(舍)，2p = 即此抛物线的方程为2

4y x = 故选：C 【点睛】

本题主要考查了抛物线的定义，属于中档题.

10．四面体ABCD 中，AB ，BC ，BD 两两垂直，且1AB BC ==，点E 是AC 的中点，异面直线AD 与BE 所成角为θ

，且cos θ=，则该四面体的体积为（ ） A ．

13

B ．

23

C ．

43

D ．83

【答案】A

【解析】建立空间直角坐标系，利用数量积求夹角的公式以及棱锥的体积公式求解即可. 【详解】

分别以,,BC BA BD 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设BD a =

11

(0,1,0),(0,0,0),(,,0),(0,0,)22

A B E D a

11(0,1,),(,,0)22

AD a BE =-=u u u r u u u r

cos 10AD BE AD BE θ===??u u u r u u u r u u u r u u u r 2a = 该四面体的体积为111

112323

????= 故选：A

【点睛】

本题主要考查了利用向量法求线线角以及棱锥的体积公式，属于中档题. 11．以下几种说法

①命题“0a ?>，函数2

()21f x ax x =+-只有一个零点”为真命题 ②命题“已知x ，y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题 ③“22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立”等价于“对于[1,2]x ∈，有(

)

2

max min

2()x x

ax +≥”

④ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件.

其中说法正确的序号为（ ） A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④

【答案】D

【解析】由判别式判断①；判断其逆否命题的真假得出②的真假；取特殊值2a =判断③；由正弦定理的边化角公式，不等式的性质以及二倍角的余弦公式判断④. 【详解】

当0a >时，则440a ?=+>，则①错误；

②的逆否命题“已知x ，y R ∈，若2x =且1y =，则3x y +=”为真命题，则②正确；

当2a =时，满足22x x ax +≥在[1,2]x ∈恒成立，但是(

)

2

max min

2)34(x x ax =<=+

所以③错误；

2222sin sin sin sin 12sin 12sin cos2cos2a b A B A B A B A B >?>?>?-<-?<

则“a b >”是“22cos A cos B <”的充要条件，即④正确； 故选：D

【点睛】

本题主要考查了判断命题的真假以及充分必要条件的证明，属于中档题.

12．已知双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过2F 且斜率为

247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若2121()0F F F A F A +?=u u u u r u u u u r u u u r

，则此双曲线的标准方程可能为（ ）

A ．2

2

124

y x -=

B ．22

134x y -

= C ．22

1169

x y -

= D ．221916

x y -=

【答案】D

【解析】由向量的加减运算和数量积的性质，可得2212AF F F c u u u u r u u u u r

＝＝，由双曲线的定义可得122AF a c +=u u u r

，再由三角形的余弦定理，可得35c a =，45c b =，即可得到

所求方程． 【详解】

因为(

)

21210F F F A F A +?=u u u u r u u u u r u u u r

，

所以(

)()

2122120F F F A F F F A +?-+=u u u u r u u u u r u u u u r u u u u r

得到22

221AF F F =u u u u r u u u u r ，

即有2212AF F F c u u u u r u u u u r

＝＝，

由双曲线的定义可得122AF a c +=u u u r

，

根据题意，在等腰三角形12AF F 中，

2124tan 7

AF F ∠=-

， 所以127cos 25

AF F ∠=-

， 即()2

224422722225

c c a c c c +-+=-??，

整理得35c a =，

而4

5

b c =

=，

所以得到:3:4a b =，即22:9:16a b =，

根据选项可知双曲线的标准方程可能为22

1916

x y -=，

故选D. 【点睛】

本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理，考查运算能力，属于中档题．

二、填空题

13．双曲线22

1412

x y -=的焦点到渐近线的距离为__________．

【答案】【解析】由双曲线的性质得出右焦点坐标以及渐近线的方程，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】

4c ==

故双曲线的右焦点为(4,0)F

0y -=

则右焦点到渐近线的距离为：d ==

故答案为：【点睛】

本题主要考查了双曲线的基本性质以及点到直线的距离公式，属于基础题. 14．在ABC ?中，1AB =

，AC =，4

B π

∠=

，则C ∠=__________．

【答案】

6

π 【解析】由正弦定理求解即可. 【详解】

由正弦定理得：

1sin 1sin 2AB B

C AC

?

=

==

，解得56

C π=(舍)，6C π

=

故答案为：6

π 【点睛】

本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.

15．已知三棱锥 A BCD -每条棱长都为1，点E ，G 分别是AB ，DC 的中点，则

GE AC ?=u u u r u u u r

__________．

【答案】12

-

【解析】构造一个正方体，三棱锥A BCD -放入正方体中，建立坐标系利用数量积公式求解即可. 【详解】

将三棱锥A BCD -放入如下图所示的正方体中，且棱长为22

分别以,,OC OD OB 为,,x y z 轴

222222222(

,,),(,0,0),(,,0),(,,)222244442

A C G E (0,02222,),(20,,)2GE AC ==--u u u r u u u r

1

22)(=2

GE AC ∴?=--?u u u r u u u r

故答案为：12

-

【点睛】

本题主要考查了求空间向量的数量积，属于中档题.

16．已知数列{}n a 满足11a =，1(1)(1)n n na n a n n +=+++，*n N ∈，且

2

3

n

n

b

π

=，记

n

S为数列{}n b的前n项和，则2020

S=__________．

【答案】

1

2

-

【解析】由题设条件以及等差数列的性质得出2

n

a n

=，进而得出

2

cos

3

n

n

b n

π

=，利

用诱导公式求出32313

,,

k k k

b b b

--

，即可求得2020

S.

【详解】

1

(1)(1)

n n

na n a n n

+

=+++

Q

11

1

n n

a a

n n

+

∴-=

+

∴数列n

a

n

??

??

??

是等差数列，公差与首项都为1

2

1(1)

n

n

a

n a n

n

∴=+-?=

2

cos

3

n

n

b n

π

∴=

32

41

(32)cos2(32)

32

k

b k k k

π

π

-

??

=--=--

?

??

31

21

(31)cos2(31)

32

k

b k k k

π

π

-

??

=--=--

?

??

3

3cos23

k

b k k k

π

==

32313

3

2

k k k

b b b

--

+

∴=

+，

202036742

12020

(36742)1010

22

b b

?-

=-?-=-=-

=

()()()

1234562017201820192020

2020

31

6731010

22

b b b b b b b b b

S b

++++++++++=

=?-=-

L

故答案为：

1

2

-

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质，诱导公式，数列求和，属于较难题.

三、解答题

17．已知等差数列{}n a中，526

a a

-=，且

1

a，

6

a，

21

a依次成等比数列.

（1）求数列{}n a的通项公式；

（2）设

1

1

n

n n

b

a a

+

=，数列{}

n

b的前n项和为

n

S，若

3

35

n

S=，求n的值.

【答案】（1）23

n

a n

=+（2）15

n=

【解析】(1)由526a a -=求出公差，由等比数列的性质求出1a ，即可得出数列{}n a 的通项公式；

(2)由(1)得出数列{}n b 的通项公式，利用裂项求和法求解即可. 【详解】

解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 因为526a a -=，所以36d =，解得2d =

因为1a ，6a ，21a 依次成等比数列，所以2

6121a a a =，

即()()2

11152202a a a +?=+?，解得15a = 所以23n a n =+. （2）由（1）知()()

111

2325n n n b a a n n +=

=++， 所以11122325n b n n ??=- ?++??

，

所以111111

1257792325n S n n ????????=-+-+???+- ? ? ???++????????()525n n =+，

由()352535

n n =+，

得15n = 【点睛】

本题主要考查了求等差数列的通项公式以及利用裂项求和法求数列的和，属于中档题. 18．已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos sin =+b a C c A . （1）求A ；

（2

）若a =ABC ?面积的最大值. 【答案】（1）4

A π

=

（2

）2

【解析】(1)由正弦定理的边化角公式化简即可得出A ； (2)由余弦定理以及基本不等式得出三角形面积的最大值. 【详解】

解：（1）由正弦定理可得：sin sin sin sin B AcosC C A =+

()sin sin cos cos sin sin cos sin sin A C A C A C A C C A +=+=+∴

sin 0C ≠Q ，cos sin A A ∴=

又()0,A π∈，4

A π

∴=

（2）1sin 24

S bc A =

=Q 由余弦定理可得，2

2

2

82cos 4

a b c bc π

==+-

又222b c bc +≥

故(42

bc ≤

=+，当且仅当b c =时，等号成立.

所以24

S bc =≤所以面积最大为2. 【点睛】

本题主要考查了正弦定理的边化角公式、余弦定理解三角形以及基本不等式的应用，属于中档题.

19．已知m 为实数，命题:p 方程

22

1214x y m m -=--表示双曲线；

命题:q 函数2

1()lg 4f x mx x m ??

=-+

??

?

的定义域为R . （1）若命题p 为真命题，求实数m 的取值范围；

（2）若命题p 与命题q 有且只有一个为真命题， 求实数m 的取值范围. 【答案】（1）12m <

或4m > （2）1

2

m <或14m <≤ 【解析】(1)由双曲线的方程特点列出不等式求解即可；

(2)将定义域问题转化为不等式的恒成立问题求出命题q 为真时m 的取值范围，讨论p 真q 假和p 假q 真两种情况，列出相应不等式组，求解即可得出实数m 的取值范围. 【详解】

解（1）若命题p 为真命题，则()()2140m m -->，

即m 的取值范围是1

2

m <

或4m > （2）若命题q 为真，即2

104

mx x m -+>恒成立，

则00m >???

010m m >??-

，1m >

命题p 、q 一真一假.

当p 真q 假时，142

1

m m m ?

<>?

??≤?或得12m < 当p 假q 真时，1

421m m ?≤≤???>?得14m <≤ 1

2

m ∴<

或14m <≤ 【点睛】

本题主要考查了根据方程表示双曲线求参数的范围以及根据命题的真假求参数的范围，属于中档题.

20．在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到点()1,0F 的距离和它到直线1x =-的距离相等，记点P 的轨迹为C . （1）求C 的方程；

（2）设点A 在曲线C 上，x 轴上一点B （在点F 右侧）满足AF FB =，若平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D ，试判断直线AD 是否过点()1,0F ？并说明理由. 【答案】（1）2

4y x = （2）直线AD 过点(1,0)F ，理由见解析 【解析】(1)由抛物线的定义求出C 的方程；

(2)根据抛物线的定义表示出点,A B 的坐标，根据坐标写出直线AB 的斜率，进而得到直线l 的方程，将直线l 与抛物线方程联立，结合判别式得出1

m k

=

，进而得出点D 的坐标，求出直线AD 的斜率，讨论21k ≠和21k =，得出直线AD 的方程，即可判断直线AD 是否过点()1,0F . 【详解】

解：（1）根据抛物线的定义得，动点P 的轨迹是以()1,0F 为焦点，直线1x =-的抛物线.

24y x =

（2）由题设()00,A x y ，则01AF x =+， 又AF FB =，故()02,0B x +

由于002x x +≠，则直线AB 不与x 轴垂直 令平行于AB 的直线:l y kx m =+，则0

2

AB y k k ==-

， ()2,2A k k ∴-

将直线:l y kx m =+代入24y x =，得2

()4kx m x +=， 整理2

2

2

(24)0k x km x m +-+=……①

222(24)40km k m ∴?=--=，

1km ∴=

当0AB k =时，直线AB 为x 轴，此时不存在平行于AB 的直线与曲线C 相切于点D 即0k ≠

1

0m k

∴=

≠ 所以①可以化为2

2

2

1

20k x x k -+

= 21D x k ∴=

，2

D

y k

=， 212,D k k ??

∴ ???

当21k ≠时

222222211

1AD k

k k k k k k k k

+===--- ()222:21k

AD y k x k k

∴+=--， 2

2:(1)1k

AD y x k

∴=--，过定点(1,0)F 当21k =时，:1AD x =也过点(1,0)F ，故直线AD 过点(1,0)F 【点睛】

本题主要考查了利用定义求抛物线的方程以及抛物线中直线过定点问题，属于较难题. 21．如图1，在矩形ABCD

中，AB =

BC =E 、P 分别在线段DC 、

BC

上，且DE 15

2

DP =

，现将AED ?沿AE 折到'AED ?的位置，连结'CD ，'BD ，如图2

（1）证明：'AE D P ⊥；

（2）记平面'AD E 与平面'BCD 的交线为l .若二面角'B AE D --为23

π

，求l

与平面'D CE 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）

15 【解析】(1)建立坐标系证明AE DP ⊥，再由线面垂直的判定定理以及线面垂直的性质证明'AE D P ⊥；

(2)根据公理3得到平面'AD E 与平面'BCD 的交线，再根据二面角定义得到二面角

'B AE D --的平面角，建立空间直角坐标系，利用向量法求l 与平面'D CE 所成角的

正弦值. 【详解】

解：（1）证明：如图1，线段,DP AE 交于点O 在Rt PCD ?中，由35DC AB ==，152DP =

，2235

PC DP DC =-=

以点A 为坐标原点，建立直角坐标系，则5,25AE =u u u r

，3535,2PD ??

=- ? ???

u u u r

即353552502

AE PD ?=-?=u u u r u u u r

AE DP ∴⊥，从而有AE OD ⊥，AE OP ⊥，

即在图2中有AE OD '⊥，AE OP ⊥，OD OP O '?=，,OD OP '?平面POD '

AE ∴⊥平面POD '

D P '?Q 平面POD '，A

E D P '∴⊥；

（2）延长AE ，BC 交于点Q ，连接'D Q

根据公理3得到直线'D Q 即为l ，再根据二面角定义得到

23

D OP π'∠=

. 在平面'POD 内过点O 作底面垂线，O 为原点，分别以OA 、OP 、及所作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标

则(0,3D '-，(1,0,0)E -，(11,0,0)Q -，(3,4,0)C -，

(11,1,3D Q '=--u u u u r ，(2,4,0)EC =-u u u r ，(1,3ED '=-u u u u r ，

设平面'D EC 的一个法向量为(, , )n x y z =r

，

由240

30

n EC x y n ED x y z ??=-+=???=-=??'u u u r r u u u u r r ， 取1y =，得32,1,n ?

= ??

r .

l ∴与平面D CE '所成角的正弦值为15cos ,5n D Q n D Q n D Q

'?'=='?u u u u

r r r u u u u r r 【点睛】

本题主要考查了由线面垂直证线线垂直以及利用向量法证明线面角，属于较难题. 22．已知椭圆2

2

:236C x y +=. （1）求椭圆C 的短轴长和离心率；

（2）过点()2,0的直线l 与椭圆C 相交于两点M ，N ，设MN 的中点为T ，点()4,0P ，判断TP 与TM 的大小，并证明你的结论.

【答案】（1）短轴长622

e =

（2）TM TP >，证明见解析 【解析】(1)由椭圆的性质求解即可；

(2) 当l 为斜率k 不存在时，由直线l 方程与椭圆方程的交点求得TM ，TP 从而判断

TP 与TM 的大小；

当l 为斜率k 存在时，由直线l 方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得出12x x +，12x x ，再由数量积公式以及圆的性质求解即可. 【详解】

解：（1）由题意可知，椭圆2

2

:236C x y +=可变形为22:13618

x y C +=

6a ∴=

，b =

c =

故短轴长为

2

e =

（2）解：当l 为斜率k 不存在时，l 为2x =时，代入2

2

:236C x y +=可得4y =±， 此时()2,0T ，

4TM ∴=，2TP =， TM TP ∴>，

当l 为斜率k 存在时，设:(2)l y k x =-

代入到2

2

:236C x y +=，得2

2

2

2(2)36x k x +-=

()22222188360k x k x k ∴+-+-=

令()11,M x y ，()22,N x y

则2122821k x x k +=+，2122

836

21

k x x k -=+， 此时()114,PM x y =-u u u u r ，()224,PN x y =-u u u r

，

()()()()()()212121212444422PM PN x x y y x x k x x ∴?=--+=--+--u u u u r u u u r

()()()()212124422x x k x x =--+--

()()()2221212142164k x x k x x k =+-++++

()()()2

22222283618421642121

k k k k k

k k -++=

-++++

()()()()()222222222

291424214212121k k k k k k k k k ??

-++++??=-+?+++????

22654021

k k --=?<+ 90MPN ∴∠>?，点P 在以MN 为直径的圆内部.

所以TM TP >， 综上所述，TM TP > 【点睛】

本题主要考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题.