实变函数期末练习题

实变函数期末练习题（1-4）

姓名 班级

练习1

一、单项选择题

1、下列各式正确的是（ ）

（A ）1lim n k n n k n A A ∞

∞

→∞

===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞

∞

==→∞

=??;

（C ）1lim n k n n k n

A A ∞

∞

→∞

===??; （D ）1lim n k n k n

A A ∞

∞

===??;

2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P ='

(D) P P =

3、下列说法不正确的是（ ）

(A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测

4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n

f x 是可测函数

（C ）{}inf ()n n f x 是可测函数; （D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)('

x f 在],[b a 上L 可积 (D) ?-=b

a a f

b f dx x f )()()('

二. 填空题

1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则'E =______,o

E =______,E =______.

3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都_________________________________，

则称E 是L 可测的

4、)(x f 可测的________条件是它可以表成一列简单函数的极限函数.（填“充分”，“必要”，“充要”）

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切分划，使

_____________________________________,则称()f x 为 [],a b 上的有界变差函数。

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明. 1、设1E R ?，若E 是稠密集，则CE 是无处稠密集。 2、若0=mE ，则E 一定是可数集.

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E f x >? 四、解答题

1、设2,()1,x x f x x ?=??

为无理数为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，

求出积分值。 2、求0ln()lim cos x

n x n e xdx n

∞

-+?

五、证明题.

1、证明[]0,1上的全体无理数作成的集其势为c .

2、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

3、在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4、设,()mE f x <∞在E 上可积，(||)n e E f n =≥，则lim

0n n

n me ?=.

5、设()f x 是E 上..a e 有限的函数，若对任意0δ>，存在闭子集F E δ?，使()f x 在F δ上连续，且()m E F δδ-<，证明：()f x 是E 上的可测函数。(鲁津定理的逆定理)

练习2

一.单项选择题

1．设,M N 是两集合，则 ()M M N --=（ ） (A) M (B) N (C) M N ? (D) ? 2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点

3. 下列断言( )是正确的。

（A ）任意个开集的交是开集；(B) 任意个闭集的交是闭集； (C) 任意个闭集的并是闭集；(D) 以上都不对； 4. 下列断言中( )是错误的。

（A ）零测集是可测集； （B ）可数个零测集的并是零测集； （C ）任意个零测集的并是零测集；（D ）零测集的任意子集是可测集； 5. 若()f x 是可测函数，则下列断言（ ）是正确的 (A) ()f x 在[],a b L -可积|()|f x ?在[],a b L -可积； (B) [][](),|()|,f x a b R f x a b R -?-在可积在可积 (C) [][](),|()|,f x a b L f x a b R -?-在可积在可积; (D) ()()(),()f x a R f x L +∞-?∞-在广义可积在a,+可积 二. 填空题

1、设11[,2],1,2,n A n n n

=-= ，则=∞

→n n A lim _________。

2、设P 为Cantor 集，则 =P ，mP =_____，o

P =________。

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==??? ???∑ 4、鲁津定理：__________________________________________

5、设()F x 为[],a b 上的有限函数，如果_________________则称()F x 为[],a b 上的绝对连续函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例. 1、由于[](){}0,10,10,1-=，故不存在使()[]0,101和，之间11-对应的映射。 2、可数个零测度集之和集仍为零测度集。 3、..a e 收敛的函数列必依测度收敛。 4、连续函数一定是有界变差函数。

四.解答题

1、设,()1,x x f x x ?=??

为无理数

为有理数 ，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，

求出积分值。

2、求极限 1

3

22

0lim sin 1n nx nxdx n x

→∞+?.

五.证明题

1. 1、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

2. 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3.在[],a b 上的任一有界变差函数()f x 都可以表示为两个增函数之差。

4.设函数列()n f x (1,2,)n = 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x 。

5.设()f x 在[],E a b =上可积，则对任何0ε>，必存在E 上的连续函数()x ?，使

|()()|b

a

f x x dx ?ε-

练习3

一、单项选择题

1、设1[,2(1)],1,2,n n A n n

=+-= ，则（ ）

(A) lim [0,1]n n A →∞

= （B ）=∞

→n n A lim (0,1]

(C) lim (0,3]n n A →∞

= （D ）lim (0,3)n n A →∞

=

2、设E 是[]0,1上有理点全体，则下列各式不成立的（ ） （A ）'

[0,1]E = (B) o

E =? (C) E =[0，1] (D) 1mE =

3、下列说法不正确的是（） (A) 若B A ?，则B m A m **≤

（B ） 有限个或可数个零测度集之和集仍为零测度集 (C) 可测集的任何子集都可测 （D ）凡开集、闭集皆可测

4、设}{n E 是一列可测集， ????n E E E 21，且+∞<1mE ，则有（ ）

（A ）n n n n mE E m ∞→∞==??? ???lim 1 (B) n n n n mE E m ∞→∞

=≤??? ???lim 1 （C ）n n n n mE E m ∞→∞

=

? ???lim 1;（D ）以上都不对 5、设f(x)是],[b a 上绝对连续函数，则下面不成立的（ ） (A) )(x f 在],[b a 上的一致连续函数 (B) )(x f 在],[b a 上处处可导 （C ）)(x f 在],[b a 上L 可积 (D) )(x f 是有界变差函数 二. 填空题

1、设集合N M ?，则()M M N --=_________

2、设P为Cantor集，则=

P，mP=_____，o P=_______。

3、设E是n R中点集，如果对任一点集T都有_________，则称E是L可测的

4、叶果洛夫定理：

5、设)

(x

f在E上可测，则)

(x

f在E上可积的充要条件是|)

(x

f|在E上可积.（填“充分”，“必要”，“充要”）

三、下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则举反例说明.

1、任意多个开集之交集仍为开集。

2、若0

=

mE，则E一定是可数集.

3、..

a e收敛的函数列必依测度收敛。

4、连续函数一定是有界变差函数。

四、解答题

1、设

2,

()

0,

x x

f x

x

?

=?

?

为无理数

为有理数

，则()

f x在[]

0,1上是否R-可积，是否L-可积，若可积，

求出积分值。

2、求极限

1

2

13

22

lim sin

1

n

nx

nxdx

n x

→∞+

?

五、证明题. 1、试证(0,1)~[0,1]

2、设f(x)是),(+∞-∞上的实值连续函数，则对任意常数 c ，})(|{c x f x E >= 是一开集.

3、设()f x 是可测集E 的非负可积函数，()g x 是E 的可测函数，且|()|()g x f x ≤，则()

g x 也是E 上的可积函数。

4、设()f x 在E 上积分确定，且()().f x g x a e =于E ，则()g x 在E 上 也积分确定，且()()E E f x dx g x dx =??

5、设在E 上)()(x f x f n ?,而..)()(e a x g x f n n =成立, ,2,1=n ,则有)()(x f x g n ?

练习4

一.单项选择题

1．设P 为Cantor 集，则

（A ）=P ?0 (B) 1=mP (C) P P ='

(D) P P =

2. 下列说法不正确的是( )

(A) 0P 的任一领域内都有E 中无穷多个点，则0P 是E 的聚点 (B) 0P 的任一领域内至少有一个E 中异于0P 的点，则0P 是E 的聚点 (C) 存在E 中点列{}n P ，使0n P P →，则0P 是E 的聚点 (D) 内点必是聚点

3.设)(x f 在E 上L 可积,则下面不成立的是( ) (A))(x f 在E 上可测 (B))(x f 在E 上a.e.有限 (C))(x f 在E 上有界 (D))(x f 在E 上L 可积

4. 设}{n E 是一列可测集，12n E E E ???? ，则有（ ）

（A ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞???> ??? (B) 1lim n n n n m E mE ∞=→∞???= ??? （C ）1lim n n n n m E mE ∞=→∞

???= ???;（D ）以上都不对 5.设)(x f 为],[b a 上的有界变差函数,则下面不成立的( ) (A))(x f 在],[b a 上L 可积 (B))(x f 在],[b a 上R 可积 (C))('x f 在],[b a 上L 可积 (D))(x f 在],[b a 上绝对连续 二. 填空题(3分×5=15分)

1、设11[,2],1,2,n A n n n

=-= ，则=∞

→n n A lim ________。

2、设E R ?,若,E E ?'则E 是 闭 集；若0

E E ?，则E 是 __集；若'E E =，

则E 是______集.

3、设{}i S 是一列可测集，则11

______i i i i m S mS ∞

∞==???≤ ???∑ 4、叙述鲁津定理：

5、设()f x 为[],a b 上的有限函数，如果对于[],a b 的一切划分，使 成一有界数集，则称()f x 为[],a b 上的有界变差函数。

三.下列命题是否成立?若成立,则证明之;若不成立,则说明原因或举出反例. 1、A 为可数集，B 为至多可数集，则A ?B 是可数集.

2、若0=mE ，则0=E m .

3、若|()|f x 是可测函数，则()f x 必是可测函数

4．设()f x 在可测集E 上可积分，若,()0x E f x ?∈>，则()0E f x >?

四.解答题 1、设,()1,x x f x x ?=?

?为无理数为有理数

，则()f x 在[]0,1上是否R -可积，是否L -可积，若可积，

求出积分值。 2、求0ln()lim

cos x

n x n e xdx n

∞

-+?

五.证明题

1、设()f x 是(),-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数,{|()}a E x f x a =≥是闭集。

2.(6分) 设0,,G E ε>??开集使*()m G E ε-<，则E 是可测集。

3. 设)}({x f n 为E 上可积函数列，e a x f x f n n .)()(lim

=.于E ，且?

n k dx x f |)(|，k 为常数，则)(x f 在E 上可积.

4.设函数列()n f x (1,2,)n 在有界集E 上“基本上”一致收敛于()f x ，证明：()..n f x a e 收敛于()f x .

5.试用Fatou 引理证明Levi 定理.