第二章_控制系统的数学模型
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第二章控制系统的数学模型.
2.2.1传递函数的定义和性质
⑴ 定义 线性定常系统的传递函数,定义为初始条件为零时,输出 量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比,记为G(S),即:
C ( s) G( s) R( s)
(2-4)
注：所有初始条件为零，指的是原系统处于静止状态. 设线性定常系统的n阶线性常微分方程为
dn d n 1 d a0 n c(t ) a1 n 1 c(t ) an 1 c(t ) an c(t ) dt dt dt dm d m1 d b0 m r (t ) b1 m 1 r (t ) bm1 r (t ) bm r (t ) dt dt dt
F(t)
K
F(t) F2(t)
m
f
m
x(t)
F1(t) b)
x(t)
根据牛顿第二运动定律有：
d 2 x (t ) F (t ) F1 (t ) F2 (t ) m dt2
a)
图2-2 机械位移系统
（2-2） 7
式中:
F1 (t ) ——阻尼器阻力。其大小与运动速度成正比，方向 与运动方向相反，阻尼系数为f，即： dx (t ) F1 (t ) f dt F2 (t ) ——弹簧力。设为线性弹簧，根据虎克定律有：
F2 (t ) Kx(t )
K——弹簧刚度 联立以上三式并整理得：
d 2 x (t ) dx(t ) m f Kx (t ) F (t ) 2 dt dt
（2-3） 8
综上所述,列写元件微分方程的步骤可归纳如下: ① 根据元件的工作原理及其在控制系统中的作用,确定其 输入量和输出量; ② 分析元件工作中所遵循的物理规律或化学规律,列写相 应的微分方程; ③ 消去中间变量,得到输出量与输入量之间关系的微分方 程,便是元件时域的数学模型. 9
基本要求-控制系统数学模型
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自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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第二章控制系统的数学模型
• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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第二章控制系统的数学模型
自动控制原理
第二章控制系统的数学模型
题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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第二章控制系统的数学模型
电气系统三元件（知识补充）
电阻
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第二章控制系统的数学模型
2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
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线性连续系统微分方程的一般形式
d c (t ) d c (t ) dc (t ) an an 1 ... a1 a0 c ( t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) bm bm 1 ... b1 b0 r (t ) m m 1 dt dt dt
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• 3.表示形式 a.时域:微分﹑差分﹑状态方程 b.复域:传递函数﹑结构图 c.频域:频率特性
三种数学模型之间的关系 线性系统
拉氏 傅氏 传递函数 微分方程 频率特性 变换 变换
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题目变种3，寻求新解法
1 R1 cs I ( s) U ( s) U r ( s) c 1 R1 cs
Uc( s ) I (s) R2
联立，可解得： 微分方程为:
U c ( s) R2 (1 R1Cs) U r (s) R1 R2 R1 R2 Cs
微分方程的标准形式: 1、与输入量有关的项写在方程的右端； 2、与输出量有关的项写在方程的左端； 3、方成两端变量的导数项均按降幂排列
mx(t ) fx(t ) kx(t ) F (t )
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电气系统三元件（知识补充）
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2.为什么要建立数学模型： 只是定性地了解系统的工作原理和大致的 运动过程是不够的，还要从理论上对系统 性能进行定量的分析和计算。 另一个原因：许多表面上看毫无共同之处 的控制系统，其运动规律具有相似性，可 以用相同形式的数学模型表示。
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
2控制系统的数学模型
chpt2
2
4. 建立控制系统的数学模型的工具
（1）微分方程 （2）差分方程 （3）传递函数 （4）结构图和信号流图 （5）实验所得的频率特性 （6）其它数学工具
chpt2
3
§2-1控制系统的时域数学模型
一、线性元件的微分方程
L
R
例2-3（图2-3）
Ur(t)
C
U0(t)
步骤： （1）确定输入量和输出量； （2）列写相应的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。
chpt2
4
二、控制系统微分方程的建立
步骤： （1）由系统原理图画出系统方块图； （2）分别列写各元件（方块）的微分方程； （3）消去中间变量，整理成标准形式。 注意： （1）信号传送的单向性； （2）后级对前级的负载效应。
chpt2
5
图2-5速度控制系统
chpt2
6
lim lim lim u0 (0)
t 0
u0 (t)
s U0 (s)
s
s
s[ s(s 2
1 s
1)
0.1s s2 s
0.2 ] 1
0.1V
u0 (t)的终值为：
lim lim lim u0 ()
u0 (t)
t
s0
s U0 (s)
s0
s s5
c(t) 1[C(s)] 1[ 6(s 3) ( r1 r2 )] (s 1)(s 2) s s 5 9r1 r2e5t (3r1 12r2 )e1t (3r1 2r2 )e2t
输入产生的强迫运动分量 其函数形式与输入相同
被输入激发产生的Mode 分别对应系统极点－1和－2 chp他t2 们构成自由运动分量 30
第二章_控制系统的数学模型
+
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
R
a
La
Ea
+
if -
i a (t ) U a (t )
m Mm
Jm fm
MC
dia ( t ) R a i a (t) E a dt E a C e m ( t ) u a La M m (t) M c (t) J m M m (t) C mi a (t) dm ( t ) f m m ( t ) dt
2.2 控制系统的复数域数学模型
1、传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉普拉斯变 换与输入量的拉普拉斯变换之比，定义为线性定常系统 的传递函数。 即，
传递函数与输入、输出之间的关系，可用结构图表示:
若已知线性定常系统的微分方程为 dnc(t ) dn 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 anc(t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d r(t ) d r(t ) dr (t ) b0 b1 b m 1 b mr(t ) m m 1 dt dt dt
设 c(t)和r(t)及其各阶导数初始值均为零，对上 式取拉氏变换，得
(a0s a1s
n m
n 1
an 1s an )C(s)
(b 0s b1s
m 1
bm 1s bm )R(s)
则系统的传递函数为
C(s) b 0sm b1sm 1 bm 1s bm G (s ) R(s) a0sn a1sn 1 an 1s an
L[f (t )] e sF(s)
F ( s ) f ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) L[ f (t )dt ] , f (0) f (t )dt t 0 s s
第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
第2章 控制系统的数学模型
第2章控制系统的数学模型§1 系统数学模型的基本概念一. 系统模型系统的模型包括实物模型、物理模型、和数学模型等等。
物理本质不同的系统，可以有相同的数学模型，从而可以抛开系统的物理属性，用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。
从动态性能看，在相同形式的输入作用下，数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。
相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。
二. 系统数学模型1. 系统数学模型系统的数学模型是系统动态特性的数学描述。
数学模型是描述系统输入、输出量以及内部各变量之间关系的数学表达式，它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。
2. 系统数学模型的分类数学模型又包括静态模型和动态模型。
(1) 静态数学模型静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。
反映系统处于稳态时，系统状态有关属性变量之间关系的数学模型。
(2) 动态数学模型描述变量各阶导数之间关系的微分方程。
描述动态系统瞬态与过渡态特性的模型。
也可定义为描述实际系统各物理量随时间演化的数学表达式。
动态系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关。
微分方程或差分方程常用作动态数学模型。
动态模型在一定的条件下可以转换成静态模型。
在控制理论或控制工程中，一般关心的是系统的动态特性，因此，往往需要采用动态数学模型。
即，一般所指的系统的数学模型是描述系统动态特性的数学表达式。
三. 系统数学模型的形式对于给定的同一动态系统，数学模型的表达不唯一。
如微分方程、传递函数、状态方程、单位脉冲响应函数及频率特性等等。
对于线性系统，它们之间是等价的。
但系统是否线性这一特性，不会随模型形式的不同而改变。
线性与非线性是系统的固有特性，完全由系统的结构与参数确定。
经典控制理论采用的数学模型主要以传递函数为基础。
而现代控制理论采用的数学模型主要以状态空间方程状态空间方程为基础。
而以物理定律及实验规律为依据的微分方程微分方程又是最基本的数学模型，是列写传递函数和状态空间方程的基础。
第二章 控制系统的数学模型
= Ur (s)
传递函数为: di + u ur= R · + L i c dt Uc (s) 1 = duc G (s) = i = C dt Ur (s) LCs2 + RCs + 1
电气系统三要素：电阻、电容、电感
+ ί(t) R –
u(t)= ί(t)· R
u (t )
ί(t) C
–
u(t) ί(t)= R
图2-9 速度控制系统
+
R1 R2 R2 R1 k2
ui
R1
k1 u 1
c
u2
功 ua 放
m
SM
ω
负 载
ut
TG
运算放大器
uu+ ii+
_ +
+
Add
uo
差模输入电压等于零
u+= u-
运放同相输入端与反向输入端两点的电压相等，如同该 两点短路一样，称为虚短。
i+=i-=0
运放同相输入端与反向输入端的电流都等于零，如同该 两点被断开一样，称为虚断。
Tm s m ( s ) m (t ) K1U a ( s )
Tm s 1 m ( s) K1U a ( s)
m ( s) K1 G ( s) U a ( s) Tm s 1
m ( s) K2 G ( s) M c ( s) Tm s 1
传递函数的性质（续）
（5）传递函数与微分方程有相通性;
b1s b2 C (s) G ( s) R( s ) a0 s 2 a1s a2
对角线相乘
a0 s 2 a1s a2 C ( s ) b1s b2 R ( s )
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确定系统及各元件(环节)的输入量和输出量；
（2）从系统的输入端开始，依据物理定律，依次列
写系统及各元件(环节)的动力学方程；
（3）将各方程式中的中间变量消去，求出描述输入
量和输出量之间关系的微分方程；
（4）对非线性项进行线性化处理。
湖 北 工 业 大 学
控
制 工
2.1.3 非线性微分方程的线性化
程
控
制
工
第二章 控制系统的数字模型
程
基
础
主要内容：
❖控制系统的数学模型
❖传递函数
❖传递函数方块图及简化
湖
北
❖典型环节的传递函数
工
业
大
学
控
制 第二章 控制系统的数字模型
工
程
基
一个自动控制系统，一般都可以依据其所遵循的
础
物理定律，用微分方程这一数学模型来描述其动态特
性。
在经典控制理论中，通常将微分方程转化为传递 函数的形式来对系统进行分析和综合；
础
(mp2 cp k) y(t) f (t)
y y
1. 微分方程的增量形式
若以坐标的增量为变量：
y0
令 y y y0， f f f0 即 y y0 y， f f0 f
f f0 f
当⊿f单独作用时有 (mp2 cp k) y(t) f (t)
湖 北
特别地，当y0 =0， f0 =0 ，y y ，f f
q(x, p
p)
x x0 p p0
(p
p0 )
q=q(x, p)-q(x0, p0)
q(x, p)
x q(x,
p)
p
x xx0 p p0
工
程
基
础
R
i1(t) 输入:电枢电压ua (t);输出:轴转角 (t)
ia (t) ua (t)
F L
Lf
Rf
if uf
电压平衡方程:ua
(t)
E(t)
Lia
(t)
Ria
(t)
ML
电磁转矩: M (t) Cmia (t) Kmia (t)
Mq
力矩平衡方程: M (t) J(t) c(t) M L
消去中间变量M1、M 2 、1
Jˆ2e2 (t) cˆ2e2 (t) M fz M i
[J2
J1
(
z2 z1
)
2
]
2
(t
)
[c
2
c1
(
z2 z1
)
2
]
2
(t
)
M fz
z2 z1
M
湖 北 工
M (t)
M
fz
(t)
-
i+
1
2 (t)
p(J 2e p c2e )
业
大
学
控
制 例 2.4 电枢控制式直流电动机
uo (t) [i(t) i1 (t)]R2
湖 北 工
uo业 大 学
uo
(t)
1 C
i1
(t) p
控
制
工
程 基 础
整理
uo
(t)
LCR2
p2
(L
R2 R1R2C) p
(R1
R2
)
ui
(t)
输出=算符×输入 ui (t)
R2
uo (t)
LCR2 p2 (L R1R2C) p (R1 R2 )
湖 北 工 业 大
例 2.3 机械转动系统
齿轮1 轴
输入：力矩 M；输出：转角2
M
主动轴1： J11 c11 M1 M
从动轴2： J 22 c22 M fz M 2
J1
c1 1 M2
z1
M1 2 J2 齿轮 2轴
z2
Mfz c2
学
控
制
工
程 基 础
传动比：
i 1 2
z2 z1
M2 M1
构成内反馈，是对外推力的反作用。
湖
北
工
输出=算符×输入
业
大
学
控
制
工
程 基
例 2.2 L,R,C电路
i(t) i1(t)
础
输入：ui (t)，输出：uo (t)。
电压平衡方程
i(t) L ui (t)
R 1 i1 (t)
C
uo (t)
R2
ui (t) Li(t) R1i(t) uo (t) ui (t) (Lp R1 )i(t) uo (t)
基
例：阀控油缸伺服系统：
础
原理：
高压油
油池
油池
x
阀芯
湖 北 工 业 大 学
油缸
y
负载
p1
A p2 c m F
控
制 工
问题：求 y f (x)
程 基
物理量：
础
（1）系统动力学方程：
q Ay
my cy ky pA F （不显含x）
（2）液压缸工作腔流体连续性方程：
（3）负载流量q与阀芯位移x,压差p的关系：
湖
反电动势: E(t) Ce(t) Ke(t)
北
消去M (t)、ia (t)、E(t)
工 业
LJ(t) (RJ Lc)(t) (Rc KeKm )(t)
大 学
Kmua (t) RM L (t) LM L (t)
控
制 3.建立系统微分方程的一般步骤
工
程
基
础
（1）分析系统工作原理和系统中各变量间的关系，
工
2. 微分算子方块图
业
大
y(t)
1
f (t)
学
mp 2 cp k
f (t)
1
y(t)
mp 2 cp k
控
制
工
程
基 础
f (t)
1 y(t)
+ - mp2 b(t) cp+k
f (t) (cp k) y(t) y(t)
mp 2
阻尼力和弹簧恢复力
b(t) (cp k) y(t)
湖
北 工
n
m
a j xo( j) (t) bi xi(i) (t)
业
j0
i0
大
学
控
制 工
2.非线性系统
程
基 础
定义：用非线性方程描述的系统。
如：非线性微分方程
x (x)2 x Asin(t)
x x x x3 0
输出
输出
输出
湖
北
工
输入
输入
输入
业
大
学 各种非线性因素特性曲线
控
制 2.1.2.线性系统微分方程的列写
工
程
基
例 2.1 机械移动系统
础
组合机床动力滑台铣平面时所受轴向分力模型
y (t )
铣刀 工件
动力
湖
滑台
北
工
业
大
学
f (t) 工作台
y(t)
k
m f (t)
c
y
ky m
f
cy
控
制
工
程 基
方程： f (t) ky(t) cy(t) my(t). my(t) cy(t) ky(t) f (t).
在现代控制理论中，通常是采用状态空间表达式 来对系统进行描述。
湖
北
工
系统—微分方程—传递函数
业
大
学
控
制 工
2.1 控制系统的微分方程
程 基
2.1.1 线性系统与非线性系统
础
1、线性定常系统：各系数都是常数；
an
xo(n)
(t
)
an1
x ( n 1) o
(t
)
a1
xo
(t
)
a0
xo
(t
)
bm xi(m) (t) bm1xi(m1) (t) b1xi (t) b0xi (t)
湖
q q(x, p)（非线性函数）
北
工
(4)将q q(x, p)线性化
业
大
设平衡位置(状态)为x0，p0。当x在x0附近作微小变化时,引起的
学
微小负载流量变化⊿q将与x，p成线性关系。
控
制
工
程 台劳级数
基 础
q(x, p)
q( x0 ,
p0 )
q( x, x
p)
x x0 p p0
(x
x0 )