电磁感应习题课Word版

电 磁 感 应 习 题 课 (2009.1.15)

说明：数学表达式中字母为黑体者表示矢量

Ⅰ 教学基本要求 电磁感应

1.理解电动势的概念。

2.掌握法拉第电磁感应定律。理解动生电动势及感生电动势。

3.了解电容、自感系数和互感系数。

4.了解电能密度、磁能密度的概念。

5.了解涡旋电场、位移电流的概念以及麦克斯韦方程组（积分形式）的物理意义。了解电磁场的物质性。

Ⅱ 内容提要

一、法拉第电磁感应定律

εi =－d /d t

(εi =－d Ψ/d t , Ψ=N ) ;

I i =εi /R =－(1/R )d /d t ,

q i =

?

2

1

d i t t t I =(1/R )(

1

－

2

);

楞次定律(略).

二、动生电动势 εi = l

v×B·d l 。

三、感生电动势

εi =－d /d t =()????-S

S B d t ；

感生电场(涡旋电场)E r (题库为E i )的性质：

高斯定理 0d r =??

S S E ，

安培环路定理

?=?l

l E

d r

()????-S

S B d t

感生电场为无源场、有旋场(非保守场)，其电场线为闭合曲线。

四. 电感

自感 L=/I (L=Ψ/I ), εL =－L d I /d t ; 互感 M=21/I 1 =12/I 2 ,

ε21=－M d I 1 /d t , ε12=－M d I 2 /d t .

五、磁场能量

自感磁能 W m =LI 2

/2 , 磁能密度 w m =B H / 2 , 某磁场空间的磁能 W m =V w m d t =V (1/2)B H d t

六、位移电流 I D =d

D

/d t , j D =D/t ,

电位移通量

D

D

=

S

D d S

七、麦克斯韦方程组的积分形式

V S d d 0??=?V S D ρ， ()?????-=?S

l

S B l E d d t ， ?=?S S B 0d ，

()?????+=?S

l

S D j l H d d t 。

八、电磁波的性质

1.横波性与偏振性，E 、H 、u 相互垂直且成右手螺旋；

2. E 、H 同步变化；

3. 1/2

E =1/2H ；

4. 电磁波速 u=1/()1/2

,

真空中 u=c=1/(00)1/2

。 5. 电磁波的能量

w =(1/2)( B H +D E )= E 2= H 2

S= w v =E ×H

九、一种特殊感应电场和一种特殊感应磁场：

1.圆柱空间中沿轴向的均匀磁场随时间变化时产生的涡旋电场:

r ≤R E r =－(r /2)d B/d t ,

r ≥R E r =－[R 2/ (2r )]d B/d t ; 2.圆形平行板电容器内电场随时间变化时产生的磁场:

r ≤R H =(r /2)d D/d t , r ≥R H =[R 2/ (2r )]d D/d t .

Ⅲ 练习十四至练习十八答案及简短解答

练习14 电磁感应定律 动生电动势

一、选择题 D B D A C 二、填空题

1. t I r r ωωπμcos 202210,

2

2102Rr I r πμ . 2. > , < , = .

3. B R 2

/2; 沿曲线由中心向外. 三、计算题

1. 取顺时针为三角形回路电动势正向,得三角形面法线垂直纸面向里.取窄条面积微元 d S =y d x =[(a+b x )l/b ]d x

m

=?

?S d S B

=()?

+-+?

b

a a

b

ldx

x b a x I πμ20 =

()??

?

???-++b a b a b a b

Il ln 20πμ εi = d m

/d t

=

()dt dI

a b a b a b b l ??

????++-ln 20πμ = 5.18×10－8

V

负号表示逆时针

2. (1) 导线ab 的动生电动势为

εi = l

v×B ·d l=vBl sin(/2+)=vBl cos

I i =εi /R = vBl cos /R

方向由b 到a . 受安培力方向向右,大小为

F = l (I i d l×B )= vB 2l 2cos /R

F 在导轨上投影沿导轨向上,大小为

F = F cos =vB 2l 2cos 2/R

重力在导轨上投影沿导轨向下,大小为mg sin

mg sin vB 2l 2cos 2/R=ma=m d v /d t dt=d v /[g sin vB 2l 2cos 2/(mR )]

()[]{}

?-=v

mR l vB g dv t 0

222cos sin θθ

()()

()

mR t l B e l B mgR v θθ

θ222cos 2

221cos sin --=

(2) 导线ab 的最大速度v m =θθ

222cos sin l B mgR .

练习15 感生电动势 自感

一、选择题 A D C B B 二、填空题

1. er 1(d B /d t )/(2m ),向右; eR 2(d B /d t )/(2r 2m ),向下.

2. 0n 2l a 2, 0nI 0a 2

cos t .

3.ε=R 2

k/4，从c 流至b .

三、计算题

1.(1) 用对感生电场的积分εi =l E i ·d l 解:在

棒MN 上取微元d x (R

该处感生电场大小为

E i =[R 2/(2r )](d B/d t )

与棒夹角满足tan =x/R

εi =

?

?N

M

l E i d =?N

M

i x E θ

cos d l

b

a C A

× ×

× × O B M N d x

E i

=()?-?R

R

r R r x t B R 22d d d

=?-+?R

R R

x x

t B R 2

232d d d =[R 3

(d B/d t )/2](1/R )arctan(x/R )R R

-

=R 2(d B/d t )/4

因εi =>0,故N 点的电势高. (2) 用法拉第电磁感应定律εi =－d /d t 解:

沿半径作辅助线OM ,ON 组成三角形回路MONM

εi =

?

?N

M

l E i d =??-M

N

l E i d

=

?????M N l E i d +??O M l E i d +??

???N O l E i d

=－(－d mMONM /d t ) =d

mMONM /d t

而

mMONM

=?

?S

d S B =R 2B/4

故 εi =R 2

(d B/d t )/4 N 点的电势高. 2. .等效于螺线管

B 内=0 nI=0 [Q /(2)]/L=0 Q /(2L ) B 外=0

=S B d S=B a 2=0Q a 2 /(2 L )

εi =－d /d t=－[0Q a 2 /(2 L )]d /d t =0 0Q a 2 /(2 L t 0)

I i =εi /R=0 0Q a 2 /(2 LR t 0) 方向与旋转方向一致.

练习16 互感 磁场的能量

一、选择题 D C B C A 二、填空题

1. 0.

2. AB =BA .

3. 0I 2

L /(16.)

三、计算题

1. 取如图所示的坐标,设回路有电流为I ,则两导线

间磁场方向向里,大小为

0≤r ≤a B 1=0Ir/(2a 2

)+

0I/[2

(d r )] a ≤r ≤d a

B 2=0I/(2r )+0I/[2(d r )]

d a ≤r ≤d B 3=0I/(2r )+

0I (d

r )/(2a 2) 取窄条微元d S=l d r ,由

m

=?

?S

S B d 得

ml =?a

a r Irl 0202d πμ+()?-a r d r

Il 0

02d πμ +

?

-a

d a

r r Il πμ2d 0+()?--a d a

r d r

Il πμ2d 0

+

?

-a

d a

r r Il πμ2d 0+()?-a d a

a r

l r -d I 2

02d πμ =

Il/(4)+[

Il/(2)]ln[d/(d a )

]

+[0

Il/(2)]ln[(d a )/a ]

+[0Il/(2

)]ln[(d a )/a ] +[

0Il/(2

)]ln[d/(d a )] +0Il/(4)

=0Il/(2)+(0Il/)ln(d/a )

由L l =l /I ,L 0= L l /l=l /(Il ).得单位长度

导线自

感

L 0==

0l/(2

)+(0

l/

)ln(d/a )

2. 设环形螺旋管电流为I , 则管内磁场大小为

B =0NI/(2) r ≤≤R 方向垂直于截面; 管外磁场为零.取窄条微元d S=h d ,由

m

=?

?S S B d 得

m

=

?R

r

NIh πρρ

μ2d 0=0

NIh ln(R/r )/(2)

M =

m

/I ==

Nh ln(R/r )/(2)

练习17 麦克斯韦方程组

× ×

× ×

O

B M

N

r

I

I

一、选择题 C A D B C

二、填空题

1. 1.

2. ②, ③, ①.

3. 1.33×102 W/m 2 , 2.51×10-6J/m 3

.

三、计算题

1. 设极板电荷为Q , 因I=d Q/d t , Q=CU ,有 (1) I=d(CU )/d t=C d U/d t

d U/d t =I/C = I 0

e kt

/C U = I 0(1e kt )/(kC )

(2)I d =d d /d t =d(DS )/d t =d(ES )/d t =d[(

U /d )S ]/d t=(S /d )d U/d t

=C d U/d t=I=I 0e kt

(3)在极板间以电容器轴线为心,以r 为半径作环面垂直于轴的环路,方向与I d 成右手螺旋.有

??l

l H d =2

rH =I d

当r

)]r 2

H =I d r /(2R 2)

B =H =I d r /(2R 2)=I 0e kt r /(2R 2) 当r >R 时 I d =I d H =Ir /(2r )

B =I 0e k t /(2r )

方向与回路方向相同. O 点,r =0: B =0

A 点,r =R 1

B =I 0e kt R 1/(2R 2) 方向向里

C 点,r =R 2>R : B =I 0e k t /(2R 2) 方向向外.

2.(1)坡印廷矢量平均值 S =I =P /(2r 2

)

r =10km S =P /(2r 2)=1.59×105W/m 2

(2) 电场强度和磁场强度振幅.εE =

μH

S =S =E ×H =2E με=εμH 2

E=εμS H=μεS E m =

E 2=

002εμS =1.09101V/m

H m =H 2=002μεS =2.91×104A/m

练习18 电磁感应习题课

一、选择题 A B B C D 二、填空题

1 0, 20I 2

/(92a 2

). 2 700Wb/s.

3 vBl sin , A 点.

三、计算题

1. 任意时刻金属杆角速度为,取微元长度d r

d εi =v ×B d l=rBdr

εi =d εi =

r r B a

d 0

?

ω= Ba 2/2

I =εi /R = Ba 2/(2R )

方向由O 向A.微元d r 受安培力为

d F =I d l ×B = IB d r d M =d M =r ×d F = IBr d r M=d M =

r r IB a

d 0

?

=I Ba 2/2= B 2a 4/(4R )

方向与相反.依转动定律,有

B 2a 4/(4R )=J =(ma 2/3)d /d t

d t=[4Rm/(3 B 2a 2

)]d =[4Rm/(3

B 2a 2)]d /

t =

()[]()ωωω

ωd 340

2

2

?a B mR

=[4Rm/(3 B 2a 2

)]ln(/

)

t mR

a B e

4302

2-

=ωω

2. 因b >>a ,可认为小金属环上的磁场是均匀.

m

=?

?S d S B =BS cos =[

I/(2b )]a 2cos

=0I a 2

cos /(2b ) (1) I 恒定,=1t :

εi = d

m

/d t

=(d m /d

)(d /d t ) =0I a 21sin(1t )/(2b )

(2) I =I 0sin

2t ,

=0: εi =d m /d t =(d m /d I )(d I/d t ) =

a 2

I 02cos 2t/(2b ) (3) I =I 0sin 2t ,

= 1t : εi = d

m

/d t

=

[(

m

/)(

/t )+(

m

/I )(

I/t )]

=[0I 0a 2

/(2b )][1

sin(

1

t )sin(2

t )

2cos 2t ]

Ⅳ 课堂例题

一、选择题

1. 无限长载流空心圆柱导体的内外半径分别为a 、b ，电流在导体截面上均匀分布，则空

间各处的B

的大小与场点到圆柱中心轴线的距离r 的关系定性地如图所示．正确的图是

2. 在一个磁性很强的条形磁铁附近放一条可以自由弯曲的软导线，如图所示．当电流从上向下流经软导线时，软导线将

(A) 不动．

(B) 被磁铁推至尽可能远． (C) 被磁铁吸引靠近它，但导线平行磁棒． (D) 缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是顺时针方向流动的．

(E) 缠绕在磁铁上，从上向下看，电流是逆时针方向流动的．

3. 在两个永久磁极中间放置一圆形线圈，线圈的大小和磁极大小约相等，线圈平面和磁场方向垂直．今欲使线圈中产生逆时针方向(俯视)的瞬时感应电流i (如图)，可选择下列哪一个方法？

(A) 把线圈在自身平面内绕圆心旋转一个小角度． (B) 把线圈绕通过其直径的OO ′轴转一个小角度． (C) 把线圈向上平移． (D) 把线圈向右平移.

N I I

S

O ′

S N

O

i

a

O B

b

r

(A) O B

b

r

(B) a

O B

b

r

(C) a

O

B

b

r

(D) a

4. 有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r 1和r 2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为

1

和

2

．设r 1∶r 2=1∶2，

1

∶

2

=2∶1，当将两只螺线管串联在电路

中通电稳定后，其自感系数之比L 1∶L 2与磁能之比W m 1∶W m 2分别为： (A) L 1∶L 2=1∶1，W m 1∶W m 2 =1∶1． (B) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶1．

(C) L 1∶L 2=1∶2，W m 1∶W m 2 =1∶2． (D) L 1∶L 2=2∶1，W m 1∶W m 2 =2∶1．

5. 在圆柱形空间内有一磁感强度为B 的均匀磁场，如图所示．B

的大小以速率d B /d t

变化．在磁场中有A 、B 两点，其间可放直导线AB 和弯曲的导线AB ，则

(A) 电动势只在直线型AB 导线中产生． (B) 电动势只在弧线型AB 导线中产生．

(C) 电动势在直线型AB 和弧线型AB 中都产生，且两者大小相等． (D) 直线型AB 导线中的电动势小于弧线型AB 导线中的电动势．

6. 有一流过电流I =10 A 的圆线圈，放在磁感强度等于 0.015 T 的匀强磁场中，处于平衡位置．线圈直径d =12 cm ．使线圈以它的直径为轴转过角2/π=α时，外力所必需作的功

A 为

(A) 1.70×10-3

J ． (B) 1.80×10-3

J

(C) 0 J (D) 1.60×10-3

J

二、填空题

1. 如图所示，一段长度为l 的直导线MN ，水平放置在载电流为I 的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t 秒末导线两端的电势差=-N M U U ______．

2. 一自感线圈中，电流强度在 0.002 s 内均匀地由10 A 增加到

12 A ，此过程中线圈内自感电动势为 400 V ，则线圈的自感系数为L =__________________________________．

3. 坡印廷矢量S

的物理意义是： ____________________________________________；

其定义式为 _____________________ ．

4.一平行板空气电容器的两极板都是半径为R 的圆形导体片，在充电时，板间电场强度

的变化率为d E /d t ．若略去边缘效应，则两板间的位移电流为__________________．

O

A B

?B

M N

a

l

I

三、计算题

1. 假设把氢原子看成是一个电子绕核作匀速圆周运动的带电系统．已知平面轨道的半径为r ，电子的电荷为e ，质量为m e ．将此系统置于磁感强度为0B 的均匀外磁场中，设0B

的方

向与轨道平面平行，求此系统所受的力矩M

．

2.一导线弯成如图形状，放在均匀磁场B 中，B

的方向垂直图面向里． ∠bcd =60°，

bc =cd =a ．使导线绕轴OO ＇旋转，如图，转速为每分钟n 转．计算 OO ＇．

3. 一长圆柱状磁场，磁场方向沿轴线并垂直图面向里，磁场大小既随到轴线的距离r 成正比而变化，又随时间t 作正弦变化，即B =B 0r sin t ，B 0、均为常数．若在磁场内放一半径为a 的金属圆环，环心在圆柱状磁场的轴线上，求金属环中的感生电动势，并讨论其方向．

4半径为R 的无限长实心圆柱导体载有电流I ，电流沿轴向流动，并均匀分布在导体横截面上．一宽为R ，长为l 的矩形回路(与导体轴线同平面)以速度v

向导体外运动(设导体内有一很小的缝隙，但不影响电流及磁场的分布

B

b

c d

O

O '

ω

a

?

B r

)．设初始时刻矩形回路一边与导体轴线重合，求： (1) t (t <

v

R

) 时刻回路中的感应电动势． (2) 回路中的感应电动势改变方向的时刻．

附Ⅴ 课堂例题解答见近代物理习题课附 稳恒磁场习题课课堂例题解答

一.选择题 DABBCC 二.填空题

1. aIB

2. )11(20π

-R

I μ 、垂直纸面向里．

3. 矫顽力小、容易退磁

4. I / (2r )、I / (2r )

三.计算题

1. 解：A 点处磁感强度大小B A 由BD 、CE 、BE 三段通电导线中电流决定，由公式

)cos (4210

0θθμ-π=

co r I

B

(式中r 0、1

、

2

的意义见图)有 CE BD B B =

)72cos 36(cos )

36sin 72sin 2(40?+???π=

R I

B BD μR I

π=

40μ

)36cos 36(cos )36sin 36sin 2(40?+???π=R I B BE μR

I

π=4342.20μ

=

-=BD

BE

A

B B B 2=

πR

I 4342

.00μ 3.42×10-8 T 2.解：P 处的B

可以看作是两载流直导线所产生的，1B 与2B

的方向相同．

21B B B += r

I

π=

40μ+

?--?)]90sin(60[sin r

I

π40μ)]60sin(90[sin ?--?

r

I

π=42

0μ=?+?)60sin 90(sin 3.73×10-3 T 方向垂直纸面向上．

3.解：将i

分解为沿圆周和沿轴的两个分量，轴线上的磁场只由前者产生．和导线绕制之螺线

管相比较，沿轴方向单位长度螺线管表面之电流

R

R

v I

B

I

r 0

θ1 θ2

i 的沿圆周分量i sin 就相当于螺线管的nI ．

利用长直螺线管轴线上磁场的公式 B = 0

nI

本题的结果 B = 0

i sin

4.解：由安培环路定理：

∑??=i I l H

d

0< r

1

2

/2R Ir rH =π

2

12R Ir H π=

， 2102R Ir B π=μ

R 1< r

r I H π=2， r I B π=2μ R 2< r

)()

(22

22

32

22R R R r I I rH ---=π )1(22

2232

22R R R r r I

H ---π= )1(22

2

232

2

200R R R r r I

H B ---π==μμ r >R 3区域：

H = 0，B = 0

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）