三次函数专题

一、定义：

定义1、形如32

(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。

定义2、三次函数的导数2

32(0)y ax bx c a '=++≠，把2

412b ac ?=-叫做三次函数

导函数的判别式。

由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。

一般地，当032

≤-ac b 时，三次函数)0(2

≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032

>-ac b 时，三次函数)0(2

≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。（根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。

三次函数)0()(2

≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点

))3(,3(a

f a b --

，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。【

证明：设函数

的对称中心为（m ，n ）。

按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以

化简得：

上式对恒成立，故，得，

。

所以，函数的对称中心是（）。

可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的

中点，同时也是二阶导为零的点。

3、三次方程根的问题。

（1）当△=01242

≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原

方程仅有一个实根。

(

（2）当△=01242

>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设

21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)

(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。此时：

①若0)()(21>?x f x f ，即函数)(x f y =极大值点和极小值点在x 轴同侧，图象均与x 轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。

若0)()(21

有三个交点，所以原方程有三个不等实根。

③ 若0)()(21=?x f x f ，即)(1x f 与)(2x f 中有且只有一个值为0，所以，原方程有三个

实根，其中两个相等。

4、极值点问题。

若函数f(x)在点x 0的附近恒有f(x 0)≥f(x) (或f(x 0)≤f(x))，则称函数f(x)在点x 0处取得极大值（或极小值），称点x 0为极大值点（或极小值点）。

当0?>时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上的极值点要么有两个。当0?≤时，三次函数()y f x =在(),-∞+∞上不存在极值点。

}

5、最值问题。

函数

若，且

，则：()()()(){}max 0,,f x f m f x f n =；

。

三、例题讲解：

例1、（函数的单调区间、极值及函数与方程的）已知函数f （x ）=x 3

-3ax 2

+3x+1。（Ⅰ）设a=2，求f （x ）的单调期间；

（Ⅱ）设f （x ）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求a 的取值范围。解：

①式无解，②式的解为55

3a <<，因此a 的取值范围是5543?? ?

??，. [

例2、已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-??

??+=2332')(（其中C 为常数）．

（1）求函数)(x f 的单调区间；

（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；

（3）在（2）的条件下，若031>??

??-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．

解：（1）由C x x f x x f +-??? ??+=2332')(，得132'23)('2-??

? ??+=x f x x f ．

取32=x ，得13232'232332'2

-??? ?????? ??+??

???=??? ??f

f ，解之，得132'-=??

??f ， ∴C x x x x f +--=23)(．

从而()1313123)('2-??

? ??

+=--=x x x x x f ，列表如下：

∴)(x f 的单调递增区间是)3

,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是

)1,3

(-．（2）由（1）知，C C f x f +=+??

??--??? ??--??? ??-=??? ??-=27531313131)]([2

极大值

；

C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．

∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或

0)]([=极小值x f ． ………8分

∴常数27

-=C 或1=C ．

（3）由（2）知，27

)(23-

--=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．【

而031>??

? ??-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．

令01)(23=+--=x x x x f ，得0)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ． ∴所求封闭图形的面积(

)

-+--=1

23 1dx x x x 1

1234213141-???

??+--=x x x x 3

4=．

例3、（恒成立问题）已知函数32

11()32

f x x x cx d =

-++有极值．（1）求c 的取值范围；

（2）若()f x 在2x =处取得极值，且当0x <时，21

()26

f x d d <+恒成立，求d 的

取值范围．

解：（1）∵3211

()32

f x x x cx d =-++，∴2()f x x x c '=-+，

要使()f x 有极值，则方程2()0f x x x c '=-+=有两个实数解，

从而△＝140c ->，∴1

c <．（2）∵()f x 在2x =处取得极值，

∴(2)420f c '=-+=，

∴2c =-．

∴3211

()232f x x x x d =--+，

∵2()2(2)(1)f x x x x x '=--=-+，

∴当(,1]x ∈-∞-时，()0f x '>，函数单调递增，当x ∈(1,2]-时，()0f x '<，函数单调递减．

∴0x <时，()f x 在1x =-处取得最大值7

d +，

∵0x <时，21

()26

f x d d <+恒成立，

∴76d +<21

d d +，即(7)(1)0d d +->， ∴7d <-或1d >，即d 的取值范围是(,7)(1,)-∞-+∞．

例4、（信息迁移题）对于三次函数32

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠。定义：（1）()

f x 的导数()f x '（也叫()f x 一阶导数）的导数()f x ''为()f x 的二阶导数，若方程

()0f x ''=有实数解0x ，则称点00(,())x f x 为函数()y f x =的“拐点”；定义：（2）

设0x 为常数，若定义在R 上的函数()y f x =对于定义域内的一切实数x ，都有

000()()2()

f x x f x x f x ++-=恒成立，则函数()y f x =的图象关于点00(,())x f x 对

称。

（1）己知

()322f x x x x =-++，求函数()f x 的“拐点”A 的坐标；、

（2）检验（1）中的函数()f x 的图象是否关于“拐点”A 对称;

（3）对于任意的三次函数

()(0)f x ax bx cx d a =+++≠写出一个有关“拐点”

的结论（不必证明）。

解：（1）依题意，得：2()362f x x x '=-+ ，()66f x x ''∴=-。

由()0f x ''= ，即660x -=。∴1x =，又 (1)2f =，

∴

()322f x x x x =-++的“拐点”坐标是(1,2)。（2）由(1)知“拐点”坐标是(1,2)。而

(1)(1)f x f x ++-=32(1)3(1)2(1)2x x x +-++++32(1)3(1)2(1)2x x x +---+-+

=22

2666444x x +--++==2(1)f ，

由定义(2)知：

()32322

f x x x x =-++关于点(1,2)对称。

（3）一般地，三次函数()32f x ax bx cx d =+++(0)

a ≠的“拐点”是

,()33b b f a

a ?

??，它就是

()f x 的对称中心。

或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；

任何一个三次函数平移后可以是奇函数 .

例5、（与线性规划的交汇问题）设函数

其中,是的导函数.

(1)若,求函数

的解析式; (2)若,函数的两个极值点为

满足

设, 试求实数的取值范围. 解:

(Ⅰ)据题意,

由知,是二次函数

图象的对称轴

又, 故

是方程的两根. 设

,将

代入得

比较系数

得:

故为所求.

另解：，

据题意得解得

故为所求.

(2)据题意,,则

又是方程的两根,且

则

则点的可行区域如图

的几何意义为点P与点的距离的平方.观察图形知点，A到直线的距离的平方为的最小值

故

的取值范围是

例6：（1）已知函数f(x)=x 3

-x ,其图像记为曲线C.

（i ）求函数f(x)的单调区间；

（ii ）

证明：若对于任意非零实数x 1 ,曲线C 与其在点P 1 （x 1,f(x 1)））处的切线交于另一点P 2（x 2,f(x 2)），曲线C 与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3,f(x 3)），线段P 1 P 2, P 2 P 3与曲线C 所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则

S S 为定值；（2）对于一般的三次函数g(x)=ax 3

+bx 2

+cx+d(a ≠0),请给出类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题，并予以证明。解法一：

（1）（i ）有f(x)=x 3

-x 得f ’(x)=3x 2

-1=3(x-

33)(x+3

). 当x ∈(-∞,3-

)和(3

，+∞)时，f ’(x)>0; 当x ∈(3-

，3)时，f ’(x)<0。

（ⅱ）曲线C 在点P 1处的切线方程为 y=(3x 12-1)(x-x 1)+x 13

-x 1，

}

即y=(3x 12

-1)x-2 x 13

由

得x 3

-x=(3x 12

-1)x-2 x 1

即（x-x 1）2

(x+2x 1)=0,

解得 x=x 1或x=-2x 1

, 故x 2=-2x 1.

进而有

用x 2代替x 1,重复上述计算过程，可得x 3= -2x 2和S 2=4

2274

x 。又x 2=-2x 1≠0，所以S 2=

1271604

x ?≠,因此有12116s s =。

（2）记函数g(x)=ax 3

+bx 2

+cx+d （a ≠0）的图像为曲线C ’，类似于（Ⅰ）（ii ）的正确命题为：若对于任意不等于3b

的实数x 1,曲线C ’与其在点P 1（x 1, g(x 1)）处的切线交于另一点P 2（x 2, g(x 2)）,曲线C ’与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3, g(x 3)），线段P 1P 2、P 2P 3 与曲线C ’所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则1

S S 为定值。 "

证明如下：

因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线y=g(x)的对称中心

平移至

解法二：（1）同解法一。

（2）记函数g(x)=ax 3

+bx 2

+cx+d(a ≠0)的图像为曲线C ’，类似于（1）（ii ）的正确命题为：

若对于任意不等于3b

的实数x 1,曲线C ’与其在点P 1（x 1, g(x 1)）处的切线交于另一点P 2（x 2, g(x 2)）,曲线C ’与其在点P 2处的切线交于另一点P 3（x 3, g(x 3)），线段P 1P 2、P 2P 3 与曲线C ’所围成封闭图形的面积分别记为S 1，S 2，则

S S 为定值。证明如下：

用x 2代替x 1，重复上述计算过程，可得x 3= 2b

x a

-和4223(3)12ax b S a +=。

又x 2=112,3b b

x x a a

-≠-且 }

所以44

2112333

(3)(62)16(3)0,121212ax b ax b ax b S a a a +--+=

==≠ 故

121.16

S S = 三次函数作业

1、设

是函数f(x)的导函数，

的图象如图所示，则y ＝f(x)的图象最有可

能是（）

2、函数在闭区间[－3，0]上的最大值、最小值分别是（）

A. 1，－1

B. 1，－17

C. 3，－17

D. 9，－19

3、设函数32

()63(2)2f x x a x ax =+++.

（1）若()f x 的两个极值点为12,x x ，且121x x =，求实数a 的值；

（2）是否存在实数a ，使得()f x 是(,)-∞+∞上的单调函数若存在,求出a 的值；若不存在，说明理由.

考查函数利用导数处理函数极值单调性等知识

(

4、设定函数3

2()(0)3

a f x x bx cx d a =+++，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，

4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式；（Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

5、已知函数f （x ）=323

1()

2ax x x R -+∈，其中a>0.

（Ⅰ）若a=1，求曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间11,22??

???上，f （x ）>0恒成立，求a 的取值范围.

6、已知函数32

()f x ax x bx =++ （其中常数a ，b ∈R ），()()'()g x f x f x =+是奇函数.

（Ⅰ）求()f x 的表达式；

（Ⅱ）讨论()g x 的单调性，并求()g x 在区间

[]1,2上的最大值与最小值.

7、已知在函数x mx x f --=3)(的图象上以N （1，n ）为切点的切线的倾斜角为,4π

（1）求m 、n 的值；

—

（2）是否存在最小的正整数k ，使不等式1992)(-≤k x f 对于]3,1[-∈x 恒成

立求出最小的正整数k ，若不存在说明理由；

（3）求证：).0,)(21

(2|)(cos )(sin |>∈+

≤+t R x t

t f x f x f 8、已知函数2

()()f x x a =-（a-b ）(,,a b R a ∈

（I ）当a=1，b=2时，求曲线()y f x =在点（2，()f x ）处的切线方程。

（II ）设12,x x 是()f x 的两个极值点，3x 是()f x 的一个零点，且31x x ≠，32x x ≠ 9、已知函数f （x ）=

213

x x ax b -++的图像在点P （0,f(0)）处的切线方程为y=3x-2 (Ⅰ)求实数a,b 的值； (Ⅱ)设g （x ）=f(x)+

x -是[2,+∞]上的增函数。（i ）求实数m 的最大值；

(ii)当m 取最大值时，是否存在点Q ，使得过点Q 的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形，则这两个封闭图形的面积总相等若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由。

作业：

1、解：根据图象特征，不妨设f(x)是三次函数。则

的图象给出了如下信息：

①

；

②导方程两根是0，2，（f(x)对称中心的横坐标是1）；

③在（0，2）上；在（－，0）或（2，）上。

由①和性质1可排除B 、D ；由③和性质1确定选C 。

2、解：函数的导方程是

，两根为1和－1，由性质2得：

，

。

故选C 。

3、【解析】

()186(2)2f x x a x a '=+++

（1）由已知有

12()()0

f x f x ''==，从而

122118a

x x =

=，所以9a =；

（2）由2

36(2)418236(4)0a a a ?=+-??=+>，所以不存在实数a ，使得()f x 是R 上的单调函数. 4、

5、【解析】（Ⅰ）解：当a=1时，f （x ）=323

x x 12-+，f （2）=3；f ’(x)=

33x x -, f ’(2)=6.所以曲线y=f （x ）在点（2，f （2））处的切线方程为y-3=6（x-2），即y=6x-9.

（Ⅱ）解：f ’(x)=

2333(1)ax x x ax -=-.令f ’(x)=0，解得x=0或x=1

a . 以下分两种情况讨论：

若

0a 2a 2<≤≥

，则，当x 变化时，f ’(x)，f （x ）的变化情况如下表：

当11x f x 22??∈-????，时，（）>0

等价于5a 10,()0,8215a ()0,0.28f f -??

>->?????

?+??>>????即，

解不等式组得-5

若a>2，则

0a 2<

.当x 变化时，f ’(x),f （x ）的变化情况如下表：

…

当11x 22??∈-????，时，f （x ）>0等价于1

f(-)21f()>0,a ???????>0,即258

11->0.2a a -???????>0,，解不等式组得52a <<或

2a <-

.因此2

6、

7、解：（1）13)(2

-=mx x f ，

,32,14

tan

)1(-==

∴==n m f π

（2）令2

2,0)22)(22(2)(±==-+

=x x x x f 则，在[－1，3]中，)(,0)(,]2

,1[x f x f x >'-

-∈时在此区间为增函数]2

2,22[-

∈x 时，

)(,0)(x f x f <'在此区间为减函数.

=x x f 在)(2

处取得极大值. ∈x [

，3]时)(,0)(x f x f >'在此区间为增函数，)(x f 在x =3处取得极大值.……8分比较f （－

）和)3(f 的大小得：15)3()(max ==f x f （无理由)3(f 最大，扣3分）

,2007,1992)(≥-≤∴k k x f 即存在k =2007

（3）|)cos (sin )cos (sin 3

||)(cos )(sin |33x x x x x f x f +++=+

22)4(sin |322|cos sin |3133≤+=+=

πx x x 而32

2)3132(22]31)41(32)[21(2)21(222=-≥-++=+

t t t t t f （也可由单调性：3

2)2(2)21(2=≥+

f t t f

)21

(2|)(cos )(sin |t

t f x f x f +

≤+∴ 8、

9、